放 缩 技 巧
（ 高 考 数 学 备 考 资 料 ）
证 明 数 列 型 不 等 式 ， 因 其 思 维 跨 度 大 、 构 造 性 强 ， 需 要 有 较 高 的 放 缩 技 巧 而 充 满 思 考 性 和 挑 战 性 ， 能
全 面 而 综 合 地 考 查 学 生 的 潜 能 与 后 继 学 习 能 力 ， 因 而 成 为 高 考 压 轴 题 及 各 级 各 类 竞 赛 试 题 命 题 的 极 好 素
材 。 这 类 问 题 的 求 解 策 略 往 往 是 ： 通 过 多 角 度 观 察 所 给 数 列 通 项 的 结 构 ， 深 入 剖 析 其 特 征 ， 抓 住 其 规 律 进
行 恰 当 地 放 缩 ； 其 放 缩 技 巧 主 要 有 以 下 几 种 ：
一 、 裂 项 放 缩
n
n
2
1 5
例 1.(1)求 的 值; (2)求 证: .
?
?
2 ?
2
4 k ?1 k 3
k ?1 k ?1
2 2 1 1 n
2 1 2 n
解 析:(1)因 为 , 所 以
? ? ?
? 1 ? ?
2 ?
2
(2 n ?1)(2 n ?1) 2 n ?1 2 n ?1
4 n ?1 4 k ?1 2 n ?1 2 n ?1
k ?1
n
(2)因 为 , 所 以 1 ? 1 1 1 1 ? 2 5
1 1 4 1 1
? ?
? 1 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ?
?
? ? ? 2 ? 2
? ?
2 2 k 3 5 2 n ?1 2 n ?1 3 3
k ?1 ? ?
1
n 2 4 n ?1 2 n ?1 2 n ?1
? ?
n ?
4
技 巧 积 累
1 4 4 1 1 1 2 1 1
: (1) ? ? (2)
? ? ? 2 ? ? ? ?
? ?
2 2 2 1 2
n 4 n 4 n ?1 2 n ?1 2 n ?1 C C ( n ?1) n( n ?1) n( n ?1) n( n ?1)
? ?
n ?1 n
1 n! 1 1 1 1 1
(3) r
T ? C ? ? ? ? ? ? ? ( r ? 2)
r ?1 n
r r
n r!( n ? r)! n r! r( r ?1) r ?1 r
1 1 1 1 5
n
(4)
(1 ? ) ? 1 ?1 ? ? ? ? ? ?
n 2 ?1 3 ? 2 n( n ?1) 2
1
1 1 1
(5) (6)
? n ? 2 ? n
? ?
n n n n
2 (2 ?1) 2 ?1 2 n ? 2
1
? 2 1 ? 1 1 1
(7) (8)
2( n ?1 ? n) ? ? 2( n ? n ?1)
? ? ? ?
? ?
n n ?1 n
n 2 n ?1 2 n ? 3 2 (2 n ?1) ? 2 (2 n ? 3) ? 2
? ?
1 1 1 1 1 1 1 1
? ? ? ?
(9)
? ? , ? ?
? ? ? ?
k( n ?1 ? k) n ?1 ? k k n ?1 n( n ?1 ? k) k ?1 n n ?1 ? k
? ? ? ?
n 1 1
(10) (11)
? ?
1 2 2 2
( n ?1) ! n ! ( n ?1) ! ? 2( 2 n ? 1 ? 2 n ? 1) ? ?
n 2 n ? 1 ? 2 n ? 1 1 1
n ? ? n ?
2 2
n n n n ?1
2 2 2 2 1 1
(11)
? ? ? ? ? ( n ? 2)
n 2 n n n n n n ?1 n ?1 n
(2 ?1) (2 ?1)(2 ?1) (2 ?1)(2 ? 2) (2 ?1)(2 ?1) 2 ?1 2 ?1
? ?
(12) 1 1 1 1 1 1
? ?
? ? ? ? ?
3 2 ? ?
n( n ?1)( n ?1) n( n ?1) n( n ?1) n ?1 ? n ?1
n n ? n
? ?
? 1 1 ? n ?1 ? n ?1 1 1
? ? ? ? ? ? ?
n ?1 n ?1 2 n n ?1 n ?1
? ?
n n
2 1 2
(13) n ?1 n n n n n
2 ? 2 ? 2 ? (3 ?1) ? 2 ? 3 ? 3(2 ?1) ? 2 ? 2 ?1 ? ? ?
n
3 2 ?1 3
1
(14) k ? 2 1 1 (15)
? ? ? n ? n ?1( n ? 2)
k! ?( k ?1)! ? ( k ? 2)! ( k ?1) ! ( k ? 2) ! n( n ?1)
12 2 2 2
i ?1 ? j ?1 i ? j i ? j
(15)
? ? ? 1
2 2 2 2
i ? j
( i ? j)( i ?1 ? j ?1) i ?1 ? j ?1
1 1 1 7 1
例 2.(1)求 证:
1 ? ? ? ? ? ? ? ( n ? 2)
2 2 2
3 5 (2 n ?1) 6 2(2 n ?1)
1 1 1 1 1 1
(2)求 证:
? ? ? ? ? ? ?
2
4 16 36 4 n 2 4 n
1 1 ? 3 1 ? 3 ? 5 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2 n ?1)
(3)求 证:
? ? ? ? ? ? 2 n ?1 ?1
2 2 ? 4 2 ? 4 ? 6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 n
1 1 1
(4) 求 证 ：
2( n ?1 ?1) ? 1 ? ? ? ? ? ? 2( 2 n ?1 ?1)
2 3 n
n
解 析:(1)因 为 , 所 以 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 ? 1 1 ?
? 1 ? ( ? ) ? 1 ? ( ? )
? ? ?
? ? ?
2
2
(2 i ?1) 2 3 2 n ?1 2 3 2 n ?1
(2 n ?1) (2 n ?1)(2 n ?1) 2 ? 2 n ?1 2 n ?1 ?
i ?1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(2)
? ? ? ? ? ? (1 ? ? ? ? ) ? (1 ?1 ? )
2 2 2
4 16 36 4 4 n
4 n 2 n
1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2 n ?1) 1
(3) 先 运 用 分 式 放 缩 法 证 明 出 , 再 结 合 进 行 裂 项, 最 后 就 可 以 得 到 答 案
1
?
? n ? 2 ? n
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 n 2 n ?1
n ? 2
1 1 1
(4)首 先 1 2 , 所 以 容 易 经 过 裂 项 得 到
2( n ?1 ?1) ? 1 ? ? ? ? ?
? 2( n ?1 ? n) ?
n n ?1 ? n 2 3 n
再 证 而 由 均 值 不 等 式 知 道 这 是 显 然 成 立 的 ，
1 2 2 2
? 2( 2 n ?1 ? 2 n ?1) ? ?
n 2 n ?1 ? 2 n ?1 1 1
n ? ? n ?
2 2
1 1 1
所 以
1 ? ? ? ? ? ? 2( 2 n ?1 ?1)
2 3 n
6 n 1 1 1 5
例 3 . 求 证 :
? 1 ? ? ? ? ? ?
2
( n ?1)(2 n ?1) 4 9 n 3
n
解 析: 一 方 面: 因 为 , 所 以
1 ? 1 1 1 1 ? 2 5
1 1 4 ? 1 1 ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? ? 1 ? ?
? ?
?
2
? ? ? 2 ?
? ?
k 3 5 2 n ? 1 2 n ? 1 3 3
2 2 ? ?
k ?1
1
n 2 4 n ?1 2 n ?1 2 n ?1
? ?
n ?
4
1 1 1 1 1 1 1 n
另 一 方 面:
1 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 1 ? ?
2
4 9 n 2 ?3 3 ? 4 n( n ?1) n ?1 n ?1
6 n 1 1 1
当 时, n 6 n , 当 时, ,
n ? 3 n ? 1
? 1 ? ? ? ? ?
?
2
( n ?1)(2 n ?1) 4 9 n
n ?1 ( n ?1)(2 n ?1)
6 n 1 1 1
当 时, ,
n ? 2
? 1 ? ? ? ? ?
2
( n ?1)(2 n ?1) 4 9 n
6 n 1 1 1 5
所 以 综 上 有
? 1 ? ? ? ? ? ?
2
( n ?1)(2 n ?1) 4 9 n 3
a ? b
例 4 .(2008 年 全 国 一 卷) 设 函 数 . 数 列 满 足 . . 设 ， 整 数 . 证
f ( x) ? x ? x ln x 1
a 0 ? a ? 1 b ? ( a ， 1)
? ? a ? f ( a )
n 1 n ?1 n 1
k ≥
a ln b
1
明: .
a ? b
k ?1
解 析: 由 数 学 归 纳 法 可 以 证 明 是 递 增 数 列, 故 若 存 在 正 整 数 , 使 , 则 ,
m ? k
a a ? b a ? a ? b
? ?
n m k ?1 k
2k
若 , 则 由 知 , ,
a ? b( m ? k) 0 ? a ? a ? b ? 1 a ln a ? a ln a ? a ln b ? 0
m 1 m m m 1 m 1 a ? a ? a ln a ? a ? a ln a
k ?1 k k k 1 ? m m
m ?1
k
因 为 , 于 是
a ? a ? k | a ln b | ? a ? ( b ? a ) ? b
a ln a ? k( a ln b) k ?1 1 1 1 1
? m m 1
m ?1
m m m m m ?1 m ?1
例 5. 已 知 , 求 证: .
n, m ? N , x ? ?1, S ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n n ? ( m ?1) S ? ( n ?1) ?1
? m n
n
解 析: 首 先 可 以 证 明:
(1 ? x) ? 1 ? nx
n
m ?1 m ?1 m ?1 m ?1 m ?1 m ?1 m ?1 m ?1 所 以 要 证
n ? n ? ( n ?1) ? ( n ?1) ? ( n ? 2) ? ? ?1 ? 0 ? [ k ? ( k ?1) ]
?
k ?1
m ?1 m ?1
只 要 证:
n ? ( m ?1) S ? ( n ?1) ?1
n
n n n
m ?1 m ?1 m m ?1 m ?1 m ?1 m ?1 m ?1 m ?1 1 m ?1 m ?1 m ?1
[ k ? ( k ?1) ] ? ( m ?1) k ? ( n ?1) ?1 ? ( n ?1) ? n ? n ? ( n ?1) ? ? ? 2 ? ? [( k ?1) ? k ]
? ? ?
k ?1 k ?1 k ?1
n n n
故 只 要 证 m ?1 m ?1 m m ?1 m ?1 ,
[ k ? ( k ?1) ] ? ( m ?1) k ? [( k ?1) ? k ]
? ? ?
k ?1 k ?1 k ?1
m ?1 m ?1 m m ?1 m
即 等 价 于 ,
k ? ( k ?1) ? ( m ?1) k ? ( k ?1) ? k
m ?1 1 m ?1 1
m ?1 m ?1
即 等 价 于 而 正 是 成 立 的, 所 以 原 命 题 成 立.
1 ? ? (1 ? ) ,1 ? ? (1 ? )
k k k k
n
n n 3
2
例 6. 已 知 , , 求 证: .
a ? 4 ? 2
n T ? T ? T ? ? ? T ?
T ?
1 2 3 n
n
2
a ? a ? ? ? a
1 2 n
n n
4(1 ? 4 ) 2(1 ? 2 ) 4
1 2 3 n 1 2 n n n
解 析:
T ? 4 ? 4 ? 4 ? ? ? 4 ? (2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? ? ? (4 ?1) ? 2(1 ? 2 )
n
1 ? 4 1 ? 2 3
所 以
n n n n n
2 2 2 3 ? 2 3 2
T ? ? ? ? ? ?
n
n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 n 2 n
4
n n 4 4 4 2 4 ? 3 ? 2 ? 2 2 2 ? (2 ) ? 3 ? 2 ?1
n ?1 n ?1
(4 ?1) ? 2(1 ? 2 ) ? ? 2 ? 2 ? ? 2
3
3 3 3 3
n
3 2 3 ? 1 1 ?
? ? ? ? ? ?
n n n n ?1
2 (2 ? 2 ? 1)(2 ? 1) 2 2 ? 1 2 ? 1
? ?
3 1 1 1 1 1 3
? ?
从 而
T ? T ? T ? ? ? T ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
1 2 3 n
n n ?1
2 3 3 7 2 ?1 2 ?1 2
? ?
? n( n ? 2 k ?1, k ? Z)
例 7. 已 知 , , 求 证: 1 1 1
x ? 1
1
x ?
? ? ? ? ? ? 2( n ?1 ?1)( n ? N)
n
4 4 4
n ?1( n ? 2 k, k ? Z)
x ? x x ? x x x
?
2 3 4 5 2 n 2 n ?1
证 明: 1 1 1 1 1 2 ,
? ? ? ? ?
4 4 4 2 4 2
x x (2 n ?1)(2 n ?1) 2 ? n 2 n
4 n ?1 4 n
2 n 2 n ?1
因 为 , 所 以 1 2 2
2 n ? n ? n ?1
? ? ? 2( n ?1 ? n)
4
x x 2 n n ? n ?1
2 n 2 n ?1
所 以 1 1 1
? ? ? ? ? 2( n ?1 ?1)( n ? N)
4 4 4
x ? x x ? x x x
2 3 4 5 2 n 2 n ?1
二 、 函 数 放 缩
n
ln 2 ln3 ln 4 ln3 5 n ? 6
n
例 8. 求 证 ： .
? ? ? ? ? ? 3 ? ( n ? N )
n
2 3 4 3 6
n
ln 2 ln 3 ln 4 ln 3 1 1 1
解 析: 先 构 造 函 数 有 ln x 1 , 从 而
n
? ? ? ? ? ? 3 ?1 ? ( ? ? ? ? )
ln x ? x ?1 ? ? 1 ?
n n
2 3 4 2 3
x x 3 3
3n ?1 n ?1
? ?
5 ? 3 3 ? ? 9 9 ? 3 3 5 n
cause 1 1 1 ? 1 1 ? ? 1 1 1 1 1 1 ? ? 1 1 1 ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
n ?1 n
n n n n ? ?
2 3 3 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 ?1 3 6 6 9 18 27 2 ? 3 3 6
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
n
ln 2 ln3 ln 4 ln3 5 n 5 n ? 6
n n
所 以
? ? ? ? ? ? 3 ?1 ? ? 3 ?
n
2 3 4 3 6 6
? ? ? 2
ln 2 ln3 ln n 2 n ? n ?1
例 9. 求 证:(1)
? ? 2, ? ? ? ? ? ( n ? 2)
? ? ?
2 3 n 2( n ?1)
2
? 2 ln n 1 1
解 析: 构 造 函 数 , 得 到 , 再 进 行 裂 项 , 求 和 后 可 以 得 到 答 案
ln x ln n ln n
? 1 ? ? 1 ?
f ( x) ? ?
2 2
? 2
x n n n n n( n ?1)
? ?
函 数 构 造 形 式: ,
ln x ? x ?1
ln n ? n ?1( ? ? 2)
1 1 1 1 1
例 10. 求 证:
? ? ? ? ? ln( n ?1) ? 1 ? ? ? ?
2 3 n ?1 2 n
n ?1 n 2 n ?1 n
解 析: 提 示:
ln( n ?1) ? ln ? ? ? ? ? ln ? ln ? ? ? ln 2
n n ?1 1 n n ?1
y
函 数 构 造 形 式: 1
ln x ? x,ln x ? 1 ?
x
当 然 本 题 的 证 明 还 可 以 运 用 积 分 放 缩
1
如 图, 取 函 数 ,
f ( x) ?
x
D
E
n
n
C
1 1 1
首 先: , 从 而, n F
? i ? ? ln x | ? ln n ? ln( n ? i)
S ?
n ? i
A B C F ?
?
x n x B
A
n ? i n ? i
O
x
n - i n
1
取 i ? 1 有, ,
? ln n ? ln( n ?1)
n
1
1 1
1
所 以 有 , ,…, , , 相 加 后 可 以 得 到 :
? ln 3 ? ln 2
? ln n ? ln( n ?1) ? ln( n ?1) ? ln n
? ln 2
2 3 n n ?1
1 1 1
? ? ? ? ? ln( n ?1)
2 3 n ?1
n
n
1 1 1
另 一 方 面 , 从 而 有 n
S ? ? i ? ? ln x | ? ln n ? ln( n ? i)
A B D E n ? i
? ?
x n ? i x
n ? i
n ? i
1
取 有, ,
i ? 1
? ln n ? ln( n ? 1)
n ? 1
1 1 1 1 1 1 1
所 以 有 , 所 以 综 上 有
ln( n ?1) ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ln( n ?1) ? 1 ? ? ? ?
2 n 2 3 n ?1 2 n
例 11. 求 证: 1 1 1 和 . 解 析: 构 造 函 数 后 即 可 证 明
1 1 1
(1 ? )(1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? e (1 ? )(1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? e
2 n
2! 3! n! 9 81 3
2 n ?3
例 12. 求 证: 解 析: , 叠 加 之 后 就 可 以 得 到 答 案
(1 ?1 ? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ? ? ?[1 ? n( n ?1)] ? e
3
ln[ n( n ?1) ?1] ? 2 ?
n( n ?1) ?1
函 数 构 造 形 式: ( 加 强 命 题)
3 1 ? ln(1 ? x) 3
ln( x ?1) ? 2 ? ( x ? 0) ? ? ( x ? 0)
x ?1 x x ?1
例 13. 证 明: ln2 ln3 ln4 ln n n( n ?1)
? ? ? ? ? ? ( n ? N, n ? 1)
3 4 5 n ?1 4
4解 析: 构 造 函 数 , 求 导, 可 以 得 到:
f ( x) ? ln( x ?1) ? ( x ?1) ?1( x ? 1)
'' ''
1 2 ? x , 令 有 , 令 有 ,
f ( x) ? 0 1 ? x ? 2 f ( x) ? 0 x ? 2
''
f ( x) ? ?1 ?
x ?1 x ?1
2 2 2
所 以 , 所 以 , 令 x ? n ?1 有, ln n ? n ?1
f ( x) ? f (2) ? 0 ln( x ?1) ? x ? 2
所 以 , 所 以 ln 2 ln3 ln 4 ln n n( n ?1)
ln n n ?1
? ? ? ? ? ? ( n ? N, n ? 1)
?
n ?1 2 3 4 5 n ?1 4
2
例 14. 已 知 1 1 证 明 .
a ? e
a ?1, a ? (1 ? ) a ? . n
1 n ?1 n
2 n
n ? n 2
解 析: ,
1 1 1 1
a ? (1 ? ) a ? ? (1 ? ? ) a
n ?1 n n
n n
n( n ?1) 2 n( n ?1) 2
然 后 两 边 取 自 然 对 数, 可 以 得 到 1 1
ln a ? ln(1 ? ? ) ? ln a
n ?1 n
n
n( n ?1)
2
然 后 运 用 和 裂 项 可 以 得 到 答 案)
ln(1 ? x) ? x
放 缩 思 路 ：
1 1
1 1
ln a ? ln(1 ? ? ) ? ln a ?
a ? (1 ? ? ) a ? n ?1 n
n ?1 2 n n 2 n
n ? n 2 n ? n 2
1 1 。 于 是 ，
1 1
? ln a ? ?
ln a ? ln a ? ?
n 2 n n ?1 n
2 n
n ? n 2 n ? n 2
1
n ?1
1 ? ( )
n ?1 n ?1
1 1 1 1 1
2
(ln a ? ln a ) ? ( ? ) ? ln a ? ln a ? 1 ? ? ? 2 ? ? ? 2.
? i ?1 i ? n 1
2 i n
1
i ? i 2 n n 2
i ?1 i ?1
1 ?
2
2
即
ln a ? ln a ? 2 ? a ? e .
n 1 n
注 ： 题 目 所 给 条 件 （ ） 为 一 有 用 结 论 ， 可 以 起 到 提 醒 思 路 与 探 索 放 缩 方 向 的 作 用 ；
x ? 0
ln(1 ? x) ? x
n
当 然 ， 本 题 还 可 用 结 论 来 放 缩 ：
2 ? n( n ?1)( n ? 2)
1 1
1
a ? (1 ? ) a ? ?
n ?1 n a ?1 ? (1 ? )( a ?1) ?
n ?1 n
n( n ?1) n( n ?1)
n( n ?1)
n ?1 n ?1
，
1 1 1 1
ln( a ?1) ? ln( a ?1) ? ln(1 ? ) ? . ? [ ln( a ? 1) ? ln( a ? 1)] ? ? ln( a ? 1) ? ln( a ? 1) ? 1 ? ? 1
? i ?1 i ? n 2
n ?1 n
n( n ?1) n( n ?1) i( i ? 1) n
i ?2 i ?2
2
即
ln( a ?1) ?1 ? ln 3 ? a ? 3 e ?1 ? e .
n n
例 16.(2008 年 福 州 市 质 检)已 知 函 数 若
a ? 0, b ? 0, 证 明 : f ( a) ? ( a ? b)ln 2 ? f ( a ? b) ? f ( b).
f ( x) ? x ln x.
解 析: 设 函 数
g( x) ? f ( x) ? f ( k ? x), ( k ? 0)
? f ( x) ? x ln x, ? g( x) ? x ln x ? ( k ? x)ln( k ? x),
x
?0 ? x ? k. ? g ?( x) ? ln x ?1 ? ln( k ? x) ?1 ? ln ,
k ? x
x 2 x ? k k
?
令 g ( x) ? 0, 则 有 ? 1 ? ? 0 ? ? x ? k.
k ? x k ? x 2
k k
k
k
∴ 函 数 ） 上 单 调 递 增 ， 在 上 单 调 递 减. ∴ 的 最 小 值 为 ， 即 总 有
g( x) 在[ , k g( x) g( )
g( x) ? g( ).
(0, ]
2 2 2 2
k k k k
而
g( ) ? f ( ) ? f ( k ? ) ? k ln ? k(ln k ? ln 2) ? f ( k) ? k ln 2,
2 2 2 2
? g( x) ? f ( k) ? k ln 2,
即
f ( x) ? f ( k ? x) ? f ( k) ? k ln 2.
令 则
x ? a, k ? x ? b, k ? a ? b.
? f ( a) ? f ( b) ? f ( a ? b) ? ( a ? b) ln 2.
? f ( a) ? ( a ? b) ln 2 ? f ( a ? b) ? f ( b).
5例 15.(2008 年 厦 门 市 质 检) 已 知 函 数 是 在 上 处 处 可 导 的 函 数, 若 在 上 恒 成 立.
x ? 0
f ( x) (0, ? ?) x ? f ''( x) ? f ( x)
f ( x)
(I) 求 证 ： 函 数 上 是 增 函 数 ； (II)当 ；
x ? 0, x ? 0 时, 证 明: f ( x ) ? f ( x ) ? f ( x ? x )
g( x) ? 在(0, ? ?) 1 2 1 2 1 2
x
(III) 已 知 不 等 式 时 恒 成 立 ，
ln(1 ? x) ? x 在 x ? ?1 且 x ? 0
求 证 ：
1 1 1 1 n
2 2 2 2
ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln( n ?1) ? ( n ? N ).
2 2 2 2
2 3 4 ( n ?1) 2( n ?1)( n ? 2)
解 析:(I) f ''( x) x ? f ( x) , 所 以 函 数 上 是 增 函 数
f ( x)
g''( x) ? ? 0
g( x) ? 在(0, ? ?)
2
x x
(II)因 为 上 是 增 函 数, 所 以
f ( x)
g( x) ? 在(0, ? ?)
x
f ( x ) f ( x ? x ) x
1 1 2 1
? ? f ( x ) ? ? f ( x ? x )
1 1 2
x x ? x x ? x
1 1 2 1 2
f ( x ) f ( x ? x ) x
2 1 2 2
? ? f ( x ) ? ? f ( x ? x )
2 1 2
x x ? x x ? x
2 1 2 1 2
两 式 相 加 后 可 以 得 到
f ( x ) ? f ( x ) ? f ( x ? x )
1 2 1 2
(3)
f ( x ) f ( x ? x ? ? ? x ) x
1 1 2 n 1
? ? f ( x ) ? ? f ( x ? x ? ? ? x )
1 1 2 n
x x ? x ? ? ? x x ? x ? ? ? x
1 1 2 n 1 2 n
f ( x ) f ( x ? x ? ? ? x ) x ……
2 1 2 n 2
? ? f ( x ) ? ? f ( x ? x ? ? ? x )
2 1 2 n
x x ? x ? ? ? x x ? x ? ? ? x
2 1 2 n 1 2 n
f ( x ) f ( x ? x ? ? ? x ) x
n 1 2 n n
? ? f ( x ) ? ? f ( x ? x ? ? ? x )
n 1 2 n
x x ? x ? ? ? x x ? x ? ? ? x
n 1 2 n 1 2 n
相 加 后 可 以 得 到:
f ( x ) ? f ( x ) ? ? ? f ( x ) ? f ( x ? x ? ? ? x )
1 2 n 1 2 n
所 以
x ln x ? x ln x ? x ln x ? ? ? x ln x ? ( x ? x ? ? ? x )ln( x ? x ? ? ? x )
1 1 2 2 3 3 n n 1 2 n 1 2 n
令 , 有
? 1 1 1 1 ?
? 1 1 1 1 ? ? 1 1 1 ?
1 2 2 2 2
? ? ln 2 ? ln3 ? ln 4 ? ? ? ln( n ?1) ? ? ? ? ? ?
x ? ? ? ? ? ? ? ln ? ? ? ?
n ? 2 2 2 2 ? 2 2 2 2 2 2 2
2 ? ? ? ?
2 3 4 ( n ?1)
(1 ? n) 2 3 4 ( n ?1) 2 3 ( n ?1)
? ? ? ? ? ?
1 1 1 n
? ? ? ?
? 1 1 1 ? ? 1 1 1 ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ln ? ? ? ? ? ?
? 2 2 2 ? ? ?
n ?1 2 n ? 2 2( n ?1)( n ? 2)
2 3 ( n ?1) 2 ?1 3 ? 2 ( n ?1) n ? ? ? ?
? ?
? ?
所 以
1 1 1 1 n
2 2 2 2
ln 2 ? ln3 ? ln 4 ? ? ? ln( n ?1) ? ( n ? N ).
2 2 2 2
2 3 4 ( n ?1) 2( n ?1)( n ? 2)
2 2
(方 法 二) ln( n ?1) ln( n ?1) ln 4 1 1
? ?
? ? ? ln 4 ?
? ?
2
( n ?1) ( n ?1)( n ? 2) ( n ?1)( n ? 2) n ?1 n ? 2
? ?
所 以 1 1 1 1 1 1 nln 4
? ?
2 2 2 2
ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln( n ?1) ? ln 4 ? ?
? ?
2 2 2 2
2 3 4 ( n ?1) 2 n ? 2 2( n ? 2)
? ?
1
又 , 所 以
1 1 1 1 n
2 2 2 2
ln 4 ? 1 ?
ln 2 ? ln 3 ? ln 4 ? ? ? ln( n ?1) ? ( n ? N ).
2 2 2 2
n ?1
2 3 4 ( n ?1) 2( n ?1)( n ? 2)
三 、 分 式 放 缩
6b b ? m b b ? m
姐 妹 不 等 式: 和
? ( b ? a ? 0, m ? 0) ? ( a ? b ? 0, m ? 0)
a a ? m a a ? m
记 忆 口 诀” 小 者 小, 大 者 大”
解 释: 看 b, 若 b 小, 则 不 等 号 是 小 于 号, 反 之.
1 1 1
例 19. 姐 妹 不 等 式: 和
(1 ?1)(1 ? )(1 ? ) ?(1 ? ) ? 2 n ?1
3 5 2 n ?1
1 1 1 1 1 也 可 以 表 示 成 为
(1 ? )(1 ? )(1 ? ) ?(1 ? ) ?
2 4 6 2 n
2 n ?1
和1 ?3 ?5 ? ? ? (2 n ?1) 1
2 ? 4 ?6 ? ? 2 n
?
? 2 n ?1
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 n
1 ?3 ?5 ? ? ?(2 n ?1) 2 n ?1
b b ? m
解 析: 利 用 假 分 数 的 一 个 性 质 可 得
? ( b ? a ? 0, m ? 0)
a a ? m
2 4 6 2 n
3 5 7 2 n ?1
1 3 5 2 n ?1
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? (2 n ?1)
1 3 5 2 n ?1 2 4 6 2 n 2 4 6 2 n
1 1 1
2 4 6 2 n
2
即
?
( ? ? ? ) ? 2 n ?1 (1 ?1)(1 ? )(1 ? ) ?(1 ? ) ? 2 n ?1.
1 3 5 2 n ?1 3 5 2 n ?1
1 1 1
3
例 20. 证 明:
(1 ?1)(1 ? )(1 ? ) ?(1 ? ) ? 3 n ?1.
4 7 3 n ? 2
解 析: 运 用 两 次 次 分 式 放 缩:
2 5 8 3 n ?1 3 6 9 3 n
(加 1)
? ? ? ? ? ? . ? ? ? ? ?
1 4 7 3 n ? 2 2 5 8 3 n ?1
2 5 8 3 n ?1 4 7 10 3 n ?1
(加 2)
? ? ? ? ? ? . ? ? ? ? ?
1 4 7 3 n ? 2 3 6 9 3 n
相 乘, 可 以 得 到:
2
? 2 5 8 3 n ?1 ? 4 7 10 3 n ? 1 1 4 7 3 n ? 2
? ? ? ? ? ? . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3 n ? 1)
? ?
1 4 7 3 n ? 2 2 5 8 3 n ?1 2 5 8 3 n ?1
? ?
1 1 1
所 以 有 3
(1 ?1)(1 ? )(1 ? ) ?(1 ? ) ? 3 n ?1.
4 7 3 n ? 2
四 、 分 类 放 缩
1 1 1 n
例 21. 求 证:
1 ? ? ? ? ? ?
n
2 3 2
2 ?1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
解 析:
1 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ( ? ) ? ( ? ? ? ) ? ? ?
n 3 3 3 3
2 3 2 4 4
2 ?1 2 2 2 2
1 1 1 1 n 1 n
( ? ? ? ? ) ? ? ? (1 ? ) ?
n n n n n
2 2 2 2 2 2 2
例 22.(2004 年 全 国 高 中 数 学 联 赛 加 试 改 编) 在 平 面 直 角 坐 标 系 中, y 轴 正 半 轴 上 的 点 列 与 曲 线
x o y
? A ?
n
?
1
（ x ≥0 ） 上 的 点 列 满 足 ， 直 线 A B 在 x 轴 上 的 截 距 为 . 点 的 横 坐 标 为 , .
a B b n ? N
y ? 2 x ? B ?
n n
n O A ? O B ? n n n
n n
n
? ?
b b b b
(1)证 明 > >4 ， ; (2)证 明 有 ， 使 得 对 都 有 2 3 n n ?1 < .
a n ? N n ? N n ? 2008
a ? n ? n
n
n ?1 0 0 ? ? ? ? ?
b b b b
1 2 n ?1 n
1
解 析:(1) 依 题 设 有 ： ? 1 ? ， 由 得 ：
O B ?
A 0, , B b , 2 b , b ? 0
? ? ? ? n
n ? ? n n n n
n n
? ?
, 又 直 线 在 x 轴 上 的 截 距 为 满 足
a
1 1 A B
2
n n n
b ? 2 b ? , ? b ? ?1 ?1, n ? N
n n 2 n 2
n n
71
b
? 1 ? ? 1 ? 2 2 2
n
?2 n b ?1 ? n b ? 0, b ? 2 ?
a ? 0 2 b ? ? 0 ? b ? 0 a ?
? ? ? ? n n n
n ? n ? ? ? n n 2
n n n b
? ? ? ? 1 ? n 2 b
n
n
b 1 ? n 2 b
n ? n ?
b 1 2
n 1 1
? a ? ? ? ? ? b ? 2 ? 2 b ? 4
? a ? ?1 ?1 ? 2 ? 2 ?1
n n n
2 2 n 2 2
1 ? 2 n b n b n n
1 ? n 2 b n b
n n
n n
显 然 ， 对 于 1 1 ， 有
a ? a ? 4, n ? N
n n ?1
? ? 0
n n ?1
(2)证 明 ： 设 ， 则
b
n ?1
c ?1 ? , n ? N
n
b
n
1 1
1
?1 ? ?1
2 2
?1 ?1
n
n ?1 ? ? 2
? ?
1 1
2 n
c ? ? n ? ? ?
n
2 2
? ?
n
1 n ?1 1 1
? ?
? ?
?1 ?1 ?1 ? ?1
2 2 2
n n
n ?1
? ?
? ?
1
?1 ?1
? ?
2
2 n ?1 2 n ?1 1 1 2 n ?1
n
? ?
? ? ? ?
2 2 2
2
n ?1 1 n ?1 ? 1 ? 2 n ?1
? ? ? ? ? ?
2 ?1 2 ?1
? ?
2 2
n n
? ?
2 1
? 2 n ?1 n ? 2 ? 2 n ?1 ? n ? 0, ? c ? , n ? N
? ? ? ? ? ?
n
n ? 2
k
设 ， 则 当 时 ，
S ? c ? c ? ? ? c , n ? N n ? 2 ? 2 ? 1 k ? N
? ?
n 1 2 n
1 1 1 1 ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?
S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
n
k k ? ? ? 2 3 ? ? k ?1 k ?
3 4 2 ?1 2 3 4 2 ?1 2 2 ?1 2
? ? ? ? ? ?
1 1 1 k ?1
2 k ?1
。
? 2 ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? ?
2 3 k
2 2 2 2
4009
所 以 ， 取 ， 对 都 有 ：
n ? 2 ? 2
? n ? n
0 0
? b ? ? b ? ? b ? 4017 ?1
3 n ?1
2
?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? S ? S ? ? 2008
n n
? ? ? ? ? ? 0
b b b 2
? 1 ? ? 2 ? ? n ?
b b b b
2 3 n n ?1
故 有 < n ? 2008 成 立 。
? ? ? ? ?
b b b b
1 2 n ?1 n
2
例 23.(2007 年 泉 州 市 高 三 质 检) 已 知 函 数 ， 若 的 定 义 域 为[－1 ，0]， 值 域 也
f ( x) ? x ? bx ? c( b ? 1, c ? R)
f ( x)
f ( n)
为[ －1 ，0]. 若 数 列{ b } 满 足 ， 记 数 列 的 前 n 项 和 为 T ， 问 是 否 存 在 正 常 数 A ， 使 得 对 于
{ b }
n n
b ? ( n ? N ) n
n 3
n
任 意 正 整 数 n 都 有 ？ 并 证 明 你 的 结 论 。
T ? A
n
2
2
f ( n) n ? 2 n 1
解 析: 首 先 求 出 , ∵
f ( x) ? x ? 2 x
b ? ? ?
n 3 3
n n n
1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
∴ , ∵ , ,…
T ? b ? b ? b ? ? ? b ? 1 ? ? ? ? ?
? ? 2 ? ? ? ? ? ? 4 ? ?
n 1 2 3 n
2 3 n 5 6 7 8 8 2
3 4 4 2
1 1 1 1 1 k
k
k ?1
, 故 当 n ? 2 时, ,
? ? ? ? ? 2 ? ? T ? ? 1
n
k ?1 k ?1 k k
2 ?1 2 ? 2 2 2 2
2
因 此 ， 对 任 何 常 数 A ， 设 m 是 不 小 于 A 的 最 小 正 整 数 ，
2 m ?2
2 m ? 2
则 当 n ? 2 时, 必 有 .
T ? ?1 ? m ? A
n
2
故 不 存 在 常 数 A 使 对 所 有 n ? 2 的 正 整 数 恒 成 立.
T ? A
n
8x ? 0,
?
?
例 24.(2008 年 中 学 教 学 参 考)设 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 为 ,
D
y ? 0, n
?
?
y ? ? n x ? 3 n
?
1 1 1
1 1 1 1 7 n ?11
设 内 整 数 坐 标 点 的 个 数 为 . 设 , 当 时 , 求 证 : .
a n ? 2
D S ? ? ? ? ?
n
n n ? ? ? ? ? ?
a a a a a a a 36
n ?1 n ?2 2 n n
1 2 3
2
1 1 1 7 n ?11
解 析 : 容 易 得 到 , 所 以 , 要 证 只 要 证 , 因 为
a ? 3 n 1 1 1 1 7 n ?11
S ?1 ? ? ? ? ? ?
n
n
? ? ? ? ? ? 2 n
2 3 2 12
a a a a 36
n
1 2 3
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 7 7 n ?11
, 所 以 原 命 题 得
S ? 1 ? ? ( ? ) ? ( ? ? ? ) ? ? ? ( ? ? ? ? ? 1 ? ? T ? T ? ? ? T ? ? ( n ?1) ?
n 1 2 n ?1
2 n ?1 n ?1 n 2 2 2
2 3 4 5 6 7 8 2 ?1 2 ? 2 2 2 2 12 12
证
五 、 迭 代 放 缩
x ? 4 n
例 25. 已 知 , 求 证: 当 时,
n
n ? 2
1 ? n
x ? , x ? 1
| x ? 2 | ? 2 ? 2
n ?1 1
? i
x ?1
i ?1
n
1
解 析: 通 过 迭 代 的 方 法 得 到 , 然 后 相 加 就 可 以 得 到 结 论
x ? 2 ?
n
n ?1
2
1
sin1! sin 2! sin n!
例 26. 设 , 求 证: 对 任 意 的 正 整 数 k, 若 k≥ n 恒 有:| S － S |<
n + k n
S ? ? ? ? ?
n
1 2 n
n
2 2 2
解 析: sin( n ?1)! sin( n ? 2)! sin( n ? k)
| S ? S | ?| ? ? ? ? |
n ? k n
n ?1 n ?2 n ? k
2 2 2
sin( n ?1)! sin( n ? 2)! sin( n ? k) 1 1 1
?| | ? | | ? ? ? | | ? ? ? ? ?
n ?1 n ?2 n ? k n ?1 n ?2 n ? k
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
? ( ? ? ? ? ) ? ? (1 ? ) ?
n 2 k n k n
2 2 2 2 2 2 2
n n 0 1 n
又 所 以
1 1
2 ? (1 ?1) ? C ? C ? ? ? C ? n
n n n
| S ? S | ? ?
n ? k n
n
2 n
六 、 借 助 数 列 递 推 关 系
1 1 ? 3 1 ? 3 ? 5 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2 n ?1)
例 27. 求 证:
? ? ? ? ? ? 2 n ? 2 ?1
2 2 ? 4 2 ? 4 ? 6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 n
1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2 n ?1)
解 析: 设 则
a ?
n
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 n
2 n ?1
, 从 而
a ? a ? 2( n ?1) a ? 2 na ? a
n n n ?1 n n
?1
2( n ?1)
, 相 加 后 就 可 以 得 到
a ? 2( n ?1) a ? 2 na
n n ?1 n
1 1
a ? a ? ? ? a ? 2( n ?1) a ? 2 a ? 2( n ?1) ? ?1 ? (2 n ? 2) ? ?1
1 2 n n ?1 1
2 n ? 3 2 n ? 2
1 1 ? 3 1 ? 3 ? 5 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2 n ?1)
所 以
? ? ? ? ? ? 2 n ? 2 ?1
2 2 ? 4 2 ? 4 ? 6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 n
1 1 ?3 1 ?3 ?5 1 ?3 ?5 ? ? ? (2 n ?1)
例 28. 求 证:
? ? ? ? ? ? 2 n ?1 ?1
2 2 ? 4 2 ? 4 ? 6 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 n
1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2 n ?1)
解 析: 设 则
a ?
n
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 n
92 n ?1 , 从 而
a ? a ? [2( n ?1) ?1] a ? (2 n ?1) a ? a
n ?1 n n ?1 n n ?1
2( n ?1)
, 相 加 后 就 可 以 得 到
a ? [2( n ?1) ?1] a ? (2 n ?1) a
n n ?1 n
?1
1 3
a ? a ? ? ? a ? (2 n ?1) a ? 3 a ? (2 n ?1) ? ? ? 2 n ?1 ?1
1 2 n n ?1 1
2
2 n ?1
例 29. 若 , 求 证:
a ? 1, a ? a ? n ?1
1 1 1
1 n ?1 n
? ? ? ? ? 2( n ?1 ?1)
a a a
1 2 n
解 析: 1
a ? a ? n ? 2 ? a ? a ?1 ? ? a ? a
n ?2 n ?1 n n ?1 n ?2 n
a
n ?1
所 以 就 有
1 1 1 1
? ? ? ? ? ? a ? a ? a ? a ? 2 a a ? a ? 2 n ?1 ? 2
n ?1 n 2 1 n ?1 n 2
a a a a
1 2 n 1
七 、 分 类 讨 论
n
例 30. 已 知 数 列 { a } 的 前 n 项 和 S 满 足 S ? 2 a ? ( ?1) , n ? 1. 证 明 ： 对 任 意 的 整 数 m ? 4 ， 有
1 1 1 7
n n n n
? ? ? ? ?
a a a 8
4 5 m
解 析: 容 易 得 到 2 ,
n ?2 n ?1
a ? ?2 ? ( ?1) ?.
n
3
n
由 于 通 项 中 含 有 ( ?1) ， 很 难 直 接 放 缩 ， 考 虑 分 项 讨 论 ：
n ?2 n ?1
当 n ? 3 且 n 为 奇 数 时
1 1 3 1 1 3 2 ? 2
? ? ( ? ) ? ?
n ?2 n ?1 2 n ?3 n ?1 n ?2
a a 2 2 ?1 2 ?1 2 2 ? 2 ? 2 ?1
n n ?1
n ?2 n ?1
3 2 ? 2 3 1 1
（ 减 项 放 缩 ） ， 于 是
? ? ? ? ( ? )
2 n ?3 n ?2 n ?1
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
1 1 1
① 当 m ? 4 且 m 为 偶 数 时
? ( ? ) ? ? ? ( ? )
? ? ? ? ?
a a a a a a a a
4 5 m 4 5 6 m ?1 m
1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 3 7
? ? ( ? ? ? ? ) ? ? ? ? (1 ? ) ? ? ? .
3 4 m ?2 m ?4
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 8 8
② 当 m ? 4 且 m 为 奇 数 时 （ 添 项 放 缩 ） 由 ① 知 由
1 1 1 1 1 1 1 7
1 1 1 1
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? .
? ? ? ? ?
a a a a a a a 8
a a a a
4 5 m 4 5 m m ?1 4 5 m m ?1
① ② 得 证 。
八 、 线 性 规 划 型 放 缩
2 x ?1
例 31. 设 函 数 . 若 对 一 切 ， ， 求 a ? b 的 最 大 值 。
x ? R ?3 ? a f ( x) ? b ? 3
f ( x) ?
2
x ? 2
2 2
解 析: 由 知 1 即
1 ?( x ? 2) ( x ?1) 1
( f ( x) ? )( f (1) ?1) ? 0 ? ? f ( x) ? 1
( f ( x) ? )( f (1) ?1) ?
2 2
2
2 2( x ? 2) 2
由 此 再 由 的 单 调 性 可 以 知 道 的 最 小 值 为 1 ， 最 大 值 为1
f ( x)
f ( x)
?
2
因 此 对 一 切 x ? R ， 的 充 要 条 件 是 ， ? 1 即 a ， b 满 足 约 束 条 件 ，
?3 ? a f ( x) ? b ? 3 ? a ? b ? ?3
?3 ? ? a ? b ? 3
?
?
? 2 a ? b ? 3
?
?
?3 ? a ? b ? 3 ?
? 1
? ? a ? b ? ?3
2
?
?
1
? a ? b ? 3
?
? 2
由 线 性 规 划 得 ， 的 最 大 值 为 5 ．
a ? b
九 、 均 值 不 等 式 放 缩
例 32. 设 求 证 2
S ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n( n ?1).
n( n ?1) ( n ?1)
n
? S ? .
n
2 2
解 析: 此 数 列 的 通 项 为
a ? k( k ?1), k ? 1,2, ?, n.
k
10k ? k ?1 1
， ，
n n
1
? k ? k( k ?1) ? ? k ?
? k ? S ? ( k ? )
? n ?
2 2
2
k ?1 k ?1
2
即
n( n ?1) n( n ?1) n ( n ?1)
? S ? ? ? .
n
2 2 2 2
注 ： ① 应 注 意 把 握 放 缩 的“ 度” ： 上 述 不 等 式 右 边 放 缩 用 的 是 均 值 不 等 式 ， 若 放 成
a ? b
a b ?
2
2
n
( n ?1)( n ? 3) ( n ?1)
则 得 ， 就 放 过“ 度” 了 ！
k( k ?1) ? k ?1
S ? ( k ?1) ? ?
n ?
2 2
k ?1
② 根 据 所 证 不 等 式 的 结 构 特 征 来 选 取 所 需 要 的 重 要 不 等 式 ， 这 里
2 2
n a ? ? ? a a ? ? ? a
1 n 1 n
n
? a ? a ? ?
1 n
1 1
n n
? ? ?
a a
1 n
其 中 ， n ? 2,3 等 的 各 式 及 其 变 式 公 式 均 可 供 选 用 。
1 1
1 1
例 33. 已 知 函 数 ， 若 ， 且 在[0 ， 1]上 的 最 小 值 为 ， 求 证 ：
4 f ( x)
f ( x) ?
f (1) ? f (2) ? ? ? f ( n) ? n ? ? .
b x f (1) ?
n ?1
1 ? a ? 2 2
5 2 2
x
4 1 1 1
解 析:
f ( x) ? ?1 ? ?1 ? ( x ? 0) ? f (1) ? ? ? f ( n) ? (1 ? )
x x x
1 ? 4 1 ? 4 2 ? 2 2 ? 2
1 1 1 1 1 1 1
? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? n ? (1 ? ? ? ? ) ? n ? ? .
2 n n ?1 n ?1
2 ? 2 2 ? 2 4 2 2 2 2
?
n n n 2 n n ?1
例 34. 已 知 a, b 为 正 数 ， 且 1 1 ， 试 证 ： 对 每 一 个 ， .
n ? N
( a ? b) ? a ? b ? 2 ? 2
? ? 1
a b
1 1 a b
1 1
解 析: 由 得 a b ? a ? b ， 又 ， 故 a b ? a ? b ? 4 ， 而
? ? 1 ( a ? b)( ? ) ? 2 ? ? ? 4
a b a b b a
n 0 n 1 n ?1 r n ? r r n n
，
( a ? b) ? C a ? C a b ? ? ? C a b ? ? ? C b
n n n n
n n n 1 n ?1 r n ? r r n ?1 n ?1
i n ? i
令 ， 则 f ( n) = ， 因 为 ， 倒 序 相
f ( n) ? ( a ? b) ? a ? b C a b ? ? ? C a b ? ? ? C a b
C ? C
n n n n n
1 n ?1 n ?1 r n ? r r r n ? r n ?1 n ?1 n ?1
加 得 2 f ( n) = ，
C ( a b ? a b ) ? ? ? C ( a b ? a b ) ? ? ? C ( a b ? a b)
n n n
n
n ?1 n ?1 n ? r r r n ? r n ?1 n ?1 n n n ?1
2
而 ，
a b ? ab ? ? ? a b ? a b ? ? ? ab ? a b ? 2 a b ? 2 ? 4 ? 2
1 r n ?1 r n ? r n ? r r n r n ? r n ? r r n ?1
n
则 2 f ( n) = 2 ， 所 以
( C ? ? ? C ? ? ? C )( a b ? a b ) ? (2 ? 2)( a b ? a b ) ? (2 ? 2) ?
n n n
? n n n 2 n n ?1
n
n
， 即 对 每 一 个 ， .
2 n ? N ( a ? b) ? a ? b ? 2 ? 2
f ( n) ? (2 ? 2) ?
n ?1
1 2 3 n
2
例 35. 求 证
C ? C ? C ? ? ? C ? n ? 2 ( n ? 1, n ? N)
n n n n
n ?1
n 2 n ?1
1 2 3 n n 2 n ?1
2
解 析: 不 等 式 左 2 ?1 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 = ，
C ? C ? C ? ? ? C ? ? n ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 n ? 2
n n n n
原 结 论 成 立.
n
x ? x
n ?1
2
例 36. 已 知 , 求 证:
f ( x) ? e ? e f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f ( n) ? ( e ?1)
x x
1 2
解 析: 1 1 e e 1
x x x ? x x ? x
1 2 1 2 1 2
f ( x ) ? f ( x ) ? ( e ? ) ? ( e ? ) ? e ? ? ? ? e ?1
1 2
x x x x x x
1 2 2 1 1 2
e e e e e ? e
n
n ?1
2
经 过 倒 序 相 乘, 就 可 以 得 到
f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f ( n) ? ( e ?1)
n n
1
例 37. 已 知 , 求 证:
f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2 n) ? 2 ( n ?1)
f ( x) ? x ?
x
1 1 k 2 n ?1 ? k 1
解 析:
( k ? )(2 n ?1 ? k ? ) ? k(2 n ?1 ? k) ? ? ? ? 2(2 n ?1 ? k) ? 2
k 2 n ?1 ? k 2 n ?1 ? k k k(2 n ?1 ? k)
11其 中: , 因 为
k ? 1,2,3, ?,2 n k ? 2 n ? k(1 ? k) ? 2 n ? ( k ?1)(2 n ? k) ? 0 ? k(2 n ?1 ? k) ? 2 n
1 1
所 以
( k ? )(2 n ?1 ? k ? ) ? 2 n ? 2
k 2 n ?1 ? k
2 2 n n n
从 而 , 所 以 .
[ f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2 n)] ? (2 n ? 2) f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2 n) ? 2 ( n ?1)
1 1 1 1 3
例 38. 若 k ? 7 , 求 证: .
S ? ? ? ? ? ? ?
n
n n ?1 n ? 2 nk ?1 2
1 1 1 1 1 1 1 1
解 析:
2 S ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )
n
n nk ?1 n ?1 nk ? 2 n ? 2 nk ? 3 nk ?1 n
1 1 2 1 1 1 1 4
因 为 当 时, , 所 以 , 所 以 , 当 且 仅 当
x ? 0, y ? 0 x ? y
x ? y ? 2 xy, ? ? ( x ? y)( ? ) ? 4 ? ?
x y x y x ? y
x y xy
时 取 到 等 号.
4 4 4 4 4 n( k ?1)
所 以
2 S ? ? ? ? ? ? ?
n
n ? nk ?1 n ?1 ? nk ? 2 n ? 2 ? nk ? 3 n ? nk ?1 n ? nk ?1
所 以 所 以
1 1 1 1 3
2( k ?1) 2( k ?1) 4 3
S ? ? ? ? ? ? ?
n
S ? ? ? 2 ? ?
n n n ?1 n ? 2 nk ?1 2
1
k ?1 k ?1 2
1 ? k ?
n
2
例 39. 已 知 , 求 证: .
f ( x) ? a( x ? x )( x ? x ) a
1 2
f (0) ? f (1) ?
16
2
a
解 析: 2 .
f (0) ? f (1) ? a [ x (1 ? x )][ x (1 ? x )] ?
1 1 2 2
16
2 k
例 40. 已 知 函 数 f(x)= x －(－1) ·2ln x( k ∈N) . k 是 奇 数, n ∈N 时,
－
n n 1 n n n
求 证: [f ’(x)] －2 · f ’(x )≥2 (2 －2).
2
解 析: 由 已 知 得 ，
?
f ( x) ? 2 x ? ( x ? 0)
x
2 2
(1)当 n=1 时 ， 左 式= 右 式=0. ∴ 不 等 式 成 立.
(2 x ? ) ? (2 x ? ) ? 0
x x
2 2
n n ?1 n n n ?1 n
(2) , 左 式=
n ? 2
[ f ?( x)] ? 2 ? f ?( x ) ? (2 x ? ) ? 2 ? (2 x ? )
n
x x
1 1
n 1 n ?2 2 n ?4 n ?2 n ?1
? 2 ( C x ? C x ? ? ? C ? C ).
n n n n
n ?4 n ?2
x x
1 1
1 n ?2 2 n ?4 n ?2 n ?1
令
S ? C x ? C x ? ? ? C ? C
n n n n ?4 n n ?2
x x
由 倒 序 相 加 法 得 ：
1 1 1
1 n ?2 2 n ?4 n ?1 n ?2
2 S ? C ( x ? ) ? C ( x ? ) ? ? ? C ( ? x )
n n n
n ?2 n ?4 n ?2
x x x
1 2 n ?1 n
，
? 2( C ? C ? ? ? C ) ? 2(2 ? 2)
n n n
n
所 以
S ? (2 ? 2).
?
n n ?1 n n n
所 以 ? ? 综 上 ， 当 k 是 奇 数 ， n ? N 时 ， 命 题 成 立
[ f ( x)] ? 2 ? f ( x ) ? 2 (2 ? 2) 成立.
x
例 41. （2007 年 东 北 三 校 ） 已 知 函 数
f ( x) ? a ? x( a ? 1)
（1 ） 求 函 数 f ( x) 的 最 小 值 ， 并 求 最 小 值 小 于 0 时 的 a 取 值 范 围 ；
1 '' 2 '' n ?1 ''
n
（2 ） 令 求 证 ：
S( n) ? C f (1) ? C f (2) ? ? ? C f ( n ?1) n ''
n n n
S( n) ? (2 ? 2) ? f ( )
2
121
'' x '' x x
(1) 由 f ( x) ? a ln a ?1, f ( x) ? 0, 即： a ln a ? 1, ? a ? , 又 a ? 1 ? x ? ?log ln a
a
ln a
''
同理： f ( x) ? 0, 有 x ? ?log ln a,
a
''
所以 f ( x) 在( ? ?, ?log ln a) 上递减，在（ ? log ln a, ? ?) 上递增；
a a
1 ? ln ln a
所以 f ( x) ? f ( ?log ln a) ?
min a
ln a
1 ? ln ln a 1
若 f ( x) ? 0, 即 ? 0, 则ln ln a ? ?1, ?ln a ?
min
ln a e
1
e
? a 的取值范围是1 ? a ? e
1 2 2 n ?1 n ?1
(2) S( n) ? C ( a ln a ?1) ? C ( a ln a ?1) ? ? ? C ( a ln a ?1)
n n n
1 2 2 n ?1 n ?1 1 2 n ?1
? ( C a ? C a ? ? ? C a )ln a ? ( C ? C ? ? ? C )
n n n n n n
1
1 n ?1 2 2 n ?2 n ?1 n ?1 n
? [ C ( a ? a ) ? C ( a ? a ) ? ? ? C ( a ? a)]ln a ? (2 ? 2)
n n n
2
n
n n
2
? a (2 ? 2)ln a ? (2 ? 2)
n
n
n n ''
2
? (2 ? 2)( a ln a ?1) ? (2 ? 2) f ( ),
2
所以不等式成立。
★ 例 42. (2008 年 江 西 高 考 试 题)已 知 函 数 1 1 a x , . 对 任 意 正 数 a , 证 明 ： ．
1 ? f x ? 2
? ?
x ? ?0 , ? ? ?
f ? x ? ? ? ?
1 ? x 1 ? a a x ? 8
解 析: 对 任 意 给 定 的 , x ? 0 , 由 ,
a ? 0
1 1 1
f ( x) ? ? ?
1 ? x 1 ? a 8
1 ?
ax
8
若 令 ， 则 ① , 而 ②
a b x ? 8
1 1 1
b ?
f x ? ? ?
? ?
a x
1 ? x 1 ? a 1 ? b
（ 一 ） 、 先 证 ； 因 为 1 1 ， ， ，
1 1 1 1
f x ?1
? ?
?
? ?
1 ? x 1 ? a 1 ? b
1 ? x 1 ? a 1 ? b
4
又 由 ， 得 a ? b ? x ? 6 ．
2 ? a ? b ? x ? 2 2 a ? 2 bx ? 4 2 abx ? 8
3 ? 2( a ? b ? x) ? ( ab ? ax ? bx)
1 1 1 1 1 1
所 以
?
f x ? ? ? ? ? ?
? ?
(1 ? x)(1 ? a)(1 ? b)
1 ? x 1 ? a 1 ? b 1 ? x 1 ? a 1 ? b
9 ? ( a ? b ? x) ? ( ab ? ax ? bx)
1 ? ( a ? b ? x) ? ( ab ? ax ? bx) ? abx
．
? ? ? 1
(1 ? x)(1 ? a)(1 ? b) (1 ? x)(1 ? a)(1 ? b)
（ 二 ） 、 再 证 ； 由 ① 、 ② 式 中 关 于 的 对 称 性 ， 不 妨 设 ． 则
x ? a ? b 0 ? b ? 2
x, a, b
f x ? 2
? ?
1
（ ⅰ ） 、 当 a ? b ? 7 ， 则 a ? 5 ， 所 以 ， 因 为 ，
x ? a ? 5
? 1
1 ? b
1 1 1
1 1 2 ， 此 时 ．
f x ? ? ? ?2
? ? ?1 ? ?
1 ? x 1 ? a 1 ? b
1 ? x 1 ? a 1 ? 5
（ ⅱ ） 、 当 ③ ， 由 ① 得 , ， ，
a ? b ? 7 8 1 ab
x ?
?
a b ab ? 8
1 ? x
2
因 为 1 b b b 所 以 1 b ④
2
? 1 ? ? ? [1 ? ] ?1 ?
2
1 ? b 1 ? b 4(1 ? b) 2(1 ? b) 2(1 ? b)
1 ? b
? ?
同 理 得 ⑤ ， 于 是 1 a b a b ⑥
1 a
f x ? 2 ? ? ? 2
?1 ? ? ?
? ?
? ?
1 ? a 2(1 ? a) 2 1 ? a 1 ? b a b ? 8
? ?
13a b a b
今 证 明 a b ab ⑦, 因 为 ，
? ? 2
? ? 2
1 ? a 1 ? b ab ? 8 1 ? a 1 ? b (1 ? a)(1 ? b)
ab ab
只 要 证 ， 即 ， 也 即 ， 据 ③ ， 此 为 显 然 ．
a b ? 8 ? (1 ? a)(1 ? b) a ? b ? 7
?
(1 ? a)(1 ? b) ab ? 8
因 此 ⑦ 得 证 ． 故 由 ⑥ 得 ．
f ( x) ? 2
综 上 所 述 ， 对 任 何 正 数 ， 皆 有 ．
a , x
1 ? f x ? 2
? ?
例 43. 求 证: 1 1 1
1 ? ? ? ? ? ? 2
n ?1 n ? 2 3 n ?1
解 析: 一 方 面:
1 1 1 1 1 1 1 2
? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1
n ?1 n ? 2 3 n ?1 2 3 4 2 4
? ?
(法 二)
1 1 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
n ?1 n ? 2 3 n ?1 2 n ?1 3 n ?1 n ? 2 3 n 3 n ?1 n ?1
? ? ? ? ? ?
? ?
1 ? 4 n ? 2 4 n ? 2 4 n ? 2 ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
2 (3 n ? 1)( n ? 1) 3 n( n ? 2) ( n ? 1)(3 n ? 1)
? ?
2
? 1 1 1 ? (2 n ? 1)
? ?
? ?2 n ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1
? 2 2 2 2 2 2 ? 2
(2 n ? 1) ? n (2 n ? 1) ? ( n ?1) (2 n ? 1) ? n (2 n ? 1)
? ?
另 一 方 面: 1 1 1 2 n ?1 2 n ? 2
? ? ? ? ? ? ? 2
n ?1 n ? 2 3 n ?1 n ?1 n ?1
十 、 二 项 放 缩
n n 0 1 n
n 0 1
, ,
2 ? (1 ? 1) ? C ? C ? ? ? C
2 ? C ? C ? n ? 1
n n n n n
2
n
n ? n ? 2
n 0 1 2
2 ? n( n ?1)( n ? 2)
2 ? C ? C ? C ?
n n n
2
2
1 1
例 44. 已 知 证 明
a ? e
a ? 1, a ? (1 ? ) a ? . n
1 n ?1 2 n n
n ? n 2
1 1 1
解 析:
a ? (1 ? ) a ? ? a ?1 ? (1 ? )( a ?1) ?
n ?1 n n ?1 n
n( n ?1) n( n ?1) n( n ?1)
n ?1 n ?1
1 1
1 1 ，
ln( a ?1) ? ln( a ?1) ? ln(1 ? ) ? . ? [ ln( a ? 1) ? ln( a ? 1)] ? ? ln( a ? 1) ? ln( a ? 1) ? 1 ? ? 1
n ?1 n ? i ?1 i ? n 2
n( n ?1) n( n ?1) i( i ? 1) n
i ?2 i ?2
2
即
ln( a ?1) ?1 ? ln 3 ? a ? 3 e ?1 ? e .
n n
45. 设 ， 求 证 ： 数 列 单 调 递 增 且
1 a ? 4.
{ a }
n
n n
a ? (1 ? )
n
n
n ?1 n ?1 n
解 析: 引 入 一 个 结 论 ： 若 则 （ 证 略 ）
b ? a ? 0
b ? a ? ( n ?1) b ( b ? a)
n ?1 n
整 理 上 式 得 （ ? ）
a ? b [( n ?1) a ? nb].
1
以 1 1 代 入 （ ? ） 式 得 n ?1 1
n
a ? 1 ? , b ? 1 ? (1 ? ) ?
(1 ? ) .
n ?1 n n ?1
n
即{ a } 单 调 递 增 。
n
1 1 1
以 代 入 （ ? ） 式 得 n 2 n
1
1 ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? 4.
a ? 1, b ? 1 ?
2 n 2 2 n
2 n
此 式 对 一 切 正 整 数 n 都 成 立 ， 即 对 一 切 偶 数 有 1 ， 又 因 为 数 列{ a } 单 调 递 增 ， 所 以 对
n
n
(1 ? ) ? 4
n
1
一 切 正 整 数 n 有 n 。
(1 ? ) ? 4
n
1
n
注 ： ① 上 述 不 等 式 可 加 强 为 简 证 如 下 ：
2 ? (1 ? ) ? 3.
n
1 1 1 1
n 1 2 n
利 用 二 项 展 开 式 进 行 部 分 放 缩 ：
a ? (1 ? ) ? 1 ? C ? ? C ? ? ? ? C .
n n n n
2 n
n n n n
141
1
只 取 前 两 项 有 对 通 项 作 如 下 放 缩 ：
a ?1 ? C ? ? 2.
n n
n
1 1 n n ?1 n ? k ?1 1 1 1
k
C ? ? ? ? ? ? ? ? .
n
k k ?1
n k! n n n k! 1 ? 2 ?2 2
n ?1
1 1 1 1 1 ? (1/ 2)
故 有
a ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 3.
n
2 n ?1
2 2 1 ?1/ 2
2 2
i, m, n
② 上 述 数 列{ a } 的 极 限 存 在 ， 为 无 理 数 e ； 同 时 是 下 述 试 题 的 背 景 ： 已 知 是 正 整 数 ， 且1 ? i ? m ? n. （1 ）
n
n m
i i i i
证 明 ； （2 ） 证 明 (1 ? m) ? (1 ? n) . （01 年 全 国 卷 理 科 第 20 题 ）
n A ? m A
m n
1
n
简 析 对 第 （2 ） 问 ： 用1/ n 代 替 n 得 数 列 是 递 减 数 列 ； 借 鉴 此 结 论 可 有 如 下 简 捷 证 法 ：
{ b } : b ? (1 ? n)
n n
1
1 1
n n m
m n
数 列 {(1 ? n) } 递 减 ， 且1 ? i ? m ? n, 故 即 。
(1 ? m) ? (1 ? n) , (1 ? m) ? (1 ? n)
当 然 ， 本 题 每 小 题 的 证 明 方 法 都 有 10 多 种, 如 使 用 上 述 例 5 所 提 供 的 假 分 数 性 质 、 贝 努 力 不 等
式 、 甚 至 构 造“ 分 房 问 题” 概 率 模 型 、 构 造 函 数 等 都 可 以 给 出 非 常 漂 亮 的 解 决 ！ 详 见 文[1]。
n n 1 ? n.
例 46. 已 知 a+ b=1, a>0, b>0, 求 证 ：
a ? b ? 2
1
1 1
解 析: 因 为 a+b=1, a>0, b>0, 可 认 为 成 等 差 数 列 ， 设 ，
a, , b
a ? ? d, b ? ? d
2 2 2
n n
从 而 1 1
? ? ? ?
n n 1 ? n
a ? b ? ? d ? ? d ? 2
? ? ? ?
2 2
? ? ? ?
2 8
n
例 47. 设 n ? 1, n ? N ， 求 证 .
( ) ?
3 ( n ?1)( n ? 2)
2
n
解 析: 观 察 的 结 构 ， 注 意 到 3 1 ， 展 开 得
n n
( )
( ) ? (1 ? )
3
2 2
1 1 1 1 n n( n ?1) ( n ?1)( n ? 2) ? 6
n 1 2 3 1 ( n ?1)( n ? 2)
， 即 ， 得 证.
n
(1 ? ) ? 1 ? C ? ? C ? ? C ? ? ? ? 1 ? ? ?
(1 ? ) ?
n n n
2 3
2 2 2 2 2 8 8 2 8
ln 3 ? ln 2 1 ln 2
例 48. 求 证: . 解 析: 参 见 上 面 的 方 法, 希 望 读 者 自 己 尝 试!)
? ln(1 ? ) ?
n 2 n n
例 42.(2008 年 北 京 海 淀 5 月 练 习) 已 知 函 数 ， 满 足 ：
y ? f ( x), x ? N , y ? N
① 对 任 意 ， 都 有 ；
a, b ? N , a ? b a f ( a) ? b f ( b) ? a f ( b) ? b f ( a)
② 对 任 意 都 有 .
n ? N f [ f ( n)] ? 3 n
（I） 试 证 明 ： f ( x) 为 N 上 的 单 调 增 函 数 ；
（II） 求 ；
f (1) ? f (6) ? f (28)
n n 1 1 1 1
（III） 令 ， 试 证 明 ：.
a ? f (3 ), n ? N
≤ ? ? ? ? ?
n
4 n ? 2 a a a 4
1 2 n
解 析: 本 题 的 亮 点 很 多, 是 一 道 考 查 能 力 的 好 题.
(1) 运 用 抽 象 函 数 的 性 质 判 断 单 调 性:
因 为 , 所 以 可 以 得 到 ,
a f ( a) ? b f ( b) ? a f ( b) ? b f ( a) ( a ? b) f ( a) ? ( a ? b) f ( b) ? 0
也 就 是 , 不 妨 设 , 所 以, 可 以 得 到 , 也 就 是 说 为 上 的
a ? b f ( x) N
( a ? b)( f ( a) ? f ( b)) ? 0 f ( a) ? f ( b)
单 调 增 函 数.
(2) 此 问 的 难 度 较 大, 要 完 全 解 决 出 来 需 要 一 定 的 能 力!
首 先 我 们 发 现 条 件 不 是 很 足,, 尝 试 探 索 看 看 按(1)中 的 不 等 式 可 以 不 可 以 得 到 什 么 结 论, 一 发 现 就
有 思 路 了!
由(1)可 知 , 令 , 则 可 以 得 到
( a ? b)( f ( a) ? f ( b)) ? 0 b ? 1, a ? f (1)
15, 又 , 所 以 由 不 等 式 可 以 得 到 , 又
( f ( x) ?1)( f ( f (1)) ? f (1)) ? 0 f ( f (1)) ? 3 1 ? f (1) ? 3
, 所 以 可 以 得 到 ①
f (1) ? N f (1) ? 2
接 下 来 要 运 用 迭 代 的 思 想:
因 为 , 所 以 , , ②
f (1) ? 2 f (2) ? f [ f (1)] ? 3 f (3) ? f [ f (2)] ? 6 f (6) ? f [ f (3)] ? 9
, , ,
f (9) ? f [ f (6)] ? 18 f (18) ? f [ f (9)] ? 27 f (27) ? f [ f (18)] ? 54 f (54) ? f [ f (27)] ? 81
在 此 比 较 有 技 巧 的 方 法 就 是:
, 所 以 可 以 判 断 ③
81 ? 54 ? 27 ? 54 ? 27
f (28) ? 55
当 然, 在 这 里 可 能 不 容 易 一 下 子 发 现 这 个 结 论, 所 以 还 可 以 列 项 的 方 法, 把 所 有 项 数 尽 可 能 地 列 出
来, 然 后 就 可 以 得 到 结 论.
所 以, 综 合 ① ② ③ 有 =
f (1) ? f (6) ? f (28) 55 ? 9 ? 2 ? 66
(3)在 解 决 的 通 项 公 式 时 也 会 遇 到 困 难.
{ a }
n
n n ?1 n ?1 n n n n
, 所 以 数 列 的 方 程 为 ,
f [ f (3 )] ? 3 , f (3 ) ? f { f [ f (3 )]} ? 3 f (3 ), ? a ? 3 a a ? f (3 ), n ? N a ? 2 ? 3
n ?1 n n n
1 1 1 1 1
从 而 ,
? ? ? ? ? (1 ? )
n
a a a 4 3
1 2 n
1 1 1
n n 0 0 1 1
一 方 面 , 另 一 方 面
3 ? (1 ? 2) ? C ? 2 ? C ? 2 ? 2 n ?1
(1 ? ) ?
n n
n
4 3 4
1 1 1 1 1 2 n n
所 以 , 所 以, 综 上 有
(1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ?
n
4 3 4 2 n ?1 4 2 n ?1 4 n ? 2
n 1 1 1 1
.
≤ ? ? ? ? ?
4 n ? 2 a a a 4
1 2 n
例 49. 已 知 函 数 f ? x ? 的 定 义 域 为[0,1] ， 且 满 足 下 列 条 件 ：
① 对 于 任 意 x ?[0,1]， 总 有 ， 且 ； ② 若 则 有
f x ? 3 f x ? x ? f x ? f ( x ) ? 3.
? ? f 1 ? 4 x ? 0, x ? 0, x ? x ? 1, ? ? ? ?
? ? 1 2 1 2
1 2 1 2
（ Ⅰ ） 求 f ?0 ? 的 值 ； （ Ⅱ ） 求 证 ： f ? x ?≤4 ；
1 1
（ Ⅲ ） 当 时 ， 试 证 明 ： f ( x) ? 3 x ? 3.
x ?( , ]( n ?1,2,3, ? ? ?)
n n ?1
3 3
解 析: （ Ⅰ ） 解 ： 令 x ? x ? 0 ， 由 ① 对 于 任 意 x ?[0,1] ， 总 有 f x ? 3 ， ∴ f (0) ? 3
? ?
1 2
又 由 ② 得 f (0) ? 2 f (0) ? 3, 即 f (0) ? 3; ∴ f (0) ? 3.
（ Ⅱ ） 解 ： 任 取 x , x ?[0,1], 且 设 x ? x , 则
f ( x ) ? f [ x ? ( x ? x )] ? f ( x ) ? f ( x ? x ) ? 3,
1 2 1 2
2 1 2 1 1 2 1
因 为 ， 所 以 ， 即 ∴ f ( x ) ? f ( x ) .
x ? x ? 0 f ( x ? x ) ? 3 ? 0,
f ( x ? x ) ? 3
2 1 2 1 1 2
2 1
∴ 当 x ?[0,1]时 ， .
f ( x) ? f (1) ? 4
1 1
（ Ⅲ ） 证 明 ： 先 用 数 学 归 纳 法 证 明 ：
f ( ) ? ? 3( n ? N)
n ?1 n ?1
3 3
1 1
（1 ） 当 n=1 时 ， ， 不 等 式 成 立 ；
f ( ) ? f (1) ? 4 ?1 ? 3 ? ? 3
0 0
3 3
（2 ） 假 设 当 n=k 时 ， 1 1
f ( ) ? ? 3( k ? N)
k ?1 k ?1
3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
由
f ( ) ? f [ ? ( ? )] ? f ( ) ? f ( ? ) ? 3 ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? 6
k ?1 k k k k k k k k k
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 1 1
得
3 f ( ) ? f ( ) ? 6 ? ? 9.
k k ?1 k ?1
3 3 3
即 当 n=k+1 时 ， 不 等 式 成 立
161 1
由 （1 ） 、 （2 ） 可 知 ， 不 等 式 对 一 切 正 整 数 都 成 立.
f ( ) ? ? 3
n ?1 n ?1
3 3
1 1
1 1 1
于 是 ， 当 时 ， ，
x ?( , ]( n ?1,2,3, ? ? ?) 3 x ? 3 ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? f ( )
n n ?1 n n ?1 n ?1
3 3 3 3 3
1 1 1
而 x ?[0,1]， 单 调 递 增 ∴ 所 以 ，
f x
? ? f ( ) ? f ( ) f ( x) ? f ( ) ? 3 x ? 3.
n n ?1 n ?1
3 3 3
2 2 2 2
例 50. 已 知 ： 求 证 ：
a a a a 1
a ? a ? ? ? a ? 1, a ? 0 ( i ? 1,2 ? n)
1 2 n ?1 n
1 2 n i
? ? ? ? ? ?
a ? a a ? a a ? a a ? a 2
1 2 2 3 n ? 1 n n 1
2 2 2 2
a a a a
解 析: 构 造 对 偶 式 ： 令
1 2 n ?1 n
A ? ? ? ? ? ?
a ? a a ? a a ? a a ? a
1 2 2 3 n ?1 n n 1
2 2 2 2
a a a a
2 3 n 1
B ? ? ? ? ? ?
a ? a a ? a a ? a a ? a
1 2 2 3 n ?1 n n 1
2 2 2 2 2 2 2 2
a ? a a ? a a ? a a ? a
1 2 2 3 n ?1 n n 1
则 ＝
( a ? a ) ? ( a ? a ) ? ? ? ( a ? a ) ? ( a ? a ) ? 0, ? A ? B
A ? B ? ? ? ? ? ?
1 2 2 3 n ?1 n n 1
a ? a a ? a a ? a a ? a
1 2 2 3 n ?1 n n 1
2 2
a ? a
1
又 ? i j （
i, j ? 1,2 ? n)
? ( a ? a )
i j
a ? a 2
i j
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1
1 1 a ? a a ? a a ? a a ? a
1 2 2 3 n ?1 n n 1
? ?( a ? a ) ? ( a ? a ) ? ? ? ( a ? a ) ? ( a ? a ) ? ?
? A ? ( A ? B) ? ( ) ? ? ? ? ?
1 2 2 3 n ?1 n n 1
4 2
2 2 a ? a a ? a a ? a a ? a
1 2 2 3 n ?1 n n 1
十 一 、 积 分 放 缩
利 用 定 积 分 的 保 号 性 比 大 小
b
保 号 性 是 指 ， 定 义 在 上 的 可 积 函 数 ， 则 .
f x ? ? 0
? a, b ? ? ? ? ? f x d x ? ? 0
? ? ? ?
?
a
e ?
例 51. 求 证 ： .
? ? e
?
ln ? ln e
? ?
e ? ln ? ln e ?ln x ? ? ln x ? 1 ? ln x
解 析: ， ∵ ，
? ? e ? ?
? ? ? d ? dx
? ? ? 2
? ? ?
e e
? e ? e x x x
? ? ? ?
e
e ?
ln ? ln e
1 ? ln x ?
时 ， ， 1 ? ln x ， ∴ ， ? ? e .
x ? e, ?
? ? ?
? 0 d x ? 0
2 ? 2
e
x x ? e
利 用 定 积 分 估 计 和 式 的 上 下 界
定 积 分 产 生 和 应 用 的 一 个 主 要 背 景 是 计 算 曲 边 梯 形 的 面 积 ， 现 在 用 它 来 估 计 小 矩 形 的 面 积 和.
1 1 1
例 52. 求 证 ： ， .
? n ?1, n ? N ?
1 ? ? ? ? ? ? 2 n ?1 ?1
? ?
2 3 n
1
解 析: 考 虑 函 数 在 区 间 上 的 定 积 分.
i ? 1, 2,3, ?, n
? ?
? i, i ?1 ?
f x ?
? ?
x
i ?1
1 1 1
如 图 ， 显 然 -①
? ?1 ? dx
?
i
i i x
n n
i ?1 n ?1
1 1 1
对 i 求 和 ，
? d x ? dx
? ?
? ?
i 1
i x x
i ?1 i ?1
n ?1
.
? ?
? 2 x ? 2 n ?1 ?1
? ?
? ?
1
171 1 1 1 7
例 53. 已 知 . 求 证 ： .
n ? N, n ? 4
? ? ? ? ? ?
n ?1 n ? 2 n ? 3 2 n 10
1
解 析: 考 虑 函 数 在 区 间 上 的 定 积 分.
i ? 1, 2,3, ?, n
i ?1 i ? ?
f ? x ? ? ? ?
,
? ?
1 ? x
? n n ?
i
1
∵ n -②
1 ? d x
i ?1
1 1 ?
? ? 1 ? x
n ? i
n
i
n
1 ?
n
i
n
1 1
n 1 1
n 7
∴ 1 .
n ? dx ? d x ? ?ln 1 ? x ?
? ? ? ln 2 ?
1 1 ? i ?1
? ? ? ?
? 0
0
? ? 1 ? x 1 ? x 10
n ? i
i ?1 ? i ?1
n
i
n
i ?1
1 ?
n
2
例 54. （2003 年 全 国 高 考 江 苏 卷 ） 设 ， 如 图 ， 已 知 直 线 及 曲 线 C ： ， C 上 的 点 Q 的 横 坐
a ? 0 y ? x
l : y ? ax
1
标 为 a （ ）. 从 C 上 的 点 作 直 线 平 行 于 x 轴 ， 交 直 线 l 于 点 ， 再 从 点 P 作 直 线 平 行 于 y
P
0 ? a ? a
1 Q ? n ?1 ? n ?1 n ?1
1
n
轴 ， 交 曲 线 C 于 点 . 的 横 坐 标 构 成 数 列 .
Q a
Q n ? 1, 2, ?, n ? ?
n ?1 ? ?
n n
（ Ⅰ ） 试 求 a 与 a 的 关 系 ， 并 求 ? a ? 的 通 项 公 式 ；
n ?1 n n
1
（ Ⅱ ） 当 时 ， 证 明 n ；
1
a ? 1, a ?
1 ( a ? a ) a ?
? k k ?1 k ?2
2
32
k ?1
n
1
（ Ⅲ ） 当 时 ， 证 明 .
a ?1
( a ? a ) a ?
?
k k ?1 k ?2
k ?1
3
n ?1
a
2
1
解 析: （ 过 程 略 ）.
a ? a( )
n
a
2
1 1 1
证 明 （II） ： 由 a ? 1 知 ， ∵ ， ∴ .
a ? a
n ?1 n a ? a ? , a ?
1 2 3
2 4 16
1
∵ 当 时 ， ，
k ? 1
a ? a ?
k ?2 3
16
n n
∴ 1 1 1 .
? ( a ? a ) a ? ? ( a ? a ) ? ( a ? a ) ?
k k ?1 k ?2 k k ?1 1 n ?1
k ?1 k ?1
16 16 32
18证 明 （ Ⅲ ） ： 由 知 2.
a ?1
a ? a
k ?1 k
2
∴ 恰 表 示 阴 影 部 分 面 积 ，
( a ? a ) a ? ( a ? a ) a
k k ?1 k ?2 k k ?1 k ?1
a
k
显 然 ④
2 2
( a ? a ) a ? x d x
k k ?1 k ?1
?
a
k ?1
n n a
∴ n 1 1 1 .
2
a k 3
2
2 ? x d x
? a ?
( a ? a ) a ? ( a ? a ) a ? x d x ?
? k k ?1 k ?2 ? k k ?1 k ?1 0 1
?
?
a 3 3
k ?1
k ?1 k ?1 k ?1
奇 巧 积 累: 将 定 积 分 构 建 的 不 等 式 略 加 改 造 即 得“ 初 等” 证 明 ， 如 ：
i ?1
1 1
① ；
? ? dx ? 2 i ?1 ? i
? ?
?
i
i x
1 i
i i ?1
② ? ? ? ? ；
1
n
? ln 1 ? ? ln 1 ?
? dx
i ?1 ? ? ? ?
?
n ? i
1 ? x n n
? ? ? ?
n
sin ?
i
1
③ sin ? ? sin ? ；
i i ?1
? d x ? ? ? ?
i i ?1
2
?
2
sin ?
i ?1 1 ? x
1 ? sin ?
i ?1
a
④ k 1 .
2 2 3 3
( a ? a ) a ? x d x ? a ? a
? ?
k k ?1 k ?1 k k ?1
?
a
k ?1 3
十 二 、 部 分 放 缩 (尾 式 放 缩 )
1 1 1 4
例 55. 求 证:
? ? ? ? ?
n ?1
3 ?1 3 ? 2 ?1 3 ? 2 ?1 7
1
1 1 1 1 1 1 11 1 1
解 析:
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
11 1 47 48 4
n ?1 n ?1 2 n ?1
4
3 ?1 3 ? 2 ?1 4 7 28 ? ? ? ? ? ?
3 ? 2 ?1 3 ? 2 ?1 3 ? 2 3 ? 2
1
28 3 84 84 7
1 ?
2
1 1
1
例 56. 设 求 证 ：
a ? 2.
? ? ? , a ? 2.
a ? 1 ? ? n
n a a
a
2 3 n
1 1 1 1 1 1
解 析:
a ? 1 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? .
n
a a a 2 2 2
2 3 n 2 3 n
2 1 1 1 1
又 （ 只 将 其 中 一 个 k 变 成 k ?1 ， 进 行 部 分 放 缩 ） ， ，
k ? k ? k ? k( k ?1), k ? 2
? ? ? ?
2
k( k ?1) k ?1 k
k
1
1 1 1 1 1 1 1 1
于 是
? 2 ? ? 2.
a ? 1 ? ? ? ? ? ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )
n
2 2 2
2 3 n 2 2 3 n ?1 n n
2
例 57. 设 数 列 满 足 ， 当 时
? a ? a ? a ? n a ?1 ? n ? N ? a ? 3
n n ?1 n n ? 1
1 1 1 1
证 明 对 所 有 n ? 1, 有 ；
( i) a ? n ? 2
n
( i i) ? ? ? ? ?
1 ? a 1 ? a 1 ? a 2
1 2 n
解 析: ( i) 用 数 学 归 纳 法 ： 当 时 显 然 成 立 ， 假 设 当 时 成 立 即 ， 则 当 时
n ? 1 n ? k a ? k ? 2 n ? k ?1
k
， 成 立 。
a ? a ( a ? k) ?1 ? a ( k ? 2 ? k) ?1 ? ( k ? 2) ? 2 ?1 ? k ? 3
k ?1 k k k
( i i) 利 用 上 述 部 分 放 缩 的 结 论 a ? 2 a ? 1 来 放 缩 通 项 ， 可 得
k ?1 k
1 1
k ?1 k ?1 k ?1
a ? 1 ? 2( a ? 1) ?
k ?1 k a ? 1 ? ? ? 2 ( a ? 1) ? 2 ? 4 ? 2 ? ? .
k 1
k ?1
a ? 1 2
k
1
n
1 ? ( )
n n
1 1 1 1
2
? ? ? ? .
? ?
i ?1
1
1 ? a 2 4 2
i ?1 i ?1
i
1 ?
2
注 ： 上 述 证 明 ( i) 用 到 部 分 放 缩 ， 当 然 根 据 不 等 式 的 性 质 也 可 以 整 体 放 缩 ： ；
a ? ( k ? 2)( k ? 2 ? k) ? 1 ? k ? 3
k ?1
19
证 明 就 直 接 使 用 了 部 分 放 缩 的 结 论
( i i) a ? 2 a ? 1
k ?1 k
十 三 、 三 角 不 等 式 的 放 缩
y
例 58. 求 证: .
| sin x | ?| x | ( x ? R)
P
解 析:(i) 当 x ? 0 时,
| sin x | ?| x |
A
?
(ii)当 时, 构 造 单 位 圆, 如 图 所 示:
0 ? x ?
2
x
O
B
T
因 为 三 角 形 A O B 的 面 积 小 于 扇 形 O A B 的 面 积
所 以 可 以 得 到
sin x ? x ?| sin x | ?| x |
?
当 时
| sin x | ?| x |
x ?
2
所 以 当 时 有
x ? 0 sin x ? x | sin x | ?| x |
(iii)当 x ? 0 时, ? x ? 0 , 由(ii) 可 知:
| sin x | ?| x |
所 以 综 上 有
| sin x | ?| x | ( x ? R)
十 四 、 使 用 加 强 命 题 法 证 明 不 等 式
(i)同 侧 加 强
对 所 证 不 等 式 的 同 一 方 向( 可 以 是 左 侧, 也 可 以 是 右 侧) 进 行 加 强. 如 要 证 明 , 只 要 证 明
f ( x) ? A
, 其 中 通 过 寻 找 分 析, 归 纳 完 成.
f ( x) ? A ? B( B ? 0) B
n
1
例 59. 求 证: 对 一 切 , 都 有 .
n( n ? N)
? 3
?
k k
k ?1
? ?
1 1 1 1 1 1 1
解 析:
? ?
? ? ? ? ? ?
3 2 ? ?
k k ( k ?1) k( k ?1) ( k ?1) k k( k ?1) k ?1 ? k ?1
k k( k ?1)
? ?
? ?
1 1 1 1 ? 1 1 ? k ?1 ? k ?1
? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
2
( k ?1) k k( k ?1) k ?1 ? k ?1 k k ?1 k ?1
? ?
? ?
1 1 1 2 k 1 1
? ?
? ? ? ? ?
? ?
k k ?1 k ?1 2 k ?1 k ?1
? ?
n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1
从 而
? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 3
?
2
k k 1 3 2 4 3 5 k ?1 k ?1 k k ?1
k ?1
当 然 本 题 还 可 以 使 用 其 他 方 法, 如:
? ?
? 1 1 ?
1 1 1 1 1 1 1 k ? k ?1 ? 1 1 ?
? ?
? 2 ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? 2 ?
k k k k ?1 k ? k ? k ?1 k( k ?1) k ? k ?1 k 1 k ?1 k ? k ? 1 k ?
k ? ?
? ?
n n
1 1 1
所 以 .
? 1 ? ? 1 ? 2(1 ? ) ? 3
? ?
k k k k k
k ?1 k ?2
(ii)异 侧 加 强( 数 学 归 纳 法)
(iii) 双 向 加 强
有 些 不 等 式, 往 往 是 某 个 一 般 性 命 题 的 特 殊 情 况, 这 时, 不 妨” 返 璞 归 真”, 通 过 双 向 加 强 还 原 其 本 来 面
目, 从 而 顺 利 解 决 原 不 等 式. 其 基 本 原 理 为:
欲 证 明 , 只 要 证 明: .
A ? f ( x) ? B A ? C ? f ( x) ? B ? C( C ? 0, A ? B)
1
例 60. 已 知 数 列 满 足: , 求 证:
{ a } 2 n ?1 ? a ? 3 n ? 2( n ? 2).
n a ? 1, a ? a ? n
1 n ?1 n
a
n
202
2 2
? 1 ?
解 析: 2 2 , 从 而 , 所 以 有
a ? a ? 2
? ? n n ?1
a ? a ? ? a ? 2
n n ?1 k ?1
? ?
a
? n ?1 ?
2 2 2 2 2 2 2 2
, 所 以
a ? ( a ? a ) ? ( a ? a ) ? ? ? ( a ? a ) ? a ? 2( n ?1) ?1 ? 2 n ?1 a ? 2 n ?1
n n n ?1 n ?1 n ?2 2 1 1 n
2
2 2
? ?
又 1 , 所 以 , 所 以 有
2 2
a ? a ? 3
n n ?1
a ? ? a ? ? ? a ? 3
n n ?1 k ?1
? ?
a
? n ?1 ?
2 2 2 2 2 2 2 2
所 以
a ? ( a ? a ) ? ( a ? a ) ? ? ? ( a ? a ) ? a ? 3( n ?1) ?1 ? 3 n ? 2 a ? 3 n ? 2
n n n ?1 n ?1 n ?2 2 1 1 n
所 以 综 上 有
2 n ?1 ? a ? 3 n ? 2( n ? 2).
n
1
n
引 申: 已 知 数 列 满 足: , 求 证: .
{ a } 1
a ? 1, a ? a ?
n
1 n ?1 n ? 2 n ?1
?
a
a
n k ?1
k
解 析: 由 上 可 知 , 又 , 所 以
a ? 2 n ?1 1 1 2
2 n ?1 ? 2 n ? 3
n
2 n ?1 ? ? ? ? 2 n ?1 ? 2 n ? 3
2
a 2 n ?1 2 n ?1 ? 2 n ? 3
n
n
1
从 而
? 1 ? 3 ? 1 ? 5 ? 3 ? ? ? 2 n ?1 ? 2 n ? 3 ? 2 n ?1( n ? 2)
?
a
k ?1
k
n
1 1
又 当 时, , 所 以 综 上 有 .
n ? 1
? 1
? 2 n ?1
?
a a
k ?1
1 k
2 2
?
同 题 引 申: (2008 年 浙 江 高 考 试 题)已 知 数 列 , , , .
a ? 0 a ? 0 a ? a ?1 ? a ( n ? N )
? a ?
n 1 n ?1 n ?1 n
n
?
记 , . 求 证: 当 时.
1 1 1
S ? a ? a ? ? ? a n ? N
n 1 2 n
T ? ? ? ? ?
n
1 ? a (1 ? a )(1 ? a ) (1 ? a )(1 ? a ) ?(1 ? a )
1 1 2 1 2 n
(1) ; (2) ; ★(3) .
T ? 3
a ? a S ? n ? 2
n n ?1 n n
2 2
解 析:(1) , 猜 想 , 下 面 用 数 学 归 纳 法 证 明:
a ? a ? 1 ? a a ? 1
n ?1 n n ?1 n
(i)当 时, , 结 论 成 立;
n ? 1 a ? 1
1
2 2
(ii) 假 设 当 时, , 则 时,
n ? k( k ? 1) a ? 1 n ? k ?1( k ? 1) a ? a ? 1 ? a
k k ?1 k ?1 k
2
从 而 , 所 以
a ? a ? 2 ? a ? 1 0 ? a ? 1
k ?1 k ?1 n ?1 k ?1
2 2
所 以 综 上 有 , 故
0 ? a ? 1 a ? a ? 0 ? a ? a
n n ?1 n n ?1 n
2 2 2 2 2 2 2 2
(2) 因 为 则 , , … , , 相 加 后 可 以 得
a ? a ? 1 ? a a ? a ? 1 ? a a ? a ? 1 ? a a ? a ? 1 ? a
n ?1 n n ?1 2 1 2 3 2 3 n ?1 n n ?1
2 2 2
到: , 所 以
a ? a ? n ? ( a ? a ? ? ? a ) ? S ? n ? a
n ?1 1 2 3 n ?1 n ?1 n ?1
2
, 所 以
S ? n ?1 ? a ? n ? 2
S ? n ? 2
n n n
2 2 2 a a
1
(3) 因 为 , 从 而 n , 有 n ?1 , 所 以 有
a ? a ? 1 ? a ? 2 a
a ?1 ? ?
n ?1 n ?1 n n
n ?1
a 1 ? a 2 a
n ?1 n ?1 n
1 a a a a
n ?1 n 3 n ?1 , 从 而
? ? ? ?
n ?1
(1 ? a ) ?(1 ? a )(1 ? a ) 2 a 2 a 2 a 2 a
3 n n ?1 n n ?1 2 2
1 a 1 a
n ?1 n ?1
, 所 以
? ? ?
n ?1 n ?1
(1 ? a )(1 ? a )(1 ? a ) ?(1 ? a )(1 ? a ) 2 a 1 ? a 2
1 2 3 n n ?1 2 2
21a a
1 1
n n , 所 以
? ? ?
n21 n ?2
(1 ? a )(1 ? a )(1 ? a ) ?(1 ? a ) 2 a 1 ? a 2
1 2 3 n 2 2
1 a a a 1 1 1 1 2
3 4 n
T ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?1 ?1 ? 3
n
2 n ?2 2 n ?2
1 ? a 2 2 2 1 ? a 2 2 2
5 ?1
2 2
所 以 综 上 有 .
T ? 3
n
3 a
例 61.(2008 年 陕 西 省 高 考 试 题)已 知 数 列 的 首 项 , , ．
3 n n ? 1 ， 2 ， ?
{ a }
n a ?
a ? n ?1
1
5 2 a ?1
n
1 1 2
? ?
(1) 证 明: 对 任 意 的 , , ;
x ? 0 n ? 1 ， 2 ， ?
a ≥ ? ? x
n ? ?
2 n
1 ? x (1 ? x) 3
? ?
2
n
(2) 证 明: .
a ? a ? ? ? a ?
1 2 n
n ?1
n
3 2
1 1 2
? ?
解 析:(1)依 题, 容 易 得 到 , 要 证 , , ,
x ? 0 n ? 1 ， 2 ， ?
a ? ? 1 ?
a ≥ ? ? x
n
n n n 2 ? n ?
2 ? 3 3 1 ? x (1 ? x) 3
? ?
2 1 1 2 2 2 1
? ?
即 证
1 ? ? ? ? ? x ?1 ?1 ? ? ? ?
n 2 n n 2 2
3 1 ? x (1 ? x) 3 1 ? x 3 (1 ? x) (1 ? x)
? ?
n
n
2 2 ? 3 2 1
即 证 , 设 所 以 即 证 明 2 ? 3 2
2
? ? ?1 ? 0 t ?
?( t) ? ? ? t ? 2 t ? ?1 ? 0(0 ? t ?1)
n 2 n
n n
1 ? x 3 3
1 ? x 3 (1 ? x) 3
n
2 ? 3 2
从 而 , 即 , 这 是 显 然 成 立 的.
?(1) ? 0
? ? 2 ? ?1 ? 0
n n
3 3
所 以 综 上 有 对 任 意 的 , 1 1 2 ,
x ? 0 ? ? n ? 1 ， 2 ， ?
a ≥ ? ? x
n ? ?
2 n
1 ? x (1 ? x) 3
? ?
(法 二)
1 1 ? 2 ?
1 1 ? 2 ?
? ? x
? ? ? 1 ? 1 ? x
? ?
2 n 2 ? n ?
1 ? x (1 ? x) 3
? ? 1 ? x (1 ? x) ?3 ?
2 , ? 原 不 等 式 成 立 ．
? ? 2 1 1 1
1 1 1 ? ? ≤ a
n
? ? ? ? ? a ? a
? ? ? (1 ? x)
? ? 2 ? n ? n
2
1 ? x a (1 ? x)
1 ? x (1 ? x) a a ?1 ? x ?
n n
? n ?
(2) 由(1)知 ， 对 任 意 的 x ? 0 ， 有
1 1 2 1 1 2 1 1 2
? ? ? ? ? ?
a ? a ? ? ? a ≥ ? ? x ? ? ? x ? ? ? ? ? x
1 2 n 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? n ?
1 ? x (1 ? x) 3 1 ? x (1 ? x) 3 1 ? x (1 ? x) 3
? ? ? ? ? ?
n 1 2 2 2
? ? ．
? ? ? ? ? ? ? n x
? ?
2 2 n
1 ? x (1 ? x) 3 3 3
? ?
2 ? 1 ?
? 取 ，
1 ?
? ?
n
1 ? 2 2 2 ? 3 3 1 ? 1 ?
? ?
x ? ? ? ? ? ? ? 1 ?
? ? ? ?
2 n n
n 3 3 3 ? 1 ? n 3
? ? ? ?
n 1 ?
? ?
3
? ?
则 ．
2 2
n n n
a ? a ? ? ? a ≥ ? ?
1 2 n
1 1 1
? ? n ?1
n ?1 ?
1 ? 1 ?
? ? n
n
3
n 3
? ?
? 原 不 等 式 成 立 ．
十 四 、 经 典 题 目 方 法 探 究
探 究 1.(2008 年 福 建 省 高 考)已 知 函 数 . 若 在 区 间 上 的 最 小 值 为 ,
f ( x) ? ln(1 ? x) ? x f ( x) [0, n]( n ? N)
b
n
a a ? a a ? a ? a ? ? ? a
令 . 求 证: 1 1 3 1 3 5 2 n ?1 .
a ? ln(1 ? n) ? b
n n ? ? ? ? ? 2 a ?1 ?1
n
a a ? a a ? a ? a ? ? ? a
2 2 4 2 4 6 2 n
1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2 n ?1) 1
证 明: 首 先: 可 以 得 到 . 先 证 明
a ? n
?
n n
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 n 2 n ?1
222
1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2 n ?1) 1
1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2 n ?1) 1 ? 3 3 ? 5 (2 n ?1)(2 n ?1) 1 1
(方 法 一) ? ? 所 以
?
? ? ? ? ? ? ?
? ? 2 2 2
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 n
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 n 2 4 (2 n) 2 n ?1 2 n ?1 2 n ?1
? ?
1 1 ?1 2 3 3 ?1 4 2 n ?1 2 n ?1 ?1 2 n
(方 法 二)因 为 , 相 乘 得:
? ? , ? ? , ?, ? ?
2 2 ?1 3 4 4 ?1 5 2 n 2 n ?1 2 n ?1
2
1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2 n ?1) 1
? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2 n ?1) 1
, 从 而 .
? ?
? ?
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 n 2 n ?1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 n
? ? 2 n ?1
2
1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2 n ?1)
(方 法 三)设 A= , B= 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 n , 因 为 A2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 n
3 ? 5 ? 7 ? ? ? (2 n ?1)
2
1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2 n ?1) 1
? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2 n ?1) 1
所 以 , 从 而 .
? ?
? ?
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 n 2 n ?1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 n 2 n ?1
? ?
a a ? a a ? a ? a ? ? ? a
下 面 介 绍 几 种 方 法 证 明 1 1 3 1 3 5 2 n ?1
? ? ? ? ? 2 a ?1 ?1
n
a a ? a a ? a ? a ? ? ? a
2 2 4 2 4 6 2 n
2 n ? 1 ? 2 n ? 1
1
(方 法 一)因 为 , 所 以 , 所 以 有
2 n ? 1 ? ? 2 n ? 1 ? 2 n ? 1
2
2 n ? 1
n
1 1 ?3 1 ?3 ?5 ? ? ? (2 n ?1)
? ? ? ? ? 2 k ?1 ? 2 n ?1 ?1
?
2 2 ? 4 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 n
k ?1
2
(方 法 二) , 因 为 , 所 以
1 2 1
n ? 2 ? n ?
? n ? 2 ? n
?
n ? 2 ? n n ? 2
n ? 2 n ? 2 ? n
令 , 可 以 得 到 , 所 以 有
n ? 2 n ? 1
1
? 2 n ? 1 ? 2 n ? 1
2 n ? 1
n
1 1 ?3 1 ?3 ?5 ? ? ? (2 n ?1)
? ? ? ? ? 2 k ?1 ? 2 n ?1 ?1
?
2 2 ? 4 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 n
k ?1
1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2 n ?1) 2 n ? 1
(方 法 三)设 所 以 ,
2( n ?1) a ? a ? (2 n ?1) a ? a
a ? , a ? a n ?1 n ?1 n n ?1
n n ?1 n
2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 n 2 n ? 2
从 而 , 从 而
a ? [2( n ?1) ?1] a ? (2 n ?1) a a ? (2 n ?1) a ? (2 n ?1) a
n ?1 n ?1 n n n n ?1
3
1
又 ,
a ? a ? a ? ? ? a ? (2 n ?1) a ? (2 n ?1) a ? (2 n ?1) a ? (2 n ? 3) a ? ? ? 5 a ? 3 a ? (2 n ?1) a ?
a ?
1 2 3 n n n ?1 n ?1 n ?2 2 1 n
n
2
2 n ? 1
3
所 以
a ? a ? a ? ? ? a ? 2 n ?1 ? ? 2 n ?1 ?1
1 2 3 n
2
n
(方 法 四)运 用 数 学 归 纳 法 证 明: 1
? 2 n ?1 ?1
?
k ?1 2 k ?1
(i) 当 时, 左 边= 1 , 右 边= 显 然 不 等 式 成 立;
n ? 1
2 1
3
3 ?1 ? ?
3 ?1 3 ?1
2
k
(ii) 假 设 时, 1 , 则 时, 1 1 1 1 1 ,
n ? k ?1
n ? k( k ? 1)
? 2 k ?1 ?1 ? ? ? ? ? ? 2 k ?1 ?1 ?
?
i ?1 2 i ?1 3 5 2 k ?1 2 k ? 3 2 k ? 3
k ?1
所 以 要 证 明 1 , 只 要 证 明 , 这 是 成 立 的.
? 2 k ? 3 ?1
?
1 1 1
2 i ?1 2 k ? 1 ? ? 2 k ? 3 ? ? 2 k ? 3 ? 2 k ? 1 ?
i ?1
2 k ? 3 2 k ? 3 2 k ? 3 ? 2 k ? 1
2
这 就 是 说 当 时, 不 等 式 也 成 立, 所 以, 综 上 有 a a ? a a ? a ? a ? ? ? a
n ? k ?1
1 1 3 1 3 5 2 n ?1
? ? ? ? ? 2 a ?1 ?1
n
a a ? a a ? a ? a ? ? ? a
2 2 4 2 4 6 2 n
sin x
a
探 究 2.(2008 年 全 国 二 卷)设 函 数 . 如 果 对 任 何 x ≥ 0 ， 都 有 ， 求 的 取 值 范 围 ．
f ( x) ≤ ax
f ( x) ?
2 ? cos x
2
sin x
解 析: 因 为 , 所 以
cos x(2 ? cos x) ? sin x 1 ? 2cos x
f ( x) ?
f ''( x) ? ?
2 2
2 ? cos x
(cos x ? 2) (cos x ? 2)
23设 , 则 ,
g( x) ? f ( x) ? a x g(0) ? 0
1 ? 2 cos x cos x ? 2 ? cos x ? 2 ? 1 ? 2 2 3
g''( x) ? f ''( x) ? a ? ? a ? ? a ? ? ? a
2 2 2
(cos x ? 2) (cos x ? 2) cos x ? 2 (cos x ? 2)
因 为 , 所 以
2 3 1
| cos x | ? 1 ? ?
? ? ? 1,
2
? ?
cos x ? 2 (cos x ? 2) ? 3 ?
(i)当 1 时, 恒 成 立, 即 , 所 以 当 1 时, 恒 成 立.
g( x) ? g(0) ? 0 f ( x) ≤ ax
g''( x) ? 0
a ? a ?
3 3
? 1 ?
(ii)当 时, , 因 此 当 时, 不 符 合 题 意.
a ?0 a ?0
f ( ) ? ? 0 ? a ? ( )
2 2 2
(iii) 当 1 时, 令 ， 则 故 当 时, .
h( x) ? sin x ? 3 a x ?
h ( x) ? cos x ? 3 a h ?( x) ? 0
x ? 0 ， arccos3 a
? ?
0 ? a ?
3
因 此 h( x) 在 上 单 调 增 加. 故 当 时, ,
x ? (0 ， arccos 3 a)
0 ， arccos3 a h( x) ? h(0) ? 0
? ?
即 . 于 是 ， 当 时 ， sin x sin x
sin x ? 3 a x
x ? (0 ， arccos3 a)
f ( x) ? ? ? a x
2 ? cos x 3
所 以 综 上 有 的 取 值 范 围 是
a ?1 ?
, ? ?
?
?
3
? ?
变 式 ： 若 0 ? x ? arccos 3 a , 其 中 i ? 1,2,3, ?, n
i
1
且 , x ? x ? x ? ? ? x ? arccos 3 a , 求 证:
0 ? a ?
1 2 3 n
3
x x x x
3 a
1 2 3 n
.
tan ? tan ? tan ? ? ? tan ? arccos 3 a
2 2 2 2 2
x sin x sin x
i i i
证 明 ： 容 易 得 到
tan ? ?
2 cos x ?1 2
i
由 上 面 那 个 题 目 知 道 sin x ? 3 ax
i i
x x x x 3 a
1 2 3 n
就 可 以 知 道
tan ? tan ? tan ? ? ? tan ? arccos 3 a
2 2 2 2 2
1 ? x
? a x
★ 同 型 衍 变:(2006 年 全 国 一 卷)已 知 函 数 . 若 对 任 意 x ∈(0,1) 恒 有 f (x) >1, 求 a 的 取 值 范 围.
f ( x) ? e
1 ? x
2
解 析: 函 数 f (x)的 定 义 域 为(-∞, 1)∪(1, +∞), 导 数 为 a x ? 2 ? a .
? a x
?
f ( x) ? e
2
(1 ? x)
(ⅰ) 当 0< a≤2 时, f (x) 在 区 间 (-∞, 1) 为 增 函 数, 故 对 于 任 意 x ∈(0, 1) 恒 有 f (x) > f (0) =1, 因
而 这 时 a 满 足 要 求.
a ? 2
(ⅱ) 当 a>2 时, f (x) 在 区 间 (- a ? 2 , ) 为 减 函 数, 故 在 区 间(0, a ? 2 ) 内 任 取 一 点, 比 如 取
a a
a
1
a ? 2 , 就 有 x ∈(0, 1) 且 f (x ) < f (0) =1, 因 而 这 时 a 不 满 足 要 求.
0 0
x ?
0
2
a
(ⅲ) 当 a≤0 时, 对 于 任 意 x ∈(0, 1) 恒 有
1 ? x
? a x
1 ? x
≥ , 这 时 a 满 足 要 求.
f ( x) ? e
? 1
1 ? x 1 ? x
综 上 可 知, 所 求 a 的 取 值 范 围 为 a≤2.
24 |
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