圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-椭圆
一、椭圆定义
椭圆三定义，简称和比积.
1、定义 1：(和)到两定点的距离之和为定值的点的轨迹叫做椭圆.
定点为焦点，定值为长轴.（定值= 2a）
2、定义 2：(比)到定点和到定直线的距离之比为定值的点的轨迹叫做
e
椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.（定值= ）
3、定义 3：(积)到两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆.
2
定点为短轴顶点，定值为负值. （定值 k ? e ? 1）
二、椭圆的性质定理
长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理①
准线方程准焦距， a方、 b方除以 c②
通径等于 2 e p，切线方程用代替③
焦三角形计面积，半角正切连乘 b④
注解：
1、长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理
2 2 2
? 2a ? 2b ? 2c a ? b ? c
长轴 ，短轴 ，焦距 ，则：
2、准线方程准焦距， a方、 b方除以 c
2
a
x ? a c
准线方程： （ 方除以 ）
c
2
b
p
c
p ? b
准焦距 ：焦点到准线的距离： （ 方除以 ）
c
3、通径等于 2 e p，切线方程用代替d
椭圆的通径 ：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的
2 2
c b 2b
d ? 2ep ? 2 ? ? ?
距离称为椭圆的通径.（通径 ）
a c a
(x , y ) (x , y )
过椭圆上 点的切线方程，用 等效代替椭圆方程得到.
0 0 0 0
x x y y
0 0
? ? 1
等效代替后的是切线方程是：
2 2
a b
4、焦三角形计面积，半角正切连乘 b
F , F
焦三角形：以椭圆的两个焦点 为顶点，另一个顶点 P在椭圆上
1 2
? ? ?F PF
的三角形称为焦三角形.半角是指 的一半.
1 2
?
2
S ? b tan
则焦三角形的面积为：
y
2
P
PF ? n
PF ? m m ? n ? 2a
证明：设 ， ，则 .
1 2 m
n
由余弦定理：
F F
O x
1 2
2 2 2
m ? n ? 2mn ?cos? ? 4c
2 2 2 2
? 4a ? 4b ? (m ? n) ? 4b
2
2
2b ? (1 ? cos? )mn
?2mn ? cos? ? 2mn ? 4b
即： ，即： .
2
2b
mn ?| PF || PF |?
1 2
即：
1 ? cos?
2
1 2b sin?
1 2
? ? ?sin? ? b ?
S ? m ? n?sin?
故： △F PF
1 2
2 1 ? cos? 1 ? cos?
2
? ?
2 sin cos
sin? ?
2 2
? ? tan
又： ?
1 ? cos? 2
2
2 cos
2
?
2
S ? b tan
?F PF
所以：椭圆的焦点三角形的面积为 .
1 2
2三、椭圆的相关公式
切线平分焦周角，称为弦切角定理①
切点连线求方程，极线定理须牢记②
弦与中线斜率积，准线去除准焦距③
细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹④
注解：
1、切线平分焦周角，称为弦切角定理
弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角.
焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.
弦切角是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它们的夹角，当弦为
焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的角平分线.
2、切点连线求方程，极线定理须牢记
2 2
x y
若 P (x , y )在椭圆 ? ? 1外，则过 P 作椭圆的两条切线，切点为
0 0 0 0
2 2
a b
P , P P , P
，则点 P 和切点弦 分别称为椭圆的极点和极线.
1 2 0 1 2
x x y y
0 0
P P
切点弦 的直线方程即极线方程是 ? ? 1（称为极线定理）
1 2
2 2
a b
3、弦与中线斜率积，准线去除准焦距
弦指椭圆内的一弦 AB.中线指弦 AB的中点 M与原点 O的连线，即
2
a
x ? ?
?OAB
得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离 去除
c
c
2
p b
2
b
k ? k ? ? ?
准焦距 p ? ，其结果是： AB OM
2
x a
c
c
4、细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹
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AB AB
中点弦 的方程：在椭圆中，若弦 AB的中点为 M(x , y )，弦 称
0 0
2 2
x x y y x y
0 0 0 0
? ? ?
为中点弦，则中点弦的方程就是 2 2 2 2 ，是直线方程.
a b a b
AB
弦中点 M的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆内点 P (x , y )的弦 ，其
0 0 0
2 2
x x y y
x y
0 0
? ? ?
中点 M 的方程就是 ，仍为椭圆.
2 2 2 2
a b a b
这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.
圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-双曲线
一、双曲线定义
双曲线有四定义，差比交线反比例
1、定义 1：(差)平面内，到两个定点 F , F 的距离之差的绝对值为定
1 2
值 2a（小于这两个定点间的距离 F F ）的点的轨迹称为双曲线。定点
1 2
PF ? PF ? 2a
F , F 叫双曲线的焦点。即：
1 2 1 2
2、定义 2：(比)平面内，到给定一点及一直线的距离之比为定值
e ? 1的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线
的准线。
3、定义 3：(交线)一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平
行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。
k
y ?
4、定义 4：(反比例)在平面直角坐标系中，反比例函数 的图
x
象称为双曲线。
证明：反比例函数图象是双曲线轨迹经过旋转得到.
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2 2
x y
xy ? k y ? x ? ? 1
y ? ?x
证明：因为 的对称轴是 , ，而 的对称轴
2 2
a b
o
y
x
是 轴， 轴，所以应该旋转 45 . 设旋转的角度为 ? （ ? ? 0，顺时针）
（ ? 为双曲线渐进线的倾斜角）
X ? x cos? ? y sin? Y ? ?x sin? ? y cos?
则有： ，
o
? ? 45
取 ，则：
2 2
2 2 o o o o
? ? ? ?
X ?Y ? x cos 45 ? y sin 45 ? x sin 45 ? y cos 45
? ? ? ?
1 2 2
? ?
? ? x ? y? ? ? x ? y? ? 2xy
? ?
2
2 2
xy ? k
而 ，所以， X ?Y ? 2xy ? 2k
2 2 2 2
X Y Y X
即： ? ? 1 ( k ? 0)或 ? ? 1 ( k ? 0)
2k 2k (?2k) (?2k)
由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，只不过是双曲
线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.
二、双曲线的性质定理
基本同椭圆，有所区别：
长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理①
准线方程准焦距， a方、 b方除以 c②
通径等于 2 e p，切线方程用代替③
焦三角形计面积，半角余切连乘 b④
注解：
1、长轴短轴与焦距：形似勾股弦定理
2 2 2
? 2a ? 2b ? 2c a ? b ? c
长轴 ，短轴 ，焦距 ，则：
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实际上，双曲线是实轴、虚轴、与焦距，但为了方便记忆，也不至
于造成混乱，我们还是按椭圆的口诀记忆.
2、准线方程准焦距， a方、 b方除以 c
2
a
x ? ?
a c
准线方程： （ 方除以 ）
c
2
b
p p ?
b c
准焦距 ：焦点到准线的距离： （ 方除以 ）
c
3、通径等于 2 e p，切线方程用代替
d
双曲线的通径 ：过焦点垂直于长轴的直线与双曲线的两交点之
2 2
c b 2b
d ? 2ep ? 2 ? ? ?
间的距离称为双曲线的通径.（通径 ）
a c a
过双曲线上 P (x , y )点的切线方程，用 P (x , y )等效代替双曲线方程
0 0 0 0 0 0
x x y y
0 0
? ? 1
得到，等效代替后的是切线方程是：
2 2
a b
4、焦三角形计面积，半角余切连乘 b
F , F
焦三角形：以双曲线的两个焦点 为顶点，另一个顶点 P在椭圆
1 2
上的三角形称为焦三角形.半角是指 ? ? ?F PF 的一半.
1 2
2 2
x y
? ? 1
F , F
双曲线 的左右焦点分别为 ，点 P为双曲线上异于顶
2 2
1 2
a b
?F PF ? ?
点 任 意 一 点 ， 则 双 曲 线 的 焦 点 三 角 形 满 足 ：
1 2
2
2b
PF PF ?
1 2
1 ? cos?
?
2
S ? b co t
?F PF
其面积为； .
1 2
2
PF ? m, PF ? n
m ? n ? 2a
2
证明：设 ，则
1
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?F PF
在 中，由余弦定理得：
1 2
2 2 2
PF ? PF ? 2 PF PF cos? ? F F ，
1 2 1 2 1 2
2 2 2
2 2 2 2
m ? n ? 2mn? cos? ? 4c ? 4a ? 4b ? (m ? n) ? 4b
即：
2 2 2 2
m ? n ? 2mn? cos? ? (m ? n) ? 4b
即：
2 2
2mn ? 2mn? cos? ? 4b 2b ? mn(1 ? cos? )
即： ，即：
2
2
2b
2b
mn ?
PF PF ?
即： ，即：
1 2
1 ? cos?
1 ? cos?
那么，焦点三角形的面积为：
2
1 2b
1
? ? ?sin?
S ? mn? sin?
?F PF
1 2
2 1 ? cos?
2
? ?
2sin cos
2
b sin?
2 2 2 ?
2
? ? b ?
? b cot
?
1 ? cos?
2
2
2 sin
2
?
2
S ? b cot
?F PF
故：
1 2
2
2
1
b ?
S ? F F ? y ? c ? y y ? ? ?cot
同时： ?F PF 1 2 P P ，故： p
1 2
2 c 2
?
2
S ? b cot
双曲线的焦点三角形的面积为： ?F PF .
1 2
2
三、双曲线的相关公式
切线平分焦周角，称为弦切角定理①
切点连线求方程，极线定理须牢记②
弦与中线斜率积，准线去除准焦距③
细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹④
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注解：
1、切线平分焦周角，称为弦切角定理
弦切角定理：切线平分椭圆焦周角的外角，平分双曲线的焦周角.
焦周角是焦点三角形中，焦距所对应的角.
弦切角是指双曲线的弦与其切线相交于双曲线上时它们的夹角，当
y
P
弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两
个焦点弦的角平分线.
F F x
1 2
T
如图， ?F PF 是焦点三角形， ?F PF 为焦周
1 2 1 2
角， PT为双曲线的切线. 则 PT平分 ?F PF .
1 2
2、切点连线求方程，极线定理须牢记
2 2
x y
若 P (x , y )在双曲线 ? ? 1外，以包含焦点的区域为内，不包含
0 0 0
2 2
a b
焦点的区域为外，则过 P 作双曲选的两条
0
y
P
1
切线，切点为 P 、 P ，则点 P 和切点弦 P P
1 2 0 1 2
P
0
分别称为双曲线的极点和极线， 切点弦 P P
1 2
O
F
F x
1
2
x x y y
0 0 P
2
的直线方程即极线方程是 ? ? 1（称
2 2
a b
为极线定理）
3、弦与中线斜率积，准线去除准焦距
弦指双曲线内的一弦 AB.中线指弦 AB的
y
B
中点 M与原点 O的连线，即 ?OAB得中线.
M
A
这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离
O
F
x
F
2
1
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2
2
p b
2
a
b
k ? k ? ?
x ?
去除准焦距 p ? ，其结果是： AB OM
2
c
x a
c
c
c
4、细看中点弦方程，恰似弦中点轨迹
中点弦 AB的方程：在双曲线中，若弦 AB的中点为 M(x , y )，称弦 AB
0 0
2 2
x x y y x y
0 0 0 0
为中点弦，则中点弦的方程就是： ? ? ? ，它是直线方程.
2 2 2 2
a b a b
弦中点 M的轨迹方程：在双曲线中，过双曲线外一点 P (x , y )的弦
0 0 0
2 2
x x y y
x y
0 0
? ? ?
AB AB
，其 中点 M的方程就是 ，仍为双曲线.
2 2 2 2
a b a b
这两个方程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.
圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-抛物线
一、抛物线定义
抛物线，有定义，定点定线等距离
1、到一个定点和一条定直线距离相等得点的轨迹称为抛物线.
2、二次函数的图象是抛物线.
二、抛物线性质
焦点准线极点线①，两臂点乘积不变②
焦弦切线成直角，切点就是两端点③
端点投影在准线，连结焦点垂直线④
焦弦垂直极焦线⑤，切线是角平分线⑥
直角梯形对角线，交点就是本原点⑦
p
焦弦三角计面积，半个 方除正弦⑧
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注解：
1、焦点准线极点线
抛物线的焦点和准线是一对极点和极线.
p p
2
抛物线方程： y ? 2 px，焦点 F( ,0)，准线 x ? ?
p
2 2
p p
(抛物线的顶点 O(0,0)到定点 F( ,0)和定直线 x ? ? 距离相等)
p
2 2
焦弦：过焦点的直线与抛物线相交于两点 A和 B，则 AB称为焦弦.
x ? x y ? y
A B A B
弦中点 M(x , y )， x ? ， y ?
M M M M
2 2
p
焦弦方程： y ? k(x ? )， k为斜率.
2
2、两臂点乘积不变
焦点三角形两边 OA 和 OB 的点乘积为定值，且夹角是钝角.
证明：焦弦 AB满足的条件
2
?
y ? 2 px
2 2
p k p
?
2 2 2 2 2
? k (x ? ) ? 2 px ? k x ? (k ? 2) px ? ? 0
?
p
2 4
y ? k(x ? )
?
? 2
2
p
由韦达定理得： x x ?
A B
4
p
2
y y ? ? 2 px ? 2 px ? ?2 p x x ? ?2 p? ? ? p ，
A B A B A B
2
2
p
2
即： x x ? ， y y ? ? p ①
A B A B
4
???? ????
3
2
且： OA?OB ? (x , y )?(x , y ) ? x x ? y y ? ? p ? 0.
A A B B A B A B
4
故：焦点三角形两边之点乘积为定值.
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3、焦弦切线成直角，切点就是两端点
即：焦弦两端点的切线互相垂直.
2
D A
证明：如图，由抛物线方程： y ? 2 px
E
p
M
得到导数： yy'' ? p，即： y'' ?
y
F
C B
p p
故： k ? ， k ?
AE BE
y y
A B
2
p p p
于是： k ? k ? ? ?
AE BE
y y y y
A B A B
2
将①式 y y ? ? p 代入上式得： k ? k ? ?1
A B AE BE
???? ????
即： AE ? BE
4、端点投影在准线，连结焦点垂直线
即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形.
p p
证明：坐标 C(? , y ), D(? , y )
B A
2 2
???? ????
D A
则： CF ? ( p,? y )， DF ? ( p,? y )
B A
???? ????
2
E
于是： CF ? DF ? p ? y y
A B M
???? ????
F
2
将①式 y y ? ? p 代入上式得： CF ? DF ? 0
A B
C B
???? ????
故： CF ? DF
即：焦弦端点 A, B在准线的投影点 D,C，则
???? ????
CF ? DF，即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形.
5、焦弦垂直极焦线
若焦弦 AB对应的极点 E，则 EF 为极焦线，于是 EF ? AB
用向量方法可证.
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由于 M是 AB的中点， ?AEB为直角三角形，计算可得 E是 DC的中点，
故： ED ? EF ? EC
???? ????
由向量法可证 EF ? AB ? 0
即：焦弦 AB 与极焦线 EF 互相垂直.
6、切线是角平分线
即：切线平分焦弦的倾角(或倾角的外角)
D A
如图：因为 ?ADE和 ?AFE都是直角三角形，
E M
且由定义知： AF ? AD ， AE ? AE
F
C B
故 ?ADE≌ ?AFE，则对应角相等.
即： AE是 ?DAF的角平分线
同理， BE是 ?CBF的角平分线
7、直角梯形对角线，交点就是本原点
即：直角梯形 ABCD对角线相交于原点
即： A,O,C三点共线； B,O, D三点共线.
???? ???? ???? ????
用向量法证明： OA / /CO， OB / / DO
2 2
y y p p
A B
证明：坐标 A( , y )， B( , y )， C(? , y )， D(? , y )
A B B A
2 p 2 p 2 2
2
???? ????
y p
A
向量： OA ? ( , y )， CO ? ( ,? y )
A B
2 p 2
2
y
A ????
????
2 2
(OA)
(OA)
2 p y y y
y
x A A A
各分量之比： ???? ? ? ， ???? ? ?
2
p
p ? y ? y y
(CO) (CO)
B A B
x y
2
????
2 2
(OA)
y y
y
2
A A
将①式 y y ? ? p 代入上式得： ???? ? ?
A B 2
(CO) ? y y p
A B
y
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????
???? ????
???? ????
(OA)
(OA) OA
y
x
???? ???? ????
故： ? ? ，即： OA / /CO
(CO) (CO) CO
x y
???? ????
同理： OB / / DO.直角梯形 ABCD对角线相交于原点.
p
8、焦弦三角计面积，半个 方除正弦
2
p
即：焦弦三角形的面积为： S ? （ ? 为焦弦的倾角）
?AOB
2 sin?
p p p
证明： AB ? AF ? BF ? x ? ? x ? ? x ? x ? p ? 2(x ? ) ? 2 EM
A B A B M
2 2 2
如图： GF ? 2 OF ? p
E M
?
?
EF GF
1 p
则： EM ? ? ? ?
2
sin? sin? sin? sin ?
?
G
O F
2 p
于是： AB ?
2
sin ?
2
1 1 p 2 p p
故： S ? OF AB sin? ? ? ? ?sin? ?
?AOB 2
2 2 2 sin ? 2sin?
附：圆锥曲线必背----极坐标
一、极坐标通式
圆锥曲线的极坐标以准焦距 p和离心率 e来表示常量，以极径 ?和极角
? 来表示变量.
o
? ? 0， ? ?[0, 360 )
L
以焦点 F(0,? )为极点(原点
O)，以椭圆长轴、抛物线对称轴、
双曲线的实轴为极轴的建立极坐
O (F )
标系. 故准线是到极点距离为准
x
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e ? 1
e ? 1
e ? 1更多 Word版资料见：高考高中资料无水印无广告 word群 559164877
焦距 p、且垂直于极轴的直线 L.
y
2 2
极坐标系与直角坐标系的换算关系是： ? ? x ? y ， ? ? arctan
x
或者： x ? ? cos? ， y ? ? sin?
特别注意：极坐标系中，以焦点为极点(原点)，而直角坐标系中以对称
点为原点得到标准方程.
如图， O为极点， L为准线，则依据定义，到定点(极点)和到定直线(准
线)的距离之比为定值(定值 e)的点的轨迹为圆锥曲线.
所以，对极坐标系，请记住：
⑴ 极坐标系的极点 O是椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点；
⑵ 曲线上的点 P(?,? )到焦点 F的距离是 ?，到准线的距离是 p ? ? cos? ，
?
根据定义： e ?
p ? ? cos?
即： ep ? e? cos? ? ?，即： ep ? ? ? e? cos? ，
ep
即： ? ? ①
1 ? e cos?
这就是极坐标下，圆锥曲线的通式.
⑶ 对应不同的 e，呈现不同的曲线. 对双曲线，只是右边的一支；
对抛物线，开口向右.
o
二、极轴旋转 180
o L
将极轴旋转 180 ， ? 和 ? 分别对应变
o
换前后的极角，即转角为 ? ? ? ? 180 ，则
极坐标方程变换前方程为：
O (F )
x
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e ? 1
e ? 1
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ep
? ?
1 ? e cos?
ep
变换后方程为： ? ? ②
1 ? e cos?
此时的极坐标系下，此时有：
⑴ 极坐标系的极点 O是椭圆的右焦点、抛物线的焦点、双曲线的左焦点；
⑵ 对应不同的 e，呈现不同的曲线. 对双曲线，只是左边的一支；对抛
物线，开口向左.
o
三、极轴旋转 90
o
⑴将极轴顺时针旋转 90 ，即：
e ? 1
o
? ? ? ? 90 ，则情况如图.
e ? 1
圆锥曲线的方程为：
e ? 1
ep
? ? ③
1 ? e sin?
O (F ) x
此时的极坐标系下：
L
对应于直角坐标系下，焦点在 y轴
的情况，且极点 O对应于椭圆下方的
焦点，双曲线上方的焦点，抛物线的焦点.
对双曲线，只是 y轴上边的一支；对抛物线，开口向上.
o
⑵如果将极轴逆时针旋转 90 ，即：
L
o
e ? 1
? ? ? ? 90 ，则情况如图.
ep
圆锥曲线的方程为： ? ? ③
1 ? e sin?
O
x
(F )
此时的极坐标系下：
e ? 1
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对应于直角坐标系下，焦点在 y轴的情况，且对应于椭圆上方的焦点，
双曲线下方的焦点，抛物线的焦点.
对双曲线，只是 y轴下边的一支；对抛物线，开口向下.
四、坐标变换
ep
⑴在极坐标系中，圆锥曲线的通式为： ?= ①
1 ? e cos?
即： ? ? e? cos? ? ep，即： ? ? ep ? e? cos?
2 2 2 2 2 2 2
即： ? ? (ep ? e? cos? ) ? e p ? e (? cos? ) ? 2e p(? cos? ) ②
2 2 2
将 ? ? x ? y ， ? cos? ? x代入②式得：
2 2 2 2 2 2 2
x ? y ? e p ? e x ? 2e px
2 2 2 2 2 2
即： (1 ? e )x ? 2e px ? y ? e p ③
当 e ? 1时
2 2 2
e p e p e p
2 2 2 2 2 2 2 2
有： (1 ? e )[x ? 2 x ? ( ) ]? y ? e p ? (1 ? e )( )
2 2 2
1 ? e 1 ? e 1 ? e
2 2 2 2
e p e e p
2 2 2 2 2
即： (1 ? e )(x ? ) ? y ? e p (1 ? ) ?
2 2 2
1 ? e 1 ? e 1 ? e
2
e p
2
(x ? )
2
2
y
1 ? e
即： ? ? 1 ④
2 2 2 2
e p e p
2 2 2
(1 ? e ) 1 ? e
2 2 2 2 2
e p e p e p
2 2
⑴当 e ? 1时，令 a ? ， b ? ， c ?
2 2 2 2
(1 ? e ) 1 ? e 1 ? e
2 2 2 2 2 2 4 2
e p e p e p e p
2 2 2
则： a ? b ? ? ? [1 ? (1 ? e )] ?
2 2 2 2 2 2 2
(1 ? e ) 1 ? e (1 ? e ) (1 ? e )
2 4 2
e p e p
2 2 2 2
而： c ? ( ) ? ? a ? b
2 2 2
1 ? e (1 ? e )
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2 2
(x ? c) y
代入④式得： ? ? 1 ⑤
2 2
a b
这是标准的椭圆方程.
2 2 2 2 2
e p e p e p
2 2
⑵当 e ? 1时，令 a ? ， b ? ， c ?
2 2 2 2
(e ? 1) e ? 1 e ? 1
2 2 2 2 2 2 4 2
e p e p e p e p
2 2 2
则： a ? b ? ? ? [1 ? (e ? 1)] ?
2 2 2 2 2 2 2
(e ? 1) e ? 1 (e ? 1) (e ? 1)
2 4 2
e p e p
2 2 2 2
而： c ? ( ) ? ? a ? b
2 2 2
e ? 1 (e ? 1)
2 2
(x ? c) y
代入④式得： ? ? 1 ⑥
2 2
a b
这是标准的双曲线方程.
2 2 2 2 2 2 2 2
⑶当 e ? 1时，由③式 (1 ? e )x ? 2e px ? y ? e p 得： ?2 px ? y ? p
p
2 2
即： y ? 2 px ? p ? 2 p(x ? )
2
p
2
即： y ? 2 p(x ? ) ⑦
2
这是标准的抛物线方程.
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