高 中 数学 选修 1-1 知识点
第一章 常用 逻辑用语
1、 命题： 用语言、符号或式子表达的，可以 判断真假的陈述句.
真命题： 判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.
2、“若 ，则 ”形式的命题中的 称为命题的 条件， 称为命题的 结论.
p q p q
3、 原命题：“若 p ，则q ” 逆命题： “若q ，则 p ”
否命题：“若 ?p ，则 ?q ” 逆否命题：“若 ?q ，则 ?p ”
4、 四种命题的真假性之间的关系：
（1 ）两个命题互为逆 否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
5、若pq ? ，则 p 是q 的充分条件，q 是 p 的必要条件．
pq ?
若 ，则 p 是q 的充要条件（充分必要条件）．
利用集合间的包含关系： 例如：若A ?B ，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A
的必要条件；若 A=B ，则 A 是 B 的充要条件；
6、 逻辑联结词： ⑴且(and) ：命题形式 ；⑵或（or ）：命题形式 ；
pq ? pq ?
⑶非（not ）：命题形 式 ?p .
p q pq ? pq ? ?p
真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
7、 ⑴全称量词 —— “所有的”、“任意一个”等， 用“ ? ”表示 ；
- 1 -
全称命题 p ： ； 全称命题 p 的否定 ?p ： 。
?x ?M,p(x) ?x ?M, ?p(x)
⑵存在量词 ——“存在一个”、“至少有一个”等， 用“ ? ”表示 ；
?
特称命题 p ： ?x ?M,p(x) ； 特称命题 p 的否定 p ： ?x ?M, ?p(x) ；
第二章 圆锥 曲线
一、椭圆 ( )
1、平面内与两个定点F ，F 的距离之和等于常数 （大于FF ）的点的轨迹
1 2 12
称为 椭圆 ．
即：|MF | ? |MF | ? 2a,(2a ?|FF |) 。
1 2 1 2
这两个定点称为 椭圆的 焦点，两焦点的距离称为椭圆的 焦距．
2、 椭圆的几何性质 ：
焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在 轴上
y
图形
22 22
xy yx
标准方程 ? ?10 ab ? ? ? ?10 ab ? ?
? ? ? ?
22 22
ab ab
?b ?x ?b
范围 ?a ?x ?a 且 ?b ? y ?b 且 ?a ? y ?a
?? ? a,0 ? 、 ? ?a,0 ? ?? ?0, a ? 、 ? ?0,a ?
1 2 1 2
顶点
?? ?0, b ? 、 ? ?0,b ? ?? ? b,0 ? 、 ? ?b,0 ?
1 2 1 2
轴长 长轴的长 ? 2a 短轴的长 ? 2b
Fc ? ,0 Fc ,0 Fc 0, ? Fc 0,
焦点 ? ? 、 ? ? ? ? 、 ? ?
1 2 1 2
- 2 -
??????
2 2 2
FF ? 2c c ?a ?b
? ?
焦距
12
对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称
2
cb
离心率 ee ? ? 1 ? 0 ? ?1
? ?
2
aa
3、e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆。
2 2 2
= + 二、双曲线 ( )
1、 平面内与两个定点F ，F 的距离之差的绝对值等于常数 （小于FF ）的
1 2 12
点的轨迹称为 双曲线 ．即：|| MF | ? |MF || ? 2a,(2a ?|FF |) 。
1 2 1 2
这两个定点称为 双曲线的 焦点，两焦点的距离称为双曲线的 焦距 ．
4 、 双曲线的几何性质 ：
焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上
图形
22 22
xy yx
标准方程 ? ?1ab ? 0, ? 0 ? ?1ab ? 0, ? 0
? ? ? ?
22 22
ab ab
范围 xa ?? 或xa ? ，yR ? ya ?? 或ya ? ，xR ?
?? a,0 、 ? a,0 ?? 0, a 、 ? 0,a
顶点 ? ? ? ? ? ? ? ?
1 2 1 2
? 2a ? 2b
轴长 实轴的长 虚轴的 长
焦点 Fc ? ? ,0 ? 、Fc ? ,0 ? Fc ?0, ? ? 、Fc ?0, ?
1 2 1 2
2 2 2
FF ? 2c c ?a ?b
? ?
焦距
12
对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称
- 3 -
2
cb
离心率 ee ? ?11 ? ?
? ?
2
aa
渐近线方程
5 、实轴和虚轴等长的双曲线称为 等轴双曲线(a=b).
6 、 等轴双曲线的离心率
三、抛物线
1、平面内 与一个定点F 和一条定直线 的距离相等 的点的轨迹称为 抛物线．定
l
点F 称为 焦点，定直线l 称为抛物线的 准线．
抛物线的
7 、抛物线的几何性质：
2 2 2 2
y ? 2px y ??2px x ? 2py x ??2py
标准方
程
?p ? 0 ? ?p ? 0 ? ?p ? 0 ? ?p ? 0 ?
图形
0,0
顶点 ? ?
对称轴 x 轴 y 轴
p p p p
????????
F ,0 F ? ,0 F 0, F 0, ?
焦点
????????
2 2 2 2
????????
准线方
p p p p
x ?? x ? y ?? y ?
2 2 2 2
程
离心率 e ?1
y ? 0 y ? 0
范围 x ? 0 x ? 0
- 4 -
8 、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 ? 、 ? 两点的线段 ?? ，称为
抛物线的“ 通径” ，即 ? ? ? 2p ．
9 、 焦半径公式：
p
2
若点 ?xy , 在抛物线y?? 20 px p 上，焦点为 ，则 ；
? ? ? ? F ?Fx ? ?
00 0
2
p
2
若点 ?xy , 在抛物线x?? 20 py p 上，焦点为F ，则 ?Fy ? ? ；
? ? ? ?
00 0
2
第三章 导数 及其应用
1、 函数fx 从x 到x 的平均变化率：
? ?
1 2
2 、 导数定义：fx 在点x 处的导数记作
? ?
0
f (x ? ?x) ? f (x )
0 0
? ?
y ? f (x ) ? lim
x ?x 0 ；．
0
?x ?0
?x
y ? f x ? x , f x
? ? ? ? ? ?
00
3 、函数y ? f x 在点x 处的导数的几何意义是曲线 在点
? ?
0
处的切线的斜率 ．
4、 常见函数的导数公式：
'' x '' x
①C ? 0 ； ⑥ (e ) ?e ；
n '' n ?1
1
''
② (x ) ?nx ；
⑦ (log x) ? ；
a
x lna
''
③ (sinx) ? cosx ；
1
''
⑧ (lnx) ?
x
''
④ (cosx) ? ?sinx ；
x '' x
⑤ (a ) ?a lna ；
5 、 导数运算法则：
?
??
1?? f ?x ? ?g ?x ? ? f ?x ? ?g ?x ?
? ?
??
；
- 5 -
?
??
2?? f ?x ? ?g ?x ? ? f ?x ?g ?x ? ? f ?x ?g ?x ?
? ?
??
；
?
????
f ?x ? f ?x ?g ?x ? ? f ?x ?g ?x ?
?? gx 0
? ? ? ?
??
2
gx
? ?
3 ?? gx
? ? ? ?
??
??
．
?
6 、 在 某 个 区 间 ab , 内，若fx ? 0 ，则函数y ? f x 在 这 个 区 间 内 单 调 递 增 ；
? ? ? ? ? ?
?
若fx ? 0 ，则函数y ? f x 在这个区间内单调递减 ．
? ? ? ?
? ?
7、 求函数y ? f x 的极值的方法是：解方程fx ? 0 ．当fx ? 0 时：
? ? ? ? ? ?
0
? ?
1 如果在x 附近的 左侧fx ? 0 ，右侧fx ? 0 ，那么fx 是 极大值（左增
? ? ? ? ? ? ? ?
0 0
右减 ）；
? ?
2 如果在x 附近的 左侧fx ? 0 ，右侧fx ? 0 ，那么fx 是 极小值（左减
? ? ? ? ? ? ? ?
0 0
右增） ．
8、 ① 注意极大值、极小值、极大值点和极小值点的区别 ；（极大值是一个函
数值，极大值点是一个点，包括横坐标和纵坐标）
② 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质。
③ 导数 为0 的点不一定是函数的极值点（例如： ）， 也就是说：函
数在某一点的导数为 0 是函数在这一点取极值的必要条件而不是充分条件 。
④ 同一个函数的极大值不一定比极小值大。 （但是函数的最大值一定大于最
小值）
9、 求函数y ? f x 在 ab , 上的最大值与最小值的步骤是：
? ? ? ?
?1 ? y ? f ?x ? ?ab , ?
求函数 在 内的极值；
2 y ? f x fa fb
? ? ? ? ? ? ? ?
将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的
一个是最大值，最小的一个是最小值 ．
9、导数在实际问题中的应用： 最优化问题。
- 6 -
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