成都石室中学 2023-2024年度上期高 2024届入学考试
数学试题（理）
（总分：150分，时间：120分钟 ）
第Ⅰ卷（共 60分）
一、选择题（本题共 12道小题，每小题 5分，共 60分）
2
B ? x x ? 2x ? 3 ? 0
1.已知集合 A ? x ? N ?1? x ? 4 ， ，则 AI B ?（ ）
? ?
? ?
1,2 0,1,2 1,2,3 0,1,2,3
A．? ? B．? ? C．? ? D． ? ?
2.若复数 z 满足 z ?(1? 3i) ? 2 ? 4i，则 z ? ( )
2
A． B．1 C． 2 D．2
2
2
x ? 3x
3.函数 f (x) ? 的图象大致是( )
x
e
A B C D
x y
a ? a 0 ? a ? 1
4.已知实数 x, y满足 ? ?，则下列关系式恒成立的是（ ）
1 1
2 2
A ． ? B ． ln x ? 1 ? ln y ? 1 C ． sin x ? sin y
? ? ? ?
2 2
x ? 1 y ? 1
3 3
D． x ? y
5.若 a ? 0,b ? 0,lg a ? lg b ? lg a ? b ，则 a ? b的最小值为（ ）
? ?
A.8 B.6 C.4 D.2
2 2
6.已知命题 p :若 ac ? bc ,则 a ? b；命题 q : 在 ?ABC 中， sin A ? sin B是 A ? B的必
要不充分条件，则下列命题为真命题的是（ ）
A． ?p ? q B. ?( p ? q) C. p ? q D. p ? ?q
1
7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（ ）
0.5
1
1
A． B. C. 1 D.2
2
4
0.5
正视图 侧视图
1
俯视图
8.已知函数 f (x) ? Asin(4x ??)(0 ? ? ? ?)的图象与 y 轴交点的坐标为 (0, 3)，且图象关
?
于直线 x ? ? 对称，将 f (x)图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 2 倍，
24
?
? ?
得到函数 g(x)的图象，则 g(x)在区间 上的最大值为( )
0,
? ?
12
? ?
试卷第 1页，共 5页
学科网（北京）股份有限公司1
A． B．1 C． D． 2
3
2
9.某单位共招聘 6名应届毕业生，其中男女分别有 3人，准备平均分配到 3个部门，其中有
一个部门要求必须分配 2名女生，则不同的安排方法有（ ）
A. 36 B.54 C. 72 D.108
0.5
10.已知 a ? sin 0.7,b ? 0.6 ,c ? log 5,则 a， b， c 的大小关系为（ ）
6
A． a ? b ? c B． a ? c ? b C． b ? a ? c D． b ? c ? a
2 2
x y
2 3 16
2 2
11.已知圆 过双曲线 的左右焦点
C : x ? (y ? ) ? C : ? ?1(a ? 0,b ? 0)
1 2
2 2
3 3 a b
F , F C C MF ? MF ?12, C
,曲线 与曲线 在第一象限交点为 ， 则双曲线 的离心率
M
1 2 2
1 2 1 2
为（ ）
． ． C． ．3
A B 3 2 D
2
x 2
(2 ?1)(1? 2sin x)
12.若直线 x ? ky ? 0(k ? 0)与函数 f (x) ? 图象交于不同的两点 A, B ，且点
x
2 ?1
???? ???? ????
C(9,3),若点 D(m,n)满足 DA ? DB ? CD，则 m ? n ?（ ）
A.6 B. 4 C. 2 D. k
第Ⅱ卷（共 90分）
二、填空题（本题共 4道小题，每小题 5分，共 20分）
13.已知倾斜角为? 的直线l与直线 垂直，则 cos 2? = .
m : x ? 2y ? 3 ? 0
2 2
?x ? y ? 2x ? 2y ? 0
?
14.设 x， y 满足约束条件 x ? y ? 2 ，则 z ? 2x ? y 的最大值是_________.
?
?
x ? y ? 0
?
2
15.直线 x ? y ? 1 ? 0 与抛物线 y ? 4x交于 A, B两点，过线段 AB 的中点作直线 x ? ?1的
垂线，垂足为 ，则 MA? MB ? .
M
16.已知三棱锥 A ? BCD中, AB ? CD ? BC ? AD ? 2 , AC ? BD ? t ,当三棱锥 A ? BCD体积最
大时, t的值为 .
三、解答题（本题共 6道小题，17题 10分，其余各题 12分，共 70分）
17．（本小题满分 12分）
已 知 数 列 a 满 足 a ? 3， a ? 2a ? n ?1， 数 列 b 满 足 b ? 2，
? ? ? ?
n n
1 n?1 n 1
b ? b ? a ? n .
n?1 n n
（1）证明： a ? n 是等比数列；
? ?
n
a ? n
n
（2）数列 c 满足 c ? ，求数列 c 的前 n项的和T .
? ? ? ?
n n n
n
b ?1 b ?1
? ?? ?
n n?1
18．（本小题满分 12分）
试卷第 2页，共 5页
学科网（北京）股份有限公司A ? BCDE BCDE ACE ?
如图，四棱锥 中，底面 是平行四边形，平面 底面
A
BCDE BE ? CE CE ? 2BE ? 4 AC ? 2 3
AE ? 2
， ， ， ， ．
（1）求证：平面 ABE ?平面 ACD；
ABC ACD
（2）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值．
E
D
B C
19．（本小题满分 12分）
成都市有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷
调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的 1000 人的得分数据，
其频率分布直方图如图所示：
（1）估计该组数据的中位数、众数；
（2）由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分 Z 服从正态分
布 N ?， 210 ， ? 近似为这 1000 人得分的平均值（同一组数据用该区
? ?
P 50.5 ? Z ? 94
间的中点值作代表），利用该正态分布，求 ? ?；
（3）在（2）的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖
励方案：
（ⅰ）得分不低于 ? 可获赠 2次随机话费，得分低于 ? 则只有 1次；
（ⅱ）每次赠送的随机话费和对应概率如下：
现有一位市民要参加此次问卷调查，记 X (单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，
求 X 的分布列和数学期望.
附： 210=14.5，
2
若 Z ? N ?,? ， 则 P ? ?? ? Z ? ?+? =0.6826，
? ?
? ?
P ? ? 2? ? Z ? ?+2? =0.9544
? ? .
20．（本小题满分 12分）
2 2
x y
已知椭圆C ： ? ?1（ a ? b ? 0）左、右焦点分别为 F , F ，且 F 为抛物线
1 1 2 2
2 2
a b
2
C : y ? 8x的焦点， P(2, 2)为椭圆C 上一点.
2
1
（1）求椭圆C 的方程；
1
???? ?????
（2）已知 A， B为椭圆C 上不同两点，且都在 x 轴上方，满足 F A ? ? F B.
1 1 2
试卷第 3页，共 5页
学科网（北京）股份有限公司（ⅰ）若 ? ? 3，求直线 F A的斜率；
1
2
（ⅱ）若直线 F A与抛物线 y ? x 无交点，求四边形 F F BA面积的取值范围.
1 1 2
21．（本小题满分 12分）
f (x) ? ln x
设 ．
x 1
y ? ? ? ?( ,1)
y ? f (x) ?
（1）证明： 的图象与直线 有且只有一个横坐标为 的公共点，且 ；
e e
2
y ? kx y ? f (x)
（2）求所有的实数 k ，使得直线 与函数 的图象相切；
?
2
a,b,c ?(( ) ,??) ? a ? b ? c ? 3 g(x) ? ln x ? 2
（3）设 （其中 由（1）给出），且 ， ，求
e
2 2 2
g (a)+ g (b)+ g (c)的最大值．
22．（本小题满分 10分）
x ?1? cos?
?
C
在直角坐标系 xOy中，直线的方程为 x ? y ? a(a ? 0)，曲线 的参数方程为
?
y ? sin?
?
3
（? 为参数），点 P，Q分别在直线和曲线C上运动，| PQ |的最小值为 2 ?1.
2
(1)求 a的值；
(2) 以 坐 标 原 点 O为 极 点 ， x轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 射 线
?
l :? ? ? (? ? 0,0 ? ? ? )与 曲 线 C交 于 不 同 的 两 点 O, A,与 直 线 交 于 点 B， 若
1
2
| OA |?| AB |，求? 的值.
试卷第 4页，共 5页
学科网（北京）股份有限公司试卷第 5页，共 5页
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