试卷类型：A
高 三 数 学 试 题
本试卷共 22 题，满分 150 分，共 6 页．考试用时 120 分钟．
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 设全集U ? 0,1, 2,3, 4,5 , 集合 A ? 1, 2, 4 , B ? x x ? 2, x ? N ,则 B ? e A ?
? ? ? ?
? ?
? ? U
A. 0,3,5 B. 0,1,3 C. 0,3 D. 3,5
? ? ? ? ? ? ? ?
2. 若 z 1? 3i ? 2 ? i，则 z ?
? ?
1 1 1 1
A. + i B. ? i C. 1? i D. 1? i
2 2 2 2
3. 已知向量 e ,e 是平面内的一组基底，若向量 a ? 2e +3e 与 b ? ?e ? 2e 共线，则 ? 的
1 2 1 2 1 2
值为4 4
A. 1 B. ?1 C. D. ?
3 3
2
4. 函数 f ? x? ? 2x ? x ? 3的单调递增区间为
? 1 ? ?3 ? ?1 ?
A. ??, B. ??, ?1 C. ， +? D. ， +?
? ?
? ? ?
? ? ?
4 2 4
? ? ? ? ? ?
2 2
x y
3
5. 已知椭圆 ? ?1 a ?b?0 的离心率为 ，则
? ?
2 2
a b 2
2 2 2 2
A． a ? 2b B. 3a ? 4b C. D.
a ? 2b 3a ? 4b
2 2 2 2
6. 已知圆 A: x ? y ? 4y ? 0与圆 B : x ? y ? 2x ? 0相交于O,C两点， 其中点O是坐
标原点，点 A, B分别是圆 A与圆 B的圆心，则 cos ?OAC ?
3
4
4 3
A. ? B. C. D.
?
5 5
5 5
7. 设数列 a 的前 n项和为 S , 设甲： a 是等差数列；乙：对于所有的正整数 n，都
? ? ? ?
n n n
n?a ? a ?
1 n
有 S ? . 则
n
2
A. 甲是乙的充要条件
B. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
C. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
cos ?
8. 锐角?, ? 满足 tan? ? ，则
1? sin ?
? ?
A. 2? ? ? ? B. 2? ? ? ?
2 2
3? ?
C. 2? ? ? ? D. 2? ? ? ? ?
4 2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 一组样本数据由10个互不相同的数组成，若去掉其中最小的和最大的两个数得到一组新
样本数据，则
A. 两组样本数据的样本极差不同
B. 两组样本数据的样本方差相同
C. 两组样本数据的样本中位数相同
D. 两组样本数据的样本平均数可能相同
10. 在天文学中，星等是衡量天体光度的量，是表示天体相对亮度的数值. 天体亮度越强，
星等的数值越小, 星等的数值越大，天体的亮度就越暗. 两颗星的星等与亮度满足
5 E
1
m ? m ? lg ，其中星等为 m 的星的亮度为 E k ?1,2 . 已知太阳的星等是
? ?
2 1 k k
2 E
2
?26.7，天狼星的星等是 ?1.45，南极星的星等是 ?0.72，则
A．天狼星的星等大约是南极星星等的 2倍
B．太阳的亮度与天狼星的亮度的比值是10.1
?10,1
C．天狼星的亮度与太阳的亮度的比值是10
?0,292
D．天狼星的亮度与南极星的亮度的比值是10
f x f 2 ? x =f 2 ? x
11. 已知函数 ? ?是定义域为 R的偶函数，满足 ? ? ? ?，当 0 ? x ? 2时，
2
f x =x ? x
? ? ，则
1
f x f x
A． ? ?的最小值是 ? ，最大值是 B． ? ?的周期为
2 4
4
2023
f 2023 ? 2 f i ?1012
C． ? ? D． ? ?
?
i?1
12. 下列几何体中，可完全放入一个半径为 2的球体内的是
A. 棱长为 2 的正方体
B. 底面半径为1，高为 2 3的圆锥
C. 棱长为 11的正四面体
D. 底面边长为 2，高为 10的正四棱锥
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 现有 6名志愿者报名参加某项暑期公益活动，此项公益活动为期两天，每天从这 6人中
安排3人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式有 ▲ 种.
4?
14. 将半径是5，圆心角是 的扇形围成一个圆锥（接缝处忽略不计），则该圆锥的体积
5
为 ▲ .
? ? ? ? ? ? ?
15. 已知函数 f x ? 2sin ?x ?? ，? ? 0, ? ? 在区间 ? , 上单调递增，直线
? ? ? ?
? ? ? ?
2 6 3
? ? ? ?
? ? 5?
? ?
x ? ? 和 x ? 为函数 y ? f x 的图象的两条相邻对称轴，则 f = ▲ .
? ?
? ?
6 3 12
? ?
2 2
x y
16. 已知双曲线C : ? ?1 a ? 0,b ? 0 的左、右焦点分别是 F , F . 点 M 为C左支上
? ?
1 2
2 2
a b
3
的一点，过 F 作与 x轴垂直的直线l，若 M 到l的距离 d 满足 MF ? d ，则C的离
2 2
2
心率 e的取值范围为 ▲ .
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10 分）
0
?ABC的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 A=135 ,b ? 2,c ? 2 .
（1）求sin C 的值；
（2）若 是 BC上一点， AC ? AD, 求 的面积.
D ?ABDA B
1 1
D
1
C
1
B
A
D C
18. (12 分)
如图，四棱柱 ABCD ? A B C D 中， AA ?平面ABCD, AB // CD, AB ? AD,
1 1 1 1 1
AB ? 2CD ? 4, AD ? 3.
（1）求证：CD //平面ABB A ；
1 1 1
0
（2）若CD 与平面 ABCD所成角为 60 ，
1
求平面 ACD 与平面 BCC B 夹角
1 1 1
的余弦值.
19.（12 分）
m
已知函数 f x ? ? ln x,m? R .
? ?
x
（1）讨论 f x 的单调性；
? ?
mf x ? 2m ?1
（2）证明：当 m ? 0时， ? ? ．
20.（12 分）
1 1 1
记 S 为数列 a 的前 n项和，已知 a ?1， ? ? .
? ?
n n 1
a a 2S
n n?1 n
（1）求 a 的通项公式；
? ?
n1 b ? b b ? b b ? b
1 2 2 3 n n?1
（2）令b ? ，证明： ? ? ???? ? 2 .
n
2a
b b b
n
1 2 n
21.（12 分）
甲、乙两个不透明的袋子中都有大小、形状、质地相同的 2个红球和1个黑球. 从两个
袋中各任取一个球交换，重复进行 n n ? N 次操作后，记甲袋中黑球个数为 X ，甲袋中
? ?
n
恰有1个黑球的概率为 a ，恰有 2个黑球的概率为b .
n n
（1）求 X 的分布列；
1
（2）求 a 的通项公式；
? ?
n
（3）求 X 的数学期望 E X ．
? ?
n n
22.（12分）
1 1
? ?
在直角坐标系 xOy中， 动圆 P过定点 F 0, ，且与定直线 l : y ? ? 相切， 记动
? ?
4 4
? ?
点 P的轨迹为W .
（1）求W 的方程；
（2）已知正方形 ABCD有三个顶点在W 上，求正方形 ABCD面积的最小值. |
|
