高 中 数学选修 2-1 知识点
第 一章 ：命题 与逻 辑结构
1、命 题： 用语 言、 符号 或 式子表 达的 ，可 以判 断真 假的陈 述句.
真命题 ：判 断为 真的 语句. 假命题 ：判 断为 假的 语句.
2、 “若 p ，则q ”形 式的 命题 中的 p 称为命 题的 条件 ，q 称为命题 的结 论.
3、对 于两 个命 题， 如果 一 个命题 的条 件和 结论 分别 是另一 个命 题的 结论 和条 件 ，则 这两 个
命题称 为互 逆命 题. 其中 一 个命题 称为 原命 题， 另一 个称为 原命 题的 逆命 题.
若原命 题为 “若 p ，则q ” ， 它 的逆命 题为 “若q ，则 p ”.
4、对 于两 个命 题， 如果 一 个命题 的条 件和 结论 恰好 是另一 个命 题的 条件 的否 定和结 论的 否
定，则 这两 个命 题称 为互 否命题.中 一个 命题 称为 原 命题， 另一 个称 为原 命题 的否命 题.
若原命 题 为 “若 p ，则q ” ， 则 它的否 命题 为“ 若 ?p ，则 ?q ”.
5、对 于两 个命 题， 如果 一 个命题 的条 件和 结论 恰好 是另一 个命 题的 结论 的否 定和条 件的 否
定， 则这 两个 命题 称为 互 为逆否 命题 。 其中 一个 命 题称为 原命 题 ， 另 一个 称 为原命 题的 逆否
命题 。
若原命 题为 “若 p ，则q ” ， 则 它的否 命题 为 “ 若 ?q ，则 ?p ” 。
6、四 种命 题的 真假 性：
原命题 逆命题 否命题 逆否命 题
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 真 假
假 假 假 假
四种命 题的 真假 性之 间的 关系：
1 两个命 题互 为逆 否命 题， 它们有 相同 的真 假性 ；
? ?
2 两个命 题为 互 逆 命题 或互 否命题 ，它 们的 真假 性没 有关系 ．
? ?
7、若pq ? ，则 p 是q 的充分 条件 ，q 是 p 的必 要条 件．
若pq ? ，则 p 是q 的充要 条件 （充 分必要 条件 ） ．
8、用 联结 词“ 且” 把命 题 p 和命题q 联结 起来 ，得 到一 个新命 题， 记作pq ? ．
当 p 、q 都是 真命 题时 ，pq ? 是真命 题； 当 p 、q 两个命 题中有 一个 命题是 假命 题时 ，pq ?
是假命 题．
用联结 词“ 或” 把命 题 p 和命题q 联结起 来， 得到 一个 新命题 ，记 作pq ? ．
当 p 、q 两个命 题中 有一 个命 题是真 命题 时，pq ? 是真 命题 ；当 p 、q 两个 命题 都是 假
命题时 ，pq ? 是假命 题．
对一个 命题 p 全盘 否定 ，得 到一个 新命 题， 记作 ?p ．
若 p 是真 命题 ，则 ?p 必是 假命 题；若 p 是假 命题 ，则 ?p 必是 真命题 ． 9、短 语“ 对所 有的” 、 “ 对 任意一 个” 在逻 辑中 通常 称为全 称量 词， 用“ ? ”表 示．
含有全 称量 词的 命题 称为 全称命 题．
全称命 题“ 对 ? 中任意 一个x ，有px 成立” ，记 作“ ?x ? ? ，px”．
? ? ? ?
短语“ 存在 一个 ” 、 “ 至少 有一个 ”在 逻辑 中通 常称 为存在 量词 ，用 “ ? ”表示 ．
含有存 在量 词的 命题 称为 特称命 题．
特称命 题“ 存在 中的 一个x ，使px 成立” ，记 作 “ ?x ? ? ，px”．
? ? ? ? ?
10 、全 称命 题 p ： ?x ? ? ，px ，它的 否定 ?p ： ?x ? ? ， ?px 。 全称 命题 的否 定
? ? ? ?
是特称 命题 。
特 称命 题 p ： ?x ? ? ，px ，它的 否定 ?p ： ?x ? ? ， ?px 。特称 命题 的否 定是 全
? ? ? ?
称命题 。
第 二章 ：圆锥 曲线
11 、 求曲 线的 方程 （点 的 轨迹方 程） 的步 骤： 建、 设、限 、代 、化
①建立 适当的直 角坐 标系 ；②设 动点M x,y 及其 他的 点； ③找出 满足 限制 条件 的等 式；
? ?
④将点 的坐 标代 入等 式； ⑤化简 方程 ，并 验证 （查 漏除杂 ） 。
12 、 平面 内与 两个 定点F ，F 的距离之 和等 于常 数 （ 大于FF ） 的点的 轨迹 称为 椭圆 。
1 2 12
这两个 定点 称为 椭圆 的焦 点， 两 焦点 的距 离称 为椭 圆的焦 距 。MF ? MF ? 2a ?2a ? 2c ?
12
13 、椭 圆的 几 何 性质 ：
焦点在y 轴上
焦点的 位置 焦点在x 轴上
图形
22 22
xy yx
标准方 程 ? ?10 ab ? ? ? ?10 ab ? ?
? ? ? ?
22 22
ab ab
?a ?x ?a 且 ?b ? y ?b ?b ?x ?b 且 ?a ? y ?a
范围
?? a,0 、 ? a,0 ?? 0, a 、 ? 0,a
? ? ? ? ? ? ? ?
1 2 1 2
顶点
?? 0, b 、 ? 0,b ?? b,0 、 ? b,0
? ? ? ? ? ? ? ?
1 2 1 2
轴长 短轴的 长 ? 2b 长 轴的 长 ? 2a
Fc ? ,0 、Fc ,0 Fc 0, ? 、Fc 0,
焦点 ? ? ? ? ? ? ? ?
1 2 1 2
2 2 2
FF ? 2c c ?a ?b ，a 最大
焦距 ? ?
12
关于x 轴、y 轴对称 ，关 于原 点中心 对称
对称性 2
cb
离心率
ee ? ? 1 ? 0 ? ?1
? ?
2
aa
2 2
a a
准线方 程
x ?? y ??
c c
14 、设 ? 是 椭 圆 上任 一 点，点 ? 到F 对应 准 线的 距 离为d ，点 ? 到F 对应 准 线的 距 离
1 1 2
?? FF
12
为d ，则 ?? e 。
2
dd
12
15 、 平面 内与 两个 定点F ，F 的距离 之 差的绝对值 等 于 常数 （小 于FF ） 的 点的 轨迹
1 2 12
称为双 曲线 。这 两个 定点 称为双 曲线 的焦 点， 两焦 点的距 离 称 为双 曲线 的焦 距 。
MF ? MF ? 2a 2a ? 2c
? ?
12
16 、双 曲线 的几 何性 质：
焦点在y 轴上
焦点的 位置 焦点在x 轴上
图形
22 22
xy yx
标准方 程
? ?1ab ? 0, ? 0 ? ?1ab ? 0, ? 0
? ? ? ?
22 22
ab ab
xa ?? 或xa ? ，yR ? ya ?? 或ya ? ，xR ?
范围
?? a,0 、 ? a,0 ?? 0, a 、 ? 0,a
顶点 ? ? ? ? ? ? ? ?
1 2 1 2
轴长 虚轴的 长 ? 2b 实 轴的 长 ? 2a
Fc ? ,0 、Fc ,0 Fc 0, ? 、Fc 0,
焦点 ? ? ? ? ? ? ? ?
1 2 1 2
2 2 2
FF ? 2c c ?a ?b ，c 最大
焦距 ? ?
12
关于x 轴、y 轴对称 ，关 于原 点中心 对称
对称性
2
cb
离心率
ee ? ?11 ? ?
? ?
2
aa
2 2
a a
准线方 程 x ?? y ??
c cb a
渐近线 方程 yx ?? yx ??
a b
17 、实 轴和 虚轴 等长 的双 曲线称 为等 轴双 曲线 。
18 、设 ? 是双 曲线 上任 一点 ，点 ? 到F 对应准 线的 距离 为d ，点 ? 到F 对应准 线的 距
1 1 2
?? FF
12
离为d ，则 ?? e 。
2
dd
12
l
F F
18 、 平 面内 与一 个定 点 和一条定 直线 的距 离相 等的 点的轨 迹称 为抛 物线 ． 定 点 称为
l
抛物线 的焦 点， 定直 线 称为抛物 线的 准线 ．
19 、 过抛物线 的焦点作垂直于 对称轴且 交抛物线于 ? 、 ? 两 点的线段 ?? ， 称为抛物线 的
“通径 ” ， 即 ? ? ? 2p ．
20 、焦 半径 公式 ：
p
2 ?Fx ? ?
0
?xy , y?? 20 px p
? ? ? ?
00
F 2
若点 在抛物 线 上，焦 点为 ，则 ；
p
2 ?Fx ? ? ?
0
?xy , y ? ?20 px p ?
? ? ? ?
00
2
F
若点 在抛物 线 上，焦 点为 ，则 ；
p
2
?Fy ? ?
0
?xy , x?? 20 py p
? ? ? ?
00
2
F
若 点 在抛物 线 上，焦 点为 ，则 ；
p
2
?Fy ? ? ?
0
? ?xy , ? x ? ?20 py ?p ? ?
00
2
F
若点 在抛物 线 上，焦 点为 ，则 ．
21 、抛 物线 的几 何 性 质：
2 2 2 2
y ? 2px y ??2px x ? 2py x ??2py
标准方 程
p ? 0 p ? 0 p ? 0 p ? 0
? ? ? ? ? ? ? ?
图形
0,0
顶点 ? ?
y
x
对称轴 轴
轴 p p p p
????????
F ,0 F ? ,0 F 0, F 0, ?
焦点
????????
2 2 2 2
????????
p p p p
准线方 程 x ?? x ? y ?? y ?
2 2 2 2
离心率 e ?1
范围 y ? 0 y ? 0
x ? 0 x ? 0
第 三章 ：空间 向量
1、空 间向 量的 概念 ：
1 在空间 ，具 有大 小和 方向 的量称 为空 间向 量．
? ?
2 向量可 用一 条有 向线 段来 表示． 有向 线段 的长 度表 示向量 的大 小， 箭头 所指 的方向 表示
? ?
向量的 方向 ．
3 向量 ?? 的大小 称为 向量 的模 （或长 度） ，记 作 ?? ．
? ?
4 模（或 长度 ）为 0 的向 量称 为零向 量； 模为1 的向 量称 为单位 向量 ．
? ?
5 与向量a 长度 相等 且方 向相 反的向 量称 为a 的相反 向量 ，记作 ?a ．
? ?
6 方向相 同且 模相 等的 向量 称为相 等向 量．
? ?
2、空 间向 量的 加法 和减 法 ：
1 求两个 向量 和的 运算 称为 向量的 加法 ， 它 遵循 平行
? ?
四边形 法则 ．即 ：在 空 间 以同一 点 ? 为起点 的两 个已
b
知向量a 、 为邻边 作平 行四 边形 ? ?C ? ， 则以 ? 起
点的对角 线 ?C 就是a 与b 的和， 这种求向 量和的方
法，称 为向 量加 法的 平行 四边形 法则 ．
2 求 两个向量 差的运算 称为向 量的减法 ，它遵循 三角
? ?
形法则 ． 即 ： 在 空间 任取 一 点 ? ，作 ?? ? a ， ? ? ?b ，
则 ? ? ?ab ? ． 3、 实数 ? 与空 间向 量a 的乘积 ?a 是一个 向量 ， 称为 向量 的 数乘运 算 ． 当 ? ? 0 时， ?a 与
a 方向相同 ；当 ? ? 0 时， ?a 与a 方向 相反；当 ? ? 0 时， ?a 为零向量 ， 记为 0 ． ?a 的
长度是a 的长 度的 ? 倍．
4、设 ? ， ? 为实数 ，a ，b 是空 间 任意两 个向 量， 则数 乘运 算满足 分配 律及 结合 律．
分配律 ： ? a ?b ? ?a ? ?b ；结合 律： ? ?aa ? ? ? ．
? ? ? ?
? ?
5、如果表 示空间的 有向线 段所在的直 线互相 平行或 重合，则 这些向量 称为共 线向量或 平行
向量， 并规 定零 向量 与任 何向量 都共 线．
6、向量共线 的充要条 件： 对于空间任 意两个向 量a ，bb ? 0 ，ab // 的充要条 件是存 在
? ?
实数 ? ，使ab ? ? ．
7、平 行于 同一 个平 面的 向 量称为 共面 向量 ．
8 、向 量共 面定理 ：空间 一点 ? 位 于 平面 ??C 内 的充要 条件是 存在 有序实 数对x ，y ，使
? ? ?x ? ? ?y ?C ； 或 对空 间任一 定点 ? ，有 ?? ? ?? ? ??x? ? y C ； 或若四 点 ? ， ? ，
? ，C 共面 ，则 ? ? ?x ? ? ?y ? ? ?z ?C ?x ? y ?z ?1 ? ．
9、 已知 两个 非零 向量a 和b ， 在空间 任取 一点 ? ，作 ?? ? a ， ? ? ?b ，则 ?? ?? 称为
向量a ，b 的夹 角， 记作?? ab , ．两 个向量 夹角 的取 值范 围是 ： ?ab , ? ? 0, ? ．
? ?
?
10 、对 于两 个非 零向 量a 和b ，若 ?ab , ? ? ，则向 量a ，b 互相 垂直 ，记作ab ? ．
2
11 、 已 知 两 个 非 零 向 量a 和b ，则 a b cos?? a,b 称为a ，b 的 数 量 积 ， 记 作ab ? ．即
a ?b ? a b cos?a,b ? ．零向 量与 任何 向量 的数 量积为 0 ．
12 、ab ? 等于a 的长度 a 与b 在a 的方 向上的 投影 b cos?? a,b 的乘 积．
13 若a ，b 为非零 向量 ，e 为单 位向量 ，则 有 1 e ?a ?a ?e ? a cos ?a,e ? ；
? ?
?
a b a 与b 同 向
? ?
? 2
2 a ?b ?a ?b ? 0 ； 3 ab ?? ，a?? a a ， a?? a a ；
? ? ? ?
?
? a b a 与b 反 向
?
? ?
?
ab ?
4 cos ?ab , ? ? ； 5 a?? b a b ．
? ? ? ?
ab14 量 数乘 积的 运算 律： 1 a ?b ?b ?a ； 2 ?a ?b ? ? a ?b ?a ? ?b ；
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
3 a ?b ?c ?a ?c ?b ?c ．
? ?
? ?
15 、空间向 量基 本 定理 ：若 三 个 向量a ，b ，c 不 共 面 ，则 对 空 间任 一向 量 p ， 存 在实 数
组 x,, y z ，使 得 p ?xa ?yb ?zc ．
? ?
16 、三 个向 量a ，b ，c 不共面 ，则所 有空 间向 量组 成的 集合是
p p ? xa ?yb ?zc,x,y,z ?R ．这个 集合 可看 作是 由向 量a ，b ，c 生成 的，
? ?
a,, b c 称为空 间的 一个 基底 ，a ，b ，c 称为基向 量． 空间 任意 三个不 共面 的向 量都 可以
? ?
构成空 间的 一个 基底 ．
17、设e ，e ，e 为有 公共起 点 ? 的三个 两两 垂直 的单 位向 量 （称 它们 为单 位正 交基 底） ，
1 2 3
以e ，e ，e 的 公共起点 ? 为原点，分别以e ，e ，e 的方向为x 轴， y 轴，z 轴的正
1 2 3 1 2 3
方向建 立空 间直 角坐 标系 ?xyz ． 则对 于空间 任意 一个 向 量 p ， 一 定可以 把它 平移， 使它的
起点与原点 ? 重合，得到向量 ?? ?p ． 存 在 有 序 实 数 组 x,, y z ，使得
? ?
p?xe? ye ? z ．把 e x ，y ，z 称作向量 p 在单位 正交基底e ，e ，e 下的坐标， 记
1 2 3 1 2 3
作 p ? x,, y z ．此 时， 向量 p 的坐 标是 点 ? 在空 间直 角坐 标系 ?xyz 中的 坐标 x,, y z ．
? ? ? ?
18 、设a ? x,, y z ，b ? x,, y z ，则 1 a ?b ? x ?x,, y ?y z ?z ．
? ? ? ? ? ? ? ?
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
2 a ?b ? x ?x,, y ?y z ?z ．
? ? ? ?
1 2 1 2 1 2
3 ?a ? ?x,, ?y ?z ．
? ? ? ?
1 1 1
4 a ?b ?xx ?y y ?z z ．
? ?
1 2 1 2 1 2
?5 ? 若a 、b 为非零 向量 ，则a ?b ?a ?b ?00 ?xx ?y y ?z z ? ．
1 2 1 2 1 2
6 若b ? 0 ，则a //b ?a ? ?b ?x ? ?x ,y ? ?y ,z ? ?z ．
? ?
1 2 1 2 1 2
2 2 2
7 a ? a ?a ? x ? y ?z ．
? ?
1 1 1
ab ? x x?? y y z z
1 2 1 2 1 2
8 cos ?ab , ? ? ? ．
? ?
2 2 2 2 2 2
ab
x ? y ?z ? x ? y ?z
1 1 1 2 2 22 2 2
?9 ? ? ?x,, y z ? ，?? ?x,, y z ? ，则 d ? ? ? ? ?x ?x ? ?y? y ? ? ? z ? z ? ? ．
1 1 1 2 2 2 ?? 2 1 2 1 2 1
19 、 在 空 间 中 ， 取 一 定 点 ? 作 为 基 点 ， 那 么 空 间 中 任 意 一 点 ? 的 位 置 可 以 用 向 量 ?? 来表
示．向 量 ?? 称为点 ? 的位 置向 量．
20 、 空间 中任 意一 条直 线l 的位置 可以 由l 上一个 定点 ? 以及一 个定 方向 确定 ． 点 ? 是直线
l 上一点 ， 向 量a 表示直 线l 的方向向 量， 则对 于直 线l 上的任意 一点 ? ，有 ? ? ?ta ， 这样
点 ? 和向 量a 不仅可 以确 定直 线l 的位 置， 还可 以具 体表 示出直 线l 上的任 意一 点．
21 、 空间中平面 ? 的 位置可以由 ? 内 的两条相 交直线来确定 ．设这两条 相交直线相交 于点
? ， 它 们 的方 向 向 量分 别 为a ，b ． ? 为平面 ? 上 任 意 一 点 ，存 在 有 序实 数 对 xy , ，使
? ?
得 ? ? ? xa ? yb ，这 样点 ? 与向 量a ，b 就确 定了平 面 ? 的位置 ．
22 、直 线l 垂直 ? ，取直 线l 的方向向 量a ，则向 量a 称为平 面 ? 的法 向量 ．
23 、若 空间 不重 合两 条直 线a ，b 的方向 向量 分别 为a ，b ，则a //b?? a //b
a?? ?? b R ，a ?b ?a ?b ?a ?b ? 0 ．
? ?
24 、若 直线a 的方 向向 量为a ，平面 ? 的法 向量 为n ，且a ? ? ，则aa //?? ? //
?a ?n ?a ?n ? 0 ，a ? ? ?a ? ? ?a //n ?a ? ?n ．
25 、若 空间 不重 合的 两个 平面 ? ， ? 的法 向量 分别 为a ，b ，则?? //?? ab //
ab ? ? ，?? ? ?a ?b ?a ?b ? 0 ．
26 、设 异面 直线a ，b 的夹角 为 ? ，方 向向 量为a ，b ，其夹 角为 ? ，则有
ab ?
cos?? ?? cos ．
ab
27 、设 直线l 的 方向 向量 为l ， 平面 ? 的 法向 量为n ，l 与 ? 所 成 的角 为 ? ，l 与n 的夹角
ln ?
为 ? ，则 有sin?? ?? cos ．
ln
28、设n ，n 是二 面角?? ?? l 的两 个 面 ? ， ? 的法向 量， 则 向量n ，n 的夹角 （或其
1 2 1 2
nn ?
12
补角） 就是 二面 角的 平面 角 的大 小． 若二 面角?? ?? l 的平 面角为 ? ，则 cos ? ? ．
nn
12
29 、点 ? 与点 ? 之间 的距 离可 以转化 为两 点对 应向 量 ?? 的模 ?? 计算 ．
30 、在直线l 上找一点 ? ，过定点 ? 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点 ? 到直线l 的距 离? ? ?n
为dn ? ? ? cos ? ? ?, ? ? ．
n
31 、点 ? 是平面 ? 外一点 ， ? 是平面 ? 内的一定点 ，n 为平面 ? 的一个法 向量， 则点 ? 到
? ? ?n
平面 ? 的距离 为dn ? ? ? cos ? ? ?, ? ? ．
n |
|
