秋季同步 ? 必修第一册
三角函数的图象与性质
精讲精练
三角函数图象性质
一 、
根据三角函数的定义我们可以得到正余弦函数的图象如下：
y
y
7π
3π
2
2
π 5π
x
4π
π 2π 3π x
2 2
由此可得正弦三角函数图象性质如下：
y = sin x y = co s x y = t a n x
y
1 y 1
y
π 3 π 3 π
3 π
图 象 -
-
π -π π π
2π 2
2 2
2
π
π π
x
-π
x x
-
2
2 2
π π
3 π
-
-1 -1
2 2 2
π
?
定义域 R R x x ≠ kπ + ,k ∈ Ζ
? ? ?
2
值 域 R
? -1 ,1 ? -1,1
π
x = 2k π + 时， y = 1 x = 2kπ时， y = 1；
m a x
m a x
2
最 值
既无最大也无最小
π
x = 2kπ - 时 ,y =-1
x = 2kπ + π时， y =-1
m in m in
2
周期性
2π 2π π
奇偶性
奇函数 偶函数 奇函数
单增区间 π π π π
2kπ - ,2kπ + ,k ∈ Ζ kπ - ,kπ +
?
?
[? π + 2kπ,2kπ] , k ∈ Ζ
2 2 2 2
π 3 π
单减区间
无
2kπ + ,2kπ + ,k ∈ Ζ
?
2 2 ? 2kπ,2kπ + π ,k ∈ Ζ
π
对称轴 无
x = kπ + k ∈ Ζ
?
x = kπ k ∈ Ζ
2 ?
kπ
π
对称中心 ( ,0)
( + kπ,0)
2
(kπ,0) 2
1
?
1 ★★设函数 f (x ) = sin x， x ∈ [ a， b ]， 值域为 ? -1， ， 则以下结论错误的是 ( D )
?
2
2π π
A. b - a的最小值为 B . a不可能等于 2k π - ， k ∈ Z
3 6
4π π
C . b - a的最大值为 D . b不可能等于 2k π - ， k ∈ Z
3 6
π π 2π 7π π 4π
解 ：若 a = 2 k π - ， b = 2 kπ + ， k ∈ Z， 则 b - a取最小值为 ， A对， 若 a = 2 k π - ， b = 2 kπ + ， k ∈ Z， 则 b - a取最大值为 ， C对， 若 a =
2 6 3 6 6 3
π 1 π
2 k π - ， k ∈ Z， 则 s in a = - ， 若存在 x ∈ [ a， b ]， 使 f ( x ) = - 1， 则存在 x ∈ [ a， b ]， 使 f ( x ) = 1， 与值域矛盾， 则 a不可能等于 2 kπ - ， k ∈ Z， B对，
6 2 6
7π π 1
?
若 a = - ， b = - ， 则值域为 ? -1， ， 则 D错， 故选： D．
?
6 6 2
内部资料， 严禁外传， 违者必究
4 0
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?R J A
知行? 必修第一册 ?
1 ★函数 y = sin x， x ∈ [ 0， 2 π ]的图象与函数 y = 1 5 ★求满足下列条件的角的范围 (x ∈ R )。
1
的图象的交点个数是 ( A )
( 1) sin x ≥
2
1
A . 1 B . 2 C . 3 D . 4
解 ： (1 ) 作出 y = s in x 与 y = 在一个周期内的图象如图：
2
解 ：根据正弦函数图象性质， 数形结合可知： 1 个交点选： A．
y
2 π
π 5π
x
6
6
2
2 ★不等式 ， ， 解集为 ( B )
sin x ≥ x ∈ ( 0 2π)
2
π π π 3 π
? ?
A . ， B . ，
? ?
? ?
6 2 4 4 1 π 5 π
∴ 由 s in x ≥ 可得 + 2kπ ≤ x ≤ + 2kπ， k ∈ Z
2 6 6
π 3 π π π
? ?
C . ? ， D . ? ，
? ?
2 4 6 4
π 5 π
不等式角的范围为： {x + 2kπ ≤ x ≤ + 2kπ， k ∈ Z ；
?
6 6
2
解 ： ∵ s in x ≥ ， x ∈ ( 0， 2 π )，
2
2
(2) co s x ≤-
又 ∵ y = s in x 函数图象如下所示：
2
2
y
解 ： (2 ) 作出 y = c o s x 与 y = - 的部分图象如图：
2
y
2 π
π
x
3π 5π
4 4
x
π 3 π 2 π 3 π
?
∴ ≤ x ≤ ， ∴ s in x ≥ 的解集为： ， 选： B．
?
?
4 4 2 4 4
2 3 π 5 π
∴ 由 c o s x ≤- 可得 + 2kπ ≤ x ≤ + 2kπ， k ∈ Z ，
2 4 4
π π
?
- ，
3 ★★若 sin x = 2 m + 3， 且 x ∈ ? ， 则 m的
? 3 π 5 π
6 6
不等式角的范围为： {x + 2kπ ≤ x ≤ + 2kπ， k ∈ Z ．
?
4 4
取值范围是 ( C )
6 ★★作出函数 ， ， 的简图，
y = 2 + sin x x ∈ [ 0 2 π ]
1 1 5 1
? ?
A . ? - ， B . ? - ， -
? ?
2 2 4 2
并回答下列问题。
7 5 7 1
? ?
C . - ， - D . - ，
? ?
? ?
4 4 4 2
(1)观察函数图象， 写出 y的取值范围。
π π 1 1
? ?
解 ： ∵ x ∈ - ， ， ∴ s in x ∈ - ， ，
? ?
? ? 1 - a
6 6 2 2
( 2 )若函数图象与 y = 在 x ∈ [ 0， π ]上有两个
2
1 1 7 5
? ?
∴ 2 m + 3 ∈ - ， ， ∴ m ∈ - ， - ．故选： C．
? ?
? ?
2 2 4 4
交点， 求 a的取值范围。
y
解 ：列表如下：
π
-
6
π
π
x
6
π 3π
x 0 π 2π
2 2
sin x 0 1 0 -1 0
4 (多选 ) ★★满足不等式 sin x ≤ co s x， x ∈ [ 0， 2 + sin x 2 3 2 1 2
2π ]的 x的值可以是 ( AD )
描点、 连线， 函数 f (x) 的图象如图所示，
π 3 π 5 π 5 π
A . B . C . D .
y
1 2 8 6 4
解 ：由三角函数的图象知，
π 5 π
? ?
当 s in x ≤ c o s x， x ∈ [ 0， 2 π ] 时， x ∈ 0， ∪ ， 2 π ，
? ?
? ?
4 4
故 A， D 都可以．故选： A D．
π 2π
x
y
(1) 由图知， y ∈ [ 1， 3]；
5π
4
1 - a 1 - a
π
( 2 ) 由图知 ， 当 2 ≤ < 3 时 ， 函数图象与 y = 在
2 π x
4 2 2
[0， π] 上有两个交点， 即 -5 < a ≤-3， 故 a ∈ (- 5， -3]．
4 1
1
选择大于努力， 知行成就未来
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
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? ?
? ?秋季同步 ? 必修第一册
函数性质的求解
二 、
正弦型三角函数性质
前面我们在第三章函数性质中已经系统介绍了函数的四类变换： 平移、 翻折、 对称、 伸缩。其中平移与伸缩类型
的变换我们将之称其为 ××型函数。
正弦型三角函数： y = A s in ? ωx + φ + B
对于正弦型三角函数的图象性质我们主要采用的方法是换元法求解函数性质 (对于后期的学习中 /选择填空 /
我们更注重图象法， 后面的专题有介绍 )。
换元法： y = A sin ωx + φ + B
?
令 α = ωx + φ
2π
① 由伸缩变换可知:正弦型三角函数最小正周期 T = 。
? ω
② 求值域： 当 x ∈ a， b 时， 由 x范围 ? ωx + φ范围 ? sin ωx + φ 范围 ? y范围。
? ?
③ 单调性： 由 s in α的单调区间 ? α范围 ? ωx + φ范围 ? ωx范围 ? x范围。
π π
④ 对称性： 由 s in α的对称轴 ? α = + kπ ? ωx + φ = + kπ ? x。
2 2
⑤ 对称中心： 由 s in α的对称中心 ? α = kπ ? ωx + φ = kπ ?x ? 对称中心 (x ,B )。
0 0
经上述推导， 可以得到各个性质的结论公式， 但不要求大家背， ∴没有写出结果， 记住方法和过程才是关键。
π
2 ★★函数 f ( x) = 2sin 2x + + 2。
?
3
( 1)求 f ( x)的最值及取得最值时的 x的集合。
( 2)求 f ( x)的单调区间。
( 3)求 f ( x)的对称轴和对称中心。
π π
?
( 4)求 f ( x)在 ? ? , 上的值域。
?
4 4
π π π
解 ：令 α = 2 x + ， ( 1) 由正弦函数 s in α图象可知： 当 α = + 2kπ时， s in α最大， 此时 s in α = 1， 当 α = ? + 2kπ时， s in α最小， 此时 s in α = ? 1。
3 2 2
π π π
∴当 2 x + = + 2 kπ， 即 x = + kπ时， f (x )取得最大值， f (x) = 4
m ax
3 2 12
π π 5π
当 2x + = ? + 2 k π， 即 x = ? + kπ时， f (x)取得最小值， f (x) = 0
m in
3 2 12
π 5π
? ?
综上， f ( x) = 4， 此时 x/ x = + kπ,k ∈ Z 、 f (x) = 0， 此时 x/ x = ? + kπ,k ∈ Z
m ax m in
? ? ? ?
12 12
π π π 5π π
(2 ) 当 f ( x)单调递增时， ? + 2kπ ≤ 2x + ≤ + 2kπ， ? + kπ ≤ x ≤ + kπ
2 3 2 12 12
不要遗忘 k ∈ Z！ ！ ！
π π 3π π 7π
当 f ( x)单调递减时， + 2kπ ≤ 2x + ≤ + 2kπ， + kπ ≤ x ≤ + kπ
2 3 2 12 12
5π π π 7π
? ?
综上， f ( x )单调递增区间： ? ? + kπ， + kπ ； f (x)单调递减区间： ? + kπ， + kπ ， k ∈ Z；
? ?
12 12 12 12
π π π π kπ π kπ
( 3 ) s in α的对称轴： α = + kπ, ∴ 2x + = + kπ， ∴ x = + ， ∴ f (x)的对称轴为： x = + ， k ∈ Z
2 3 2 12 2 12 2
π
π kπ
2x + = kπ x = ? +
3 6 2
s in α的对称中心： k π， 0 ， ∴ ? ， 解得 ∴ ?
?
? ?
? ?
2s in kπ + 2 = 2 2s in kπ + 2 = 2
π kπ
∴ f ( x)的对称中心为： ? + ， 2 k ∈ Z
?
6 2
y
π π π π π π 5π
? ? ?
( 4 ) 当 x ∈ ? , 时， 2x ∈ ? , ， 2x + ∈ ? ,
? ? ?
? ? ?
4 4 2 2 3 6 6
5 π
π
-
π 5π 6
6
?
即 α ∈ ? , ， 画出 s in α草图： 由草图， 结合三角函数的增减性可知：
?
?
π
6 6
x
2
π π π π
?
当 α = ? 时， f ( x)在 x ∈ ? , 上取得最小值 f (x) = 2s in ? + 2 = 1
?
m in
? ?
6 4 4 6
π π π π
?
当 α = 时， f ( x)在 x ∈ ? , 上取得最大值 f (x) = 2s in + 2 = 4
?
m in
? ?
2 4 4 2
π π
?
综上， 当 x ∈ ? , 时， f (x )的值域为 1， 4 。
? ?
?
4 4
内部资料， 严禁外传， 违者必究
4 2
1
?
? ?
?
? ?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
?
? ?
? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
?
?
?
?
? ?
?
?
?R J A
知行? 必修第一册 ?
π
ωx -
7 ★★函数 f ( x ) = 3 s in ( ω > 0 )最小正周
? 8 ★★已知函数 f ( x ) = 2 sin ( ωx + φ ) ( ω > 0， 0 < φ
6
期为 。 π
π
， 2
< π)最小正周期为 π， 图象过点 。
?
4
( 1)求 ω的值；
(1)求函数 f (x)图象的对称中心；
π π
?
( 2)当 x ∈ ? - ， 时， 求函数 f ( x)的单调区间；
?
4 4
(2 )求函数 f (x)的单调递增区间。
π
?
( 3)求函数 f ( x)在区间 0， 上的值域。
?
?
2 π
2
解 ： (1) 由已知得 π = ， 解得 ω = 2．
ω
2 π
解 ： (1 ) 由题意可得 = π， 解得 ω = 2；
ω
π π
将点 ， 2 代入解析式， 得 2 = 2 s in + φ ，
? ?
π
4 2
( 2) 由 (1 ) 知 f (x ) = 3 s in 2x - ，
?
6
2 π
∴ c o s φ = ， 由 0 < φ < π 可知 φ = ，
π π π π
2 4
由 2 kπ - ≤ 2 x - ≤ 2 kπ + 可得 kπ - ≤ x ≤ kπ +
2 6 2 6
π
π π π 于是 f (x) = 2 s in 2x + ．
?
?
， k ∈ Z．又 x ∈ ? - ， ， 4
?
3 4 4
π kπ π
π π
? 令 2x + = kπ(k ∈ Z )， ∴ x = - (k ∈ Z )，
∴ k = 0 时， 单调增区间为： - ， ，
?
4 2 8
?
6 4
π π 3 π π kπ π
2 k π + ≤ 2 x - ≤ 2 kπ + ， 解得 kπ + ≤ x ≤ kπ +
于是函数 f ( x) 图象的对称中心为 - ， 0 (k ∈ Z )．
?
2 6 2 3 2 8
5 π
， k ∈ Z．
6
π π π π
? ?
k = - 1 时， 又 x ∈ - ， ， 单调减区间为： - ， - ， π π π
? ?
? ?
4 4 4 6 (2) 令 - + 2kπ ≤ 2x + ≤ + 2kπ(k ∈ Z )
2 4 2
π π π 5 π
? ?
(3) ∵ x ∈ 0， ， ∴ 2x - ∈ - ， ，
? ?
3 π π
? ?
2 6 6 6
∴- + kπ ≤ x ≤ + kπ(k ∈ Z )，
8 8
π 1
?
∴ s in 2 x - ∈ ? - ， 1 ，
? ?
3 π π
6 2
?
函数 f (x) 的单调递增区间为 - + kπ， + kπ (k ∈ Z )．
?
?
8 8
π 3
?
∴ 3 s in 2 x - ∈ - ， 3 ，
?
?
?
6 2
π 3
? ?
∴ 函数 f (x ) 在区间 0， 上的值域为 - ， 3
? ?
? ?
2 2
余弦型与正切型三角函数
正弦型三角函数的性质研究， 主要采用了换元法求解， 这样的分析方法我们可将其推广至余弦型和正切型三角
函数。
2π π
其中不一样的是： 正 (余)弦型三角函数周期 T = ， 正切型三角函数周期 T =
? ω ? ω
π π
3 ★★ f ( x) = t a n ωx + (ω > 0)图象相邻两支截直线 y = 1所得线段长为 ， 则下列结论错误的是 ( C )
?
6 2
π π π
A. 函数 f ( x )在区间 - ， 上单调递增 B . 函数 f (x)的最小正周期为
?
6 6 2
π π
C . 函数 f ( x)的图象关于点 ， 0 对称 D . 函数 f (x)的图象与直线 x = 不相交
?
4 6
π π π π
解 ： ∵函数 f ( x ) = tan ωx + (ω > 0)的图象相邻两支截直线 y = 1所得线段长为 = ， ∴ ω = 2， f (x) = tan 2x + ．
? ?
6 ω 2 6
π π π π π π
当 x ∈ - ， ， 2 x + ∈ - ， ， 故 f (x)单调递增， 故 A正确； 函数 f (x)的最小正周期为 ， 故 B正确；
? ?
6 6 6 6 2 2
π π π
当 x = 时， f ( x ) = - 3， 故 C错误； 令 x = ， 可得 f (x)的值不存在， 故函数 f (x)的图象与直线 x = 不相交， 故 D正确， 故选： C．
4 6 6
1 π π π 5π
9 ★函数 f ( x ) = 2 co s x - 图象的一条对称 1 0 ★ y = t a n x - ， x ∈ - ， 值域 ( A )
? ? ?
2 6 6 6 1 2
轴的方程为 ( A ) 3
A . (- 3， 1) B . -1，
?
3
5 π 2 π
A . x =- B . x =-
3 3 3
C . (-∞， - 3 ) D . ， 1
?
3
5 π 7 π
C . x = D . x =
6 6
π 5 π π π π
解 ：当 x ∈ - ， 时， x - ∈ - ， ，
? ?
1 π π 6 12 6 3 4
解 ：令 x - = k π ( k ∈ Z )， ∴ x = 2kπ + ， k ∈ Z．
2 6 3
π
∴ y = t a n x - ∈ (- 3 ， 1)， 故选： A．
?
经验证， 只有 A 符合条件．故选： A．
6
4 3
1
选择大于努力， 知行成就未来
?
? ?
?
?
? ? ?
? ?
? ?
?
?
?
? ?
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?秋季同步 ? 必修第一册
π
1 1 ★★如果函数 y = co s ( 2 x + φ ) ( 0 ≤ φ ≤ π )是 R
1 5 ★★函数 f ( x ) = co s ( ωx + φ ) ω > 0， |φ| <
?
2
上的奇函数， 则 φ的值是 ( C )
π π
的相邻两条对称轴之间的距离为 ， 且 f = 1。
?
2 6
π π
A . 0 B . C . D . π
4 2
(1)求 f (x)的单调递减区间。
解 ：函数 y = c o s (2 x + φ) 是 R 上的奇函数，
π π
?
( 2 )当 x ∈ - ， 时， 方程 f ( x ) - a = 0有解， 求
?
?
π 6 3
∴ φ = kπ + ， k ∈ Z ，
2
实数 a的取值范围。
π
又 ∵ 0 ≤ φ ≤ π， ∴ φ = ．
2
解 ： (1) 由题意可知，
故选： C．
2 π π
函数的周期 T = = 2 × ， 得 ω = 2，
ω 2
π
1 2 ★★已知函数 f ( x ) = co s 2x + ， 则下列结论
?
f (x ) = c o s (2x + φ)．
3
π π π π
错误的是 ( D )
∴ f = c o s 2 × + φ = 1， |φ| < ， 可得 φ = - ，
? ?
6 6 2 3
A . f ( x)的最小正周期为 π
π
∴ f (x) = c o s 2x - ．
?
3
π
B . f ( x)的图象关于直线 x = 对称
π
3
令 2kπ ≤ 2x - ≤ 2kπ + π，
3
π
C . f ( x)的一个零点为 x =
π 2 π
1 2 得： kπ + ≤ x ≤ kπ + ， k ∈ Z ，
6 3
π
π 2 π
D . f ( x)在区间 0， 上单调递减
?
? ∴ 函数的单调递减区间是 kπ + ， kπ + ， k ∈ Z．
?
2
?
6 3
2 π
解 ： T = = π， A 正确．
2
π π
π π π
?
(2) 方程 f (x) - a = 0 有解， 即 a = f (x)， x ∈ - ， ，
x = ? α = 2 × + = π 是 y = c o s α 的对称轴， B 正确． ?
?
6 3
3 3 3
π 2 π π 1
π π π π
? ?
2x - ∈ ? - ， ， ∴ f (x) ∈ ? - ， 1 ，
x = ? α = 2 × + = 是 y = c o s α 的零点， C 正确．
? ?
3 3 3 2
12 12 3 2
1
π π π 4 π
?
∴ 实数 a 的取值范围是 - ， 1 ．
x ∈ 0， ? 2 x + ∈ ， ， y = c o s α 在 ( 0， π ) 上递减， ?
?
? ?
2
2 3 3 3
在 (π， 2 π ) 上递增 ∴ D 错误．故选： D．
π π
1 3 ★★函数 f ( x ) = t a n x + ， 则下列对该函
?
2 3
π
1 6 ★★★已知 ω > 1， 函数 f ( x) = co s ωx - 。
?
数性质的描述中不正确的是 ( C )
3
(1)当 ω = 2时， 求 f ( x)的单调递增区间。
2
A . f ( x)的图象关于点 - ， 0 成中心对称
?
3
π π
?
(2)若 f (x)在 ? ， 上单调， 求 ω的取值范围。
?
B . f ( x )的最小正周期为 2 6 3
π
5 1 解 ： (1) 当 ω = 2 时， f (x) = c o s 2x - ，
?
C . f ( x)的单调增区间为 - + k， + k (k ∈ Z )
3
?
3 3
π
令 2kπ - π ≤ 2x - ≤ 2kπ， k ∈ Z ，
D . f ( x )没有对称轴
3
π π
2 2 π π 求得 kπ - ≤ x ≤ kπ + ， k ∈ Z ，
解 ： A : x = - ? α = - × + = 0 是 y = t a n α 对称中心 3 6
3 3 2 3
π π
?
π 可得函数的增区间为 kπ - ， kπ + ， k ∈ Z．
?
?
B : T = = 2 3 6
? ω
π π π
?
(2) 若 f (x) = c o s ω x - 在区间 ? ， 上单调递增，
? ?
D : 正切型三角函数不具备对称轴， D 正确， 排除法选 C
3 6 3
π ωπ π ωπ π
?
ω x - ∈ - ， - ，
?
1 π
?
3 6 3 3 3
1 4 ★★已知函数 f (x) = co s x + ， 则 ( B )
?
2 4
ωπ π ωπ π
则 - ≥ 2kπ - π， - ≤ 2kπ， k ∈ Z ，
6 3 3 3
A . f ( x)在 (- π， π)上单调递减
求得 12k - 4 ≤ ω ≤ 6 k + 1，
5 π
B . f ( x)的图象关于直线 x =- 对称
2
再结合 ω > 1， 可得 ω 无解．
5 π
π π π
C . f ( x )的图象关于点 - ， 0 对称 ?
? 若 f (x) = c o s ω x - 在区间 ， 上单调递增减
?
2 ? ?
3 6 3
2 π ωπ π ωπ π
?
， ω x - ∈ - ， - ，
D . f ( x )在 ( 0， 2 π )上的最大值为 ， 最小值为 -1 ?
?
3 6 3 3 3
2
ωπ π ωπ π
x π π 3 π
则 - ≥ 2kπ， - ≤ 2kπ + π， k ∈ Z ，
解 ： x ∈ (- π， π)? + ∈ - ， ， f (x) 没有单调性
? 6 3 3 3
2 4 4 4
5 π
求得 12k + 2 ≤ ω ≤ 6 k + 4， k ∈ Z．
令 x = - ， 求得 f ( x ) = - 1， 为最小值， 故 ( x ) 的图象关于直
2
令 k = 0， 可得 2 ≤ ω ≤ 4．
5 π x π
线 x = - 对称 ， B 正确而 C 错误 ； 在 ( 0 ， 2 π ) 上 ， + ∈
2 2 4
综上可得， ω 的范围为 [2， 4]．
π 5 π
， ， f (x ) 没有最大值， 最小值为 -1， 故 D 错误， 选： B．
?
4 4
内部资料， 严禁外传， 违者必究
4 4
1
?
?
?
?
?
? ?
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?
?
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?
?R J A
知行? 必修第一册 ?
三角函数图象的变换
三 、
三角函数图象的翻折
( 1) f ( x) = ? sin x 的图象由 f (x) = sin x图象作 x轴的对称翻折得到。
( 2 ) f ( x) = sin ? x 的图象由 f (x) = sin x图象作 y轴的对称翻折得到。
y y
f (x) = ? s in x
f (x) = s in ? x
对
称
翻
-π π -π π
-2π 2π -2π 2π
x x
对称翻折
折
π
4 ★★★已知函数 f (x ) = sin x + ， 则 ( D )
? ? ?
3
1
A. f ( x )的最小正周期为 2π B . 0 < f (l o g 4) <
5
2
π 1
C . f ( x)的图象关于点 - ， 0 对称 D . f l o g < f (l o g 2)
4 5
? ?
3 3
π 1 2π
解 ： A :函数 f ( x) = s in x + ， 它的最小正周期为 × = π， 故 A错误；
? ? ?
3 2 1
π π π π 2π π 1 1
B： x = l og 4， ∵ 0 < l og 4 < 1 < ， x ∈ 0, ? α = x + ∈ ， ， ∴ s in x + ∈ ， 1 ， ∴ < f (l og 4) < 1， 故 B错误；
5 5 5
? ? ? ?
3 3 3 3 3 3 2 2
C： 整体翻折， 函数不会再具备中心对称的特点， 故 C错误；
π 1 1 π π π π π
D： ∵- < - 1 < - l og 3 = l og < 0 < l og 2 < < ， x ∈ - , ? α = x + ∈ 0，
4 4 5
? ?
3 3 2 6 3 6 3 2
π π π 1
根据所讲知识可知： 由于函数 y = | s in α|在 α ∈ 0， 上单调递增 ? f (x)在 - ， 上单调递增 ? f l og < f (l og 2)， 故 D正确．
4 5
? ? ?
2 3 6 3
π π π
1 9 ★★函数 f ( x ) = 2 sin |x|， 下列正确的是 ( D )
1 7 ★下列函数中， 以 为周期且在区间 ，
?
2 4 2
A . 最小值为 0
单调递增的是 ( D )
B . 函数 f (x)为奇函数
A . f ( x ) = s in |x| B . f (x) = co s |x|
C . 函数 f (x)是周期为 π周期函数
C . f ( x) = | s in 2 x| D . f (x) = | co s 2 x|
1 7 π 3 π
D . 函数 f (x)在区间 - ， - 上单调递减
解 ：根据函数的翻折变换知识可知：
?
7 2
f ( x ) = s in | x | 没有周期性， 故排除 A；
解 ：根据函数的翻折变换知识可知：
f (x ) = c o s | x | = c o s x， 它的周期为 2 π， 故排除 B；
f (x) = - 1， f (x) 为偶函数， 故排除 A、 B；
1 2 π π π π
m in
f (x ) = | s in2 x | 的周期为 × = ， 在区间 ， 上，
?
2 2 2 4 2
函数没有周期性， 故 C 错误； 排除法可知： D 错， 故选： D．
π
2x ∈ ， π ， f (x ) = | s in2 x| 单调递减， 故排除 C．
?
2
2 0 (多选 )★★关于函数 f ( x ) = | t a n x |， 下列选项正
1 2 π π π π
f ( x ) = | c o s 2 x | 的周期为 × = ， 在区间 ， 上，
?
2 2 2 4 2
确的是 ( AC )
π
2x ∈ ， π ， f (x ) 单调递增， 故 D 正确， 故选： D．
?
2 π
?
A . f (x)的定义域为 x x ≠ + kπ， k ∈ Z
? ? ?
2
B . f (x )是奇函数
π
1 8 ★函数 f ( x ) = t a n 2x - 最小正周期 ( D )
? ? ?
3
C . f (x)的最小正周期是 π
π π
A . 2 π B . π C . D . 3 π 6 π
4 2 D . f - < f
? ?
5 5
π π
解 ： ∵ 函数 y = t a n 2 x - 的最小正周期是 ， π
?
3 2 解 ： f (x ) 的定义域为 {x x ≠ + kπ， k ∈ Z ， 故 A 正确；
?
2
π π
故函数 f (x ) = t a n 2x - 的最小正周期是 ，
根据函数的翻折变换知识可知： 由 f ( - x ) = | t a n x | = f ( x ) 及
? ? ?
3 2
f ( x ) 的定义域知 f ( x ) 是偶函数， 故 B 错误； 函数的最小正周期为
故选： D．
3 π 2 π 6 π π
π， 故 C 正确； 由于 f - = f ， f = f ， 且根据图
? ? ? ?
5 5 5 5
π 2 π π 3 π
象知 f ( x ) 在 0， 上单调递增， ∴ f > f ， 即 f -
? ? ? ?
2 5 5 5
6 π
> f ， 故 D 错误．故选： A C．
?
5
4 5
1
选择大于努力， 知行成就未来
?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ?
?
?
? ?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
? ?
?
? ? ?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?秋季同步 ? 必修第一册
三角函数平移与伸缩
三角函数平移变换问题在具体解题的环节中， 注意：
1
先确定谁变换得到谁 ! ! !
π
2
涉及变名变换的 ,先考虑将名称变为一致： c o s ωx = s in ωx +
?
2
变换主要有两个类型：
( 1) 知解析式求过程
φ
起始函数加 (减)φ可得目标函数的,平移单位为： ， 平移方向看加减 φ(左加右减)
?
ω
( 2) 知过程求解析式： 设 a > 0
先伸缩后平移：
1
横坐标变为原来 倍
纵坐标变为原来 A倍 向左 /右平移 a单位
ω
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
y = s in x y = A s in x y = A s in ωx y = A s in ω x ± a + φ
? ?
先平移后伸缩：
1
横坐标变为原来 倍
向左 右 平移 a单位
?
ω
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
y = A sin x y = A sin ? x ± a y = A sin ? ωx ± a
π π
5 ★★为得到函数 y = co s 2x + 的图象， 可将函数 y = sin 2x + 的图象 ( C )
? ?
3 6
π 2π π 2π
A. 向右平移 个单位 B . 向左平移 个单位 C . 向左平移 个单位 D . 向右平移 个单位
3 3 3 3
解 ：
π π π π
方法二： 单独求平移单位还可用以下思路解决： (起始点法 )
法一 y = s in 2 x + = s in 2x + - = c o s (2x - )
? ?
6 2 3 3
π π π
令 c o s 2x + 中： 2x + = 0 ? x = -
?
3 3 6
π
π π
y = co s 2x +
y = sin 2 x + = c o s (2x - )
?
? 3
π π π π
6 3
令 s in 2x + 中： 2x + = ? x =
2 π ?
6 6 2 6
+
3
π
向左平移
3
2π 1 π
向左平移 × = 个单位
3 2 3
π π
-
6 6
π π
2 1 ★要得到函数 y = 3 sin 2x + 的图象，只需 2 3 ★★为得函数 f ( x ) = sin 2x - 的图象， 只需
? ?
6 4
将函数 y = 3sin 2 x的图象向 ( A ) 个单位长度 将函数 g(x) = co s2 x的图象向 ( B ) 个单位长度
π π 3 π 3 π
A . 左平移 B . 左平移 A . 左平移 B . 右平移
1 2 6 8 8
π π π π
C . 右平移 D . 右平移 C . 左平移 D . 右平移
1 2 6 8 8
解 ： π 解 ： π
π
y = 3 s in 2x + y = s in 2x -
y = 3 s in 2 x ? y = c os 2x = s in 2x + ?
6 ? 4
π 2 3 π
+ -
6 4
π 1 π 3π 1 3π
向左平移 × = 个单位 向右平移 × = 个单位
6 2 12 4 2 8
π π
2 2 ★为得到函数 y = sin 2x + 的图象只要把 2 4 ★★要得到函数 y = sin 2x + 图象， 可将函
? ?
6 6
π π
函数 y = sin 2x - 图象向 ( B ) 个单位长度 数 y = co s 2x - 的图象向 ( A ) 个单位长度
? ?
6 6
π π π π
A . 右平移 B . 左平移 A . 右平移 B . 左平移
6 6 1 2 1 2
π π π π
C . 右平移 D . 左平移 C . 右平移 D . 左平移
3 3 6 6
解 ： π 解 ： π
π π π π
y = 3 s in 2x + y = s in 2x +
y = s in 2 x - ? y = c os 2x - = s in 2x - + ?
? 6 ? ? 6
6 2π 6 6 2
π
+
-
6 6
2π 1 π π 1 π
向左平移 × = 个单位 向右平移 × = 个单位
6 2 6 6 2 12
内部资料， 严禁外传， 违者必究
4 6
1
? ? ?
? ?
? ?
? ?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
? ?
? ?
? ?
?
? ?
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?R J A
知行? 必修第一册 ?
2 5 ★★由函数 y = sin 2 x的图象经过图象变换得 2 8 (多选 )★★把函数 f ( x ) = sin x的图象向左平移
π π 1
到 y = sin x + 的图象， 这个变换过程为 ( A ) 个单位长度， 再把横坐标变为原来的 倍 (纵坐
?
4 3 2
π
标不变 )得到函数 g ( x )的图象， 下列关于函数 g ( x )
A. 向左平移 个单位长度， 把所有点的横坐标扩
8
的说法正确的是 ( AD )
大为原来的 2倍 (纵坐标不变)
π
A . 最小正周期为 π
B . 向左平移 个单位长度， 把所有点的横坐标扩
4
π π 3
?
B . 在区间 ? - ， 上的最大值为
大为原来的 2倍 (纵坐标不变)
?
3 6 2
1 π
C . 图象的一个对称中心为 - ， 0
C . 把所有点的横坐标缩小为原来的 (纵坐标不
?
3
2
π
π
D . 图象的一条对称轴为直线 x =
变 )， 向左平移 个单位长度
1 2
4
π
1
解 ： f ( x ) = s in x 的图象向左平移 个单位长度， 再把横坐标变
D . 把所有点的横坐标缩小为原来的 (纵坐标不
3
2
1 π
π 为原来的 倍 (纵坐标不变 ) 得到函数 g ( x ) = s in 2x + 的图
?
2 3
变 )， 向左平移 个单位长度
8
象； ∴ 函数的最小正周期为 π，
解 ：由函数 y = sin 2 x 的图象经过图象变换得到函数 y
π
当 x = 时， 函数取得最大值 1 故选： A D．
12
π π
= sin x + 的图象， 这个变换过程为： 向左平移 个
?
4 8
2 9 ★★★函数 f ( x ) = 2 sin ( ωx + φ ) ( ω > 0， | φ | <
单位长度， 再把所有点的横坐标扩大为原来的 2 倍 (纵
π π
坐标不变)， 故选： A．
)的最小正周期为 π， 将 f ( x )图象向左平移 个
2 6
π
单位长度后， 得一个偶函数图象， 则 ( B )
2 6 ★将函数 f ( x ) = sin 2x - 的图象向左平移
?
6
π π
π
A. φ = B . φ =
个单位长度后得到函数 g ( x )的图象， 则 g ( x )的
3 6
6
π π
C . φ =- D . φ =-
解析式为 ( C )
3 6
π
2 π
解 ：由最小正周期 T = = π ， 可得 ω = 2 ， f ( x ) = 2 s in ( 2 x +
A . g ( x) = s in 2 x B . g(x) = s in 2x -
?
3 ω
π
π
φ )． f ( x ) 的图象向左平移 个单位长度后为偶函数 y =
C . g ( x) = s in 2x + D . g( x) =- co s 2 x
6
?
6
π π π
π π 2 s in 2x + + φ 的图象， 故 + φ = kπ + ， k ∈ Z ， ∴ φ = kπ
?
解 ： f ( x ) = s in 2 x - 的图象向左平移 个单位长度后， 3 3 2
?
6 6
π π π
π π π + ， k ∈ Z ， ∵ | φ| < ， ∴ φ = ．故选： B．
?
得函数 g(x ) = s in 2 x + - = s in 2x + ． 6 2 6
?
? ?
?
6 6 6
π
选： C．
30 ★★把函数 f ( x ) = co s x的图象向左平移 个
6
π
单位后， 再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来
2 7 ★★将函数 y = sin x的图象向右平移 个长度
3
的 2倍， 纵坐标不变， 得到函数 y = g(x)的图象。
单位， 再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的
(1)求函数 g(x)单调递减区间；
3
2倍 (纵坐标不变 )， 得到函数 y = f ( x )的图象， 则
(2)若 x ∈ [ 0， 4π)， 且 g(x ) =- ， 求 x 的值。
0 0
2
f ( x)的解析式为 ( D )
1 π
解 ： ( 1) 由题意， g(x) = c o s x + ，
?
2 6
π π
1 π
A. sin 2x - B . sin 2x -
令 2kπ ≤ x + ≤ π + 2kπ(k ∈ Z )，
? ?
3 6
2 6
1 π 1 5π π 5 π
?
解得 x ∈ 4k π - ， 4kπ + (k ∈ Z )，
C . co s x + D . co s x - ?
? ? ?
3 3
2 6 2 6
π 5 π
?
π
故函数 g(x) 单调递减区间是 ? 4kπ - ， 4kπ + (k ∈ Z )；
解 ：将函数 y = s in x 的图象向右平移 个长度单位， 可得函数 ?
3 3
3
1 π π 13 π
?
π
(2) 若 x ∈ [ 0， 4 π )， 则 x + ∈ ? ， ，
y = s in x - 的图象； ?
2 6 6 6
?
3
1 π 3 1 π 5 π 7 π
g(x ) = c o s x + = - ， 得 x + = 或 ，
再将所得图象上所有点横坐标变为原来 2 倍 (纵坐标不变 )，
0 0 0
?
2 6 2 2 6 6 6
1 π π x π π
?
得到函数 y = f ( x ) = s in x - = c o s ? - - 解得 x = 或 2 π，
0
? ? ?
2 3 2 2 3 3
5 π x x 5 π π
= c o s - = c o s - 的图象， 故 x 的值为 或 2 π．
0
? ?
6 2 2 6 3
故选： D．
4 7
1
选择大于努力， 知行成就未来
? ?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
?
? ?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?秋季同步 ? 必修第一册
熔炼新知
π
1 ★下列四个函数中， 以 π为最小正周期， 且在区间
5 ★★已知函数 f (x) = sin 2x - 。
?
6
π
， π 上为减函数的是 ( A )
?
2
(1)求函数 f (x)的单调递增区间及最小正周期。
A . y = 2|s in x| B . y = co s x
1
?
(2)x ∈ [ 0， m ]时， f ( x) ∈ - ， 1 ， 求 m最大值。
?
?
C . y = s in 2 x D . y = |co s x| 2
π π π
解 ： ( 1) 令 - + 2kπ ≤ 2x - ≤ + 2kπ， k ∈ Z ，
解 ：由函数的翻折变换知识作简图可得： A 正确；
2 6 2
π π
解得 - + kπ ≤ x ≤ + kπ， k ∈ Z ，
π
6 3
2 ★先将函数 f ( x ) = sin 4 x的图象向右平移 个
1 2
π π
?
∴ 函数 f (x) 的单调递增区间为 - + kπ， + kπ ， k ∈ Z．
?
?
6 3
单位长度， 再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为
2π
它的最小正周期为 T = = π．
原来的 2倍， 纵坐标变为原来的 2倍， 得到函数 g ( x )的
2
π π π
?
(2) 当 x ∈ [ 0， m ] 时， 2 x - ∈ - ， 2m - ，
图象， 则 g ( x) = ( C ) ?
?
6 6 6
π 1 1 π π 1
?
令 t = 2x - ， ∴ s in t 的取值范围为 - ， 1 ．
A . 2 s in 2x + B . s in x - ?
?
? ?
6 2
3 2 2 6
π 1 π
由 y = s in t 的性质可知：
C . 2 s in 2x - D . 2 s in x -
? ?
3 2 3
π 7π 2π
2m - ≤ ， 解得 m ≤ ，
π π
? 6 6 3
解 ： f ( x ) = s in 4 x 向右平移 个单位长度得 ： y = s in 4 x - =
?
?
?
12 12
2π
可得 m 的最大值为 。
π π
3
s in 4 x - ， 再将 y = s in 4x - 横坐标变为原来的 2 倍得 ： y =
? ?
3 3
π π
s in 2x - 再把纵坐标变为原来的 2 倍得： y = 2s in 2x -
? ?
3 3
π
3 (多选 )★★已知函数 f ( x ) = sin 2x + 。给出
?
3
π π
6 ★★函数 f ( x ) =- 2 co s 2x + θ + 0 < θ <
? ?
下列结论， 其中正确结论有 ( AD )
6 2
A . f ( x)的最小正周期为 π 是奇函数。
π
B . f 是 f ( x)的最大值
?
(1)求 θ的值。
2
π
C . 把函数 y = s in 2 x的图象所有点向左平移 个单
( 2 )将 y = f ( x )图象上所有点的横坐标缩短为原来
3
2 π
位长度， 可得到函数 y = f (x)的图象
的 倍， 纵坐标不变， 然后再向左平移 个单位
3 6
5 π π
?
D . f ( x)在 - ， 上是增函数
?
?
1 2 1 2
长度， 最后向上平移 1个单位长度后， 得到 y = g ( x )
2π π 3
2 π π
解 ：最小正周期 = π， A 正确； 令 x = ， 得 f ( x ) = - ， 不是最值， B
的图象， 若 g ( x ) - - 1 = 0 - ≤ x ≤ 有两
2 2 2
?
m 6 3
π 2π
错误； 把 y = s in 2 x 向左平移 个单位长度得 y = s in 2x + ， 故 C 错
?
3 3
个不同的实根 α， β， 求实数 m的取值范围。
5π π π π π
? ?
误； 当 x ∈ - ， ， 2 x + ∈ - ， ， f (x) 单调递增， D 正确．
? ?
? ?
π
12 12 3 2 2
解 ： (1) ∵ 函数 f (x) = - 2c os 2x + θ + 是奇函数
?
6
多 选 ★★ 函 数 π π π
4 ( ) f ( x ) = 2 sin ( ωx + φ )
∴ θ + = ， ∴ θ =
6 2 3
π π
ω > 0， | φ| < π
最小正周期为 π， 向右平移 个单位
?
f (x) = - 2c os 2x + = 2s in2 x．
2 6
?
2
2
后得到函数为奇函数， 下列说法正确的是 ( ACD )
( 2 ) 将 f ( x ) = 2 s in 2 x 横坐标缩短为原来的 倍， 纵坐标不变得： y =
3
π
π
A . f ( x) = 2 s in 2 x +
? 2 s in 3 x ， 再向左平移 个单位长度， 最后向上平移 1 个单位长度后， 得：
3
6
π π
π
B . f ( x)在 - ， 上单调递增 g(x) = 2s in 3x + 3 × + 1 = 2c os 3 x + 1
? ?
6
2 2
2 π π
π
若 g (x) - - 1 = 0 - ≤ x ≤ 有两个不同实根 α， β
C . f ( x )关于点 ， 0 对称 ?
m 6 3
?
3
1 π π
?
即 c os 3 x = 在区间 - ， 上有两个不同的实根 α， β
π ?
?
m 6 3
D . f ( x )在 x = 处取得最大值
1 2
1 π π
?
即 y = c os3 x 的图象和直线 y = 在区间 ? - ， 上有两个不同的
?
2π π π m 6 3
?
解 ： = π ? ω = 2。 f ( x ) 向右平移 得 y = 2 s in ? 2 x - + φ =
?
?
6 6
|ω |
π
?
交点． ∵ 3x ∈ - ， π ， ∴ c os 3 x ∈ [- 1， 1]，
?
?
π π π π 2
2 s in 2 x + φ - 为奇函数， ∴ φ - = kπ， ∵ | φ | < ， ∴ φ = ．故
?
3 3 2 3
1
结合余弦函数的图象， 可得 ∈ [ 0， 1)， ∴ m > 1，
π
m
f (x ) = 2s in 2 x + ．由此可知： A、 C 、 D 正确
?
3
故实数 m 的取值范围为 ( 1， + ∞)．
内部资料， 严禁外传， 违者必究
4 8
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? |
|
