圆锥曲线常考的93 个二级结论
一、椭圆
2 2
x y
1. P是椭圆 ? ? 1上的任意一点， F是椭圆的一个焦点，
1
2 2
a b
PF
则 的取值范围是[a ? c,a ? c].
1
2 2
x y
2. P是椭圆 ? ? 1上的任意一点， F、 F 是椭圆的左右焦点，
1 2
2 2
a b
2 2
则 PF ? PF 的取值范围是[b ,a ].
1 2
2 2
x y
3. P是椭圆 ? ? 1上的任意一点， F、 F 是椭圆的左右焦点，
1 2
2 2
a b
uuu r uuu r
2 2 2 2
则 PF ? PF 的取值范围是[b ? c ,a ? c ].
1 2
2 2
x y
? ? F , F
4. P为椭圆 ? ? 1 a ? b ? 0 上一点，其中 是椭圆的左右焦点，
1 2
2 2
a b
?
2
?F PF ? ?，则 . .
S ? b tan C ? 2a ? 2c
1 2
?F PF ?F PF
1 2 1 2
2
2 2
x y
5. P为椭圆 ? ? 1?a ? b ? 0?上一点，其中 F , F 是椭圆的左右焦点，
1 2
2 2
a b
则 P为短轴端点时 ?F PF 最大.
1 2
2 2
x y
6. P为椭圆 ? ? 1?a ? b ? 0?上一点，其中 A , A 是椭圆的左右顶点，
1 2
2 2
a b
?A PA
则 P为短轴端点时 最大.
1 2
2 2
x y
7.已知椭圆 ? ?1 ?a ? b ? 0?，若点 A, B是椭圆上关于原点对称的两点， M 是椭
2 2
a b2
b
圆上异于 A, B的一点.若 MA,MB的斜率分别为 k ,k ，则 k ?k ? ? .
1 2 1 2
2
a
2 2
x y
8.若 AB是椭圆 ? ?1的不垂直于对称轴的弦， M 为 AB的中点，则
2 2
a b
2
b
k ? k ? ? .
OM AB
2
a
2 2 2
x y b
9.若l是椭圆 ? ?1不垂直于对称轴的切线， M 为切点，则 k ?k ? ? .
l OM
2 2 2
a b a
2 2
x y
2 2 2 2
10.过圆 x ? y ? a ? b 上任意点 P作椭圆 ? ?1（ a ? b ? 0）的两条切线，则两
2 2
a b
条切线垂直.
2 2
x y
11.过椭圆 ? ?1（ a ? b ? 0）上任意不同两点 A, B作椭圆的切线，如果切线垂直
2 2
a b
2 2 2 2
且相交于 P，则动点 P的轨迹为圆 x ? y ? a ? b .
12.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相离.
13.以焦半径 PF为直径的圆与以长轴为直径的圆内切.
1
14.设 A , A 为椭圆的左、右顶点，则 ?F PF 在边 PF （或 PF）上的旁切圆，必与 A A
1 2 1 2 2 1 1 2
所在的直线切于 A （或 A）.
2 1
2 2
x y
? ?
15.椭圆 ? ?1 a ? b ? 0 的两个顶点为 A (?a,0), A (a,0)，与 y轴平行的直线交椭圆
1 2
2 2
a b
2 2
x y
于 P, P 时 A P与 A P交点的轨迹方程是 ? ?1.
1 2 1 1 2 2
2 2
a b
2 2
x y x x y y
0 0
16.若 P(x , y )在椭圆 ? ?1上，则过 P的椭圆的切线方程是 ? ?1.
0 0
2 2 2 2
a b a b
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2 2
x y
17.若 P(x , y )在椭圆 ? ?1外 ，则过 P作椭圆的两条切线切点为 P, P ，则切点
0 0 1 2
2 2
a b
x x y y
0 0
弦 PP 的直线方程是 ? ?1.
1 2
2 2
a b
2 2
x y
18.若点 M x , y 在椭圆 ? ?1（ a ? b ? 0）内，过点 M 作椭圆的弦 AB（不过椭
? ?
0 0
2 2
a b
圆中心），分别过 A, B作椭圆的切线，则两条切线的交点 P的轨迹方程为直线
x x y y
0 0
? ?1.
2 2
a b
2 2
x y
19.若 P(x , y )在椭圆 ? ?1内，则被 P所平分的中点弦的方程是
0 0
2 2
a b
2 2
x x y y x y
0 0 0 0
? ? ? .
2 2 2 2
a b a b
2 2
x y
20.若 P(x , y )在椭圆 ? ?1内，则过 P的弦中点的轨迹方程是
0 0
2 2
a b
2 2
x y x x y y
0 0
? ? ? .
2 2 2 2
a b a b
2 2
x y
?a ? b ? 0?
21.若 PQ是椭圆 ? ?1 上对中心张直角的弦，
2 2
a b
1 1 1 1
则 ? ? ? .
2 2 2 2
| OP | | OQ | a b
2a
22.过椭圆焦点的弦被焦点分得两个焦半径倒数和是定值 .
2
b
2 2
a ? b
23.过椭圆焦点且互相垂直的弦长倒数之和是定值 .
2
2ab
24.过椭圆焦点互相垂直的直线与椭圆相交构成四边形面积的取值范围是
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2 4
8a b
2
[ ,2b ].
2 2 2
(a +b )
25.过椭圆焦点互相垂直的直线被椭圆截得弦长之和的取值范围是
2 2 2
8ab 2(a +b )
[ , ].
2 2
a +b a
2 2
x y
26.设 P ?x , y ?为椭圆 ? ?1?a ? b ? 0?上的一个定点， PP 是动弦，则 PP 为直角
0 0 0 1 2 1 2
2 2
a b
2 2 2 2
? ?
a ? b a ? b
? ?
弦的充要条件是 PP 过定点 M x ,? y .
1 2 0 0
? 2 2 2 2 ?
a ? b a ? b
? ?
2 2
x y
27.若 AB是过椭圆 ? ?1（ a ? b ? 0）的焦点 F的一条弦（非通径），弦 AB的中
2 2
a b
AB
2
垂线交 x轴于 N，则 ? .
NF e
2 2
x y
28. 若 A, B是椭圆 ? ?1（ a ? b ? 0）的左右顶点，点 P是直线 x ? t（ t ? a,t ? 0）
2 2
a b
上的一个动点（ P不在椭圆上），直线 PA及 PB分别与椭圆相交于 M , N，则直线 MN
2
? ?
a
必与 x轴相交于定点Q ,0 .
? ?
t
? ?
2 2
x y
29.过椭圆 ? ?1（ a ? b ? 0）的焦点 F作一条直线与椭圆相交于 M , N，与 y轴
2 2
a b
2
???? ? ???? ???? ????
2a
相交于 P，若 PM ? ?MF ， PN ? ? NF ，则 ? ? ?为定值，且 ? ? ? ? ? .
2
b
2 2
x y
30.过椭圆 ? ?1（ ）的焦点 作一条直线与椭圆相交于 ，与相应
a ? b ? 0 F M , N
2 2
a b
???? ? ???? ???? ????
准线相交于 P，若 PM ? ?MF ， PN ? ? NF，则 ? ? ?为定值，且 ? ? ? ? 0 .
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2 2
x y
31.若 MN是垂直椭圆 ? ?1（ a ? b ? 0）长轴的动弦， P是椭圆上异于顶点的动
2 2
a b
???? ???? ?
???? ????
点，直线 MP, NP分别交 x轴于 E, F，若 PE ? ?EM ， PF ? ? FN，则 ? ? ?为定值，且
? ? ? ? 0 .
2 2
x y
32.若 MN是垂直椭圆 ? ?1（ a ? b ? 0）长轴的动弦， P是椭圆上异于顶点的动
2 2
a b
???? ??? ? ???? ??? ?
点，直线 MP, NP分别交 x轴于 E, F， A为长轴顶点，若OE ? ?EA，OF ? ? FA，则
? ? ?为定值，且 ? ? ? ? ?1.
2 2
x y
33.若 M , P是椭圆 C : ? ?1（ a ? b ? 0）上任意两点，点 M 关于 x轴对称点为 N，
2 2
a b
2
若直线 PM , PN与 x轴分别相交于点 A m,0 , B n,0 ，则 mn为定值，且 mn ? a .
? ? ? ?
2 2
x y
34.若 A, B是椭圆C : ? ?1（ a ? b ? 0）上关于 x轴对称的任意两个不同的点，点
2 2
a b
P m,0 是 x轴上的定点，直线 PB交椭圆C于另一点 E，则直线 AE恒过 x轴上的定
? ?
2
? ?
a
点，且定点为Q ,0 .
? ?
m
? ?
35.过椭圆准线上一点 M 作椭圆的两条切线，切点分别为 A, B，则切点弦 AB的直
线必过相应的焦点 F，且 MF垂直切点弦 AB .
36. AB为椭圆的焦点弦，则过 A, B的切线的交点 M 必在相应的准线上.
注：本文以焦点在 x轴上的椭圆为例，焦点在 y轴时上述结论未必完全一致，请
慎用.
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二、双曲线
2 2
x y
1. P为双曲线 ? ? 1(a ? 0,b ? 0)左上一点，若 F是左焦点，则 PF的取值范围是
2 2
a b
[c ? a, ??)，若 F是右焦点，则 PF的取值范围是[c ? a,??).
2 2
x y
2. P是双曲线 ? ? 1(a ? 0,b ? 0)上的任意一点， F、 F 是双曲线的左右焦点，
1 2
2 2
a b
2
则 PF ? PF 的取值范围是[b ,??).
1 2
2 2
x y
3. P是双曲线 ? ? 1(a ? 0,b ? 0)上的任意一点， F、 F 是双曲线的左右焦点，
1 2
2 2
a b
???? ????
2
则 PF ? PF 的取值范围是[?b ,??).
1 2
2 2
x y
4. P为双曲线 ? ? 1(a ? 0,b ? 0)上一点，其中 F , F 是双曲线的左右焦点，
1 2
2 2
a b
2
b
?F PF ? ?，则 S ? .
1 2 ?FPF
1 2
?
tan
2
2 2
x y
5.已知双曲线 ? ? 1(a ? 0,b ? 0)，若点 A, B是双曲线上关于原点对称的两点，
2 2
a b
2
b
M 是双曲线上异于 A, B的一点.若 MA,MB的斜率分别为 k ,k ，则 k ?k ? .
1 2 1 2
2
a
2 2 2
x y b
6. AB是双曲线 ? ?1的不平行于对称轴的弦， M 为 AB的中点，则 k ?k ? .
OM AB
2 2 2
a b a
7.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相交.
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8.以焦半径 PF为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.
9.设 P为双曲线上一点，则 ?F PF 的内切圆必切于与 P在同侧的顶点.
1 2
2 2
x y
10.双曲线 ? ? 1(a ? 0,b ? 0)的两个顶点为 A (?a,0), A (a,0)，与 y轴平行的直线交
1 2
2 2
a b
2 2
x y
双曲线于 P, P 时 A P与 A P交点的轨迹方程是 ? ?1.
1 2 1 1 2 2 2 2
a b
2 2
x y
11.若 P(x , y )在双曲线 ? ? 1(a ? 0,b ? 0)上，则过 P的双曲线的切线方程是
0 0
2 2
a b
x x y y
0 0
? ?1.
2 2
a b
2 2
x y
12.若 P(x , y )在双曲线 ? ? 1(a ? 0,b ? 0)外 ，则过 P作双曲线的两条切线切点
0 0
2 2
a b
x x y y
0 0
为 P, P ，则切点弦 PP 的直线方程是 ? ?1.
1 2 1 2
2 2
a b
2 2
x y
13.若 P(x , y )在双曲线 ? ? 1(a ? 0,b ? 0)内，则被 P所平分的中点弦的方程是
0 0
2 2
a b
2 2
x x y y x y
0 0 0 0
? ? ? .
2 2 2 2
a b a b
2 2
x y
14.若 P(x , y )在双曲线 ? ? 1(a ? 0,b ? 0)内，则过 P的弦中点的轨迹方程是
0 0
2 2
a b
2 2
x x y y
x y
0 0
? ? ? .
2 2 2 2
a b a b
2 2
x y
15.设 P ?x , y ?为双曲线 ? ?1?a ? b ? 0?上的一个定点， PP 是动弦，则 PP 为直
0 0 0 1 2 1 2
2 2
a b
2 2 2 2
? ?
a ? b a ? b
M ? x ,? y ?
角弦的充要条件是 PP 过定点 .
0 0
1 2
? 2 2 2 2 ?
a ? b a ? b
? ?
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2 2
x y
16. P为双曲线 ? ? 1(a ? 0,b ? 0)上一点，若 F是一个焦点，以 PF为直径的圆与
2 2
a b
2 2 2
圆 x ? y ? a 的位置关系是外切或内切.
2a
17.过双曲线焦点的弦被焦点分得两个焦半径倒数和是定值 .
2
b
2 2
a ? b
18.过双曲线焦点且互相垂直的弦长倒数之和是定值 .
2
2ab
2 2
x y
19.过双曲线 ? ?1（ a ? 0,b ? 0）的焦点 F作一条直线与椭圆相交于 M , N，与
2 2
a b
???? ? ???? ???? ????
相应准线相交于 P，若 PM ? ?MF ， PN ? ? NF，则 ? ? ?为定值，且 ? ? ? ? 0 .
2 2
x y
20.若 MN是垂直双曲线 ? ?1（ a ? 0,b ? 0）实轴的动弦， P是双曲线上异于顶
2 2
a b
???? ???? ?
???? ????
点的动点，直线 MP, NP分别交 x轴于 E, F，若 PE ? ?EM ， PF ? ? FN，则 ? ? ?为定
值，且 ? ? ? ? 0 .
2 2
x y
21.若 MN是垂直双曲线 ? ?1（ a ? 0,b ? 0）实轴的动弦， P是双曲线上异于顶
2 2
a b
???? ??? ?
点的动点，直线 MP, NP分别交 x轴于 E, F， A为长轴顶点，若OE ? ?EA，
???? ??? ?
，则 为定值，且 .
OF ? ? FA ? ? ? ? ? ? ? ?1
2 2
x y
22.若 M , P是双曲线C : ? ?1（ a ? 0,b ? 0）上任意两点，点 M 关于 x轴对称点为
2 2
a b
2
N，若直线 PM , PN与 x轴分别相交于点 A m,0 , B n,0 ，则 mn为定值，且 mn ? a .
? ? ? ?
2 2
x y
23.若 A, B是双曲线C : ? ?1（ a ? 0,b ? 0）上关于 x轴对称的任意两个不同的点，
2 2
a b
x x
点 P m,0 是 轴上的定点，直线 PB交双曲线C一点 E，则直线 AE恒过 轴上的定
? ?
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2
? ?
a
点，且定点为Q ,0 .
? ?
m
? ?
2 2
x y
24.从双曲线 ? ?1（ a ? 0,b ? 0）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足
2 2
a b
2 2 2
的轨迹为圆： x ? y ? a .
25.双曲线上任一点 P处的切线交准线于 M ， P与相应的焦点 F的连线交双曲线
于Q，则 MQ必与该双曲线相切，且 MF ? PQ .
2 2
x y
是过双曲线 ? ?1（ ）的焦点 的一条弦（非通径，且为单
AB a ? 0,b ? 0 F
26.若
2 2
a b
AB
2
支弦），弦 AB的中垂线交 x轴于 M ，则 ?
MF e
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三、抛物线
1.以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切．
2.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相
切.
3.以抛物线焦半径为直径的圆与 y轴相切.
4.过抛物线焦点弦的抛物线上端点向 y轴作垂线，垂足为 M，则以 OM 为直径的
圆与焦半径相切.
1 1 2
2
5.若线段 AB为抛物线C : y ? 2 px( p ? 0)的一条焦点弦，则 ? ? .
AF BF p
2
6.设抛物线方程为 y ? 2 px( p ? 0)，过焦点的弦 AB的倾斜角为 ?，则焦点弦
2
2 p p
AB ? ，S ? .
?AOB
2
sin ? 2sin?
2
p
2 2
7.若 AB是抛物线 y ?2px(p?0)的焦点弦，且 A(x,y)， B(x ,y )，则 xx ? ， y y ??p .
1 1 2 2 1 2 1 2
4
2
8.抛物线方程为 y ?2px(p?0)，过 (2 p,0)的直线与之交于 A、 B两点，则 OA ? OB .反
之也成立.
2
9.抛物线 y ? 2 px上一点 (x , y )处的切线方程为 y y ? p(x ? x).
0 0 0 0
10.过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在抛物线的准线上.
11.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点.
12.切线交点与弦中点连线平行于对称轴.
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1
13.过抛物线焦点且互相垂直的直线被抛物线截得弦长倒数之和是定值 .
2 p
14.过抛物线焦点互相垂直的直线与抛物线相交构成四边形面积的取值范围是
2
[8p ,??)，
15.过抛物线焦点互相垂直的直线与抛物线截得弦长之和的取值范围是[8p,??) .
2
16.过直线 x ? m（ m ? 0）上但在抛物线 y ? 2 px（ p ? 0）外（即抛物线准线所在区
域）一点 M 向抛物线引两条切线，切点分别为 A, B，则直线 AB必过定点
p
N ?m,0 ，且有 k k ? .
? ?
AB MN
2m
2
17.过抛物线 y ? 2 px（ p ? 0）的对称轴上任意一点 M ?m,0 （ m ? 0）作抛物线的
? ?
两条切线，切点分别为 A, B，则切点弦 AB所在的直线必过点 N m,0 .
? ?
2
18.若 是垂直抛物线 y ? 2 px（ ）对称轴的动弦， P是椭圆上异于顶点的动
MN p ? 0
???? ???? ? ???? ????
点，直线 MP, NP分别交 x轴于 E, F，若 PE ? ?EM ， PF ? ? FN，则 ? ? ?为定值，且
? ? ? ? 0 .
2
19.过抛物线 y ? 2 px（ p ? 0）的焦点 F作一条直线与椭圆相交于 M , N，与相应准
???? ? ???? ???? ????
线相交于 P，若 PM ? ?MF ， PN ? ? NF，则 ? ? ?为定值，且 ? ? ? ? 0 .
2
20. MN是垂直抛物线 y ? 2 px（ p ? 0）对称轴的动弦， P是抛物线上异于顶点的动
???? ??? ? ???? ??? ?
点，直线 MP, NP分别交 x轴于 E, F， A为长轴顶点，若OE ? ?EA，OF ? ? FA，则
1 1
? ? ?为定值，且 ? ? 2 .
? ?
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2
21.若 A, B是抛物线C : y ? 2 px（ p ? 0）上关于 x轴对称的任意两个不同的点，点
P m,0 是 x轴上的定点，直线 PB交抛物线一点 E，则直线 AE恒过 x轴上的定点，
? ?
且定点为Q ?m,0 .
? ?
22.抛物线的准线上任一点 M 处的切点弦 PQ过其焦点 F，且 MF ? PQ .
23.抛物线上任一点 P处的切线交准线于 M ， P与焦点 F的连线交抛物线于Q，则
MQ必与该抛物线相切，且 MF ? PQ .
2
AB是过抛物线 y ? 2 px（ p ? 0）的焦点 F的一条弦（非通径），弦 AB的中垂
24.若
AB
线交 x轴于 M ，则 ? 2.
MF
2
N x , y
25.设 ? ?为抛物线 y ? 2 px上的一个定点， AB是动弦，则 AB为直角弦的充要
0 0
x ? 2 p,?y
条件是 AB过定点? ? .
0 0
2
26.若 A, B是抛物线 y ? 2 px（ p ? 0）上异于顶点O的两个动点，若OA ? OB，过O
2 2
作 ，则动点 M 的轨迹方程为 x ? y ? 2 px ? 0（ ）.
OM ? AB x ? 0
2
27.若 A, B是抛物线 y ? 2 px（ p ? 0）上异于顶点O的两个动点，若OA ? OB，则
2
S ? 4 p .
? ?
?AOB
min
2
28.过抛物线 y ? 2 px（ p ? 0）上任一点 作两条弦 MA, MB，则 k k ? ?
M ? x , y ?
MA MB
0 0
2 p
? ?
（ ? ? 0）的充要条件是直线 AB过定点 N x ? , ?y .
? 0 0 ?
?
? ?
2
29.在抛物线 y ? 2 px（ p ? 0）的对称轴上存在一个定点 ，使得过该点的任
M ? p,0?
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1 1 1
意弦 AB恒有 ? ? .
2 2 2
p
MA MB
2 p
2
30.抛物线 y ? 2 px（ p ? 0）上两点 A、 B连线斜率若存在即为 k ?
.
y ? y
A B
p
2
k ?
31.抛物线 y ? 2 px（ p ? 0）上一点 A处切线的斜率若存在即为
.
y
A
2
注：本文以 y ? 2 px为例，其他情况上述结论未必完全一致，请慎用.
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