高中数学必修 4 知识点
第 一章 三角 函数
? 正 角: 按 逆 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角
?
1 、 任 意 角 负 角: 按 顺 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角
?
?
零 角: 不 作 任 何 旋 转 形 成 的 角
?
2、 象限的 角 ： 在直 角坐 标系 内， 顶点 与原 点重 合， 始 边与 x 轴的 非负 半轴 重合 ， 角 的终 边落
在第几 象限 ， 就 是第几 象 限的角 ； 角 的终 边落在 坐 标轴上 ， 这 个角不 属于 任 何
象限， 叫做 轴线角 。
第一象 限角 的集 合为?? k ?360 ? ? k ?360 ? 90 ,k ? ?
? ?
第二象 限角 的集 合为 ? k ?360 ? 90 ? k ?360 ?180 ,k ? ?
? ?
第三象 限角 的集 合为?? k ?360 ?180 ? ? k ?360 ? 270 ,k ? ?
? ?
第四象 限 角 的集 合为?? k ?360 ? 270 ? ? k ?360 ? 360 ,k ? ?
? ?
终边在 x 轴上 的角 的集 合为 ?? ?kk ?180 , ? ?
? ?
终边在 y 轴上 的角 的集 合为 ?? ?kk ?180 ? 90 , ? ?
? ?
终边在 坐标 轴上 的角 的集 合为 ?? ?kk ?90 , ? ?
? ?
?
3、 与 角 ? 终边相 同的 角， 连 同角 ? 在内， 都可 以表 示为 集合{ ? | ? ? ? ? k ?360 ,k ? Z }
4、 弧 度制 ：
（1 ） 定义 ：等 于半 径的 弧 所对的 圆心 角叫 做 1 弧度 的角， 用弧 度做 单位 叫弧 度制。
l
半径为 r 的圆 的圆 心角 ? 所对 弧的长 为l ，则角 ? 的弧 度数 的绝对 值是 ? ? ．
r
180
o ? ? ? ? ''
（2 ） 度数与弧度数的换算 ：360 ? 2 ? ，180 ? ? rad，1 rad ? ( ) ? 57.30 ? 57 18
?
o
注： 角度 与弧 度的 相互 转 化：设 一个 角的 角度 为 n ，弧度为 ? ；
? n ?
o
o o
o
n ? n ? ?
180 ?180 ? ?
o
① 角度 化为 弧度 ： 180 180 ，② 弧度化 为角 度： ? ? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
（3 ） 若扇 形的 圆心 角为 ? （ ? 是角的 弧度 数） ，半 径为 r ， 则：
n ?
l ?| ? | r（用弧度表示的）
弧长 公式 ： ?l ? （用度表示的） , ? ；
180
2
n ?r 1 1
2
扇形 面积 ： ? s ? (用度表示的) ? S ? | ? | r ? lr （用 弧 度表示 的）
扇 扇
360 2 2
- 1 -
5、 三 角函 数:
y
（1 ） 定义①： 设 ? 是一个 任 意大小 的角 ， ? 的终边 上任 意一点 ? 的坐 标
22
是 xy , ，它 与原 点的 距离 是 r OP ? r ? x ? y ? 0 ，
? ?
? ?
P(x,y)
y x y
则sin ? ? ， cos ? ? ， tan ??? x 0
? ?
o
x
r r x
定义② ： 设α 是一 个 任意角 ，它 的终 边与 单位 圆交于 点P(x,y) ，
y
那么 v 叫做 α 的 正弦 ，记 作 sin α, 即sin α ? y; u 叫做 α的余
弦，记 作 cos α，即 cos α=x; 当 α 的 终边 不在y 轴 上时，
P(x,y)
y y
叫做α 的正 切， 记 作 tan α, 即 tan α= .
x x
o
x
（2） 三角 函数 值在 各象 限 的符号 ： 口诀：全正，S 正，T 正，C 正。
y
y y
_
_
+ +
+ +
O
x
x O x
O
_
_ _
_
+
+
口诀： 第一 象限 全为 正；
tan ?
sin ? cos ?
二 正三 切四余 弦.
（3） 特殊 角的 三角 函数 值
? 的角度 0 ? 30 ? 45 ? 60 ? 90 ? 120 ? 135 ? 150 ? 180 ?
5 ?
? ? ? ? 2 ? 3 ?
?
? 的弧度 0
6 4 3 2 3 4
6
1 1
2 3 3 2
sin ? 0 0
1
2 2
2 2 2 2
1 1
3 2 2 3
cos ?
?
1 0 ? ? ?1
2 2
2 2 2 2
3 3
tan ? 0 不存在 0
1 3 ? 3 ?1 ?
3 3
? 的角度 210 ? 225 ? 240 ? 270 ? 300 ? 315 ? 330 ? 360 ?
7 ? 5 ? 4 ? 3 ? 5 ? 7 ? 11 ?
? 的弧度 2 ?
6
4 3 2 3 4 6
1 1
3 3
2 2
sin ? ? ? 0
? ? ?1 ? ?
2 2
2 2 2 2
1
3 1
2
2 3
cos ?
? 0
? ? 1
2
2 2 2
2
2
3 3
tan ? 不存在 0
1 3 ? 3 ?1 ?
3 3
- 2 -
（4） 三角 函数 线： 如下 图
（5） 同角 三角 函数 基本 关 系式
sin ?
2 2
（１ ）平 方关 系：sin ? ? cos ? ?1 （２） 商数 关系 ：
tan ? ?
cos ?
6、三 角函 数的 诱导 公式：
?1 ?sin ?2k ??? ? ? sin ? ， cos ?2k ??? ? ? cos ? ， tan ?2kk ? ? ? ? ? tan ? ? ? ? ? ．
口诀： 终边 相同 的角 的同 一三角 函数 值相 等．
2 sin ??? ? ?sin ， cos?? ?? cos ， tan ??? ? ? tan ．
? ? ? ? ? ? ? ?
?3 ?sin ? ??? ? ? sin ? ， cos ? ? ? ? ? ? ?cos ? ， tan ? ? ? ? ? ? ? tan ? ．
4 sin ? ? ? ? ?sin ? ， cos ? ? ? ? ?cos ? ， tan ??? ? tan ? ．
? ? ? ? ? ? ? ?
5 sin 2 ? ? ? ? ?sin ? ， cos 2 ??? ? cos ? ， tan 2 ? ? ? ? ? tan ? ．
? ? ? ? ? ? ? ?
口诀： 函数 名称 不变 ，正 负看象 限．
? ? ?
?? ?? ??
?6 ?sin ?? ?? cos ， cos ?? ?? sin ， tan ?? ?? cot ．
?? ?? ??
2 2 2
?? ?? ??
? ? ?
?? ?? ??
7 sin ?? ?? cos ， cos ??? ? ?sin ， tan ??? ? ?cot ．
? ?
?? ?? ??
2 2 2
?? ?? ??
口诀： 正弦 与余 弦互 换， 正负看 象限 ．
?
? ? k ? ? ?
诱 导公 式记忆 口诀： “奇 变偶 不变， 符号看 象限 ” 。 即将括号里面 的角拆 成
2
的形式。
- 3 -
7、 正弦函 数、 余弦 函数 和正 切函数 的图 象与 性质 ：
yx ? cos
yx ? sin yx ? tan
函
数
图
象
定
?? ?
义 x x ? k ? ? ,k ? ?
R R
??
2
??
域
值域： ?1,1 值域： ?1,1
? ? ? ? 值域： R
值
?
当 x ? 2k ? k ? ? 时，
当xk ?? 2 ? k ?? 时， ? ? 既无最 大值 也无 最小 值
? ?
2
?
y ?1 ；当xk ?? 2??
y ?1 ；当xk ?? 2 ?
max
max
2
域
?k ?? ? 时， y ??1 ． ?k ?? ? 时， y ??1 ．
min min
是周期 函数 ； 周期 为yx ? cos 是 周 期 函 数 ； 周 期yx ? tan 是周期 函数 ； 周
yx ? sin
周
T?? 2, k ? k Z 且 k ? 0 ； 为T?? 2, k ? k Z 且 k ? 0 ； 期为T?? k ?,k Z 且
期
性
最小正 周期 为 2 ? 最小正 周期 为 2 ? k ? 0 ；最小 正周 期为 ?
奇
偶 奇函 数 偶函数 奇函数
性
??
??
在 2kk ?? ?? ,2
??
22
??
在 2k ? ? ?,2k ? k ? ? 上
? ? ? ?
??
??
k ?? 上是增 函数 ；在 在kk ?? ?? ,
单 ? ?
??
22
??
是增函 数 ； 在 2kk ?,2 ? ? ?
调 ? ?
性 ?? 3
??
2kk ?? ?? ,2 k ?? 上是增 函数 ．
? ?
??
k ?? 上是减 函数 ．
? ?
22
??
k ?? 上是减 函数 ．
? ?
对称中 心
对称中 心
对称中 心 ?kk ?,0 ? ? ?? ? ?
对 ??
kk ? ? ,0 ? ?
? ? k ?
??
??
,0 k ??
称 ? ?
2
?? ??
? 2
??
对称轴 x ? k ? ? k ? ?
性 ? ?
2
对称轴 x ? k ? k ? ?
? ? 无对称 轴
- 4 -
8、 （1 ） y ? ?sin?? x ? ? b 的图象 与 y ? sin x 图像的 关 系：
? ?
图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍
①振幅 变换 ： y ? sin x y ? Asin x
1
图象上每个点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变
?
②周期 变换 ： y ? sin x y ? sin ?x
图象整体向左（ ? ? 0 ）或向右（ ? ? 0 ）平移 ? 个单位
③相位 变换 ： y ? sin x y ? sin(x ? ?)
图象整体向上（b ? 0 ）或向下（b ? 0 ）
④平移 变换 ： y ? Asin( ?x ? ?)
平移 b 个单位
y ? ?sin?? x ? ? b
? ?
注：函 数 y ? sin x 的图象 怎样 变换 得到函 数 y ? Asin?? x ? ? B 的图象 ： （ 两种 方 法）
? ?
① 先平移后伸缩：
yx ?? sin ?
yx ? sin 平移|| ? 个单位 ? ?
（左加右减）
纵坐标不变 y?sin ? (x??)
1
横坐标变为原来的|| 倍
?
y?? Asin?? x
横坐标不变 ? ?
纵坐标变为原来的 A 倍
y ? Asin?? x ? ? B
平移|| B 个单位 ? ?
（上加下减）
② 先伸缩后平移：
yx ? sin 纵坐标不变 y ? sin ?x
1
横坐标变为原来的|| 倍
?
?
平移 个单位 y ? sin( ? x ? ?)
?
（左加右减）
y?? Asin?? x
横坐标不变 ? ?
纵坐标变为原来的 A 倍
y ? Asin?? x ? ? B
平移|| B 个单位 ? ?
- 5 -
（上加下减）
（2） 函数 y ? Asin( ?x ? ?) ? b (A ? 0, ? ? 0) 的性 质：
2 ? 1 ?
①振幅 ： ? ； ② 周 期： ； ③频 率： ； ④相 位： ； ⑤初 相： ．
?? f?? ?? x ? ?
? ? 2 ?
定义域 ： R
值域： ?A ? b, A ? b
? ?
?
当 k ?? 时， ；
?xk ? ? ? 2 ? ? ? ? y ?? A b
max
2
?
当 ?xk ? ? ? 2 ? ? k ?? 时， y ? ?A ? b ．
? ?
min
2
2 ?
周期性 ：函 数 y ? Asin( ?x ? ?) ? b (A ? 0, ? ? 0) 是周期 函数 ；周期 为T ?
?
??
??
单调性 ：?? x ? 在 2kk ?? ?? ,2 k ?? 上时 是增 函数 ；
? ?
??
22
??
?? 3
??
?? x ? 在 2kk ?? ?? ,2 k ?? 上时 是减 函数 ．
? ?
??
22
??
k?? ? ?
??
对称性 ：对 称中 心为 ,0 k ?? ；对 称轴为?? x ? ?kk ? ? ? ?
? ? ? ?
??
? 2
??
第 二章 平面 向量
1、向 量 定 义： 既有 大小 又 有方向 的量 叫做 向量 ， 向 量都可 用同 一平 面内 的有 向线段 表示 ．
2、零 向量 ： 长 度为 0 的 向 量叫零 向量 ，记 作 0 ；零向 量的方 向是 任意 的 ．
a
3、 单位 向量 ： 长 度等 于 1 个 单位长 度的 向量 叫单 位向 量； 与 向量 a 平行 的单 位向 量 ： e ? ? ．
| a |
4、 平行 向量 （ 共线 向量 ） ： 方向相 同或 相反 的非 零向 量叫平 行向 量也 叫共 线向 量， 记 作 a // b ；
规定 0 与任何 向量 平行 ．
5、相 等向 量： 长度 相同 且 方向相 同的 向量 叫相 等向 量，零 向量 与零 向量 相等.
注 意： 任 意两 个相 等的 非 零向量 ，
都 可 以 用 同 一 条 有 向 线 段 来 表
示， 并且 与有 向线 段的 起 点无关 。
6、向 量加 法运 算：
⑴ 三角 形法 则的 特点 ：
C
首尾相 接
⑵ 平行 四边 形法 则的 特点 ：
起点相 同
a
?
b
- 6 -
?
a ?b ? ?C ? ? ? ? ?C
⑶ 运算 性质 ：
① 交换 律： a ?b ? b ? a ；
② 结合 律： a ? b ? c ? a ? b ? c ；③ a ?00 ? ? a ? a ．
? ? ? ?
⑷ 坐标 运算 ：设 a ? x , y ，b ? x , y ，则 a ? b ? x ? x , y ? y ．
? ? ? ? ? ?
11 22 1 2 1 2
7、向 量减 法运 算：
⑴ 三角 形法 则的 特点 ：共 起点， 连终 点， 方向 指向 被减向 量．
⑵ 坐标 运算 ：设 a ? x , y ，b ? x , y ，则
? ? ? ?
11 22
a ?b ? x ? x , y ? y ．
? ?
1 2 1 2
设 ? 、 ? 两点的 坐标 分别 为 xy , ， xy , ，则
? ? ? ?
11 22
? ? ? x ? x , y ? y ．
? ?
2 1 2 1
8、向 量数 乘运 算：
⑴ 实数 ? 与向 量 a 的积是 一个 向量的 运算 叫做 向量 的数 乘，记 作 ?a ．
①?? aa ? ；
② 当 ? ? 0 时， ?a 的方向 与 a 的方向 相同； 当 ? ? 0 时， ?a 的方向 与 a 的方向相 反；
当 ? ? 0 时， ?a ? 0 ．
⑵ 运算 律： ① ? ? ?aa ? ? ? ? ? ? ；② ? ? ? ? ?a ? ?a ? ?a ；③ ? a ? b ? ?a ? ?b ．
? ?
⑶ 坐标 运算 ：设 a ? x, y ，则 ?a?? ? x,, y ?x ? y ．
? ? ? ? ? ?
9、向 量共 线定 理： 向量aa ? 0 与b 共线， 当且 仅当 有唯 一一 个实数 ? ，使ba ? ? ．
? ?
设 a ? x , y ，b ? x , y ， 其中b ? 0 ， 则当且 仅当 x y?? x y 0 时 ， 向量 a 、bb ? 0
? ? ? ?
? ?
11 22 1 2 2 1
共线．
10 、 平 面向 量基 本定理 ： 如果 e 、e 是同 一平 面内的 两 个不共 线向 量， 那么对 于 这一平 面内
1 2
的任意向量 a ，有且只有一对实数 ? 、 ? ，使 a?? ?? e e ．（ 不 共线 的 向量 e 、 e 作为
1 2 1 1 2 2 1 2
这一平 面内 所有 向量 的一 组基底 ）
11 、 分 点坐 标公 式 ： 设 点 ? 是线段?? 上的 一点 ， ? 、 ? 的坐 标分别 是 xy , ，xy , ，
? ? ? ?
12 1 2 11 22
x?? ?? x y y
??
1 2 1 2
当 ? ? ? ? ? ? 时， 点 ? 的坐标 是 , ．
12 ??
11 ?? ??
??
12 、平 面向 量的 数量 积：
- 7 -
⑴ 定义 ： a ?b ? a b cos?? a ? 0,b ? 0,0 ? ?180 ．零向 量与 任一 向量的 数量 积为 0 ．
? ?
⑵ 性质 ： 设 a 和b 都是非 零向 量， 则 ① a ? b ? a ?b ? 0 ． ②当 a 与b 同向 时，a?? b a b ；
2
2
当 a 与b 反向时 ， a ?b ? ? a b ； a ?a ? a ? a 或 a?? a a ．③ a?? b a b ．
⑶ 运算 律： ① a ?b ? b ?a ； ② ?a ?b ? ? a ?b ? a ? ?b ；③ a ? b ?c ? a ?c ? b ?c ．
? ?
? ? ? ? ? ?
⑷ 坐标 运算 ：设 两个 非零 向量 a ? x , y ，b ? x , y ，则 ．
? ? ? ? a ?b ? x x ? y y
11 22 1 2 1 2
2
22 22
若 a ? x, y ，则 a ?? x y ，或 a?? x y ．
? ?
设 a ? x , y ，b ? x , y ，则 a ? b ? x x ? y y ? 0 ．
? ? ? ?
11 22 1 2 1 2
设 a 、b 都是非 零向 量， a ? x , y ，b ? x , y ， ? 是 a 与b 的夹角 ，则
? ? ? ?
11 22
ab ? x x ? y y
1 2 1 2
cos ??? ．
2 2 2 2
ab
x?? y x y
1 1 2 2
第 三章 三角 恒等变 形
1、 同 角三 角函 数基 本关 系 式
sin ?
2 2
（１ ）平 方关 系：sin ? ? cos ? ?1 （２ ） 商数 关系 ：
tan ? ?
cos ?
（３ ）倒 数关 系： tan ? cot ? ?1
2
tan ? 1
2
2
sin ? ? ； cos ? ?
2 2
1 ? tan ? 1?tan?
注 意： sin ? , cos ? , tan ? 按照以 上公 式可 以“知 一求 二”
2、 两 角和 与差 的正 弦、 余 弦、正 切
S ：sin( ? ? ?) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
( ? ? ? )
S ：sin( ? ? ?) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
( ? ? ? )
C ： cos(a ? ?) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
( ? ? ? )
C ： cos(a ? ?) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
( ? ? ? )
tan ? ? tan ?
T ： tan( ? ? ?) ?
( ? ? ? )
1 ? tan ? tan ?
tan ? ? tan ?
T ：
tan( ? ? ?) ?
( ? ? ? )
1 ? tan ? tan ?
正切和 公式 ： tan ? ? tan ? ? tan( ? ? ?) ?(1 ? tan ? tan ?)
- 8 -
? ?
a b
2 2
3、 辅助角公式 ： asin x ? bcos x ? a ? b ? sin x ? cos x ?
? ?
2 2 2 2
a ? b a ? b
? ?
2 2 2 2
? a ? b (sin x ?cos ? ? cos x ?sin ?) ? a ? b ?sin(x ? ?)
b
（其中 ? 称为 辅助 角， ? 的终 边过点(a,b) ， tan ? ? ）
a
4、二 倍角 的正 弦、 余弦 和 正切公 式：
S ： sin 2 ? ? 2sin ? cos ?
2 ?
2 2 2 2
C ： cos 2 ? ? cos ? ? sin ? ?1 ? 2sin ? ? 2cos ? ?1
2 ?
2 tan ?
T ： tan 2 ? ?
2 ?
2
1 ? tan ?
二倍角公式的常用变形 ： ①、 1 ? cos 2 ? ? 2 | sin ? | ， 1 ? cos 2 ? ? 2 | cos ? | ；
1 1
1 1
② 、 ? cos 2 ? ?| sin ? | ， ? cos 2 ? ?| cos ? |
2 2
2 2
2
sin 2 ?
4 4 2 2
③sin ? ? cos ? ? 1 ? 2sin ? cos ? ? 1 ? ；
2
4 4
cos ? ? sin ? ? cos 2 ? ；
1 1 ? cos 2 ? 1 1
2
降次公式：sin ? cos ? ? sin 2 ? sin ? ? ? ? cos 2 ? ?
2
2 2 2
1 ? cos 2 ? 1 1
2
cos ? ? ? cos 2 ? ?
2 2 2
5、 半角 的 正弦 、余 弦和 正切公 式 ：
? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ?
sin ? ? ； cos ? ? ，
2 2 2 2
? 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin ?
tan ? ? ? ?
2 1 ? cos ? sin ? 1 ? cos ?
6、 同角三角函数的 常见变 形： （活用“1”）
2 2
2
① sin ? ?1 ? cos ? ； sin ? ? ? 1 ? cos ? ；
2 2
2
cos ? ?1 ? sin ? ； cos ? ? ? 1 ? sin ? ；
2 2
cos ? ? sin ? 2
② tan ? ? cot ? ? ? ，
sin ? cos ? sin 2 ?
- 9 -
2 2
cos ? ? sin ? 2cos 2 ?
cot ? ? tan ? ? ? ? 2cot 2 ?
sin ? cos ? sin 2 ?
2
③ ；
(sin ? ? cos ?) ?1 ? 2sin ? cos ? ?1 ? sin 2 ? 1 ? sin 2 ? ?| sin ? ? cos ? |
7、 补 充公 式：
? ①万能 公式
? ? ?
2
2 tan 1?tan 2tan
2 2 2
sin ? ? ； cos ? ? ； tan ? ?
? ? ?
2 2 2
1 ? tan 1?tan 1?tan
2 2 2
? ②积化 和差 公式
1
sin ? cos ? ? [sin( ? ? ?) ? sin( ? ? ?)]
2
1
cos ? sin ? ? [sin( ? ? ?) ? sin( ? ? ?)]
2
1
cos ? cos ? ? [cos( ? ? ?) ? cos( ? ? ?)]
2
1
sin ? sin ? ? ? [cos( ? ? ?) ? cos( ? ? ?)]
2
? ③和差 化积 公式
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
sin ? ? sin ? ? 2sin cos ； sin ? ? sin ? ? 2cos sin
2 2 2 2
? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?
cos ? ?cos ? ?2cos cos ； cos ? ? cos ? ? ?2sin sin
2 2 2 2
注： 带号的公式表示了解 ，没带公式为必记公式
- 10 - |
|
