高中数学必修5知识点清单

高 中 数学 必修 5 知 识点
第 一 章 ： 解 三 角形
一、正 弦定理和余弦定理
a b c
? ? ? 2R
1 、 正 弦定 理： 在 ? ? ?C 中，a 、b 、c 分别为角 ? 、 ? 、C 的对 边， ， 则 有
sin?? sin sin C
( R 为 ? ? ?C 的外 接圆 的半 径)

2 、正 弦定 理的 变形 公式 ：
① ，bR ?? 2 sin ， c ? 2RsinC ；
aR ?? 2 sin
c
a b
sin C ?
②sin ?? ，sin ?? ， ；
2R 2R 2R
③ a :b:c ? sin ?:sin ?:sinC ；
1 1 1
3 、三 角形 面积 公式 ： S ? bcsin ? ? absinC ? acsin ? ．
? ? ?C
2 2 2
2 2 2
b ? c ? a
2 2 2
4 、余 弦定 理： 在 ? ? ?C 中，有 a ? b ? c ? 2bccos ? ， 推论：cos A ?
2bc
2 2 2
a ? c ?b
2 2 2
cos B ?
b ? a ? c ? 2ac cos B ，推论：
2ac
2 2 2
a ? b ? c
2 2 2
c ? a ?b ? 2abcosC ，推论： cosC ?
2ab

二、解 三角形
处理三 角形 问题 ， 必须 结合 三角形 全等 的判 定定 理理 解斜三 角形 的四 类基 本可 解型 ， 特 别要 多角 度 （ 几
何作图 ，三 角函 数定 义， 正、余 弦定 理， 勾股 定理 等角度 ）去 理解 “边 边角 ”型问 题可 能有 两解 、一 解 、
无解的 三种 情况 ，根 据已 知条件 判断 解的 情况 ，并 能正确 求解
1 、三 角形中 的边 角关系
（1） 三角 形内 角和 等于180 °；
（2） 三角 形中 任意 两边 之 和 大于 第 三边 ，任 意两 边 之差 小于第三 边；
（3） 三角 形中 大边 对 大 角 ，小边 对 小角；
（4） 正弦 定理 中,a=2R· sinA, b=2R· sinB, c=2R· sinC ， 其中 R 是△ ABC 外 接 圆半径. 2 2 2
（5） 在余 弦定 理中:2bccosA= b ? c ? a .
1 1 1 1
（6） 三 角形 的面 积公 式有:S= ah, S= absinC= bcsinA= acsinB , S= P(P ? a) ?(P ?b)(P ? c) 其
2 2 2 2
中，h 是 BC 边上 高 ，P 是 半周长.

2 、利 用正、 余弦 定理及 三角 形面积 公式 等解任 意三 角形
（1） 已知 两角 及一 边， 求 其它边 角， 常选 用 正弦定理.
（2） 已知 两边 及其 中一 边 的对角 ，求 另一 边的 对角 ，常选 用 正弦定理.
（3） 已知 三边 ，求 三个 角 ，常选 用 余弦定理.
（4） 已知 两边 和它 们的 夹 角，求 第三 边和 其他 两个 角，常 选用 余弦定理.
（5） 已知 两边 和其 中一 边 的对角 ，求 第三 边和 其他 两个角 ，常 选用 正弦定理.

3 、利 用正、 余弦 定理判 断三 角形的 形状
常用方 法是 ：① 化边 为角 ；②化 角为 边.

4 、三 角 形中 的三 角变换
（1） 角的 变换
因为在 △ ABC 中 ， A+ B+C= π ， 所 以 sin(A+B)=sinC ； cos(A+B)= － cosC ； tan(A+B)= － tanC 。
A ? B C A ? B C
sin ? cos ,cos ? sin ；
2 2 2 2
（2） 三角 形边 、角 关系 定 理及面 积公 式， 正弦 定理 ，余弦 定理 。
r 为三 角形 内切 圆半 径，p 为周长 之半
（3） 在△ ABC 中 ， 熟 记 并会证 明 ： ∠A ， ∠B ， ∠C 成 等差 数列 的充 分必 要 条件是 ∠B=60° ； △ ABC 是正
三角形 的充 分必 要条 件是 ∠A ，∠B ， ∠C 成 等差 数 列且 a ，b ，c 成 等比 数列.



三、解 三角形的应用
1. 坡 角和坡 度：
坡面与 水平 面的 锐二 面角 叫做坡 角 ， 坡面 的垂 直高 度 h 和水 平宽 度 l 的比叫 做坡 度， 用i 表示， 根据 定
义可知 ：坡 度是 坡角 的正 切，即i ? tan ? . h
α
l

2. 俯 角和仰 角：
如图所 示 ， 在 同一铅 垂面 内， 在目 标视 线与水 平线 所成的 夹角 中 ， 目标 视线 在水平 视线 的上 方时 叫 做
仰角， 目标 视线 在水 平视 线的下 方时 叫做 俯角.

3. 方 位角
从指北 方向 顺时 针转 到目 标方向 线的 水平 角， 如B 点的方 位角 为 ? .
注： 仰 角、 俯 角、 方 位角 的区别 是： 三 者的 参照 不 同。 仰 角与俯 角是 相对 于 水平线 而言 的， 而 方位 角
是相对 于正 北方 向而 言的 。



4. 方 向角 ：
相对于 某一 正方 向的 水平 角.

5. 视 角：
由物体 两端 射出 的两 条光 线，在 眼球 内交 叉而 成的 角叫做 视角 ? ?


第二章：数列
一、数 列的概念
1 、 数列 的概念 ：
一般地 ， 按一 定次 序排 列 成一列 数叫 做 数列， 数列 中的每 一个 数叫 做这 个数 列的 项 ， 数列 的一般 形式
可以写 成 a ,a ,a , ,a , ， 简 记为 数列 a ， 其中第 一项 a 也成 为 首项；a 是数列 的第 n 项 ， 也 叫做
? ?
1 2 3 n n 1 n
数列的 通项.
?
数列可看作是 定义域为正整数集 N （或它 的子集）的函数，当自变 量从小到大取值时，该函 数对应
的一列 函数 值就 是这 个数 列.

2 、 数列 的分类 ：
按数列 中项 的多 数分 为 ：
（1） 有穷数列 ： 数列 中的 项为 有限个 ，即 项数 有限 ；
（2） 无穷数列 ： 数列 中的 项为 无限个 ，即 项数 无限.

3 、 通项 公式：
如 果 数列 a 的第 n 项 a 与 项数 n 之 间 的 函数 关系 可以 用一 个式 子 表示 成 a ? f n ， 那么 这个 式
? ? ? ?
n n n
子就叫 做这 个数 列的 通项 公式 ，数 列的 通项 公式 就 是相应 函数 的解 析式.


4 、 数列 的函数 特征 ：
一般地 ，一 个数 列 ?a ? ，
n
如果从 第二 项起 ，每 一项 都大于 它前 面的 一项 ，即aa ? ，那么 这个 数列 叫做 递增 数列;
nn ?1如果从 第二 项起 ，每 一项 都小于 它前 面的 一项 ，即aa ? ，那么 这个 数列 叫做 递减 数列;
nn ?1
如果数 列 a 的各项 都相 等， 那么这 个数 列叫 做 常数列.
? ?
n

5 、 递推 公式：
某些数 列相 邻的 两项 （或 几项） 有关 系， 这个 关系 用一个 公式 来表 示， 叫做 递推公式．

二、等 差数列
1 、 等差 数列的 概念 ：
如果一 个数 列从 第二 项起 ， 每 一项 与前 一项的 差是 同一个 常数 ， 那么这 个数 列久叫 做等 差数 列， 这个 常 数
叫做等 差数 列的 公差.
即 a ?? a d （常 数） ， 这也是证明或 判断一个数列是否为 等差 数列的依据.
nn ?1

2 、 等差 数列的 通项 公式 ：
设等差 数列 a 的首 项为 a ，公 差为 d ，则通 项公 式为 ：
? ?
n 1
a ? a ? n ?1, d ? a ? n ? m d n 、m ? N .
? ? ? ? ? ?
nm 1 ?

3 、 等差 中项：
ab ?
（1）若 a 、A 、b 成等差 数列 ，则 A 叫做 a 与b 的等差 中项 ，且 A= ;
2
（ 2 ） 若 数 列 a 为 等 差 数 列 ， 则 a,, a a 成 等 差 数 列 ， 即 a 是 a 与 a 的 等 差 中 项 ， 且
? ?
n n n?? 12 n n ?1 n n ?2
aa ? aa ?
nn ?2 nn ?2
a = ；反之 若数 列 a 满足 a = ，则数 列 a 是等 差数 列.
? ? ? ?
n ?1 n n ?1 n
2 2


4 、 等差 数列的 性质：
（1 ） 等 差 数 列 a 中 ， 若 m ? n ? p ? q m 、n 、p 、q ? N , 则 a ? a ? a ? a ，若m?? n 2 p ， 则
? ? ? ?
n ? m n p q
a ?? a 2a ；
m n p
a b ab ?
（2） 若数 列 ? ? 和 ? ? 均为 等差 数 列，则 数列 ? ? 也为 等差 数列 ；
n n nn（3） 等差 数列 a 的公 差为 d ，则
? ?
n
da ?? 0 为递增 数列 ，da ?? 0 为递减 数列 ，da ?? 0 为常 数列.
? ? ? ? ? ?
n n n

5 、 等差 数列的 前 n 项和 S ：
n
（1） 数列 a 的前 n 项和 S = a ? a ? a ? ? a ? a , n ? N ；
? ? ? ?
n n 1 2 3 nn?? 1
Sn,1 ?
?
1
（2） 数列 a 的通 项与 前 n 项和 S 的关 系： a ? .
? ?
?
n n n
S?? S ,2 n
?nn ?1
n a?? a n n 1
? ? ? ?
1 n
（3） 设等 差数 列 a 的首项 为 a , 公差为 d ，则 前 n 项和 S=. ?? na d
? ?
n 1 n 1
22

6 、 等差 数列前 n 和的性 质：
（1） 等差 数列 a 中， 连续 m 项的和仍 组成 等差数 列 ，即a ? a ? ? a,, a ? a ? ? a
? ?
n 1 2 m m?? 1 m 2 2m
a ? a ? ? a ,仍为 等差 数列 （即 S ,S?? S ,S S , 成等 差 数列） ；
2m?? 1 2m 2 3m m 2m m 3m 2m
nn ?1
? ?dd
??
2
（2 ） 等 差数 列 a 的前 n 项和 S =na ? d= n ? a ? n, 当 d ? 0 时，S 可看作 关 于 n 的
? ?
n n11 ?? n
2 2 2
??
二次函 数， 且不 含常 数项 ；
S n ?1
奇
（3） 若等 差数 列 a 共有 2n+1 （奇数 ） 项 ， 则 S ? S =a 中 间 项 且 = , 若等 差数 列 a 共
? ? ? ? ? ?
n 奇 偶 n ?1 n
Sn
偶
S
a
偶 n ?1
有 2n （偶 数） 项， 则 S ? S =nd 且 = .
偶 奇
Sa
奇 n


S
7 、 等差 数列前 n 项和 的 最值 问题：
n
设等差 数列 ?a ? 的首 项为 a , 公差 为 d ，则
n 1
（1）ad ?? 00 且 （即 首正 递减 ）时 ， S 有最大 值且 S 的最 大值 为所 有非负 数项 之和 ；
1 n n
（2）ad ?? 00 且 （即 首负 递增 ）时 ， S 有最小 值且 S 的最 小值 为所 有非正 数项 之和.
1 n n
三、等 比数列
1 、 等比 数列的 概念 ：
如果一 个数 列从 第二 项起 ， 每一 项与 前一 项的 比是 同一个 不为 零的 常数 ， 那 么这个 数列 就叫 做等 比数
列，这 个常 数叫 做等 比数 列的公 比， 公比 通常 用字 母 q 表示 （ q ? 0 ）.
a
n ?1
即 ?qq 为 非 零 常 数 ，这 也是 证 明 或判 断一 个数列 是否 为等 比数 列的 依据.
? ?
a
n

2 、 等比 数列的 通项 公式 ：
n?? 1 n m
设等比 数列 ?a ? 的首 项为 a ， 公 比为 q ， 则通 项公 式为 ：a ? a q ? a q,, ?n ? m n 、m ? N ? .
n 1 nm 1 ?

3 、 等比 中项：
2
（1）若 a 、A 、b 成等比 数列 ，则 A 叫做 a 与b 的等比 中项 ，且 A =ab ;
（ 2 ） 若 数 列 a 为 等 比 数 列 ， 则 a,, a a 成 等 比 数 列 ， 即 a 是 a 与 a 的 等 比 中 项 ， 且
? ?
n n n?? 12 n n ?1 n n ?2
2 2
a =a ?a ；反之 若数 列 a 满足 a =a ?a ，则数 列 a 是等 比数 列.
? ? ? ?
n?? 12 n n n n?? 12 n n n

4 、 等比 数列的 性质 ：
（1 ） 等 比 数 列 a 中 ， 若 m ? n ? p ? q m 、n 、p 、q ? N , 则 a ?a ? a ?a ，若m?? n 2 p ， 则
? ? ? ?
n ? m n p q
2
a ?? a a ；
m n p
（2） 若数 列 a 和 b 均为 等比 数 列，则 数列ab ? 也为 等比 数列 ；
? ? ? ? ? ?
n n nn

（3） 等比 数列 a 的首 项为 a ， 公比为 q ，则
? ?
n 1
aa ?? 00 aa ?? 00
?? ??
11 11
或 ? a 为递增 数列 ， 或 ? a 为递减 数列 ，
? ? ? ?
?? ??
n n
qq ? 1 0 ? ? 1 0 ?qq ? 1 ? 1
?? ??
qa ?? 1 为常数 列.
? ?
n

5 、 等比 数列的 前 n 项和 ：
（1） 数列 a 的前 n 项和 S = a ? a ? a ? ? a ? a , n ? N ；
? ? ? ?
n n 1 2 3 nn?? 1Sn,1 ?
?
1
（2） 数列 ?a ? 的通 项与 前 n 项和 S 的关 系： a ? .
?
n n n
S?? S ,2 n
?nn ?1
na,1 q ?
?
1
?
n
（3） 设等 比数 列 a 的首项 为 a ，公比 为qq ? 0 ，则 S ? .
? ? ? ? aq 1 ?
?
n 1 n ? ?
1
,1 q ?
?
1 ? q
?
由等比 数列 的通 项公 式及 前 n 项 和公 式可 知， 已知 a ,q,n,a ,S 中任意 三个 ， 便 可建 立方 程组求 出另 外两
1 nn
个.

6 、 等比 数列的 前 n 项和 性质 ：
设等比 数列 a 中， 首项 为 a ，公比为qq ? 0 ，则
? ? ? ?
n 1
（1） 连续 m 项的 和仍 组成 等比数 列 ， 即 a ? a ? ? a,, a ? a ? ? a a ? a ? ? a ,
1 2 m m?? 1 m 2 2m 2m?? 1 2m 2 3m
仍为等 比数 列（ 即 S ,S?? S ,S S , 成等差 数列） ；
m 2m m 3m 2m
n
aq 1 ?
? ? a a a a a
1
n n n
1 1 1 1 1
（2）当 q ? 1 时， S ? ? ? 1 ? q ? ? ? q ? ? q ? ，
? ?
n
1 ? q 1 ? q 1 ? q 1 ? q q ?1 q ?1
a
n
1
设 ? t ，则 S?? tq t .
n
q ?1



四、 递 推数列求通项的方 法总结
1 、 递推 数列的 概念 ：
一般地 ， 把数 列的若 干连 续项之 间的 关系 叫做 递推 关系 ， 把 表达 递推关 系的 式子叫 做递 推公 式， 而 把
由递推 公式 和初 始条 件给 出的数 列叫 做递 推数 列.
2 、 两个 恒等式 ：
对于任 意的 数列 a 恒有 ：
? ?
n
（1） a ? a ? a ? a ? a ? a ? a ? a ? ? a ? a
? ? ? ? ? ? ? ?
n 1 2 1 3 2 4 3 n n ?1
a a a a
2 3 4 n
（2） a ? a ? ? ? ? ? , a ? 0,n ? N
? ?
nn 1 ?
a a a a
1 2 3 n ?1
3 、 递推 数列的 类型 以及 求通 项方法 总结 ：
Sn ,( ?1)
1
类 型一 （ 公式 法） ： 已知 S （即 a ? a ? ? a ? f() n ）求 a ，用 作差 法： a ?
n 12 n n n
?
S?? S ,(n 2)
nn ?1
类 型二 （累加 法） ： 已 知：数 列 a 的首项 a , 且 a ? a ? f n , n ? N ， 求 通 项a .
? ? ? ? ? ?
n 1 nn?? 1 n
给递推 公式 a ? a ? f ?n ?, ?n ? N ? 中的 n 依次取 1,2,3 ， …… ，n-1,可得 到下 面 n-1 个式 子：
nn?? 1
a ? a ? f 1 ,a ? a ? f 2 ,a ? a ? f 3 , ,a ? a ? f n ?1 .
? ? ? ? ? ? ? ?
2 1 3 2 4 3 nn ?1
利用公 式 a ? a ? a ? a ? a ? a ? a ? a ? ? a ? a 可得：
? ? ? ? ? ? ? ?
n 1 2 1 3 2 4 3 n n ?1
a ? a ? f 1 ? f 2 ? f 3 ? ? f n ?1 .
? ? ? ? ? ? ? ?
n 1
a
n ?1
类 型三 （累乘 法） ： 已 知：数 列 a 的首项 a , 且 ?? f n , n N ，求 通 项a .
? ? ? ? ? ?
n 1 ? n
a
n
a
n ?1
给递推 公式 ?? f n , n N 中的 n 一次取 1,2,3 ， …… ，n-1,可得 到下 面 n-1 个式 子：
? ? ? ?
?
a
n
a a a a
2 3 4 n
? f 1 , ? f 2 , ? f 3 , , ? f n ?1 .
? ? ? ? ? ? ? ?
a a a a
1 2 3 n ?1
a a a a
2 3 4 n
利用公 式 a ? a ? ? ? ? ? , ?a ? 0,n ? N ? 可得：
nn 1 ?
a a a a
1 2 3 n ?1
a ? a ? f ?1 ? ? f ?2 ? ? f ?3 ? ? ? f ?n ?1 ?.
n 1
n
类 型 四 （ 构 造 法 ） ： 形如 a ? pa ? q 、 a ? pa ? q （ k,b, p,q 为 常 数 ） 的 递推 数列 都 可 以 用 待
n ?1 n n ?1 n
定系数法转化为公比 为 k 的等比数列后 ， 再求 a 。
n
q
a ? pa ? q a ?t ? p(a ?t)
① 解法：把原递推公式转化为 ： ，其中t ? ， 再 利 用 换
n ?1 n n ?1 n
1 ? p
元法 转 化为 等比 数列 求解 。
n n ?1
② a ? pa ? q 解法： 该类 型较 要复 杂 一些 。 一 般地 ， 要先 在原 递 推公式 两边 同除 以 q ， 得 ：
n ?1 n
a p a 1 a p 1
n ?1 n n
? ? ? 引入辅助数列 ?b ? （其中b ? ） ， 得 ： b ? b ? 再应用
n n n ?1 n
n ?1 n n
q q q q q q q
a ? pa ?q
的方法 解决 。
n ?1 n
pa
n
类 型五 （倒数 法） ： 已 知：数 列 ?a ? 的首项 a , 且 a ? , ?r ? 0,n ? N ? ，求 通 项a .
n 1 n?? 1 n
qa ? r
n
pa 1 qa ? r 1 r q 1 r 1 q
nn
a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
n ?1
qa ? r a pa a pa p a p a p
n n ?1 n n ?1 n n ?1 n
11rq
设bb ?? ,. 则 ?bb ? ? ? ，
nn ?1 nn ?1
aa
pp
nn ?1
qq q
若 则 ，即数 列 b 是以 为公差 的等差 数列.
rp ? , b ? b ? ? b ? b = ? ?
n?? 11 n n n n
pp p
rq
若rp ? , 则bb ?? （转换 成类 型四 ①）.
nn ?1
pp

五、数 列 常用求和方法
1. 公 式法
直接 应用 等差 数列 、等 比数列 的求 和公 式， 以及 正 整数 的平 方和 公式 ，立 方和公 式等 公式 求解.

2.分 组求和 法
一个数列 的 通 项公 式 是 由若 干个 等 差或 等比 或可求 和 的数 列 组成，则求和时可 用分组求和法 ，分别求
和而后 相加 减.

3.裂 项相消 法
把数 列的 通项 拆成 两项 之差 ， 在 求和时 一些 正负 项相互抵消 ， 于是 前 n 项 和就变 成了 首尾 少数 项之 和.

4.错 位相减 法
如 果 一 个 数 列 的 各 项 是 由 一 个 等 差 数 列 和 一 个 等 比 数 列 对 应 项 的 乘 积 组 成 的 ， 此 时 可 把 式 子
S ? a ? a ? ? a ? a 的两边 同乘 以公 比 q(q?? 0 且q 1) ， 得 到 qS ? a q ? a q ? ? a q ? a q ，
n 1 2 n ?1 n n 1 2 n ?1 n
两式错 位相 减整 理即 可求 出 S .
n

5 、常 用公式 ：
n n?? 1 2n 1
2 ? ? ? ?
2 2 2
1、平 方和 公式 ：1 ? 2 ? ?nn ?1 ? ? ?
62
2 nn ?1
3 ?? ? ?
3 3 3
2、立 方和 公式 ：1 ? 2 ? ?n ?1 ? ? n ??? 1 ? 2 ? ? ?n ?1 ? ? n ?
??
??
2
??
3、裂 项公 式：
1 1 1 1 1 1 1
?
??
分 式 裂 项 ： ? ? ; ? ? ?
??
?
n n ?11 n n ? n n ? k k n n ? k
? ? ? ?
? ??
.
?

1 1 1
?
根 式 裂 项 ： ? n ?1 ? n; ? ? n ? k ? n
? ?
?
k
n ? n ?1 n ? n ? k
?


六、数 列的应用
1 、零 存整取 模型 ：
银行有 一种 叫作 零存 整取 的储蓄 业务,即 每月 定时 存 入一笔 相同 数目 的现 金, 这 是零存; 到约 定日 期, 可
以取出 全部 本利 和, 这是 整 取.规 定每 次存 入的 钱不 计 复利.
注： 单 利的 计算 是仅 在原 本金上 计算 利息,对 本金 所 产生的 利息 不再 计算 利息. 其公式 为:利息= 本金× 利率×
存期. 以符 号 p 代表 本金,n 代表存 期,r 代表 利率,s 代 表本金 和利 息和( 即本 利和), 则有 s=p(1+nr).
零存整 取是 等差 数列 求和 在经济 方面 的应 用.

2 、定 期自动 转存 模型：
银行有 一种 储蓄 业务 为定 期存款 自动 转存.例如, 储 户 某日存 入一 笔 1 年 期定 期 存款,1 年后, 如果 储户 不
取出本 利和.则 银行 自动 办 理转存 业务,第 2 年 的本 金 就是 第 1 年 的本 利和.
注： 复 利 是 把 上 期 末 的 本 利 和 作 为 下 一 期 的 本 金, 在 计 算 时 每 一 期 本 金 的 数 额 是 不 同 的. 复 利 的 计 算 公 式
是:s=p(1+r)n.
定期自 动转 存（ 复利 ）是 等比数 列求 和在 经济 方面 的应用.

3 、分 期付款 模型 ：
分期付款 要求每 次付款金 额相同外,各次付 款的时间 间隔也相同.分期 付款总额 要大于一次性付 款总额,
二者的 差额 与分 多少 次付 款有关,且 付款 的次 数越 少, 差额越 大. 分期 付款 是等 比 数列的 模型.
采用分 期付 款的 方法 ， 购 买售价 为 a 元的 商品 （或 贷款 a 元） ， ， 每 期付 款数 相同， 购买 后 1 个月 （或
1 年 ）付 款一 次， 如此 下 去，到 第 n 次付 款后 全部 付清， 如果 月利 率（ 或年 利率）为 b， 按复 利计 算 ，那
么每期 付 款 x 元 满足 下列 关系： 设第 n 次还 款后 ，本 利欠 款数为 a ，则
n
a ? a1, ? b ? x a ? a 1 ? b ? x,a ? a 1 ? b ? x, ,a ? a 1 ? b ? x,
? ? ? ? ? ? ? ?
1 2 1 3 2 nn ?1
xx
??
由 a ? a11 ? b ? x ? a ? ? ? b a ? 知，
? ? ? ?
n n?? 11 n ?? n
bb
??
x x x x
?? ??
数列 a ? 是以 a ? ? a11 ? b ? x ? ? ? b a ? 为首项 ，qb ?? ?1 ? 为公比 的等比 数列.
? ? ? ?
??
n 1 ??
b b b b
??
??
x x ?? x x
? ? ? ? n ?1?? n
n ?1
?a ? ? a ? ? q ? ?11 ? b ? a ? ? ? ? b ? ?ab ? ?1, ? ?
n ? 1 ? ? ? ??
??
b b b b
? ? ? ? ??
??
xx n
??
?a ? a ? 1 ? b ? .
? ?
n??
bb
??
n
ab 1 ? b
xx n ? ?
??
令 a ? 0 得：ab ? 1 ? ? =0 ，?? x
? ?
n ??
n
bb
?? 11 ?? b
? ?


第三章：不等式
一、不 等式的解法
1 、不 等式的 同解 原理 ：
原理 1 ：不 等式 的两 边都 加上（ 或减 去） 同一 个数 或同一 个整 式， 所得 不等 式与原 不 等 式是 同解 不等 式；
原理 2： 不等 式的 两边 都 乘以（ 或除 以） 同一 个正 数或同 一个 大于 零的 整式 ，所得 不等 式与 原不 等式 是同
解不等 式；
原理 3： 不等 式的 两边 都 乘以（ 或除 以） 同一 个负 数或同 一个 小于 零的 整式 ，并把 不等 式改 变方 向后 所得
不等式 与原 不等 式是 同解 不等式 。

2 、一 元二次 不等 式的解 法：
一元二 次不 等式 的解 集的 端点值 是对 应二 次方 程的 根，是 对应 二次 函数 的图 像与 x 轴交 点的 横坐 标。


二次函 数
（ ）
的图象



有两相 异实 根 有两相 等实 根
无实根









注意：
2 2
（1 ） 一 元二 次方 程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两根xx , 是相应 的不 等式 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解 集的
12
2
端点的 取值 ，是 抛物 线 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 与 x 轴的交 点的 横坐 标；
（2 ） 表 中 不 等 式 的 二 次 系 数 均 为 正 ， 如 果 不 等 式 的 二 次 项 系 数 为 负 ， 应 先 利 用 不 等 式 的 性 质 转 化 为 二
次项系 数为 正的 形式 ，然 后讨论 解决 ；
2
（ 3 ）解集分 ? ?0,? ?0,? ? 三 0 种 情 况 ， 得 到 一 元 二 次 不 等 式 与
ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2
ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集 。

3 、一 元高次 不等 式的解 法：
解 高次 不等 式的 基本 思路是 通过 因式 分解 ， 将 它转化 成一 次或 二次 因式 的乘积 的形 式， 然后 利用 数轴
标根法 或列 表法 解之 。

数轴标 根法 原则 ： （1 ） “ 右 、上” （2） “奇 过， 偶不 过 ”

4 、分 式不等 式的 解法：
（1） 若能 判定 分母 （子 ） 的符号 ，则 可直 接化 为整 式不等 式。
（2） 若不 能判 定分 母（ 子 ）的符 号， 则可 等价 转化 ：
? f x?? g x 0
f x f x ? ? ? ?
? ? ? ?
? 0 ? f x ? g x ? 0; ? 0 ? .
? ? ? ?
?
g x g x gx ? 0
? ? ? ? ? ?
?
? f x?? g x 0
f x f x ? ? ? ?
? ? ? ?
? 0 ? f x ? g x ? 0; ? 0 ? .
? ? ? ?
?
gx ? 0
g ?x ? g ?x ? ? ?
?
5 、指 数、对 数不 等式的 解法 ：
f x g x
? ? ? ?
a ? a a ? 1 ? f x ? g x ;
? ? ? ? ? ?
（1）
f x g x
? ? ? ?
a ? a 0 ? a ? 1 ? f x ? g x
? ? ? ? ? ?
log f x ? log g x (a ? 1) ? f x ? g x ? 0;
? ? ? ? ? ? ? ?
aa
（2）
log f x ? log g x (0 ? a ? 1) ? 0 ? f x ? g x
? ? ? ? ? ? ? ?
aa

6 、含 绝对值 不等 式的解 法：
f ? x ? ? a ?a ?0; ? ? f ?x ? ? ?a 或f ?x ? ? a
f ? x ? ? a ?a ?0. ? ? ?a ? f ?x ? ? a
f x ? g x ? f x ? ?g x 或f x ? g x ;
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
f x ? g x ? ?g x ? f x ? g x .
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
22
f x ? g x ? f x ? g x .
? ? ? ? ? ? ? ?
对于含 有多 个绝 对值 的不 等式， 利用 绝对 值的 意义 ，脱去 绝对 值符 号。

二、 基 本不等式
1 、基 本不 等式 ：
ab ?
若 a ? 0 ，b ? 0 ，则 ? ab ，当且 仅当ab ? 时， 等号成 立．
2
ab ?
称为正 数 a 、b 的算 术平 均数 ， ab 称为 正数 a 、b 的几何 平均 数．
2
2
ab ?
??
变形 应用 ： ，当且 仅当ab ? 时 ，等号 成立 ．
ab ? a ? 0,b ? 0
? ?
??
2
??

2 、基 本不 等式 推广 形式 ：
22
ab ? ab ? 2
?
如果 a,b ? R ，则 ≥ ≥ ab ≥ ，当 且仅 当ab ? 时， 等号 成立 ．
11
2 2
?
ab
3 、基 本不 等式 的应 用： 设 x 、 y 都为 正数 ，则 有：
2
s
⑴若 x?? y s （和为 定值 ） ， 则当xy ? 时 ，积 xy 取得最 大值 ．
4
⑵若 xy ? p （积为 定值 ） ， 则当xy ? 时 ，和xy ? 取得最 小值 2 p ．
注意：在 应用 的时 候， 必 须注意 “ 一正二定三相等 ”三个 条件 同时 成立 。

4 、常 用不 等式 ：
2
2 2 2 2
若a 、b ?R, 则a ? b ? 2ab ? 2ab ； 2 a ? b ? a ? b
? ?
? ?
三、简 单的线性规划问题
1 、 二元一次不等式表 示平面区域:
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在 平面 直角 坐标 系中 ，已知 直 线 Ax+By+C=0 ， 坐标平 面内 的 点 P （x ，y ） w 王 xckt 新敞 @126.com
0 0
B ＞0 时， ①Ax +By +C ＞0 ， 则点 P （x ，y ） 在 直线 的上方 ； ②Ax +By +C ＜0 ， 则点 P （x ，y ） 在 直 线 的
0 0 0 0 0 0 0 0
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下方 王 wxckt 新敞 @126.com
对于任 意的 二元 一次 不等 式 Ax+By+C ＞0 （或 ＜0） ， 无论 B 为正 值还 是负 值， 我们都 可以 把 y 项 的系
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数变形 为正 数 [e-mail]
当 B ＞0 时 ，①Ax+By+C ＞0 表示直线 Ax+By+C=0 上 方的区 域； ②Ax+By+C ＜0 表示直线 Ax+By+C=0
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下方的 区域


2 、线性规划:
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求线性 目标 函数 在线 性约 束条件 下的 最大 值或 最小 值的问 题， 统称 为线 性规 划问题 w 王 xckt 新敞 @126.com
满足线 性约 束条 件的 解（x ，y ） 叫做 可行解 ，由 所有 可行解 组成 的集 合叫 做可 行域（ 类似 函数 的定 义
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域） ；使目标函数取得最大 值或最小值的可行解 叫做最优解 w 王 xck 新敞 [e-mail] 生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划
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特 王 wxc 级教 kt 新敞 @126.co 师 m
问题


3 、线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：
（1） 根据 题意 ，设 出变 量 x 、y ；
（2） 找出 线性 约束 条件 ；
（3） 确定 线性 目标 函数 z=f （x ，y）；
（4） 画出 可行 域（ 即各 约 束条件 所示 区域 的公 共区 域） ；
（5） 利用 线性 目标 函数 作 平行直 线 系 f （x ，y ）=t （t 为参数 ） ；
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（6） 观察 图形 ，找 到直 线 f （x ，y ）=t 在 可行 域上 使 t 取得 欲求 最值 的位 置 ，以确 定最 优解 ，给 出答 案 王 wxck 新敞 [e-mail]