数学专题 指对幂比较大小必刷100题

指对幂比较大小必刷 100 题
μ 专题 指对幂比较大小必刷 100 题
1 任务一: 善良模式 (基础 )1- 40 题
一 、 单选题
1
-
5
2
1 已知 a = ， b = log 5 ， c = log 7 ， 则 a ， b ， c 的大小顺序是 ( )
2 3
?
3
A. a > b > c B. c > a > b C. c > b > a D. b > c > a
【 答案 】D
1 1
-
5 2 3 2
【 解析 】 因为 a = = < 1 ， b = log 5 > log 4 = 2 ，
2 2
? ?
3 5
1 = log 3 < c = log 7 < log 9 = 2 ，
3 3 3
所以 b > c > a
故选 ： D
1
1
3
2 已知 a = ln ， b = e ， c = log 3 ， 则 a,b,c 大小顺序为 ( )
π
π
A. a > b > c B. b > a > c C. c > a > b D. b > c > a
【 答案 】D
1
1
0
3
【 解析 】 ∵ a = ln < ln1 = 0 ， b = e > e = 1 ， 0 = log 1 < c = log 3 < log π = 1 ，
π π π
π
∴ b > c > a.
故选 ： D.
1
1
3
3 已知 a = ln ， b = e ， c = log 3 ， 则 a,b,c 大小顺序为 ( )
π
π
A. a > b > c B. b > a > c C. c > a > b D. b > c > a
【 答案 】D
1
1
0
3
【 解析 】 因为 a = ln < ln1 = 0 ， b = e > e = 1 ， c = log 3 ∈ ?0,1
π
π
所以 b > c > a
故选 ： D
【 点睛 】
本题考查的是对数 、 指数幂的比较 ， 较简单.
3
- 2
3 4 3
4
4 设 a = ， b = ， c = log ， 则 a ， b ， c 的大小顺序是
2
? ?
4 3 2
A. b < a < c B. c < a < b C. b < c < a D. a < c < b
【 答案 】B
3 3 3
- 2
3 4 4 4 4 4 4 3
【 解析 】 a = = > 1 , 且 < = b, 又 c = log < log 2 = 1.
2 2
? ? ? ?
4 3 3 3 2
故 c < a < b.
故选 ： B
【 点睛 】
本题主要考查了利于指数对数函数的单调性对函数值大小进行比较 , 属于基础题型.
b c
1 1
a
5 a,b,c 均为正实数 ， 且 2 = log a ， = log b ， = log c ， 则 a, b,c 的大小顺序为
1 1
2
? ?
2 2
2 2
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? ?
? ? ? ?
? ?
?
? ?
?博观而约取 厚积而薄发
A. a < c < b B. b < c < a C. c < b < a D. a < b < c
【 答案 】D
a -b a
【 解析 】 试题分析 ： ∵ a, b, c 均为正实数 ， ∴ 2 > 2 = log 1 b ， 而 2 = log 1 a ， ∴ log 1 a > log 1 b ， ∴ a < b．又
2 2 2 2
c b
1 1
= log c 且 = log b ， 由图象可知 c > 1 ， 0 < b < 1 ， 故 a < b < c ， 故选 D．
1
2
? ?
2 2
2
考点： 利用函数图象比较大小.
0.8 0.2 0.3
6 若 a = 0.2 ， b = 0.8 ， c = 1.1 ， d = lg0.2 ， 则 a ， b ， c ， d 的大小关系是 ( )
A. c > b > a > d B. c > a > b > d C. b > c > a > d D. a > c > b > d
【 答案 】A
0.2 0.8 0.3 0
【 解析 】 由指数函数的单调性知 ： 0.2 > 0.2 ， 1.1 > 1.1 = 1
0.2 0.2
由幂函数的单调性知 ： 0.8 > 0.2 ，
0.2 0.2 0.8
所以 c > 1 > b = 0.8 > 0.2 > 0.2 = a > 0 ，
又由对数函数的单调性可知 ： d = lg0.2 < lg1 = 0
综上有 ： c > b > a > d.
故选 ： A
1
ln
e
7 设 a = log π ， b = 2log 2 ， c = 4 ， 则 a ， b ， c 大小关系为 ( )
3 3
A. a > b > c B. b > a > c C. c > b > a D. c > a > b
【 答案 】B
1
1
ln 0 2
e
【 解析 】 解 ： 因为 ln < ln1 = 0 ， 所以 0 < 4 < 4 = 1 ， 即 0 < c < 1 ， 又 2log 2 = log 2 = log 4 > log π >
3 3 3 3
e
log 3 = 1 ， 即 b > a > 1 ， 所以 b > a > c ；
3
故选 ： B
a 0.3
8 已知 5 = 2 , b = ln2 , c = 2 ， 则 a, b, c 的大小关系为 ( )
A. a > b > c B. c > b > a C. b > c > a D. c > a > b
【 答案 】B
1
a
【 解析 】 由 5 = 2 ? a = log 2 = log 4 < log 5 ? a < ，
5 5 5
2
1
2 0.3
由 ln e > ln 4 > ln e ? 1 > b > ， c = 2 > 1 ， 所以 c > b > a ，
2
故选 ： B
4.1 -0.9 0.1
4 4 5
9 已知 a = , b = , c = ， 则这三个数的大小关系为 ( )
? ? ?
5 5 4
A. a > c > b B. b > c > a C. c > a > b D. c > b > a
【 答案 】B
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J
? ? ?
? ?指对幂比较大小必刷 100 题
-0.9 0.9
4 5
【 解析 】 b = = ，
? ?
5 4
x
5
因为 y = 在 R 上单调递增 ﹐则 b > c > 1 ，
?
4
4.1 0
4 4
又 a = < = 1.
? ?
5 5
故 b > c > a.
故选 ： B.
2 2
2 2
1 1
5 5
5 5
10 若 a = 2 ,b = 3 ,c = ,d = ， 则 a ， b ， c ， d 的大小关系是 ( )
? ?
2 3
A. a > b > c > d B. b > a > d > c C. b > a > c > d D. a > b > d > c
【 答案 】C
2 2
0 0
5 5
【 解析 】 解 ： a = 2 > 2 = 1 ,b = 3 > 3 = 1,
2 2
0 0
1 5 1 1 5 1
c = < = 1 ,d = < = 1 ，
? ? ? ?
2 2 3 3
2
2
5
0
a 2 2 2
5
另外 = = < = 1 ， 则 b > a
2
? ?
b 3 3
5
3
2
1
5
2
0
?
c 2 3 3
5
= = > = 1 ， 则 c > d
2
? ?
d 2 2
1
5
?
3
故 b > a > c > d
故选 ： C.
-0.8
1 2
0.5
11 已知 a = ， b = log ， c = 4 则 a ， b ， c 的大小关系是 ( )
1
?
2 2 3
A. a < c < b B. a < b < c C. c < b < a D. b < a < c
【 答案 】D
-0.8
1 2 3
0.8 0.5
【 解析 】 a = = 2 ∈ 1 ,2 ， b = log = log ∈ 0,1 ， c = 4 = 2 ， 显然 b < a < c ，
? 1 ?
2
?
2 2 3 2
故选 ： D
a 0.3
12 已知 3 = 2 ， b = ln2 ， c = 2 ， 则 a ， b ， c 的大小关系为 ( )
A. a > b > c B. c > b > a C. b > c > a D. c > a > b
【 答案 】B
ln2
a
【 解析 】 由 3 = 2 可得 ， a = log 2 = ，
3
ln3
因为 ln3 > 1 > ln2 > 0 ，
ln2
所以 < ln2 < 1 ，
ln3
0.3 0
又因为 c = 2 > 2 = 1 ，
所以 c > b > a.
故选 ： B.
4
-0.1
13 已知 a = ， b = log 4 ， c = 3 ， 则 a 、 b 、 c 的大小关系为 ( )
3
3
A. a > b > c B. c > b > a C. b > a > c D. a > c > b
【 答案 】A
4 4
3
4
4 3
3 3
【 解析 】 因为 a = = log 3 ， 3 = 3 = 81 > 4 = 64 ，
3 ?
3
4
3
所以 log 3 > log 4 ， 即 a > b.
3 3
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?
?
? ?
?
?
? ?
?
? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
?
? ?博观而约取 厚积而薄发
-0.1 0
又因为 b = log 4 > log 3 = 1 ， c = 3 < 3 = 1 ， 即 b > c ，
3 3
所以 a > b > c.
故选 ： A
π
sin x
14 设 0 < x < ， 记 a = lnsin x ， b = sin x ， c = e ， 则比较 a ， b ， c 的大小关系为 ( )
2
A. a < b < c B. b < a < c C. c < b < a D. b < c < a
【 答案 】A
π
【 解析 】 因为 0 < x < ，
2
sin x
所以 b = sin x ∈ ?0 ,1 ， a = lnsin x < 0 ， c = e > 1 ，
所以 a < b < c ，
故选 ： A
2 2
2 2
1 3 1 3
3 3
15 若 a = ?2 ， b = 3 ， c = ， d = ， 则 a ， b ， c ， a 的大小关系是 ( )
? ?
2 3
A. a > b > c > d B. b > a > d > c C. b > a > c > d D. a > b > d > c
【 答案 】C
2
【 解析 】 ∵ > 0
3
2
3
∴ 幂函数 y = x 在 ?0 , +∞ 上单调递增 ，
1 1
又 ∵ 3 > 2 > > > 0 ，
2 3
2 2
2 2
1 1
3 3
3 3
∴ 3 > 2 > > ，
? ?
2 3
∴ b > a > c > d
故选 ： C.
1.7 0.3
16 已知 a = 0.3 ， b = 1.7 ， c = log 1.7 ， 则 a ， b ， c 的大小关系为 ( )
0.3
A. a < c < b B. c < b < a C. c < a < b D. b < c < a
【 答案 】C
【 解析 】 解 ： 根据指数函数的性质知 ，
1.7 0 0.3 0
0 < 0.3 < 0.3 = 1 ， 1.7 > 1.7 = 1
所以 0 < a < 1 < b ；
根据对数函数的性质知 ，
log 1.7 < log 1 = 0 ，
0.3 0.3
所以 c < 0 ；
所以 a ， b ， c 的大小关系是 c < a < b.
故选 ： C.
3
6 14
2
17 已知 a = log ， b = log ， c = 2 ， 则 a ， b ， c 的大小关系为 ( )
2 3
2 2
A. a < b < c B. b < a < c C. c < a < b D. b < c < a
【 答案 】A
3
6 1 1 14
0
2
【 解析 】 解 ： c = 2 > 2 = 1 ， 0 < a = log < log 2 = ， = log 3 < log = b < 1 ， ∴ a < b < c.
2 2 3 3
2 2 2 2
故选 ： A ．
2
0.5 1.5
18 已知 a = 1.2 ， b = 0.5 ， c = ， 则这三个数的大小关系为 ( )
2
A. a < b < c B. a < c < b C. b < a < c D. b < c < a
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J
? ?
?
? ?
?
?指对幂比较大小必刷 100 题
【 答案 】D
0.5 0
【 解析 】 因为 a = 1.2 > 1.2 = 1 ， 所以 a > 1.
1 1
1.5 1
因为 b = 0.5 < 0.5 = ， 所以 0 < b < .
2 2
2 1
而 c = ， 所以 < c < 1 ， 故 b < c < a.
2 2
故选 D.
ln2 ln3 ln5
19 已知 a = ， b = ， c = ， 则 a ， b ， c 的大小关系为 ( )
2 3 5
A. a < b < c B. a < c < b C. b < a < c D. c < a < b
【 答案 】D
ln2 ln3 3ln2 - 2ln3 ln8 - ln9
【 解析 】 因为 a - b = - = = < 0 ， 所以 a < b ；
2 3 6 6
ln2 ln5 5ln2 - 2ln5 ln32 - ln25
又 a - c = - = = > 0 ， 所以 a > c ，
2 5 10 10
所以 c < a < b.
故选 ： D.
0.3
20 设 a = log 0.3 ,b = log 0.4 ,c = 0.4 ， 则 a ， b ， c 的大小关系为 ( )
1
2
2
A. a < b < c B. c < a < b C. b < c < a D. a < c < b
【 答案 】D
【 解析 】 ∵ log 0.3 < log 1 = 0 ， ∴ a < 0 ，
2 2
5
∵ log 0.4 = -log 0.4 = log > log 2 = 1 ， ∴ b > 1 ，
1
2 2 2
2
2
0.3 0
∵ 0 < 0.4 < 0.4 = 1 ， ∴ 0 < c < 1 ，
∴ a < c < b.
故选 ： D.
ln x
1
-1 ln x
21 若 x ∈ (e ,1 ) ， a = ln x ， b = ， c = 2 ， 则 a ， b ， c 的大小关系为 ( )
?
2
A. c > b > a B. b > a > c C. a > b > c D. b > c > a
【 答案 】D
-1
【 解析 】 因 x ∈ (e ,1 ) ， 且函数 y = ln x 是增函数 ， 于是 -1 < a < 0 ；
ln x ln x
1 1 1 1
x -ln x ln x
函数 y = 2 是增函数 ， -1 < ln x < 0 < -ln x < 1 ， 而 = 2 ， 则 1 < < 2 ， < 2 < 1 ， 即
? ?
2 2 2 2
< c < 1 < b < 2 ，
综上得 ： b > c > a
故选 ： D
3 2
-
1 1
5 3
22 已知 a = log 2, b = ,c = ， 则 a,b,c 的大小关系是 ( )
3
? ?
5 3
A. a < b < c B. b < a < c C. a < c < b D. b < c < a
【 答案 】B
1
【 解析 】 由函数 y = log x 在 0, +∞ 上单调递增 ， 可得 = log 3 < log 2 = a < 1 , ，
?
3 3 3
2
3 1
x
1 1 1 1 1
5 2
由函数 y = 在 R 上单调递减 ， 可得 b = < = < ,
? ? ?
5 5 5 2
5
2
x - 0
1 1 3 1
由函数 y = 在 R 上单调递减 ， 可得 c = > = 1, 因此 b < a < c
? ? ?
3 3 3
故选 ： B
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? ? ?
? ? ?
?
? ?
? ?
?博观而约取 厚积而薄发
2 3 3
4 4 3
3 4 4
23 设 a = , b = , c = ， 则 a, b,c 的大小关系是 ( )
? ? ?
3 3 2
A. a > c > b B. a > b > c C. c > b > a D. b > c > a
【 答案 】C
2 3
3
x
4 4 3 4 4
4
【 解析 】 因为函数 y = 在 R 上是增函数 ， 所以 < ， 即 a < b ， 又因为函数 y = x 在 (0, +∞ )
? ? ?
3 3 3
3 3
4 3
4 4
上是增函数 ， 所以 < ， 所以 b < c ， 故 a < b < c.
? ?
3 2
故选 ： C
1 2019 1 2020 1 2021
24 已知 a = ln + ， b = ln + ， c = ln + ， 则 a ， b ， c 的大小关系是
2020 2020 2021 2021 2022 2022
( )
A. a > b > c B. a > c > b C. c > b > a D. c > a > b
【 答案 】A
1 1 - x
? ?
【 解析 】 构造函数 f ? x = ln x + 1 - x ， f ? x = - 1 = ， 当 0 < x < 1 时 ， f ? x > 0 ，
x x
1 1 1
f x 单调递增 ， 所以 f > f > f ， a > b > c.
?
? ? ?
2020 2021 2022
故选 ： A
1
1 1
3
25 已知 a = log 5, b = , c = log ， 则 a ， b ， c 的大小关系为 ( )
1
3
?
2 3 6
A. a > b > c B. b > a > c C. c > b > a D. c > a > b
【 答案 】D
1
【 解析 】 c = log = log 6 ， 因为函数 y = log x 在 ?0, ∞ 上单调递增 ，
1 3 3
3 6
1
所以 log 3 = 1 < a = log 5 < log 6 < log = c ，
1
3 3 3
6
3
1
x 0
1 1 1
3
因为函数 y = 在 R 上单调递减 ， 所以 b = < = 1 ，
? ? ?
2 2 2
所以 c > a > b
故选 ： D
【 点睛 】
思路点睛 ： 指数式 、 对数式 、 幂值比较大小问题 ， 思路如下 ：
思路一 、 对于同底数的幂值或对数式 ， 直接根据指数函数或对数函数的单调性比较大小 ；
思路二 、 对于不同底数的幂值或对数式 ， 化为同底数的幂值或对数式 ， 再根据思路一进行比较大小 ； 或者
找中间量 (通常找 0 和 1 ) 进行比较.
1 1
a b a
26 已知 1 < < , M = a , N = a , P = b ， 则 M,N,P 的大小关系正确的为 ( )
a b
A. N < M < P B. P < M < N C. M < P < N D. P < N < M
【 答案 】B
1 1
【 解析 】 解 ： ∵ 1 < < ，
a
b
∴ 0 < b < a < 1 ，
x
∴ 指数函数 y = a 在 R 上单调递减 ，
b a
∴ a > a ， 即 N > M ，
a
又幂函数 y = x 在 ?0 , +∞ 上单调递增 ，
a a
∴ a > b ， 即 M > P ，
∴ N > M > P ，
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?
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? ? ?指对幂比较大小必刷 100 题
故选 ： B.
sin3
27 已知 a = sin3 ， b = log sin3 ， c = 3 ， 则 a ， b ， c 的大小关系是 ( )
3
A. a > b > c B. b > a > c C. c > a > b D. c > b > a
【 答案 】C
π
【 解析 】 因为 < 3 < π ， 所以 a = sin3 ∈ ?0,1 ，
2
b = log sin3 < log 1 = 0 ，
3 3
sin3 0
c = 3 > 3 = 1 ，
所以 c > a > b.
故选 ： C
1
3
1 1
5
28 设 a = 3 ， b = ， c = log ， 则 a ， b ， c 的大小关系为 ( ).
3
?
5 5
A. b < a < c B. a < c < b C. c < a < b D. c < b < a
【 答案 】D
x 1 3
1 1 1
x 0
5
【 解析 】 指数函数 y = 3 ,y = 分别是 R 上的增函数和减函数 ， > 0,3 > 0 ， 则 3 > 3 > > 0 ，
? ?
5 5 5
1 1
对数函数 y = log x 在 (0, +∞ ) 上单调递增 ， 0 < < 1 ， 则 log < log 1 = 0 ，
3 3 3
5 5
1
3
1 1
5
所以有 3 > > log ， 即 c < b < a.
3
?
5 5
故选 ： D
a b °
29 已知 e = π ， 2 = 3 ， c = sin2021 ， 则 a ， b ， c 大小关系为 ( )
A. c < a < b B. c < b < a C. a < c < b D. a < b < c
【 答案 】A
a
【 解析 】 由 e = π ， 得 a = lnπ ，
因为 π ≈ 3.14 ,e ≈ 2.7128 ,e e ≈ 4.48 ，
所以 ln e < lnπ < ln e e ， 即 ln e < a < ln e e ，
3
所以 1 < a < ，
2
3
b
由 2 = 3 ， 得 b = log 3 > log 2 2 = ，
2 2
2
° ° ° °
又 c = sin2021 = sin ?5 × 360 + 221 = sin221 < 0 ，
所以 c < a < b ，
故选 ： A
a -2
30 已知 a = log 3, b = log 9 ,c = 0.3 ， 则 a ， b ， c 的大小关系是 ( )
5 16
A. a > b > c B. a > c > b C. c > a > b D. c > b > a
【 答案 】D
2
【 解析 】 b = log 23 = log 3 < log 4 = 1 ， 所以 0 < a < b < 1 ，
4 4
4
3 25
log log log 5
3 5 10 5 10 5 10
25 3
a -2 log 3-2
5
c = 0.3 = 0.3 = = > = > 1 ，
? ? ?
10 3 3 3
所以 c > b > a.
故选 ： D
0.2
31 已知 a = log 1.5 ， b = log 0.1 ， c = 0.5 ， 则 a 、 b 、 c 的大小关系为 ( )
3 0.5
A. a < b < c B. a < c < b C. b < c < a D. c < a < b
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