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江苏省百校联考高三年级第二次考试
数 学 试 卷 2022.12.13
注意事项：
1．本试卷考试时间为 120分钟，试卷满分 150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡
上．
第 I卷(选择题 共 60分)
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
2
1．已知集合 A＝{x|x＞1}，B＝{x|x －3x＜0}，则 A∪B＝
A．(0，＋∞) B．(1，3) C．(0，3) D．(1，＋?)
2．已知复数 z 满足 z(1－2i)＝3＋2i(i为虚数单位)，则复数 z 在复平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知 sinθ＋2cosθ＝ 5，θ∈(0，π)，则 tan(π－θ)＝
1 1
A．－2 B．－ C． D．2
2 2
4．2 位教师和 4 位学生排成一排，要求 2 位老师不能相邻，也不能站两端，则不同的排法
种数为
A．144 B．96 C．72 D．48
－ρμt
5．射线测厚技术原理公式为 I＝I e ，其中 I ，I 分别为射线穿过被测物体前后的强度，e
0 0
是自然对数的底数，t为被测物体的厚度，ρ为被测物体的密度，μ是被测物体对射线的吸收
系数．工业上通常用镅低能 γ 射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为 0.8，
钢板的密度为 7.5，则这种射线的吸收系数为(注：半价层厚度是指已知射线强度减弱为一半
的某种物质厚度，ln2≈0.6931，结果精确到 0.001)
A．0.110 B．0.112 C．0.114 D．0.116
6．设函数 f(x)＝Asinωx(A＞0，ω＞0)若对?x∈[6，7]，f(x)≤0，则 ω 的最大值为
4 5 6
A． π B． π C． π D．π
7 6 7
2 2
7．已知圆 M：x ＋y －6x＝0，过点(1，2)的直线 l ，l ，…，l (n∈N)被该圆 M 截得的弦长
1 2 n
1
依次 a ，a ，…，a ．若 a ，a ，…，a 是公差为 的等差效列，则 n的最大值是
1 2 n 1 2 n
3
A．10 B．11 C．12 D．13
8．已知圆 O 的半径为 2，AB是圆 O 的直径，PA垂直于圆 O 所在的平面，且 PA＝4，点 C
1
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为圆 O 上一动点，点 D 在直线 PC 上，且AD·PC＝0，记点 D 的轨迹为曲线 T，则曲线 T
的周长为
A．2π B．2 2π C．4π D．4 2π
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对得 5分，部分选对得 2分，有选错的得 0分．
9．某商家为了了解人们消费方式的变化情况，收集并整理了该商家 2022年 1月份到 8月份
线上收入和线下收入的数据，并绘制如下的折线图．根据折线图，下列结论正确的有
A．该商家这 8个月中，线上收入的平均值高于线下收入的平均值
B．该商家这 8个月中，线下收入数据的中位数是 6.75
C．该商家这 8个月中，线上收入与线下收入相差最大的月份是 3月
1
D．该商家这 8个月中，每月总收入不少于 17万元的频率为
4
10．设 a＝log 3，b＝log 4，则
2 3
1
A．ab＝2 B．a＋b＞2 2 C．b－ ＞1 D．a＞b
a
2
11．已知直线 l 过点 M(2p，0)，且交抛物线 y ＝2px(p＞0)于点 A，B，记△AOM 的面积为
S ，△BOM的面积为 S ，其中 O 为坐标原点，则
1 2
1 1
A．|AB|≥4p B． ＋ 为定值
|AM| |BM|
2
C．|AM||BM|≥4p D．S S 为定值
1 2
2
12．函数 f(x)满足 f(1－x)＋f(1＋x)＝x ＋1，f(2＋x)＝f(2－x)＋4x，x∈R，则
9
A．f(3)＝ B．f(2)＋f(4)＝6
2
C．y＝f(x＋2)－2x为偶函数 D．当 x≥0时，f(x＋4)－f(x)≥8
第Ⅱ卷(非选择题 共 90分)
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
π
13．已知|a|＝ 10，|b|＝2 5，且 a，b的夹角为 ，若 λa＋b与 a垂直，则实数 λ 的值为
4
▲ ．
2
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n
14．设(3－x) (1＋x)＝a ＋a x＋…＋a x ，n∈N，且 a ＋a ＋…＋a ＝64，则 a ＝
0 1 n＋1 0 1 n＋1 1
▲ ．
15．在三棱锥 A－BCD中，平面 ABD⊥平面 BCD，BD⊥CD，△ABD为等边三角形，CD＝
3，若三棱锥 A－BCD 的外接球的表面积为 15π，则三棱锥 A－BCD 的体积为 ▲ ．
16．已知 a，b∈R，且－2≤≤ae－b≤0，若函数 f(x)＝ln2x＋ax＋b存在零点，则 a的最小值
为 ▲ ．
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分 10分)
2a ＋n－1，n为奇数，
n
已知数列{a }满足 a ＝1，a ＝ (n∈N)．
n 1 n＋1
为
{a －n＋2，n 偶数 )
n
(1)证明：{{a }是等比数列；
2n－1
(2)求数列{a }的前 2n项和 S ．
n 2n
18．(本小题满分 12分)
2π
在凸四边形 ABCD中，已知 AB＝AD，∠BAD＝ ，BC＝2CD＝4．
3
1
(1)若 cos∠BCD＝ ，求 sin∠ABC的值；
4
(2)求四边形 ABCD面积 S的最大值．
19．(本小题满分 12分)
新冠疫情暴发以来，各级人民政府采取有效防控措施，时常采用 10人一组做核酸检测(俗
称混检)．某地在核酸检测中发现某一组中有 1 人核酸检测呈阳性，为了能找出这 1 例阳性
感染者，且确认感染何种病毒，需要通过做血清检测，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，
呈阴性的表示没被感染．拟采用两种方案检测：
方案甲：将这 10人逐个做血清检测，直到能确定感染人员为止．
方案乙：将这 10 人的血清随机等分成两组，随机将其中一组的血清混在一起检测，若结果
为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人
员为止；若结果呈阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止．
把采用方案甲，直到能确定感染人员为止，检测的次数记为 X．
3
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(1)求 X的数学期望 E(X)；
(2)如果每次检测的费用相同，以检测费用的期望作为决策依据，应选择方案甲与方案乙哪
一种?
20．(本小题满分 12分)
如图，三棱柱 ABC－A B C 的底面 ABC是正三角形，侧面 ACC A 是菱形，平面 ACC A
1 1 1 1 1 1 1
⊥平面 ABC，E，F分别是棱 A C ，BC的中点．
1 1
(1)证明：EF∥平面 ABB A ；
1 1
4 53
(2)若 AC＝2，∠ACC ＝60°，G 是棱 CC 上一点，且二面角 A－EG－F的余弦值为 ，求
1 1
53
C G
1
的值．
GC
21．(本小题满分 12分)
x y
已知双曲线 C： － ＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为 F，双曲线 C上一点 P(3，1)关于原点
a b
FP F
的对称点为 Q，满足 · Q＝6．
(1)求 C的方程．
(2)直线 l与坐标轴不垂直，且不过点 P及点 Q，设 l与 C交于 A，B两点，点 B关于原点的
对称点为 D，若 PA⊥PD，证明：直线 l的斜率为定值．
4
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22．(本小题满分 12分)
1
2 2
已知函数 f(x)＝ x －3ax＋2a lnx，a≠0．
2
(1)求函数 f(x)的单调区间；
(2)若存在 x ，x ，x (x ＜x ＜x )，使得 f(x )＝f(x )＝f(x )，证明：x －x ＜2|a|．
1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1
3
参考数据：1.31＜ln(2＋ )＜1.32．
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