数学-一个公式搞定外接球问题10种题型（解析版）

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2023-11-08 | 阅：转： | 分享

外接球问题 10 种题型总结
【题型目录】
2
2 2 2
题型一：长方体正方体外接球（体对角线即为外接球的直径， ? ? ）
2 R ? a ? b ? c
题型二：能在正方体（长方体）内还原的立方体，即长方体切割体的外接球（体对角线即为外接球的直径，
2
2 2 2
）
? 2 R ? ? a ? b ? c
2
h
? ?
2 2
r
题型三：圆柱的外接球（，其中为底面圆的半径， h 为圆柱的高）
R ? ? r
? ?
2
? ?
2
h
? ?
2 2
r
题型四：直棱柱的外接球（，其中为底面外接圆的半径， h 为棱柱的高）
R ? ? r
? ?
2
? ?
2
P A
? ?
2 2
r
题型五：侧棱垂直于底面的棱锥的外接球（ R ? ? r ，其中为底面外接圆的半径， P A 为棱锥垂
? ?
2
? ?
直于底面的棱）
题型六：圆锥的外接球
题型七：棱台圆台的外接球
题型八：正棱锥的外接球
题型九：侧面垂直于底面外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）
题型十：多面体外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）
【典型例题】
2
2 2 2
题型一：长方体正方体外接球（体对角线即为外接球的直径，）
? 2 R ? ? a ? b ? c
【例 1 】若一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为 1 ，则这个球的表面积是（）
3 π
3
3 π
A ． B ． C ． D ． 1 2 π
π
4
2
【答案】 C
【分析】先求得球的半径，进而求得球的表面积.
3
【详解】正方体的体对角线长为 3 ，所以球的直径 2 R ? 3 , R ? ，
2
2
所以球的表面积为 .
4 π R ? 3 π
故选： C
【例 2 】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 1 8 ，则这个球的体积为（）
学科网（北京）股份有限公司9 π
A ． B． C ． 9 ? D ． 2 7 π
3 3 π
2
【答案】 A
【分析】先求得正方体的边长，然后求得球的半径，进而求得球的体积.
2
a , a ? 0
【详解】设正方体的边长为，则 6 a ? 1 8 , a ? 3 ，
正方体的对角线长为，
3 ? 3 ? 3 ? 3
3
所以球的直径 2 R ? 3 ，半径 R ? ，
2
3
4 π ? 3 ? 9 π
所以球的体积为 × = .
? ?
3 2 2
? ?
故选： A
【题型专练】
1 ．长方体的过一个顶点的三条棱长分别是 2 ， 4 ， 4 ，则该长方体外接球的表面积为（）
A ． 9 ? B ． 1 8 ? C ． 3 6 ? D ． 48 ?
【答案】 C
2
2 2 2
【分析】根据长方体外接球直径，可求出半径 R ，再由球体表面积公式，即可求
S ? 4 ? R
2 R ? a ? b ? c
出结果 .
2 2 2 2 2 2
【详解】长方体外接球直径，所以该长方体外接球的表面积
2 R ? a ? b ? c ? 2 ? 4 ? 4 ? 6 ? R ? 3
2 2
S ? 4 ? R ? 4 ? ? 3 ? 3 6 ?
故选： C.
2 ．已知球内接正方体的表面积为 S ，那么球体积等于 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
3
2 S
【答案】
?
2 4
【分析】由正方体表面积求出正方体棱长，再根据球直径等于内接正方体体对角线，得球的半径，代入球
的体积公式 .
6 S
S
【详解】因为正方体表面积为 , 所以正方体棱长为 a ? ，
6
6 S 2 S
又因为球的直径等于其内接正方体体对角线，所以球直径，
2 R ? 3 ? ?
6 2
3
2 S
4 2 S
3
球半径，体积 .
R ? V ? ? R ? ?
4
3 24
3
2 S
故答案为： .
?
24
学科网（北京）股份有限公司题型二：能在正方体（长方体）内还原的立方体，即长方体切割体的外接球（体对角线即为外接球的直径，
2 2 2 2
）
? 2 R ? ? a ? b ? c
设长方体相邻的三条边棱长分别为 a ， b ， c ．
图 1 墙角体图 1 鳖臑图 3 挖墙角体图 4 对角线相等的四面体
图 1 侧面（侧棱）两两垂直，
图 2 所有面均为直角三角形，（线面垂直 +线线垂直）；
图 3 俯视图是一矩形， A C 为虚线，主视图和左视图为直角三角形，
图 4 若是长方体则为对棱相等的四面体，若是正方体则是正四面体（所有棱长均相等）
2 2 2 2
? a ? b ? B C ? ?
A D ? B C
?
2 2 2 2 2 2
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2 2 2 2 2 2 2
图 4 中（长方体）， A B ? C D ? b ? c ? A C ? ? ? a ? b ? c ? ? R ? ,
? ?
2 8
? ?
2 2 2 2
A C ? B D
c ? a ? A B ? ?
?
?
1 1
V ? a b c ? a b c ? 4 ? a b c ．
A ? B C D
6 3
【例 1 】若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】 9 π
【分析】根据题意可得三棱锥的三条侧棱两两垂直，因此以三条侧棱为长、宽、高构造正方体如图所示，
该正方体的外接球就是三棱锥的外接球，利用长方体的对角线长公式算出球的直径，再根据球的表面积公
式加以计算，可得答案．
【详解】解：设三棱锥 A ? B C D 中，面 A B C 、面 A B D 、面 A C D 两两互相垂直，，
A B ? A C ? A D ? 3
则 A B 、 A C 、 A D 两两互相垂直，以 A B 、 A D 、 A C 为长、宽、高，构造正方体如图所示，
可得该正方体的外接球就是三棱锥 A ? B C D 的外接球，
R
设球半径为，可得正方体的对角线长等于球直径 2 R ，
学科网（北京）股份有限公司3
即 2 R ? 3 ，解得 R ? ，
2
3
2 2
? S ? 4 π R ? 4 π ? ( ) ? 9 π
外接球的表面积是．
2
故答案为： 9 π ．
P ? A B C O P A ? P B ? P C
【例 2 】已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，， ? A B C 是边长为 2 的正三角形，
E ， F 分别是， A B 的中点， ? C E F ? 9 0 ? ，则球 O 的体积为（）
P A
A ． B． 6 π C ． 2 4 π D ．
6 π 8 6 π
【答案】 A
【分析】先证得 P B ? 平面 P A C ，再求得 P A ? P B ? P C ? 2 ，从而得 P ? A B C 为正方体一部分，进而知正
方体的体对角线即为球直径，从而得解 .
1
P A ? P B ? P C ? 2 x E F ? P B ? x
【详解】设， E ， F 分别为 P A ， A B 中点， ? E F ∥ P B ，且，
2
? ? A B C 为边长为 2 的等边三角形，，
? C F ? 3
1
2
又 ? C E F ? 9 0 ? ，， A E ? P A ? x ，
? C E ? 3 ? x
2
2 2
x ? 4 ? 3 ? x
? ?
在 △ A E C 中，由余弦定理，
c os ? E A C ?
2 ? 2 ? x
?
作 P D ? A C 于 D ， ? P A ? P C ， D 为 A C 中点，
2 2
A D 1 x ? 4 ? 3 ? x 1
2
c o s ? E A C ? ?
又， ? ? ，解得，
x ?
P A 2 x
4 x 2 x
2
，
? P A ? P B ? P C ? 2
A B = B C = A C = 2 P B
又， ? P A ，， P C 两两垂直，
即三棱锥 P ? A B C 是以， P B ， P C 为棱的正方体的一部分；
P A
6
所以球 O 的直径，解得，
2 R ? 2 ? 2 ? 2 ? 6 R ?
2
4 4 6 6
3
则球 O 的体积
V ? ? R ? ? ? ? 6 ?
3 3 8
学科网（北京）股份有限公司【例 3 】表面积为的正四面体的外接球的表面积为（）
8 3
1 2 ?
A ． B ． C ． 8 ? D ．
4 3 ? 4 6 ?
【答案】 B
【分析】根据表面积求得正四面体的棱长，再结合正方体的外接球半径的求解，即可求得结果.
3
2
a
【详解】设正四面体的棱长为，则根据题意可得：，解得；
a ? 4 ? 8 3
a ? 2 2
4
该正四面体的外接球与棱长为的正方体的外接球的半径相等，
2
2
又正方体的外接球半径为，故该正四面体外接球的表面积 S ? 4 ? ? 3 ? 12 ? .
3
? ?
故选： B.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
A , B , C , D
【例 4 】设是半径为 2 的球面上的四个不同点，且满足，，，
A B ? A C ? 0 A D ? A B ? 0
A C ? A D ? 0
S S + S + S
用 S 、 S 、分别表示 ? A B C 、 ? A C D 、△ A B D 的面积，则的最大值是
_ _ _ _ _ _ .
1 2 3 1 2 3
【答案】 8
【分析】扩展成为长方体，根据球为长方体的外接球，利用基本不等式即可求解.
A B ? a , A C ? b , A D ? c
【详解】设 ,
A B , A C , A D
因为两两垂直，扩展为长方体，
所以该长方体的体对角线为球的直径，
2 2 2 2
所以，
a ? b ? c ? 4 R ? 1 6
1
S ? S ? S ? ( a b ? a c ? b c )
，
△ A B C △ A C D △ A B D
2
2 2 2 2 2 2
a ? b ? 2 ab , a ? c ? 2 ac , b ? c ? 2 bc ,
因为
1 1
2 2 2
所以 ( a b ? a c ? b c ) ? ( a ? b ? c ) ? 8 ，
2 2
4 3
当且仅当时取得等号，
a ? b ? c ?
3
故答案为 : 8 .
.
【例 5 】我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑现有一个 “ 鳖
学科网（北京）股份有限公司P A ? 3
臑 ” ， P A ? 底面 A B C ， A C ? B C ，且， B C ? 2 ，，则该四面体的外接球的表面积为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
A C ? 3
【答案】 1 6 π
【分析】根据题意将三棱锥 P ? A B C 还原到长方体中，如图所示，求出长方体的体对角线的长，即可得外接
球的直径，从而可求出其表面积 .
【详解】解：将三棱锥 P ? A B C 还原到长方体中，如图所示
则长方体的外接球的半径为
2 2 2
2 R ? P A ? A C ? B C ? 9 ? 3 ? 4 ? 4
故 R ? 2
2
所以三棱锥 P ? A B C 外接球的表面积为，
4 π R ? 1 6 π
故答案为： 1 6 π
【例 6 】如图，蹴鞠，又名 “ 蹋鞠 ” 、 “ 蹴球 ” 、 “ 蹴圆 ” 、 “ 筑球 ” 、 “ 踢圆 ” 等， “ 跳 ” 有用脚蹴、蹋、踢的含义， “ 鞠 ”
最早系皮革外包、内实米糠的球 . 因而 “ 蹴鞠 ” 就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球. 2 0 0 6
年 5 月 2 0 日，蹴鞠己作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录. 若将 “ 鞠 ” 的
表面视为光滑的球面，已知某 “ 鞠 ” 表面上的四个点 A ， B ， C ， D 满足，，
A B ? C D ? 1 3 c m B D ? A C ? 2 5 c m
A D ? B C ? 5 c m ，则该 “ 鞠 ” 的表面积为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】 2 9 ?
【分析】根据给定条件，四面体 A B C D 可作为一长方体的四个顶点，再利用长方体求出 “ 鞠 ” 的直径即可计算
作答 .
【详解】在四面体 A B C D 中，因，， A D ? B C ? 5 c m ，
A B ? C D ? 1 3 c m B D ? A C ? 2 5 c m
A , B , C , D
则点是某一长方体的四个顶点，如图，
学科网（北京）股份有限公司2 2
? a ? b ? 25
?
2 2
2 2 2
a , b , c b ? c ? 13
令此长方体的长、宽、高分别为，则有，即有，
? a ? b ? c ? 2 9
2 2
?
c ? a ? 20
?
2 2 2 2
令该长方体的外接球的半径为 R ，因此 ( 2 R ) ? a ? b ? c ? 29 ，
2
该 “ 鞠 ” 的表面积为 S ? 4 ? R ? 2 9 ? .
故答案为： 2 9 ?
【题型专练】
A B , A C , A D
1 ．四面体 A B C D 的每个顶点都在球 O 的球面上，两两垂直，且， A C ? 2 ， A D ? 3 ，
A B ? 3
则球 O 的表面积为 _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】 1 6 ? .
【分析】根据题意将四面体补成如图所示的长方体，则长方体的体对角线的长等于四面体 A B C D 外接球的
直径的长，从而可求出球的半径，进而可求出其表面积 .
【详解】根据题意将四面体 A B C D 补成如图所示的长方体，则长方体的体对角线的长等于四面体 A B C D 外
接球的直径的长，
设外接球的半径为 R ，
因为， A C ? 2 ， A D ? 3 ，
A B ? 3
2
2 2 2
所以 ? 2 R ? ? A B ? A C ? A D ? 3 ? 4 ? 9 ? 1 6 ，
2
所以，
R ? 4
2
所以球 O 的表面积为，
4 ? R ? 1 6 ?
故答案为： 1 6 ?
学科网（北京）股份有限公司2 ．据《九章算术》中记载， “ 阳马 ” 是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥 . 现有一个 “ 阳马 ” ， P A ? 底
P A ? 5， A B ? 4， B C ? 3
面 A B C D ，底面 A B C D 是矩形，且，则这个 “ 阳马 ” 的外接球表面积为（）
5 π
A ． B． 2 0 0 π C ． 5 0 π D ． 1 0 0 π
【答案】 C
【分析】把四棱锥 P ? A B C D 补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥 P ? A B C D 的
外接球直径，由长方体性质求得球半径后可得表面积．
【详解】把四棱锥 P ? A B C D 补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥 P ? A B C D 的
外接球直径，
2 2 2 2
设球半径为 R ，则 ( 2 R ) ? P A ? A B ? B C ? 50 ，
2
球表面积为 S ? 4 π R ? 5 0 π ．
故选： C ．
3 ．正四面体 S ? A B C 内接于一个半径为 R 的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为（）
6 3 2 6
A ． B． C ． D ．
3
4 3 3
【答案】 C
【分析】设正四面体的棱长为 2 a ，由正四面体几何性质得出 a 与外接球半径 R 的关系式，即可求比值
学科网（北京）股份有限公司【详解】设正四面体的棱长为 2 a ，正四面体的外接球心为 O ， ? A B C 的内心为 M ，则 S M ? 平面 A B C ，由 A M ?
平面 A B C ，则 S M ? A M ，
2 2 3 a 2 6 a
2 2
由，则
A E ? 3 a , A M ? A E ? , S M ? A S ? A M ?
3 3 3
2 2
? ? ? ?
2 6 a 2 3 a 6 2 a 2 6
2
? R ? ? R ? a ? R ? ?
.
? ? ? ?
? ? ? ?
3 3 3 R 3
? ? ? ?
故选： C
4 ．在四面体 A B C D 中，已知点 E ， F 分别为棱 A B ， C D 中点，且 E F ? A B ， E F ? C D ，若 A B ? C D ? 2 ， E F ? 2 ，
则该四面体外接球半径为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
2
【分析】根据四面体的对棱性质，结合长方体面对角线的性质，即可将四面体的外接球问题转化为长方体
外接球问题，即可得半径 .
【详解】解：根据长方体的面对角线特点，由对棱 A B ? C D ? 2 ，且对棱中点 E ， F 分别满足 E F ? A B ， E F ? C D ，
则可构造长方体使得四面体 A B C D 的顶点与长方体的顶点重合，由长方体的外接球即为四面体的外接球
如下图所示：
a , b , c
设长方体的长、宽、高分别为
2 2 2
则， a ? E F ? 2
b ? c ? A B ? 4
学科网（北京）股份有限公司2 2 2 2
a ? b ? c 4 ? 2
所以外接球的半径，即四面体 A B C D 的外接球半径为 .
R ? ? ? 2 2
2 2
故答案为： .
2
A B , A C , A D △ A B C , △ A C D ， △ A D B
5 ．在半径为 R 的球面上有 A ， B ， C ， D 四点，且直线两两垂直，若的
面积之和为 6 ，则此球体积的最小值为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
4 3 ?
【分析】本题相当于求三棱锥的外接球体积的最小值. 先把三棱锥补形成一个长方体，可得外接球的直径为
长方体的体对角线，分析已知条件，再借助基本不等式求出半径的最小值，最后可求出球的体积最小值 .
A B , A C , A D A B , A C , A D
【详解】因为线段两两垂直，所以三棱锥可以补全为一个长方体，线段分别为长方
体的长、宽、高，则半径为 R 的球即为长方体的外接球 .
2
2 2 2 2 2 2
A B ? x , A C ? y , A D ? z
2 R ? A B ? A C ? A D ? x ? y ? z
令，所以有 ? ?
又因为 △ A B C , △ A C D ， △ A D B 的面积之和为 6 ，所以
1 1 1 1 1 1
x y ? y z ? x z ? 12
S ? S ? S ? A B ? A C ? A D ? A C ? A B ? A D ? x y ? y z ? x z ? 6 ，即 .
? A B C ? A C D ? A D B
2 2 2 2 2 2
2 2
? x ? y ? 2 x y
? 2
2 2
2 2 2
y ? z ? 2 y z x ? y ? z ? 2
由基本不等式有，所以 2 R ? x ? y ? z ? x y ? y z ? x z ? 12 ，当且仅当时等号成
? ? ?
2 2
?
x ? z ? 2 x z
?
立，此时 R ? 3 ， V ? 4 3 ? .
m i n m i n
故答案为： 4 3 ? .
?
6 ．已知三棱锥 A ? B C D 中，面，则三棱锥的外接球的
A B ? B C D ， ? B C D ? 9 0 ， A B ? B C ? 2 ， C D ? 2
体积为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
5 1 0
【答案】
π
3
【分析】根据三棱锥的顶点是长方体的顶点即可求解.
【详解】
由题可知 , 该三棱锥在长方体中，且三棱锥的四个顶点为长方体的四个顶点，
学科网（北京）股份有限公司所以三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
由图可知长方体的长宽高分别为 a ? 2 , b ? 2 , c ? 2 ，
2 2 2
所以体对角线长，
d ? a ? b ? c ? 1 0
3
? ?
4 10 5 10
? ? π
所以外接球的体积等于 .
? ?
? ?
3 2 3
? ?
5 1 0
故答案为 : .
π
3
7 . 四面体 A ﹣ B CD 中， A B ＝ CD ＝ 5 ，，，则四面体 A ﹣ B CD 外接球的表面积
A C ? B D ? 3 4 A D ? B C ? 4 1
为 _ _ _ _ _ ．
【答案】 5 0 π
A ? B C D
【分析】把四面体补成一个长方体，长方体的对角线就是其外接球的直径，由此可求得外接球半径，
从而得表面积．
【详解】由题意可采用割补法，考虑到四面体 A ﹣ B CD 的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上
一个以为三边的三角形作为底面，且分别以 a ， b ， c 为长、侧棱两两垂直的三棱锥，从而可得到
5 ， 3 4 ， 4 1
一个长、宽、高分别为 a ， b ， c 的长方体，
2 2 2 2 2 2
并且 a + b ＝ 2 5 ， a + c ＝ 3 4 ， b +c ＝ 4 1 ，
2 2 2 2
设球半径为 R ，则有 (2 R ) ＝ a + b +c ＝ 5 0 ，
2
∴ 4 R ＝ 5 0 ，
2
∴ 球的表面积为．
S ? 4 π R ? 5 0 π
故答案为： 5 0 π ．
2
h
? ?
2 2
题型三：圆柱的外接球（，其中 r 为底面圆的半径， h 为圆柱的高）
R ? ? r
? ?
2
? ?
【例 1 】已知圆柱的高为 1 ，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
学科网（北京）股份有限公司3 π π π
π
A ． B ． C． D ．
4 2 4
【答案】 B
1
A C ? 1 , A B ?
【详解】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：，
2
2
? 1 ? 3
2
结合勾股定理，底面半径 r ? 1 ? ? ，
? ?
2 2
? ?
2
? ?
3 3
2
V ? π r h ? π ? ? 1 ? π
由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选 B .
? ?
? ?
2 4
? ?
【题型专练】
1 . 阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯? 牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发
现就是 “ 圆柱容球 ” 定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和
2 2
侧面都相切），在该图形中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，则该圆柱的
3 3
体积与它的外接球的体积之比为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
3 2
【答案】
8
a
2 a
【分析】设圆柱的底面半径为，由题意可知圆柱的高为，再根据圆柱的底面与外接球的关系，可利用
勾股定理即可求出圆柱外接球半径，由两几何体的体积公式求出各自的体积，由此即可求出比值.
R ? 2 a
a a
2 a
【详解】设圆柱的底面半径为，则圆柱的内切球的半径为， ∴ 圆柱的高为， ∴ 圆柱的体积为
2 3
V ? ? ? a ? 2 a ? 2 ? a
，又圆柱的外接球球心为上下底面圆心连线的中点， ∴ 圆柱的外接球半径
1
3
4 8 2 3 2
3
2 2
， ∴ 圆柱的外接球体积为，故 .
V ? ? 2 a ? ? a V : V ?
R ? a ? a ? 2 a
? ?
2 1 2
3 3 8
3 2
故答案为： .
8
2
h
? ?
2 2
r
题型四：直棱柱的外接球（，其中为底面外接圆的半径， h 为棱柱的高）
R ? ? r
? ?
2
? ?
学科网（北京）股份有限公司A B C - A B C
【例 1 】设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是 4 0 π 的球面上，且
1 1 1
?
A B ? A C ? A A , ? B A C ? 120
，则该直三棱柱的体积是（）
1
4 6 2 6
A ． 4 6 B． C ． D ．
2 6
3 3
【答案】 A
【分析】先设出棱长，表示出球半径，利用球的表面积求出棱长，然后利用柱体的体积公式可求体积 .
? ?
A B ? A C ? A A ? 2 m
【详解】设 . 因为，所以 .
? B A C ? 1 2 0 ? A C B ? 3 0
1
2 m
由正弦定理得 ? 2 r ( r 是 ? A B C 外接圆的半径）， r ? 2 m .
?
s i n 3 0
2 2
A A
又球心到平面 A B C 的距离等于侧棱长的一半，所以球的半径为 . 所以球的表面积为
1 ( 2 m ) ? m ? 5 m
2
4 π 5 m ? 40 π ，解得 m ? 2 .
? ?
1 3
2 3
因此该直三棱柱的体积是
S ? A A ? ? 4 m ? ? 2 m ? 2 3 m ? 4 6 ?
? A B C 1
2 2
故选： A .
A B C - A B C A A ? 4
【例 2 】在直三棱柱中， A B ? 2 ，，，，则该直三棱柱的外接球
A C ? 2 3 B C ? 2 6
1 1 1 1
的表面积为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】 5 2 π
【分析】求得外接球的半径，从而求得外接球的表面积 .
r
【详解】设三角形 A B C 的外接圆半径为，
设直三棱柱的外接球的半径为 R ，
2
4 ? 12 ? 24 3 ? ?
3 6
c os ? B A C ? ? ? ，则 ? B A C 为钝角，则，
s i n ? B A C ? 1 ? ? ?
? ?
? ?
3
2 ? 2 ? 2 3 3 3
? ?
2 6
2 r ? ? 6 , r ? 3
所以，
6
3
2
4
? ?
2 2
所以 R ? 3 ? ? 13 ，
? ?
2
? ?
2
所以外接球的表面积是 .
4 π R ? 5 2 π
故答案为： 5 2 π
6
【例 3 】若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有定点都在一个球的面上，则此球的体积是
6
2
学科网（北京）股份有限公司_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
4 3 ?
【分析】计算出正六棱柱的外接圆直径，进而可求得外接球的半径，利用球体体积公式即可计算出正六棱
柱的外接球的体积 .
【详解】如下图所示：
O O O O
圆柱的底面圆直径为 2 r ，母线长为 h ，则的中点 O 到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则 O 为圆
1 2 1 2
2
2
O O
柱外接球的球心，设球 O 的半径为 R ，则，
2 R ? 2 r ? h
1 2 ? ?
A B C D E F ? A B C D E F
可作出正六棱柱的外接圆，
1 1 1 1 1 1
A B C D E F ? A B C D E F O O
可将正六棱柱放在圆柱中，如下图所示：
1 1 1 1 1 1 1 2
?
O A O B O A ? O B △ O A B
连接、，则 ? A O B ? 60 ，且，则为等边三角形，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
6
O
则圆的半径为，
r ? O A ? A B ?
1
1 1 1 1
2
A B C D E F ? A B C D E F
正六棱柱的侧棱长为，
h ? 6
1 1 1 1 1 1
2
2
A B C D E F ? A B C D E F
设正六棱柱的外接球的半径为 R ，则，
2 R ? ? 2 r ? ? h ? 2 3
1 1 1 1 1 1
学科网（北京）股份有限公司3
4 4
3
V ? ? R ? ? ? 3 = 4 3 ?
所以，，因此，正六棱柱的外接球体积为 .
R ? 3 ? ?
3 3
故答案为： .
4 3 ?
【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
① 补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中
去求解；
② 利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③ 定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则
球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.
【题型专练】
A B C - A B C A B ? B C ? A A ? 2 , ? A B C ? 90 ?
1 ．如图，在直三棱柱中，，则此直三棱柱的外接球的体积是
1 1 1 1
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
4 3 ?
【分析】根据给定条件把直三棱柱补形成正方体，利用它们有相同的外接球，求出正方体的体对角线长即
可得解 .
A B C - A B C B B B , B A , B C A B ? B C ? A A ? 2 ,
【详解】直三棱柱共点于的三条棱两两垂直，
1 1 1 1 1
B B , B A , B C A B C - A B C
则以为相邻三条棱可作正方体，该正方体与直三棱柱有相同的外接球，
1 1 1 1
2 2 2
外接球的直径 2 R 即为正方体体对角线长，即，
R ? 3
2 ? 2 ? 2 ? 2 3
4 4
3
此球的体积为 V ? ? R ? ? ? 3 3 ? 4 3 ? ，
3 3
故答案为： .
4 3 ?
学科网（北京）股份有限公司A B C ﹣ A B C A A A A ? 4
2 ．若三棱柱的底面是以 A B 为斜边的直角三角形， ⊥ 平面 A B C ，，，则
A B ? 2 2
1 1 1 1 1
A ? A B C
三棱锥的外接球的表面积为 _ _ _ _ _ ．
1
【答案】 2 4 π
【分析】利用勾股定理求得外接球的半径，从而求得外接球的表面积 .
A ? A B C A B C ﹣ A B C
【详解】三棱锥的外接球即直三棱柱的外接球，
1 1 1 1
直角三角形的外心在斜边的中点，
2
2
? ?
4 2 2
? ?
所以外接球的半径，
R ? ? ? 6
? ?
? ?
? ?
2 2
? ?
? ?
2
所以外接球的表面积为 4 π R ? 2 4 π .
故答案为： 2 4 π
?
A B C - A B C
B B ? B C ? 2 , ? B A C ?
3 ．已知直三棱柱中，，则该三棱柱外接球的体积为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
1 1 1
1
6
2 0 5 ?
【答案】
3
【分析】先利用正弦定理求地面的外接圆半径，然后利用勾股定理求外接球的半径，最后求得体积.
2
2 r ? ? 4 ? r ? 2
?
【详解】棱柱底面 ? A B C 的外接圆直径，所以该三棱椎外接球的半径
s i n
6
2
? B B ? 4 20 5 ?
3
2 1
R ? r ? ? 5 ，所以该三棱柱外接球的体积为 V ? ? R ?
? ?
2
3 3
? ?
2 0 5 ?
故答案为：
3
A B C - A B C A B ? A A ? 1 A A B C
4 ．已知在直三棱柱中，， B C ? 2 ， A B ? B C ，则点到平面的距离为 _ _ _ _ _ _ ；
1 1
1 1 1 1 1
A ? A B C
若三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球体积为 _ _ _ _ _ _ ．
1 1 1
2
【答案】 6 π
2
V ? V A A B C
【分析】利用等体积法，结合题干数据可求解点到平面的距离，将直三棱柱
A ? A B C A ? A B C
1 1 1 1 1 1 1 1 1
A B C - A B C B A ， B C , B B A B C - A B C
补全为以为三相邻棱的长方体，可知长方体的外接球即为直三棱柱
1 1 1 1 1 1 1
A ? A B C
的外接球，即为三棱锥的外接球，求解即可 .
1 1 1
学科网（北京）股份有限公司【详解】
A A B C A ? A B C
由题意，点到平面的距离可以看作三棱锥的高，不妨记为 d ，
1 1
1 1 1 1
A B C - A B C A A ? A B C
由于直三棱柱，故平面，
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
V = A A ? S 创 1 创 1 2 =
故，
A - A B C 1 ? A B C
1 1 1 1 1 1
3 3 2 3
2 2 2 ?
2 2
A C = A B + B C ? A B C ? 9 0
A C = A A + A C = 6 , A B = 2 , B C = 2 ，即，，
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
2
V ? d ? S ? d ? ? 2 ? 2 ? V ?
故，解得，
d ?
A ? A B C ? A B C A ? A B C
1 1 1 1 1 1 1 1
3 3 2 3
2
A B C - A B C B A ， B C , B B
将直三棱柱补全为以为三相邻棱的长方体，可知长方体的外接球即为直三棱柱
1 1 1 1
A B C - A B C A ? A B C
的外接球，即为三棱锥的外接球，
1 1 1
1 1 1
2 2 2
4
B A ? B C ? B B 3
6
1
V ? ? R ? 6 ? .
故外接球的半径，体积
R ? ?
3
2 2
2
故答案为：， 6 π .
2
2
P A
? ?
2 2
r
题型五：侧棱垂直于底面的棱锥的外接球（，其中为底面外接圆的半径，为棱锥垂
R ? ? r P A
? ?
2
? ?
直于底面的棱）
3 3
【例 1 】已知 A ， B ， C， D 在球 O 的表面上， ? A B C 为等边三角形且其面积为， A D ? 平面 A B C ， A D
4
＝，则球的表面积为（）
2 O
π
A ． B ． 2 π C ． 4 π D ． 8 π
【答案】 D
【分析】由正弦定理可得 ? A B C 外接圆的半径，作图利用勾股定理可得四面体 D ? A B C 的外接球的半径，
即可求出球 O 的表面积 .
学科网（北京）股份有限公司【详解】
1 3 3 3
2 ? 2
因为 ? A B C 为等边三角形且其面积为，
a s i n 60 ? a ?
2 4 4
r
所以 ? A B C 的边长为，设 ? A B C 外接圆的半径为，
3
3
O O A ? 1
由正弦定理可得， r ? 1 ，取底面中心为，即
2 r ? ? 2 1 1
?
s i n 60
∵ A D ? 平面 A B C ， A D ＝ 2 ，
1
O
O O / / A D O O = A D
过作，且取，
1 1
1
2
则 O 即是四面体 D ? A B C 外接球的球心，半径 R ? O A ，
2
A D
? ?
2 2 2 2
R t △ O O A
在中， O A ? O O ? O A ? ? 1 ? 2 ，则，
R ? O A ? 2
1
1 1 ? ?
2
? ?
2
所以球 O 的表面积为 4 π R ? 8 π .
故选： D .
【例 2 】已知在三棱锥 P － A B C 中， P A ＝ 4 ， B C ? 2 6 ， P B ＝ P C ＝ 3 ， P A ? 平面 P B C ，则三棱锥 P － A B C
的外接球的表面积是（）
A ． 4 0 π B． 4 3 π C ． 4 5 π D ． 4 8 π
【答案】 B
【分析】利用空间点、线、面的位置关系，根据三棱锥的特点计算其外接球的半径 .
6 3
【详解】在等腰 ? P B C 中，易知 c o s ? P B C ? ，所以 s i n ? P B C ? ，
3 3
1 3 3
? P B C r ? ? ? 3
的外接圆的半径为，
2 s i n ? P B C 2
2
1 2 7 4 3
? ?
2
所以三棱锥 P － A B C 的外接球的半径为 .
R ? r ? P A ? ? 4 ?
? ?
2 4 2
? ?
2
? ?
43
2
所以其表面积为 4 π R ? 4 π ? 43 π .
? ?
? ?
2
? ?
学科网（北京）股份有限公司故选： B.
【例 3 】三棱锥 P ? A B C 中， P A ? 平面 A B C ， ? A B C 为直角三角形， A B ? B C ， A B ? B C ? 1 ， P A ? 2 ，
则三棱锥 P ? A B C 的外接球的表面积为（）
3 ? 4 ? 6 ?
A ． 2 ? B． C ． D ．
【答案】 D
【分析】根据线段垂直关系，将三棱锥置于长方体中，根据各棱长可求得其外接球的半径，即可求得其外
接球的表面积．
【详解】由于三棱锥 P ? A B C 中， P A ? 平面 A B C ， A B ? B C ， A B ? B C ? 1 ， P A ? 2
故将该三棱锥置于一个长方体中，如下图所示：
则体对角线 P C 即为外接球的直径，
2 2 2 2 2 2
所以 2 R ? P C ? P A ? A B ? B C ? 2 ? 1 ? 1 ? 6 ，
2
故三棱锥 P ? A B C 的外接球表面积为．
S ? 4 ? R ? 6 ?
故选： D
【题型专练】
A B ? D C D C ? 2
1 ．如图，在四棱锥 P ? A B C D 中， P D ? 平面 A B C D ，， A D ? A B ，， A D ? A B ? 1 ，直线
P A 与平面 A B C D 成 4 5 ? 角 . 设四面体 P B C D 外接球的圆心为 O ，则球的体积为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
5 5 5 5 π
【答案】 # #
π
6 6
【分析】先证明出 △ P CD 和 △ P B C 均为直角三角形，得到 O 点位置，可求得外接球的半径，可求其体积．
学科网（北京）股份有限公司【详解】在底面 A B C D 上， A B // D C ， A D ⊥ A B ， D C ＝ 2 ， A D ＝ A B ＝ 1 ，
所以 ∠ A D B ＝ ∠ A B D ＝ 4 5 ° ，所以，
B D ? 1 ? 1 ? 2
?
在 △ B CD 上， B D ? 2 , D C ? 2 , ? C D B ? 45 ，
由余弦定理可得：
2 2 ?
，
B C ? C D ? B D ? 2 C D ? B D c o s 4 5 ? 2
2 2 2
所以，所以 ∠ CB D ＝ 9 0 ° ．
C D ? B D ? C B
所以 B D ⊥ CB ．
又因为 P D ⊥ 平面 A B C D ，所以 P D ⊥ B C．
? ?
又 P D ∩ B D ＝ D ， P D 面 P B D ， B D 面 P B D
所以 B C ⊥ 面 P B D ，所以 B C⊥ P B ．
则 △ P CD 和 △ P B C 均为直角三角形，当 O 点为 P C 中点时， O P ＝ O D ＝ O B ＝ O C，
此时 O 为四面体 P B C D 的外接球的球心．
∵ 直线 P A 与平面 A B CD 成 4 5 ° 角． P D ⊥ 平面 A B C D ，
则 ∠ P A D ＝ 4 5 ° ， ∴ P D ＝ A D ＝ 1 ，
2 2
又，
P C ? C D ? P D ? 5 ,
5
∴ 四面体 P B C D 外接球的半径为，
,
2
4 5 5 5
3
所以四面体 P B C D 外接球的体积为 V ? π ( ) ? π ．
3 2 6
5 5
故答案为：．
π
6
2 ．在三棱锥 A ? B C D 中， B D ? 平面 A D C ， B D ? 2 ，，，则三棱锥 A ? B C D 的外
A C ? B C ? 2 2
A B ? 2 2
接球的体积为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
4 3 π
学科网（北京）股份有限公司【分析】首先根据题意易证 B D ? A D ， B D ? C D ，再根据勾股逆定理得到 A D ? C D ，从而得到三棱锥
A ? B C D 的外接球半径，即可得到答案 .
R ? 3
【详解】如图所示：
因为 B D ? 平面 A D C ， A D ? 平面 A D C ， C D ? 平面 A D C ，
B D ? C D
所以 B D ? A D ， .
2
2
因为 B D ? 2 ，，所以，
A D ? 2 2 ? 2 ? 2
A B ? 2 2
? ?
2
2
因为 B D ? 2 ，，所以，
B C ? 2 2 C D ? 2 2 ? 2 ? 2
? ?
C D ? 2
在 △ A D C 中， A D ? 2 ，，，
A C ? 2 2
2 2 2
满足 A D ? C D ? A C ，即 A D ? C D .
因为在三棱锥 A ? B C D 中， B D ? 平面 A D C ， A D ? C D ，
2 2 2
2 ? 2 ? 2
A ? B C D
所以三棱锥的外接球半径，
R ? ? 3
2
3
4
故三棱锥 A ? B C D 的外接球的体积为 π 3 ? 4 3 π .
? ?
3
故答案为：
4 3 π
A B ? 3
3 ．已知 A ， B ， C ， D 是同一球面上的四个点，其中 ? A B C 是正三角形， A D ? 平面 A B C ， A D ? 2 ，，
则该球的表面积为 _ _ _ _ _ _ .
【答案】 1 6 π
【分析】根据外接球的性质可得 ? A B C 的外接圆直径， A D 与外接球直径构成勾股定理，进而求得外接球直
径，进而求得表面积即可 .
A B 3
d ? ? ? 2 3
o
【详解】由题意， ? A B C 的外接圆直径 s i n 60 ，且 ? A B C 的外接圆直径， A D 与外接球直径
3
2
2 2 2
构成勾股定理，所以外接球直径 D 满足 .
D ? d ? A D ? 1 6
2
故外接球表面积 .
S ? π D ? 1 6 π
学科网（北京）股份有限公司故答案为： 1 6 π
.
4 ．我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑现有一个 “ 鳖臑 ” ，
P A ? 3
P A ? 底面 A B C ， A C ? B C ，且， B C ? 2 ， A C ? 3 ，则该四面体的外接球的表面积为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】 1 6 π
【分析】根据题意将三棱锥 P ? A B C 还原到长方体中，如图所示，求出长方体的体对角线的长，即可得外接
球的直径，从而可求出其表面积 .
【详解】解：将三棱锥 P ? A B C 还原到长方体中，如图所示
则长方体的外接球的半径为
2 2 2
2 R ? P A ? A C ? B C ? 9 ? 3 ? 4 ? 4
故 R ? 2
2
所以三棱锥 P ? A B C 外接球的表面积为 4 π R ? 1 6 π ，
1 6 π
故答案为：
题型六：圆锥的外接球
【例 1 】一个圆锥母线长为，侧面积，则这个圆锥的外接球体积为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
6
3 2 ?
【答案】
4 3 ?
【分析】由圆锥的侧面积得出圆锥的底面半径，设出球的半径，根据题意得出关系式求出球的半径，进而
学科网（北京）股份有限公司得出球的体积．
r
【详解】解：设圆锥的底面半径为，
因为圆锥母线长为 6 ，侧面积，所以，解得 r ? 3 ，
3 2 ? 6 ? r ? 3 2 ?
所以，圆锥的高 h ? 3 ，
设球半径为，球心为 O ，其过圆锥的轴截面如图所示，
R
2 2 2 2 2
( h ? R ) ? r ? R
由题意可得，，即 ( 3 ? R ) ? 3 ? R ，解得，
R ? 3
4
3
所以， V ? ? R ? 4 3 ? ．
3
故答案为：．
4 3 ?
3
【例 2 】已知圆锥的底面半径为 R ，高为 3 R ，它的内接圆柱的底面半径为 R ，该圆柱的全面积为（）
4
9 8 5
2 2 2
2
? R ? R ? R
A ． B ． C ． D ．
2 ? R
4
3 2
【答案】 B
【分析】根据几何特点，求得圆柱的高，再求全面积即可.
【详解】根据题意，作图如下：
1
C B A B 3
R
A B
易知 △ C A B ~ ? C P O ，故可得 ? ，即，故可得 A B ? R ，
4
?
C O P O 4
R 3 R
2
3 3 18 18 9
? ? ? ?
2 2 2
故圆锥的内接圆柱的全面积为： 2 ? ? R ? 2 ? ? R ? A B ? ? R ? ? R ? ? R .
? ? ? ?
4 4 16 16 4
? ? ? ?
故选： B .
学科网（北京）股份有限公司【题型专练】
3 2 ?
1 . 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为 1 : 3 ，
3
则这两个圆锥的体积之和为（）
3 ? 4 ? 9 ? 1 2 ?
A ． B． C ． D ．
【答案】 B
【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，
再利用锥体体积公式可求得结果 .
【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点 D ，
设圆锥 A D 和圆锥 B D 的高之比为 3 : 1 ，即 A D ? 3 B D ，
3
4 ? R 32 ?
R
设球的半径为，则 ? ，可得 R ? 2 ，所以， A B ? A D ? B D ? 4 B D ? 4 ，
3 3
所以， B D ? 1 ， A D ? 3 ，
?
? C D ? A B ，则，所以， ? C A D ? ? B C D ，
? C A D ? ? A C D ? ? B C D ? ? A C D ? 9 0
又因为 ? A D C ? ? B D C ，所以， △ A C D ∽ △ C B D ，
A D C D
?
所以，，，
? C D ? A D ? B D ? 3
C D B D
1 1
2
? ? C D ? A D ? B D ? ? ? 3 ? 4 ? 4 ?
因此，这两个圆锥的体积之和为 ? ? .
3 3
故选： B.
题型七：棱台圆台的外接球
【例 1 】已知正三棱台的高为 1 ，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表
3 3 4 3
面积为（）
A ． 1 0 0 π B ． 1 2 8 π C ． 1 4 4 π D ． 1 9 2 π
学科网（北京）股份有限公司【答案】 A
r , r
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径
1 2
之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
3 3 4 3
r , r r ? 3 , r ? 4
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以 2 r ? , 2 r ? ，即，设球心
1 2 1 2
1 2
? ?
s i n 60 s i n 60
2 2
d , d d ? d ? 1 d ? d ? 1
到上下底面的距离分别为，球的半径为 R ，所以，，故或，
d ? R ? 9 d ? R ? 1 6
1 2 1 2 1 2
1 2
2 2
2
2 2
R ? 9 ? R ? 1 6 ? 1
即或，解得符合题意，所以球的表面积为
R ? 2 5
R ? 9 ? R ? 16 ? 1
2
．
S ? 4 π R ? 1 0 0 π
故选： A ．
【例 2 】已知一圆台高为 7 ，下底面半径长 4 ，此圆台外接球的表面积为 1 0 0 ? ，则此圆台的体积为（）
259 2 6 2
A ． 8 4 ? B． 8 6 ? C ． ? D ． ?
3 3
【答案】 C
A B ? 7
【分析】根据旋转体的特点得到圆台的外接球的球心为圆台轴截面外接圆的圆心，然后结合题意得到，
O C ? 5 ， A C ? 4 ，利用勾股定理得到 B D ? 3 ，最后利用圆台的体积公式求体积即可.
【详解】
A B ? 7
如图为圆台及其外接球的轴截面， O 为外接球球心， A ， B 为等腰梯形的下底和上底的中点，所以，
学科网（北京）股份有限公司A B ? A C ，
因为外接球的表面积为 1 0 0 ? ，所以外接球的半径为 O C ? 5 ，圆台下底面半径为 4 ，所以 A C ? 4 ，
2 2 2 2
，则 O B ? 4 ，，即圆台上底面半径为 3 ，所以圆台的体积为
A O ? 5 ? 4 ? 3
B D ? 5 ? 4 ? 3
1 259 ?
2 2 2 2
? 7 ? ? ? 3 ? ? ? 4 ? ? ? 3 ? ? ? 4 ?
.
? ?
3 3
故选： C.
【题型专练】
1 ．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形的棱台称为 “ 刍童 ” ．已知侧棱都相等的四棱锥 P ? A B C D
A B ? 3
底面为矩形，且，，高为 2 ，用一个与底面平行的平面截该四棱锥，截得一个高为 1 的刍童，
B C ? 7
该刍童的顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为（）．
2 5 π
A ． 1 6 π B． 1 8 π C ． 2 0 π D ．
【答案】 C
【分析】利用勾股定理列方程，求得球的半径，进而求得球的表面积 .
A B C D ? A B C D
【详解】如图 1 ，设棱台为，
1 1 1 1
O O
如图 2 ，该棱台外接球的球心为 O ，半径为 R ，上底面中心为，下底面中心为，
1 2
O O ? 1 A O ? 2 A O ? 1 O A ? O A ? R
则由题意，，，，
2 1 1 1
1 2
O O
当在下方时，设 O O ? h ，
O
1 2 2
2 2
? A O O
则在中，有：（ 1 ），
R ? h ? 4
2
2
2
? A O O
在中，有： R ? h ? 1 ? 1 （ 2 ），
? ?
1 1
2
联立（ 1 ）、（ 2 ）得 h ? 1 ， R ? 5 ，
所以刍童外接球的表面积为 2 0 π ．
学科网（北京）股份有限公司O O O O ? h
同理，当 O 在中间时，设，
1 2 1
2
2
2 2
则有， R ? ? 1 ? h ? ? 4 ，解得 h ? 2 ，不满足题意，舍去．
R ? h ? 1
综上所述：当刍童外接球的表面积为 2 0 π ．
故选： C
A B C D ? A B C D A B ? 2 A B ? 4 A A ? 2
2 ．在正四棱台中，，，则该棱台外接球的半径为（）
1 1 1 1 1 1 1
A ． B． 3 C ． D ．
10
2 2 3 2
【答案】 C
G G G G
【分析】 [ 解法 1 ] 设所求外接球球心为 O ，则 O 在上下底面中心的连线上，利用勾股定理可求得，
1 1
2
R t△ O C G R t ? O C G
设 O G ? m ，在和中，利用勾股定理可构造方程组求得，即可得解 .
R
1 1
C G G C C C G G
解法同解法，求得直角梯形的各边，利用图形的特殊性，作出的中垂线，与的延长线
[ 2 ] 1
1 1 1 1
交点即为球心 , 由此进行计算即可 .
A B C D , A B C D G , G
【详解】 [ 解法 1 ] 由题意知：四边形均为正方形，为上下底面的中心，
1 1 1 1 1
G G
设正四棱台的外接球球心为 O ，外接球半径为 R ，则 O ? 直线；
1
? A B ? 2 A B ? 4 A A ? 2
，， A C ? 4 2 ，又，
1 1 ? A C ? 2 2
1
1 1
2
? ?
4 2 ? 2 2
，
? G G ? 4 ? ? 2
? ?
1
? ?
2
? ?
G G
当 O 位于线段上时，
1
2 2
? m ? 2 ? R
?
m ? 2 2
? ?
? ?
O G ? m ? 0 , 2
设，则 2 ，解得：（舍）；
? ?
2
? ? 2
R ? 10
2 ? m ? 8 ? R ?
? ? ? ?
?
学科网（北京）股份有限公司G G
当 O 位于线段的延长线上时，
1
2 2
? m ? 2 ? R
?
m ? 2 2
? ?
设，则 2 ，解得：，
O G ? m ? 2 ? ?
2
2
R ? 10
m ? 2 ? 8 ? R ?
? ?
? ?
?
所以 R ? 1 0 ,
故选： C.
G C
[ 解法 2 ] 同解法 1 ，求得 C G ? 2 ? G G , G C ? 2 2 , C G G C 为直角梯形，如图所示，取的中点，连接 C N ,
1 1
1 1 1 1 1
? C N C C G G N C C G G
则为等腰直角三角形，四边形为正方形，取中点 M , 连接 M N 并延长交的延长线于点
1 1 1 1
C C O C ? O C
O , 由于 M N 为的中垂线，所以 , 即 O 为四棱台的外接球的球心，显然， G O ? G N ? 2 ，
1 1
1 1
2 2
所以外接球半径 .
R ? O C ? C G ? G O ? 2 ? 8 ? 1 0
故选： C.
3 ．正四棱台高为 2 ，上下底边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_ _ _ _ _ ．
2 2 4 2
【答案】 8 0 π
【分析】画出图形，设出未知数，利用半径相等列出方程，求出半径，从而得到球的表面积 .
【详解】如图所示，，，
A B ? A D ? B C ? C D ? 2 2 G H ? H E ? E F ? F G ? 4 2
O 为外接球球心，设外接球半径为 R ， M N ? 2 ， O A ? O E ? R
学科网（北京）股份有限公司1 1
A M ? 8 ? 8 ? 2 N E ? 3 2 ? 3 2 ? 4
由勾股定理得：，，
2 2
2
2 2
2 2 2
设 O N ? x ，则 O A ? ? 2 ? x ? ? 2 ， O E ? x ? 4 ，
2
2 2 2
2 ? x ? 2 ? x ? 4
故 ? ? ，解得： x ? 2 ，
2 2 2
故，
R ? 2 ? 4 ? 20
2
故球的表面积为 .
4 π R ? 8 0 π
故答案为： 8 0 π
题型八：正棱锥的外接球
【例】已知底面为正三角形、侧棱都相等的三棱锥的体积为，高为，其各顶点都在同一球面上．则该
1 3 2
球的表面积为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】 9 π
a a
O SO ?
【分析】如图设底面边长为，根据锥体体积公式求，设为正三角形 A B C 的中心，则平面 A B C ，
1 1
S O R t V O A O
正三棱锥 S ? A B C 的外接球的球心 O 在上，在中利用勾股定理即可求出 R 的值，从而得到球
1
1
O 的表面积．
【详解】由条件可得该三棱锥为正三棱锥，作出其图象，如图所示：
学科网（北京）股份有限公司1 3
? ? 2
设 A B = a ，则 A C ? a ，，则，
? C A B ? 6 0 S ? A B ? A C ? s i n 60 ? a
? A B C
2 4
1
1 3
2
h V = S h
因为三棱锥的体积为，高为 2 ，设三棱锥的高为，则， h ? 2 , 所以，
3 ? ? a ? 2 ? 3
S ? A B C △ A B C
3
3 4
O S O S O
所以，设为正三角形 A B C 的中心，连接，由正三棱锥的性质可得 ⊥ 平面 A B C ，且正三棱
a ? 6 1 1 1
A O
S O
锥 S ? A B C 的外接球的球心 O 在上，设球的半径为 R ，连接 A O ，， ∵ ? A B C 的边长为 6 ，
1 1
3 2
R t V O A O O O ? SO ? SO ? 2 ? R
∴ ，在中， O A ＝ R ，， A O ? 2 ，
A O ? 6 ? ? ? 2
1 1 1
1
1
2 3
2
3
2
2
∴ R ? 2 ? 2 ? R ，解得： R ? ，
? ?
? ?
2
9
2
4 π R ? 4 π ? ? 9 π
∴ 球 O 的表面积为．
4
故答案为： 9 π ．
π
【例 2 】已知正四棱锥 P ? A B C D 的底面是边长为 2 的正方形，其内切球的体积为，则该正四棱锥的高为
6
，外接球的表面积为
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
4 2 8 9 ?
【答案】
3 3 6
?
【分析】已知正四棱锥 P ? A B C D 内切球的体积为，可求得内切球的半径，用等体积法可求得正四棱锥的
6
高，由正四棱锥的性质可得，在 R t ? O '' D E 中，列方程可解得外接球半径 R ，即可求得球体的表面积 .
? 4 π
1
3
r V ? π r ? r ?
【详解】已知正四棱锥 P ? A B C D 内切球的体积为，设球体的半径为，，解得，设正
6 3 6 2
h
四面体的高为，如图所示，
学科网（北京）股份有限公司V ? 4 V ? V
因为球 O 与四棱锥相内切，所以由等体积法得：，
P ? A B C D O ? P A D O ? A B C D
1 1 1 1 1 1
2 2
2
S ? ? 2 ? h ? 1 ? 2 ? 2 ? h ? 4 ? ? r ? ? 2 ? h ? 1 ? ? ? 2 ? 2
在 ? P A D 中，，，即，化
P A ? h ? 2 ? P A D
3 3 2 3 2
2
2
简得：，
h ? 1 ? 2 h ? 1
4 4 17
2 2
解得， h ? ，设正四棱锥外接球的半径为 R ，外接球的球心为 O '' ，在 ? O '' D E 中， ( ? R ) ? 2 ? R ，解得 R ? ，
3 3 12
2 8 9 2 8 9 π
2
所以正四棱锥外接球的表面积为 S ? 4 π R ? 4 π ? ? .
1 4 4 3 6
4 2 8 9 ?
故答案为： ① ； ②
3 3 6
【例 3 】已知正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影是底面三角形的中心）的体积为，其各顶
3
点都在同一球面上，则该球的表面积的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】 9 ?
【分析】根据三棱锥体积求得底面边长和高之间的关系，结合棱锥外接球求解办法，求得外接球半径与高
之间的关系，利用基本不等式求得其最小值，再求球的表面积即可.
A H , B H
【详解】根据题意，作如下正三棱锥 A ? B C D ，即顶点再底面的射影为 H ，连接，
记该三棱锥外接球球心为 O ，连接 O B ，如下所示：
设 B C ? a ， A H ? h ， O A ? R ，则 O B ? R ；
1
1 3
2 2
S ? h ? 3
根据题意可得，即，则；
? a h ? 3 a h ? 1 2
? B C D
3
3 4
学科网（北京）股份有限公司2 3 3
在 △ A B H 中，易知， O H ? h ? R ， O B ? R ，
B H ? ? a ? a
3 2 3
2
2 1
2 2 1 a 1 2
2 2 2
h ? R ? a ? R
由 O H ? B H ? O B 可得 ? ? ，即 R ? h ? ? h ? ，
2
3
2 6 h 2 h
h h 2 h h 2 3
3
则 R ? ? ? ? 3 ? ? ? ，当且仅当 h ? 2 时取得等号；
2 2
4 4 h 4 4 h 2
3
2
R
则的最小值为，故该球的表面积的最小值为 4 ? R ? 9 ? .
2
故答案为： 9 ? .
【题型专练】
1 . 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4 ，底面边长为 2 ，则该球的表面积为（）
8 1 ?
2 7 ?
9 ?
A ． B． 16 ? C ． D ．
4 4
【答案】 A
P O
【详解】正四棱锥的外接球的球心在它的高上，
P -A B CD
1
P O ? 4 O O
记为 O ， P O = A O =R ，， =4 -R ，
1 1
A O O
在 Rt △ 中， A O ? 2 ，
1
1
2 9
2
R ?
由勾股定理 R ? 2 ? ? 4 ? R ? 得，
4
81
S ? ?
∴ 球的表面积，故选 A .
4
2 . 正四面体 S ? A B C 内接于一个半径为 R 的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为（）
6 3 2 6
A ． B ． C ． D ． 3
4 3
3
【答案】 C
【分析】设正四面体的棱长为 2 a ，由正四面体几何性质得出 a 与外接球半径 R 的关系式，即可求比值
【详解】设正四面体的棱长为 2 a ，正四面体的外接球心为 O ， ? A B C 的内心为 M ，则 S M ? 平面 A B C ，由 A M ?
平面 A B C ，则 S M ? A M ，
学科网（北京）股份有限公司2 2 3 a 2 6 a
2 2
由，则
A E ? 3 a , A M ? A E ? , S M ? A S ? A M ?
3 3 3
2 2
? ? ? ?
2 6 a 2 3 a 6 2 a 2 6
2
? R ? ? R ? a ? R ? ? .
? ? ? ?
? ? ? ?
3 3 3 R 3
? ? ? ?
故选： C
l
3 ．已知正四棱锥的侧棱长为 3 ，其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为 36 π ，则该正四棱锥的体积是
（）
8 1
2 7
A ． B． C ． 1 8 D ． 2 7
4
4
【答案】 A
【分析】根据正四棱锥的几何特征可知外接球的球心在其高上，利用勾股定理即可求解长度，进而由体积
公式即可求解 .
h
【详解】如图，设正四棱锥的底面边长 A B ? 2 a ，高 P O 为，外接球的球心为 M ,
则，
O D = 2 a
∵ 球的体积为 3 6 π ，所以球的半径 R ? 3 ，
2 2 2
在 R t ? P O D 中，则，
l ? 9 ? 2 a ? h
2
2 2
在 R t ? M O D 中， 3 ? 2 a ? ? h ? 3 ? ，
3 2 7
2
h ? a ?
解得 , ，
2 8
1 1 1 2 7 3 2 7
2
所以正四棱锥的体积 V ? S h ? ? 4 a ? h ? ? 4 ? ? ? ，
3 3 3 8 2 4
故选 : A
学科网（北京）股份有限公司4 . （ 2 0 2 2 · 全国 · 高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为 l ，其各顶点都在同一球面上 . 若该球的体积为 3 6 ? ，且
，则该正四棱锥体积的取值范围是（）
3 ? l ? 3 3
8 1 2 7 8 1 2 7 6 4
? ? ? ? ? ?
1 8 , , , [ 1 8 , 2 7 ]
A ． B ． C ． D ．
? ? ? ? ? ?
4 4 4 4 3
? ? ? ? ? ?
【答案】 C
【分析】设正四棱锥的高为 h ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四
棱锥体积的取值范围 .
【详解】 ∵ 球的体积为 3 6 ? ，所以球的半径 R ? 3 ,
[ 方法一]：导数法
2 a h
设正四棱锥的底面边长为，高为，
2 2 2
2 2 2
则 l ? 2 a ? h ， 3 ? 2 a ? ( 3 ? h ) ,
2 2 2 2
所以 6 h ? l ， 2 a ? l ? h
4 2 6
? ?
1 1 2 l l 1 l
2 2 4
V ? Sh ? ? 4 a ? h ? ? ( l ? ) ? = l ?
所以正四棱锥的体积，
? ?
3 3 3 36 6 9 36
? ?
5 2
1 ? l ? 1 ? 24 ? l ?
3 3
?
V ? 4 l ? ? l
所以，
? ? ? ?
9 6 9 6
? ? ? ?
? ?
当时， V ? 0 ，当时， V ? 0 ，
3 ? l ? 2 6 2 6 ? l ? 3 3
学科网（北京）股份有限公司6 4
所以当时，正四棱锥的体积 V 取最大值，最大值为，
l ? 2 6
3
2 7 8 1
V ? V ?
又 l ? 3 时，，时， ,
l ? 3 3
4 4
2 7
所以正四棱锥的体积 V 的最小值为，
4
? 2 7 6 4 ?
，
所以该正四棱锥体积的取值范围是 .
? ?
4 3
? ?
故选： C.
[ 方法二]：基本不等式法
3
? 1 2 ? 2 h ? h ? h ?
4 2 1 1 ? ? 6 4
2 2
)
由方法一故所以 V ? a h ? 6 h ? h h ? 1 2 ? 2 h h ? h ? ? ? ( 当且仅当 h ? 4 取到，
? ?
? ? ? ?
3 3 3 3 3 3
? ?
3
3 3 1 1 3 3 3 2 7
2 2
h ? a ? V ? a h ? ( ) ? ? ;
当时，得，则
m i n
2 2 3 3 2 2 4
3 9
h ? ? 3 ?
当 l ? 3 3 时，球心在正四棱锥高线上，此时，
2 2
2 3 3 3 3 1 1 3 3 9 8 1 6 4 2 7 6 4
2 2
[ , ] .
a ? ? a ? ，正四棱锥体积 V ? a h ? ( ) ? ? ? ，故该正四棱锥体积的取值范围是
1
4 3
2 2 3 3 2 4 3
2 2
题型九：侧面垂直于底面外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）
【例 1 】已知空间四边形 A B C D 的各边长及对角线 B D 的长度均为 6 ，平面 A B D ? 平面 C B D ，则空间四边形
A B C D 外接球的表面积为 _ _ _ _ _ _ .
6 0 π
【答案】
O O
【分析】球心 O 、 △ B CD 的外心、 △ A B D 的外心， B D 中点为 E ，这四个点是正方形的四个顶点，求
1 2
出相关线段的长度，勾股定理求出外接球半径，算出表面积 .
【详解】由题意知 △ A B D 和 △ B CD 为等边三角形，取 B D 中点为 E ，连接 A E ， CE ，如图所示，则 A E ⊥ B D ．
由平面 A B D ? 平面 CB D ，平面 A B D ? 平面 CB D =B D . A E ? 平面 A B D
2 2 2 2
故 A E ⊥ 平面 CB D ，有
A E ? A D ? D E ? 6 ? 3 ? 3 3 , C E ? A E ? 3 3
学科网（北京）股份有限公司O O O O / / O E
球心 O 在平面 B CD 的投影为 △ B C D 的外心，球心 O 在平面 A B D 的投影为 △ A B D 的外心，有，
2 1
1 2
O O / / O E
，
1 2
R t △ O O A
则在中， O O ? O E ? 3 ， A O ? 2 3
2
2 1 2
2 2
所以外接球半径 R ? O A ? O O ? A O ? 1 5
2 2
2
空间四边形 A B C D 外接球的表面积
S ? 4 π R ? 6 0 π
故答案为： 6 0 π ．
【例 2 】）矩形 A B C D 中， A B ? 4 ， B C ? 3 ，沿 A C 将 A B C D 矩形折起，使面 B A C ? 面 D A C ，则四面体 A ? B C D
的外接球的体积为（）
125 125 125 125
? ? ? ?
A ． B ． C ． D ．
6 9 12 3
【答案】 A
A , B , C , D
【分析】矩形 A B C D 中，由 A B ? 4 , B C ? 3 , D B ? A C ? 5 ，设 D B 交 A C 于 O ，由于 O 到点的距离均
5
为，所以 O 为四面体 A ? B C D 的外接球的球心，由此能求出四面体 A ? B C D 的外接球的体积．
2
【详解】如图：
矩形 A B C D 中，因为 A B ? 4 ， B C ? 3 ，
所以 D B ? A C ? 5 ，
设 D B 交 A C 于 O ，则 O 是 R t ? A B C 和 R t V D A C 的外心，
5
A , B , C , D
所以 O 到点的距离均为，所以 O 为四面体 A ? B C D 的外接球的球心，
2
5
A ? B C D R ?
所以四面体的外接球的半径，
2
3
4 5 125 ?
? ?
所以四面体 A ? B C D 的外接球的体积 V ? ? ? ? ? .
? ?
3 2 6
? ?
故选 : A .
【例 3 】已知在三棱锥中， S ? A B C 中， B A ? B C ， B A ? B C ? 2 ，，二面角 B ? A C ? S 的大
SA ? SC ? 2 2
学科网（北京）股份有限公司5 π
小为，则三棱锥 S ? A B C 的外接球的表面积为（）
6
56 π 5 8 π 1 0 5 π 1 2 4 π
A ． B ． C ． D ．
3
3 4 9
【答案】 A
5 π
? B D S ?
【分析】如图，取 A C 的中点 D ，连接 B D ， S D ，则可得 ? S D B 为二面角 B ? A C ? S 的平面角，得，
6
A B C
过点 D 作与平面垂直的直线，则球心 O 在该直线上，设球的半径为 R ，连接 O B ， O S ，然后在 △ O S D
中利用余弦定理可求出，从而可求得球的表面积
R .
【详解】如图，取 A C 的中点 D ，连接 B D ， S D ，
因为 A B ? B C ? 2 ，，
SA ? SC ? 2 2
B D ? A C , S D ? A C
所以，
所以 ? S D B 为二面角 B ? A C ? S 的平面角，
5 π
? B D S ?
所以，
6
A B ? B C ? 2
因为 A B ⊥ B C ，，所以，，
A C ? 2 2 B D ? C D ? 2
因为，
SA ? SC ? 2 2
所以，
SD ? 8 ? 2 ? 6
过点 D 作与平面 A B C 垂直的直线，则球心 O 在该直线上，
2
设球的半径为 R ，连接 O B ， O S ，可得，
O D ? R ? 2
π
? O D S ?
在 △ O S D 中，，
3
2 2 2
由余弦定理可得 O S ? O D ? S D ? 2 O D ? S D ? c o s ? O D S ，
1 14
2 2 2 2
即 R ? R ? 2 ? 6 ? 2 R ? 2 ? 6 ? ，解得 R = ，
2 3
56 π
2
所以其外接球的表面积为 4 π R ? .
3
故选： A .
学科网（北京）股份有限公司【题型专练】
1 . 在三棱锥 A ? B C D 中，平面 A B C ? 平面 B C D ， ? A B C 与△ B C D 都是边长为 6 的正三角形，则该三棱锥的
外接球的体积为 _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
20 15 ?
M , E , F
【分析】取 B C 的中点为分别是正三角形 A B C 和正三角形 B C D 的重心， O 是该三棱锥外接球的球心，
A M , D M , O F , O E , O M , O B
连接 , 可证明 A M ? D M ，通过几何关系可得到外接球的半径为 O B ? 15 ，即可得
到答案
【详解】
M , E , F
取 B C 的中点为分别是正三角形 A B C 和正三角形 B C D 的重心，
A M , D M , O F , O E , O M , O B
O 是该三棱锥外接球的球心，连接 ,
E , F A M , D M A M ? B C
则分别在上， O F ? 平面 B C D ， O E ? 平面 A B C ，， D M ? B C ，
A M ? B C A B C ,
因为平面 A B C ? 平面 B C D ，，平面 A B C ? 平面 B C D ? B C ， A M ? 平面
A M / / O F
所以 A M ? 平面 B C D ，所以，同理可得 D M / / O E ，所以四边形 O E M F 是平行四边形，
A M ? B C A M ? D M ? M A M , D M ?
因为， D M ? B C ，，平面 A D M ，
O M ? O M ? B C
所以 B C ? 平面 A D M ，又平面 A D M ，所以，
因为平面 B C D ，平面 B C D ，
A M ? D M ?
所以 A M ? D M ，
3
∵ ，
A M ? D M ? ? 6 ? 3 3
2
1
E M ? F M ? A M ? 3
∴ ，
3
学科网（北京）股份有限公司∴ 四边形 O E M F 为正方形， ∴ ，
O M ? 6
2
2 2 2
O M B
在直角三角形中，球半径
O B ? O M ? B M ? 6 ? 3 ? 15
? ?
3
4
? ? 15 ? 20 15 ?
∴ 外接球体积为，
? ?
3
故答案为：
20 15 ?
2 ．如图，在三棱锥 P ? A B C 中，平面 A B C ， A B ? B C ， P A ? A B ? B C ? 2 ， A M ? P C ， M 为垂足，
P A ?
则下列命题正确的是（）
A ．三棱锥 M ? A B C 的外接球的表面积为 8 ? .
B ．三棱锥 M ? A B C 的外接球的体积为
4 2 π
C ．三棱锥 P ? M A B 的外接球的体积为 4 3 ?
16 ?
D ．三棱锥 P ? M A B 的外接球的表面积为
【答案】 A C
O O M , A , B , C
【分析】根据给定条件，取 A C 中点，证明点到点的距离相等，计算判断 A ， B；取 P B ， P C
1 1
的中点 D ， E ，证明 D E ? 平面 P A B ，再确定三棱锥 P ? M A B 的外接球球心位置，并计算半径作答 .
O B O , M O
【详解】在三棱锥 P ? A B C 中，取 A C 中点，连接，如图，
1
1 1
学科网（北京）股份有限公司1
B O ? M O ? A C ? A O ? C O ? 2
因 A B ? B C ， A M ? P C ， A B ? B C ? 2 ，则，
1 1 1 1
2
2
O
因此点是三棱锥 M ? A B C 的外接球球心，球半径为，球表面积为 4 ? ( 2 ) ? 8 ? ，
1 2
4 ? 8 2 ?
3
球体积为 ? ( 2 ) ? ， A 正确， B 不正确；
3 3
P A ? A B ? A , P A , A B ?
因平面 A B C ， B C ? 平面 A B C ，则 P A ? B C ，而 A B ? B C ，平面，
P A ? P A B
1
因此 B C ? 平面 P A B ，取 P B ， P C 的中点 D ， E ，连 D E ，如图，有 D E / / B C , D E ? B C ? 1 ，
2
于是得 D E ? 平面 P A B ，而 P A ? A B ，则三棱锥 P ? M A B 的外接球被平面 P A B 截得的小圆圆心为 D ，
1
O M , O P P D ? P B ? 2
因此该球的球心 O 在直线 D E 上，连接，令球 O 半径为 R ，而，
2
2
令 O D ? d ，即有， O E ? O D ? D E ? d ? 1 ，
R ? O M ? O P ? d ? 2
P A 2 1
1
P M ? P A c os ? A P C ? P A ? ? E M ? P E ? P M ?
P E ? P C ? 3
在 R t △ P A C 中，，，，
P C
2 3 3
B C 1
2 2 2
c os ? O E M ? c os ? P C B ? ?
在△ O E M 中，，由得：
O M ? O E ? E M ? 2 O E ? E M c os ? O E M
P C
3
1 1 1
1 2
2 2 2
2 2
R ? ( d ? 1 ) ? ( ) ? 2( d ? 1 ) ? ?
，即 d ? 2 ? ( d ? 1 ) ? ? ( d ? 1 ) ，解得 d ? 1 ，
3 3 3 3 3
4 ?
3
2
R ? 4 3 ?
从而得，三棱锥 P ? M A B 的外接球体积为，表面积为， C 正确， D 不正确 .
R ? 3 4 ? R ? 1 2 ?
3
故选： A C
【点睛】关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是
解题的关键 .
题型十：多面体外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）
【例 1 】半正多面体亦称 “ 阿基米德多面体 ” ，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对
称美 . 二十四等边体就是一种半正多面体，它是由正方体的各条棱的中点连接形成的几何体. 它由八个正三角
形和六个正方形围成（如图所示），若它的棱长为 2 ，则下列说法错误的是（）
学科网（北京）股份有限公司A ．该二十四等边体的外接球的表面积为 1 6 ?
B ．该半正多面体的顶点数 V 、面数 F 、棱数 E ，满足关系式 V ? F ? E ? 2
C．直线 A H 与 P N 的夹角为 6 0 °
Q H ?
A B E
D ．平面
【答案】 D
【分析】将二十四等边体补齐成正方体，根据空间几何相关知识进行判断 .
【详解】由已知，补齐二十四等边体所在的正方体如图所示
O
记正方体体心为 O ，取下底面 A B C D 中心为，二十四等边体的棱长为 2
1
易知 O O ? B O ? 2 ，则外接球半径
R = O B = 2 ? 2 = 2
1 1
2
所以外接球的表面积 S = 4 ? R ? 1 6 ? ，故 A 正确 .
? =
?
由欧拉公式可知：顶点数面数棱数 2 ，故 B 正确 .
?
又因为 P N ∥ A D ，易知直线与 P N 的夹角即为
A H ? H A D ? 6 0
?
直线与 P N 的夹角为，故 C 正确 .
A H 60
?
Q H Q H
又因为 ∥ E N ， A B ∥ M N ，易知直线与直线 A B 的夹角为
? E N M ? 6 0
Q H Q H
可知直线与直线 A B 不垂直，故直线与平面 A B E 不垂直，故 D 错误 .
学科网（北京）股份有限公司故选： D
O O O O O O
【例 2 】如图，已知正方体的棱长为 1 ，，分别为正方体中上、下底面的中心，，，，分
1
2 3 4 5 6
别为四个侧面的中心，由这六个中心构成一个八面体的顶点，则（）
O O O O O ? O O ? O
A ．直线与直线所成角为 6 0 ? B ．二面角的正切值为 3
2 4 1 3 4 5
1 3
π
C．这个八面体的表面积为 3 D ．这个八面体外接球的体积为
6
【答案】 A CD
【分析】 A . 根据几何关系，将异面直线所成角，转化为相交直线所成角；
B. 构造二面角的平面角，再根据余弦定理求解，转化为正切值；
C. 根据几何体的特征，计算一个等边三角形的面积，再求八面体的表面积；
D . 由几何体确定外接球的球心和半径，再求外接球的体积 .
O O ， O O O O ， O O
【详解】 A . 连结，交于点 O ，由正方体的性质可知，点 O 平分，
1 2 3 5 1 2 3 5
O O O O O O / / O O
所以四边形是平行四边形，所以，
1 3 2 5 1 3 2 5
O O O O ? O O O
所以直线与直线所成角为 , 因为八面体的由 8 个全等的等边三角形构成，
1 3 2 4 4 2 5
?
? O O O ? 60
所以，故 A 正确；
4 2 5
B.
学科网（北京）股份有限公司O O O O M O O N
取的中点 M ，的中点 N ，连结， M N ， ,
3 4 5 6 1 1
O O O O
由图可知，八面体的表面是 8 个全等的等边三角形，四边形是正方形，
3 4 5 6
O M ? O O M N ? O O
所以，，
1 3 4 3 4
? O M N O ? O O ? O
所以是二面角的平面角，
1 1 3 4 5
2 2
? 1 ? ? 1 ? 2
等边三角形的边长为
? ? ,
? ? ? ?
2 2 2
? ? ? ?
2 3 6 2
所以 , ，
M O ? N O ? ? ? M N ?
1 1
2 2 4 2
2 2 2
? ? ? ? ? ?
6 2 6
? ?
? ? ? ? ? ?
6
4 2 4
3
? ? ? ? ? ?
所以 , ，所以 t a n ? O M N ? 2 ，故 B 错误；
s i n ? O M N ?
1
c os ? O M N ? ? 1
1
3
3
6 2
2 ? ?
4 2
2
C. 这个八面体的表面为 8 个全等的等边三角形，等边三角形的边长为
2
2
? ?
1 2 3 3
可求得 S ? ? ? ? ，所以八面体的表面积为，故 C 正确；
3
? ?
△ O O O
1 3 4
? ?
2 2 2 8
? ?
1
O O O O
D . 八面体外接球的球心即为四边形的中心，外接球的半径为，
3 4 5 6
2
4 ?
3
? r ?
八面体外接球的体积为，故 D 正确．
3 6
故选： A CD
【例 3 】截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥
所得的多面体 . 如图，将棱长为 3 的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为 1 的截
角四面体，则（）
学科网（北京）股份有限公司A ．平面 A B C
D E ?
B．直线 D E 与 G H 所成的角为 6 0 °
C ．该截角四面体的表面积为
7 3
2 2
D ．该截角四面体的外接球半径为
4
【答案】 BCD
【分析】确定截角四面体是由 4 个边长为 1 的正三角形， 4 个边长为 1 的正六边形构成，还原正四面体可判
'' "
定 A B ，根据各个面的形状求得截角四面体的表面积判断 C ，取上下底面的中心分别为 O , O ，外接球的球心
2 6
'' " 2 '' 2 2 " 2
为 O ，连接，可得，求解可判断 D .
O C , O H , C O , H O R ? O C ? R ? O H ?
3
【详解】选项 A ，由题意，截去四面体还原为正四面体，如下图所示，
A C / / L I , L I / / E F
因为，所以 A C / / E F ，
?
又因为 ? D E F 为等边三角形，所以 ? D E F ? 6 0 ，
?
A B C
即直线 A C 与 D E 所成角为 60 ，即 D E 不与直线 A C 垂直，故 D E ? 平面不成立，所以 A 错误；
?
D E / / A J , G I / / A J D E / / G I
选项 B ，由题意，故，又因为 △ G I H 为等边三角形，所以 ? H G I ? 6 0 ，即直线 D E
?
与所成角为，正确；
G H 60
选项 C ，由题意，截角四面体由 4 个边长为的正三角形， 4 个边长为的正六边形构成，
1 1
3 3
2 2
所以其表面积为，所以 C 正确；
S ? 4 ? ? 1 ? 4 ? 6 ? ? 1 ? 7 3
4 4
'' "
选项 D ，如下图所示，取上下底面的中心分别为 O , O ，外接球的球心为 O ，
学科网（北京）股份有限公司'' "
连接 O C , O H , C O , H O ，
6 2 6
因为截角四面体上下底面距离为，
6 ? ?
3 3
2 6
2 '' 2 2 " 2
设球的半径为 R ，所以 R ? O C ? R ? O H ? ，
3
1 2 6 1 1 2 2
2 2 2
即，化简得的，正确
R ? ? ? R ? 1 R ? ? .
3 3 8 4
故选： BCD
【题型专练】
? A B C D , E F ? 4
1 ．如图，在几何体 A B C D E F 中，底面 A B C D 是正方形， E F 平面，其余棱长都为 2 ，则这
个几何体的外接球的体积为（）
1 6 π 3 2 π
8 2 π
A ． B． C ． D ．
4 3 π
3 3
3
【答案】 D
A D , B C N , G A C , B D
【分析】由题意可知直线 E F 在底面 A B C D 上的射影即为的中点的连线所在直线 , 连接
M
交于点，取 E F 的中点 O ，计算求得 O A ? O B ? O C ? O D ? O E ? O F ? 2 ，说明几何体的外接球的球心为 O ，
确定半径，根据球的体积公式即可求得答案.
? A B C D , E F ? 4
【详解】由题意在几何体 A B C D E F 中，底面 A B C D 是正方形， E F 平面，其余棱长都为 2 ，
A D , B C N , G
可知直线 E F 在底面 A B C D 上的射影即为的中点的连线所在直线 , N G ? 2 ,
A C , B D A C , B D
连接交于点 M ，则为的中点，取 E F 的中点 O ，
A B F E , C D E F O A ? O C , O B ? O D
四边形为全等的等腰梯形，则，
O M ? A C , O M ? B D A C ? B D ? M , A C , B D ?
故 , 平面 A B C D ,
学科网（北京）股份有限公司则 O M ? 平面 A B C D ， N G ? 平面 A B C D , 故 O M ? N G , 则 O M ? E F ,
F G
取 B C 的中点 G ，连接，作 G H ? E F ，垂足为 H ，如图所示．
1 1 3
由题意得，，
H F ? ( E F ? N G ) ? ( 4 ? 2) ? 1 , F G ? B F ? 3
2 2 2
1
2 2
? H G ? F G ? H F ? 3 ? 1 ? 2 , ? O M ? H G ? 2 , ? A M ? A C ? 2
，
2
2 2
，同理 O B ? O C ? O D ? 2 ,
? O A ? O M ? A M ? 2
O E ? O F ? 2 , ? O A ? O B ? O C ? O D ? O E ? O F ? 2
又，
即这个几何体的外接球的球心为 O ，半径为 2 ，
4 4 32 π
3 3
?
这个几何体的外接球的体积为 V ? π R ? ? π ? 2 ? ,
3 3 3
故选 : D ．
2 ．勒洛四面体是一个非常神奇的 “ 四面体 ” ，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接
触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以
正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若
正四面体 A B C D 的棱长为 2 ，则下列说法正确的是（）
8 π ? 3
A ．勒洛四面体 A B C D 被平面 A B C 截得的截面面积是
? ?
B．勒洛四面体 A B C D 内切球的半径是
4 ? 6
C ．勒洛四面体的截面面积的最大值为
2 π ? 2 3
6
D ．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
2 ?
2
学科网（北京）股份有限公司【答案】 CD
【分析】对 A 选项结合勒洛三角形得到其截面图，利用扇形面积和三角形面积公式即可得到答案，而 A 选
项的截面积为 C 选项的最大截面积，对 B 选项需要利用正四面体的高以及外接球半径与棱长的关系，得到
6
外接球半径为，再根据图形得到勒洛四面体的内切球半径，而此半径即为该勒洛四面体的能够容纳的最
2
大球的半径，即可判断 D 选项 .
? ?
1 π 3 3
2 2 2
S ? S ? S ? 3 ? S ? ? ? 2 ? ? 2 ? 3 ? ? 2 ? 2 π ? 2 3
【详解】对于 A ， ? ?
? ?
截扇形 A B C ? A B C ? A B C
? ?
2 3 4 4
? ?
故 A 错误，截面示意图如下：
对于 B ，由对称性知 , 勒洛四面体 A B C D 内切球球心是正四面体 A B C D 的内切球、外接球球心 O , 如图：
2 2 3 2 6
? 2 2
正△ B C D 外接圆半径 , 正四面体 A B C D 的高 , 令正四面体
O B ? ? 2 ? c os 30 ? A O ? A B ? O B ?
1 1 1
3 3 3
A B C D 的外接球半径为 R ,
2 2
? ? ? ?
2 6 2 3
6
2
R t ? B O O
在中 , R ? ? R ? ，解得 R ? ,
? ? ? ?
1
? ? ? ?
3 3
2
? ? ? ?
此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示：
? ?
图中取正四面体 A B C D 中心为 O , 连接 B O 交平面 A C D 于点，交于点，其中与△ A B D 共面，其
E F
A D A D
6
r
中 B O 即为正四面体外接球半径，设勒洛四面体内切球半径为，则由图得
R ?
2
6
，故 B 错误；
r ? O F ? B F ? B O ? 2 ?
2
学科网（北京）股份有限公司对于，显然勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，由对的分析知
C A
S ? 2 ? ? 2 3
? ? ，故 C 正确；
截
m a x
对于 D ，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的 4 个弧面都相切 , 即为勒洛四面体内切球 , 所以勒洛四
6
面体 A B C D 能够容纳的最大球的半径为，故 D 正确 .
2 ?
2
故选： CD ．
【点睛】本题实际上是勒洛三角形在三维层面的推广，对计算能力，空间想象能力要求高，记住正四面体
的高，内切球半径，外接球半径与棱长关系的二级结论将会加快对本题的求解 .
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(本文系瑞风瑞雨原创)

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