参考答案

??????????????????????????????????????????????????????????????


期中复习 卷 参 考答 案
一、选 择题 （本 大题 共 11 小题， 共 33.0 分。 在每 小 题列出 的选 项中 ，选 出符 合题目 的一 项）
1. 如图 ， 在△ ?????? 中，∠?????? = 90° ，???? = 8 ，???? = 6 ， 为???? 上 的一动 点，???? ⊥ ???? 于 ，???? ⊥ ???? 于 ，
为 的中 点， 则???? 的最小 值为
( )

A. 4.8 B. 2.4 C. 2.5 D. 2.6

【答案 】B
【解析 】 解 ：过 点 作???? ⊥ ???? 于点 ′ ，
∵ 在△ ?????? 中，∠?????? = 90° ，???? = 8 ，???? = 6 ，
2 2
，
∴ ???? = √ 8 + 6 = 10
8×6 24
∴ ???? ′ = = ．
10 5
∵ ???? ⊥ ???? 于 ，???? ⊥ ???? 于 ，
∴ 四边形 是矩 形，
1
∴ ???? = ，???? = ???? ，
2
∴ 当???? 最小 时，???? 最短 ，此 时点 与 ′ 重合 ，
1 12
．
∴ ???? = ???? ′ = = 2.4
2 5
故选： ．
过点 作???? ⊥ ???? 于点 ′ ， 根 据勾 股定 理求出???? 的长 ， 再 由三 角形 的面积 公式 求出???? ′ 的长 ． 根 据题意 得出
1
四边形 是矩 形， 故可 得出???? = ，???? = ???? ，当???? 最小 时，???? 最短 ，此 时 与 ′ 重合， 据此
2
可得出 结论 ．
本题考 查了 矩形 的性 质的 运用， 勾股 定理 的运 用， 三角形 的面 积公 式的 运用 ，垂线 段最 短的 性质 的运 用，
解答时 求出???? 的最 小值 是关 键．
2. 下列 命题 是真 命题 的是( )
A. B.
对 角线 相等 的四 边形 是 平行四 边形 对 角线 互相 平分 且相 等 的四边 形是 矩形
C. 对 角线 互相 垂直 的四 边 形是菱 形 D. 对 角线 互相 垂直 平分 的 四边形 是正 方形
【答案 】B
【解析 】 解： 、 对角 线互 相 平分的 四边 形是 平行 四边 形， 对 角线 相等 的四 边形 也 可能是 等腰 梯形 等四 边形 ，
故A 不 符合 题意 ；
B B
、 对角 线互 相平分 的四 边 形是平 行四 边形 ，若 对角 线再相 等， 则四 边形 是矩 形， 故 符 合题 意；
C 、 对角 线互 相垂 直的 四边 形不能 判定 是平 行四 边形 ，也就 不能 判定 是菱 形， 故C 不 符合 题意 ；
D 、 对角 线互 相垂 直平 分 的四边 形是 菱形 ，不 能判 断它的 内角 有直 角， 故D 不符合 题意 ；
故选： ．
根据平 行四 边形 及特 殊平 行四边 形的 判定 ，逐 个判 断即可 ．
第 1 页，共 16 页
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

本题考 查平 行四 边形 、特 殊平行 四边 形的 判定 ，解 题的关 键是 掌握 平行 四边 形、矩 形、 菱形 、正 方形 的判
定定理 ．
2
3. 等腰 三角 形的 一边 长是3 ，另两 边的 长是 关于 的方 程 ? 4 + = 0 的两 个根 ，则 的值 为( )
A. 3 B. 4 C. 3 或4 D. 7
【答案 】C
【解析 】 【 分析 】
本题考 查了 根的 判别 式、 一元二 次方 程的 解、 等腰 三角形 的性 质、 三角 形三 边关系 ，分3 为腰 长及3 为底 边
长两种 情况 ，求 出 值是解 题的关 键．
当3 为腰 长时 ，将 = 3 代入 原一 元二次 方程 可求 出 的值； 当3 为底 边长 时， 利用 等腰 三角形 的性 质可 得出
根的判 别式 = 0 ，解 之可 得出 值．再 根据 三角 形三 边关 系判断 是否 符合 题意 即可 ．
【解答 】
2 2
解 ：① 当3 为腰 长时 ，将 = 3 代入 ? 4 + = 0 ，得：3 ? 4 × 3 + = 0 ，
解得： = 3 ，
2
? 4 + 3 = 0 的两个 根是 = 3 ， = 1 ，3 + 1 > 3 ，符 合题 意；
1 2
2
② 当3 为底 边长 时， 关于 的方 程 ? 4 + = 0 有两 个相 等的 实数 根，
2
∴ = (?4) ? 4 × 1 × = 0 ，
解得： = 4 ，
2
? 4 + 4 = 0 的两个 根是 = = 2 ，2 + 2 > 3 ，符合 题意 ．
1 2
∴ 的值为3 或4 ．
C
故选 .
2 2 2 2 2 2 2
4. 已知 实数 、 满足( + ) ? 2( + ) = 8 ，则 + 的值为
( )
A. ?2 B. 4 C. 4 或?2 D. ?4 或2
【答案 】B
【解析 】 【 分析 】
考查了 换元 法和 因式 分解 法解一 元二 次方 程， 换元 法是解 方程 时常 用方 法之 一，它 能够 把一 些方 程化 繁为
2 2
简，化 难为 易， 对此 应注 意总结 能用 换元 法解 的方 程的特 点， 寻找 解题 技巧 ． 设 + = ，则 原方 程变
2 2 2
为 ? 2 = 8 ，解 这个 方程 即可 求得 的 + 值．
【解答 】
2 2 2
解：设 + = ，原 方程 变为 ： ? 2 = 8 ，
2
? 2 ? 8 = 0 ，
( ? 4)( + 2) = 0 ，
解得： = 4 ， = ?2 ，
1 2
因为平 方和 是非 负数 ，
2 2
所以 + 的值为4 ；
故选B ．
2
5. 一元 二次 方程 ? 10 + 21 = 0 的两 根恰 好是等 腰三 角形 的底 边长 和腰长 ，则 该等 腰三 角形 的周长 为
( )

A. 13 B. 17 C. 13 或17 D. 不 能确 定
【答案 】B
【解析 】 【 分析 】
本题主 要考 查了 用因 式分 解法解 一元 二次 方程 ，求 出方程 的两 个根 ，然 后根 据三角 形三 边的 关系 ，确 定三
角形的 周长 ．
用因式 分解 法求 出方 程的 两个根 分别 是3 和7 ，有 三角 形的三 边关 系，3 为底 ，7 为腰，可 以求 出三 角形 的周
第 2 页，共 16 页
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

长．
【解答 】
解：
2
? 10 + 21 = 0
( ? 3)( ? 7) = 0
∴ = 3 ， = 7 ．
1 2
∵ 三角形 是等 腰三 角形 ，必 须满足 三角 形三 边的 关系 ，
3 + 3 = 6 < 7 ，
∴ 腰长是7 ，底 边是3 ，
周长为 ：7 + 7 + 3 = 17 ．
故选： ．
2 2
6 ( )
. 已知 ， 是方程 + ? 3 = 0 的两 个实 数根， 则 ? + 2022 的值是
A. 2022 B. 2024 C. 2026 D. 2028

【答案 】C
【解析 】 【 分析 】
2
本题考 查了 根与 系数 的关 系：若 ， 是一元 二次 方程 + + = 0( ≠ 0) 的两根 ， + = ? ，
1 2 1 2
2 2
= . 先根据 一元 二次 方程 的解 的定义 得到 = ? + 3 ，则 ? + 2022 可化 为?( + ) + 2025 ，
1 2
再根据 根与 系数 的关 系得 到 + = ?1 ，然 后利 用整 体代 入的 方法计 算．
【解答 】
2
解：∵ 是方程 + ? 3 = 0 的实 数根 ，
2
∴ + ? 3 = 0 ，
2
∴ = ? + 3 ，
2
∴ ? + 2022 = ? + 3 ? + 2022 = ?( + ) + 2025 ，
2
∵ ， 是方 程 + ? 3 = 0 的两个 实数 根，
∴ + = ?1 ，
2
∴ ? + 2022 = ?(?1) + 2025 = 2026 ．
故选： ．
7 ( )
. 从长 为3 ，5 ，7 ，10 的四 条线 段中任 意选 取三 条作 为边 ，能构 成三 角形 的概 率是
1 1 3
A. B. C. D. 1
4 2 4
B
【答案 】
【解析 】 【 分析 】
此题考 查了 列表 法与 树状 图法， 以及 三角 形的 三边 关系， 其中 概率= 所求 情况 数与总 情况 数之 比．
列举出 所有 等可 能的 情况 数，找 出能 构成 三角 形的 情况数 ，即 可求 出所 求概 率．
【解答 】
3 5 7 10
解：从 长为 ， ， ， 的四条 线段中 任意 选取 三条 作为 边，
所有等 可能 情况 有：3 ，5 ，7 ；3 ，5 ，10 ；3 ，7 ，10 ；5 ，7 ，10 ，共4 种，
其中能 构成 三角 形的 情况 有：3 ，5 ，7 ；5 ，7 ，10 ，共2 种，
2 1
则 ( 能构 成三 角形) = = ，
4 2
故选： ．
第 3 页，共 16 页

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

1
8. 某事 件发 生的 概率 为 ，则下列 说法 不正 确的 是
4
( )

1
A.
无 数次 实验 后， 该事 件 发生的 频率 逐渐 稳定 在 左右
4
B. 无 数次 实验 中， 该事 件 平均每4 次出 现1 次
C.
每做4 次实验 ，该 事件 就 发生1 次
1
D. 逐 渐增 加实 验次 数， 该 事件发 生的 频率 就和 逐渐 接近
4
【答案 】C
【解析 】 【 分析 】
1
本题考 查了 利用 频率 估计 概率、 概率 的意 义， 解题 的关键 是了 解某 事件 发生 的概率 为 ，不一 定试 验4 次就
4
一定有 一次 发生 ，利 用概 率的意 义和 利用 频率 估计 概率分 别判 断后 即可 得出 答案．
【解答 】
1
解： . 无数次 实验 后， 该事 件发生 的频 率逐 渐稳 定在 左右， 故正 确， 不符 合题 意；
4
B. 无 数次 实验 中， 该事 件 平均每4 次出 现1 次，故 正确 ，不符 合题 意；
C.每做4 次试验 ，该 事件 不 一定发 生一 次， 故错 误， 符合题 意；
1
D. 逐 渐增 加实 验次 数， 该 事件发 生的 频率 就和 逐渐 接近， 故正 确， 不符 合题 意．
4
故选C ．
9. 若 ： = 2 ：3 ，则下 列各 式 不 成立的 是( )
+ 5 ? 1 +1 3 1
= = = =
A. B. C. D.
3 +1 4 2 3
3
C
【答案 】
【解析 】解：∵ ： = 2 ：3 ，
∴ 设 = 2 ， = 3 ，
+ 2 +3 5
= =
A 、 ，正 确， 故本选 项不 符 合题意 ；
3 3
? 3 ?2 1
= =
B 、 ，正 确， 故本选 项不 符 合题意 ；
3 3
+1 2 +1 3
C 、 = ≠ ，错 误， 故本 选项 符合 题意；
+1 3 +1 4
2 1
D 、 = = ，正 确， 故本 选项 不 符合题 意．
2 2×3 3
故选C ．
= 2 = 3
根据比 例设 ， ，然后 代入 比例式 对各 选项 分析 判断 利用排 除法 求解 ．
本题考 查了 比例 的性 质， 利用 “ 设 法”表 示出 、 求解更加 简便 ．
10
.主 持人 主持 节目 时， 站 在舞台 的黄 金分 割点 处最 自然得 体. 如图所 示， 如果 舞台???? 的长为12 米， 一名 主
持人现 在站 在 处，则 她至 少走
才最理 想．( )
第 4 页，共 16 页
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????



A. B.
(18 ? 6 5) 米 (6 5 ? 6) 米
√ √
C. 米 D. 米或 米
(6√ 5 + 6) (18 ? 6√ 5) (6√ 5 ? 6)
【答案 】A
【解析 】 解 ：如 图所 示，???? < ???? ，

√ 5?1 √ 5?1
米) ，
∵ ???? = ???? = × 12 = (6√ 5 ? 6)(
2 2
米．
∴ ???? = ???? ? ???? = (18 ? 6√ 5)
A
故选 ．
11.以???? 为斜 边作 等腰 直角△ ， 再以???? 为斜边 在△ 外侧作 等腰 直角△ ， 如 此继 续 ， 得 到8 个等
腰直角 三角 形( 如图) ，则图 中△ 与△ 的面积 比值 是( )


A. 32 B. 64 C. 128 D. 256
C
【答案 】
【解析 】 【 分析 】
△ 与△ 都是 等腰 直角 三角 形 ， 因 而这两 个三 角形 一定 相似 ， 面积的 比等 于相 似比 的平 方 ， 设△ 的
2 7
面积是1 ，则△ 的面 积是2 ，△ 的面积是2 = 4 ，以 此类 推则△ 的面 积是2 = 128. 本题主 要考
查了相 似三 角形 的面 积的 比等于 相似 比的 平方 ．
【解答 】
解：由 题可 知所 有的 三角 形相似 ，且 相邻 的两 个三 角形的 相似 比为1 ： ，
√ 2
所以相 邻两 个三 角形 的面 积比为1 ：2 ，
7
△ 与△ 的面 积比 值是2 ，即128 ．
故选： ．
6 18.0
二、填 空题 （本 大题 共 小题， 共 分）
12.如 图 ， 在 矩 形 中， 对角 线???? ，???? 相交 于点 ，???? ⊥ ???? 于点 ，∠ : ∠ = 1: 2，且 ???? = 10 ，

则 的长 度是 ．
第 5 页，共 16 页
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????



【答案 】2.5
【解析 】 【 分析 】
本题主 要考 查了 直接 三角 形的性 质和 矩形 的性 质， 根据已 知得 出∠ = 30° 是解题 关键 ．根据∠ ：
1
∠ = 1 ：2 ，可 得∠ = 30° ，∠ = 60° ，进 而得 出 ，进而求 得???? 的长．
???? = ????
2
【解答 】
解：∵ 四边形 是矩 形，
1 1
∴ ∠ = 90° ，???? = ???? = 10 ，???? = ???? = ???? = 5 ，???? = ???? = ???? = 5 ，
2 2
∴ ???? = ???? ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ ：∠ = 1 ：2 ，∠ + ∠ = 90° ，
∴ ∠ = 30° ，∠ = 60° ，
∵ ???? ⊥ ???? ，
∴ ∠ = 90° ，
∴ ∠ = 30° ，
1
∴ ???? = ???? = 5 ，
2
1
．
∴ = ???? = 2.5
2
故答案 为：2.5 ．
13.如 图， 在矩 形 中，点 的 坐标为(5,12) ，则???? 的长 是______ ．


【答案 】13
第 6 页，共 16 页
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????

【解析 】 解 ：连 接???? ，过 作???? ⊥ 轴于 ，

∵ 点 的坐 标是(5,12) ，
∴ ???? = 5 ，???? = 12 ，
2 2
由勾股 定理 得： ，
???? = √ + = 13
∵ 四边形 是矩 形，
∴ ???? = ???? ，
∴ ???? = 13 ，
故答案 为：13 ．
根据勾 股定 理求 出???? ，根据 矩形的 性质 得出???? = ???? ，即 可得 出答案 ．
本题考 查了 矩形 的性 质、 勾股定 理等 知识 点， 能根 据矩形 的性 质得 出???? = ???? 是解此 题的关 键．
2
14.从?2 ，?1 ，1 ，2 这四个 数中 任 取两个 数分 别作 为数 ， 的值，则 使方 程 + + = 0 有两个 相等 的
______
实数根 的概 率是 ．
1
【答案 】
6
2
【解析 】解：∵ 方程 + + = 0 有两个 相等的 实数 根，
2 2
∴ ? 4 = 0 ，即 = 4 ，
列表如 下：
?2 ?1 1 2
?2 (?1, ?2) (1, ?2) (2, ?2)
?1 (?2, ?1) (1, ?1) (2, ?1)
1 (?2,1) (?1,1) (2,1)
2 (?2,2) (?1,2) (1,2)

2
由表格 可知 一共 有12 种等可 能性的 结果 数， 其中 满足 = 4 的结果 数有2 种，
2
∴ 从?2 ，?1 ，1 ，2 这四 个数 中任 取 两个数 分别 作为 数 ， 的值 ，则 使方 程 + + = 0 有两个 相等 的 实
2 1
数根的 概率 是 = ，
12 6
1
故答案 为： ．
6
2 2
先根据 根的 判别 式得 到 = 4 ， 再列出 表格 得到 所有 的等 可能性 的结 果数 ， 再 找到 满足 = 4 的结果 数 ，
最后依 据概 率计 算公 式求 解即可 ．
本题主 要考 查了 列表 法或 树状图 法求 解概 率， 一元 二次方 程根 的判 别式 ，正 确列出 表格 是解 题的 关键 ．
15
.如 图 ， 已 知在△ ?????? 中， 点 、 、 分别是 边???? 、 ???? 、 ???? 上的点 ， ???? //???? ， //???? ，且 ???? ： ???? = 3 ： 5 ， 那 么
???? ：???? 等于______ ．
第 7 页，共 16 页

????
????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????



【答案 】5: 8
【解析 】 【 分析 】
本题考 查了 平行 线分 线段 成比例 ： 平 行于 三角 形一 边的直 线截 其他 两边( 或两 边的延 长线) ， 所 得的 对应 线段
成比例. 根据 平行 线分 线段 成比例 定理 ， 由???? //???? 得到 ： = ???? ： ???? = 3 ： 5 ， 则利用 比例 性质 得到???? ：
???? = 5: 8 ，然后 利用 //???? 可得 到???? ：???? = 5: 8 ．
【解答 】
解：∵ ???? //???? ，
∴ ???? ： = ???? ：???? = 3 ：5 ，
∴ ???? ：???? = 5 ：8 ，
∵ //???? ，
∴ ???? ：???? = ???? ：???? = 5 ：8 ．
故答案 为5 ：8 ．
16 ______
.某 一时 刻， 身高1.6 的小 明 影长为0.8 ，此 时测 得竖 立于 地面上 的旗 杆影 长7 ，则旗 杆长 .
14
【答案 】
【解析 】 解 ：由 题意 ，根 据光的 直线 传播 ，根 据相 似三角 形对 应边 成比 例；
由题意 可知 ：身 高： 影长= 旗杆高 ：旗 杆的 影长 ，
即：1.6 ：0.8 = 旗杆 高：7 ，
∴ 旗杆高= 14 ．
故答案 为14 ．
影子是 光的 直线 传播 形成 的， 物 体、 影子 与光 线组 成一直 角三 角形 ； 利 用数 学知识( 相似 三角 形的 边与 边 之
间对应 成比 例) 计算．
本题考 查了 相似 三角 形的 知识， 解题 的关 键是 正确 的构造 直角 三角 形．
2
17 ______
.设 、 是方程 ? 5 + = 0 的两 个根 ， 且 + ? = 2 ，则 = ．
1 2 1 2 1 2
3
【答案 】
2
【解析 】解：∵ 、 是方 程 ? 5 + = 0 的两个根 ，
1 2
∴ + = 5 ， = ．
1 2 1 2
∵ + ? = 5 ? = 2 ，
1 2 1 2
∴ = 3 ．
故答案 为：3 ．
由根与 系数 的关 系可 得 + = 5 、 = ，结合 + ? = 2 可得 出关 于 的一元 一次方 程， 解
1 2 1 2 1 2 1 2
之即可 得出 结论 ．
本题考 查了 根与 系数 的关 系，牢 记 “ 两根 之和 等于? 、两根 之积 等于 ” 是 解题 的关键 ．
三、计 算题 （本 大题 共 2 小题， 共 12.0 分）
1
2 2 2
18 ( )
.解 方程(1)√ 2 ? = 2 (2) 2 ? 1 = 9 ? 6 +
4
第 8 页，共 16 页
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

1
2
【答案 】解：(1) 2 ? = 2 ，
√
4
1
2
∴ 2 ? 2 + = 0 ，
√
4
1
，
= 2 ? 4 × 2 × = 0
4
√ 2

；
∴ = =
1 2
4
2 2
(2)(2 ? 1) = 9 ? 6 + ，
2 2
( )
(2 ? 1) = ? 3 ，
2 ? 1 = ? 3 或2 ? 1 = 3 ?
4
解得： = ?2 ， = ．
1 2
3
【解析 】 此 题主 要考 查一 元二次 方程 的解 法， 掌握 解一元 二次 方程 的方 法是 解题关 键．
(1) 利用公 式法 求解 ；
(2) 先将方 程变 形， 再直 接开 平方法 求解 ．
19.解 下列 一元 二次 方程 ：
2
(1)2 ? 4 ? 1 = 0 ；

2
(2)(3 + 1) = 9 + 3
2
【答案 】解：(1)2 ? 4 ? 1 = 0 ，
2
移项 ，得2 ? 4 = 1 ，
1
2

二次 项系 数化为1 ，得 ? 2 = ，
2
3
2
配方 ，得 ? 2 + 1 = ，
2
3
2
( ? 1) = ，
2
√ 6
开平方 ，得 ，
= 1 ±
2
√ 6 √ 6
， ．
∴ = 1 + = 1 ?
1 2
2 2
2
(2)(3 + 1) = 9 + 3 ，
2
展开 ，移 项， 合并 同类 项 ，得9 ? 3 ? 2 = 0 ，
因式分 解， 得(3 ? 2)(3 + 1) = 0 ，
2 1
， ．
∴ = = ?
1 2
3 3
【解析 】 本 题考 查了 解一 元二次 方程 的因 式分 解法 和配方 法．
3
2
(1) 利用配 方法 得到( ? 1) = ，然 后利 用直接 开平 方法 解方 程；
2
(2) 先把方 程化 为一 般式 ，然 后利用 因式 分解 法解 方程 ．
四、解 答题 （本 大题 共 9 小题， 共 72.0 分。 解答 应 写出文 字说 明， 证明 过程 或演算 步骤 ）
20.( 本小题8.0 分)
2 2 2
已知 是方程 ? ? 2 = 0 的一 个根 ，求 ( + 1) ? ( + 3) + 4 的值．
第 9 页，共 16 页
??????????????????????????????????????????????????????????

2
【答案 】解：∵ 是方程 ? ? 2 = 0 的一 个根，
2
∴ ? ? 2 = 0 ，
2
∴ = + 2 ，
2 2
∴ ( + 1) ? ( + 3) + 4
2
= 2 ? 2 + 4
= 2( + 2) ? 2 + 4
= 2 + 4 ? 2 + 4
= 8 ．
2 2
【解析 】 根 据一 元二 次方 程的解 的定 义得 到 ? ? 2 = 0 ，则 = + 2 ，然后利 用降 次的 方法 对原 式
进行化 简即 可．
本题考 查了 一元 二次 方程 的解： 能使 一元 二次 方程 左右两 边相 等的 未知 数的 值是一 元二 次方 程的 解． 也考
查了代 数式 求值 ．
21.( 本小题8.0 分)

1 ????
已知：△ ?????? 中，???? 为 边上的 中线 ，点 在???? 上， 且 = ，射线???? 交???? 于点 ，求 的值 ．
???? 3


【答案 】 解 ：如 图， 过点 作???? //???? 交???? 于点 ．







1
∵ ???? //???? ， = ，???? 为???? 边上 的中 线，
???? 3
1
， ，
∴ = = = = 1
???? ???? 3 ???? ????
∴ ???? = 3???? ，???? = ，
∴ ???? = 2???? ，
???? 3 3
∴ = = ．
2 2
【解析 】 【 分析 】
1
过点 作???? //???? 交???? 于点 ， 根 据平 行线 分线段 成比 例定 理及 中线 的定义 得到 = = ， = = 1 ，
???? ???? 3 ???? ????
????
即可得???? = 3???? ，???? = 2???? ，代入 求值 即可 ．
第 10 页， 共 16 页

????
???? ???? ???? ????
???? ????
????
????
???? ???? ???? ????
????
????
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

【点评 】
本题主 要考 查了 平行 线分 线段成 比例 定理 ，正 确作 出辅助 线， 灵活 运用 定理 是解题 的关 键．


22
.( 本小题8.0 分)
一个矩 形 的较短 边长 为2 ．


(1) 如图1 ，若沿 长边 对折 后得 到的矩 形与 原矩 形相 似， 求???? 的长 ．
(2) 如图2 ，已知 矩形 的另 一边 长为4 ，剪去 一个 矩形 后， 余下的 矩形 与原 矩形 相 似，
求矩形 的面 积．
1 1
【答案 】解：(1) 由已知 得???? = ???? = 2 ，???? = ???? = ???? ，
2 2
∵ 沿长边 对折 后得 到的 矩形 与原矩 形相 似，
∴ 矩形 ∽矩形 ．

∴ = ．
???? ????
∴ ???? ? ???? = ???? ? ???? ，
1
2
即 ．
= 4
2
．
∴ ???? = 2√ 2
(2) ∵ 矩形 与原矩 形 相似，
∴ = ．
???? ????
∵ ???? = ???? = 2 ，???? = 4 ，
???? ?

∴ ???? = = 1 ．
????
∴ = ???? ? ???? = 2 × 1 = 2
．
矩形

【解析 】 本 题考 查了 相似 多边形 的性 质： 如果 两个 多边形 的对 应角 相等 ，对 应边的 比相 等， 则这 两个 多边
形是相 似多 边形 ；相 似多 边形对 应边 的比 叫做 相似 比．
(1) 由矩形 相似 得到 = ，然后 代 入数值 可得???? 的长 ；
???? ????
(2) 由矩形 与原 矩形 相似 可得 = ， 然后代 入可 得???? 的长 ， 再 根据 矩形的 面积 公式 可得 结 论 ．
???? ????
23 ( 8.0 )
. 本小题 分
如图， 已知∠ = ∠ = 90° ，???? = 6 ，???? = 3 ，???? = 5 ，???? = 15 ，???? = 25 ．
第 11 页， 共 16 页

???? ????
???? ????
????
???? ????
???? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

(1) 求???? 的长 ；
(2) 求证：△ ?????? ∽△ ．

【答案 】(1) 解：∵ ???? = 15 ，???? = 25. ∠ = 90° ，
2 2
，
∴ = √ ? = 20
∴ ???? = ? ???? = 15 ；
(2) ∵ ???? = 3 ???? = 5
证明： ， ，
∴ ???? = ???? + ???? = 8 ，
???? 6 2 ???? 8 2
∴ = = ， = = ，
15 5 20 5
???? ????
∴ = ，
∵ ∠ = ∠ = 90° ，
∴△ ?????? ∽△ ．
【解析 】 本 题考 查了 相似 三角形 的判 定， 熟练 掌握 相似三 角形 的判 定定 理是 解题的 关键 ．
(1) 根据勾 股定 理求 出 = 20 ，进而 求出???? 的长；
???? ????
(2) 根据???? = 3 ，???? = 5，得 ???? = 8，又 = 20 ， 可 得 ， 根 据相似 三角 形的 判定 即可 得到△ ?????? ∽△
=
．
24.( 本小题8.0 分)

在一个 不透 明的 布袋 里装 有4 个标 有1 、2 、3 、4 的小 球， 它们的 形状 、 大 小完 全相 同， 李 强从 布袋 中随 机取
出一个 小球 ， 记下 数字 为 ， 王 芳在 剩下 的3 个小球 中 随机取 出一 个小 球 ， 记 下 数字为 ， 这样 确定 了点 的
坐标( , ) ．
(1) 画树状 图或 列表 ，写 出点 所有可 能的 坐标 ；
(2) 求点 ( , ) 在函数 = + 1 的图 象上 的概 率．

【答案 】解：(1) 画树状 图得 ：

共有12 种等可 能的 结果(1,2) 、(1,3) 、(1,4) 、(2,1) 、(2,3) 、(2,4) 、
(3,1) 、(3,2) 、(3,4) 、(4,1) 、(4,2) 、(4,3) ；

(2) ∵ 在所有12 种等 可能 结果 中， 在函数 = + 1 的图 象上 的有(1,2) 、(2,3) 、(3,4) 这3 种结 果，
3 1
∴ 点 ( , ) 在函 数 = + 1 的图象 上的 概率 为 = ．
12 4
第 12 页， 共 16 页

???? ????
???? ????
???? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????

【解析 】(1) 首先根 据题 意画 出树状 图， 然后 由树 状图 求得所 有等 可能 的结 果；
(2) 找到点( , ) 在函 数 = + 1 的图象 上的 情况， 利用 概率 公式 即可 求得答 案．
此题考 查的 是用 列表 法或 树状图 法求 概率 ．注 意树 状图法 与列 表法 可以 不重 复不遗 漏的 列出 所有 可能 的结
果， 列 表法 适合 于两 步完 成的事 件； 树状 图法 适合 两步或 两步 以上 完成 的事 件； 注 意概 率= 所求情 况数 与总
情况数 之比 ．
25.( 本小题8.0 分)
小强在 周末 搞了 一次 校外 测量活 动， 他找 到了 一工 厂的烟 囱， 正好 阳光 明媚 ，他就 考虑 用测 量影 子的 方法
去计算 这个 工厂 烟囱 的高 度???? ， 但他 发现 烟囱 的影 子 没有完 全落 在平 地???? 上， 如 图， 影子 一直 落在 了前 面
低洼处 的点 ，测 得当 时???? 是22 米， 为1.6 米， 为8.4 米( 点 、 、 、 在一条 水平 线上 ， 、 在一
条水平 线上) ， 他 自己 的身 高???? 是1.75 米， 当 时他 在阳 光下 的影长???? 为1.6 米． 求 这座 烟囱???? 的高度 为多 少
米．( 结果精 确到0.1 米)


【答案 】 解 ：延 长???? 、 相交 于点 ．

由于平 行光 线下 ， △ ∽ △ ，
????
∴ = ．
????
而???? = ???? + = 22 + 8.4 = 30.4( 米) ，
1.75 ????
即 = ，
1.6 30.4
解得：???? = 33.25( 米) ．
又∵ ???? = = 1.6( 米) ，
∴ ???? = ???? ? ???? = 31.65 ≈ 31.7( )
米 ．
答：这 座烟 囱???? 的高度 约为31.7 米．
【解析 】 此 题主 要考 查了 相似三 角形 的应 用， 得出 △ ∽ △ 是解题 关键 ．
根据题 意得 出 △ ∽ △ ，进而 求 出???? 的长 ，再 求出???? 的长 ，进 而得出 答案 ．
26.( 本小题8.0 分)

如图， 在平 面直 角坐 标系 中，△ ?????? 的三个 顶点 的坐 标分 别为 (4,1) ， (2,3) ， (1,2) ．
第 13 页， 共 16 页

???? ????
???? ????
????
????
????
????
???? ????
????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

(1) 画出与△ ?????? 关于 轴对 称的△ ；
1 1 1
(2) 以原点 为位 似中 心， 在第 三象限 内画 一个△ ，使 它与△ ?????? 的相似 比为2 ：1 ，并写 出点 的坐
2 2 2 2
标．
(3) 求出△ 的面积 ．
2 2 2

【答案 】解：(1) 如图所 示，△ 为所作 ；
1 1 1
(2) 如图所 示，△ 为所 作， 点 的坐标为(?4, ?6) ；
2 2 2 2

1 1 1
(3) △ 面积= 6 × 4 ? × 4 × 4 ? × 2 × 2 ? × 2 × 6 = 8 ．
2 2 2
2 2 2
【解析 】(1) 根据关 于 轴对称 的点的 坐标 得到 ， ， 的坐 标，然 后描 点连 线得 到△ 即可；
1 1 1 1 1 1
(2) 把 、 、 的坐 标都 乘以?2 得到 ， ， 的坐标 ，然 后描 点连 线即可 ；
2 2 2
(3) 用△ 所在 的长 方形 面积 减去 周围三 个三 角形 面积 即可 得到答 案．
2 2 2
本题主 要考 查了 位似 变换 、轴对 称变 换， 解题 的关 键是注 意位 似中 心及 相似 比、对 称轴 ．
27.( 本小题8.0 分)

某水果 店以 相同 的进 价购 进两批 车厘 子 ， 第 一批200 千 克， 每千 克16 元出售 ； 第二 批100 千克 ， 每千 克18 元
出售， 两批 车厘 子全 部售 完，水 果店 共获 利3200 元．
(1) 求车厘 子的 进价 是每 千克 多少元 ？
(2) 该水果 店以 相同 的进 价购 进第三 批车 厘子300 千克 ，计 划两天 售完 ．第 一天 将车 厘子涨 价到 每千 克20 元
出售 ， 结 果仅 售出100 千克 ； 第二天 ， 水果 店决 定在 第 一天售 价的 基础 上降 价促 销， 若在 第一 天售 价基 础 上
第 14 页， 共 16 页
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

每降价2 元 ， 第 二天 的销 量 在第一 天的 基础 上增 加10 千克； 到了 晚上 关店 时， 还 剩部分 车厘 子没 售完 ， 店 主
便将剩 余车 厘子 免费 分给 员工， 第三 批车 厘子 的利 润恰好 为2020 元，求 没售 完的 车厘子 共有 多少 千克 ．
【答案 】解：(1) 设车厘 子的 进价是 每千 克 元，
依题意 得：16 × 200 + 18 × 100 ? (200 + 100) = 3200 ，
解得： = 6 ．
答：车 厘子 的进 价是 每千 克6 元．
20?
(2) 设第二 天的 售价 为每 千克 元，则 第二 天的 销量 为(100 + × 10) 千克，
2
20?
依题意 得：20 × 100 + (100 + × 10) ? 6 × 300 = 2020 ，
2
2
整理得 ： ? 40 + 364 = 0 ，
解得： = 14 ， = 26( 不合题 意， 舍去) ，
1 2
20? 20?14
∴ 300 ? 100 ? (100 + × 10) = 300 ? 100 ? (100 + × 10) = 70 ．
2 2
答：没 售完 的车 厘子 共有70 千克．
【解析 】(1) 设车 厘子 的进 价 是每千 克 元， 利用 总利 润= 销售单 价× 销售数 量? 进货单 价× 进货 数量 ， 即可 得
出关于 的一 元一 次方 程， 解之即 可得 出结 论；
20?
(2) 设第二 天的 售价 为每 千克 元， 则第 二天 的销 量为(100 + × 10) 千 克， 根据 第三 批车 厘子 的 利润恰 好
2
为2020 元 ， 即 可得 出关 于 的一 元二次 方程 ， 解之 即可 得 出 值 ， 取 其符 合题 意的 值 ， 将 其代 入300 ? 100 ?
20?
(100 + × 10) 中即可 求出 结论 ．
2
本题考 查了 一元 一次 方程 的应用 以及 一元 二次 方程 的应用 ， 解题 的关 键是 ：(1) 找准等 量关 系 ，正 确列 出 一
元一次 方程 ；(2) 找准等 量关 系，正 确列 出一 元二 次方 程．
28
.( 本小题8.0 分)
如图， 在平 面直 角坐 标系 中， 点 (12,10) ， 过点 作 轴的垂 线 ， 垂足 为 . 作 轴的 垂线， 垂 足为 . 点 从 出
发， 沿 轴正方 向以 每秒1 个 单位长 度运 动 ； 点 从 出发 ， 沿 轴正 方向 以每 秒3 个单 位长度 运动 ； 点 从 出
发，沿???? 方向 以每 秒2 个单位 长度运 动. 当 点运 动到 点 时，三点 随之 停止 运动. 设运 动时间 为 . 若△ 与
点 ， ， 为顶 点的 三角 形相 似，求 的值 ．

【答案 】 解 ：由 题可 得 = 3 ，???? = ，???? = 2 ．
∵ ???? ⊥ 轴，???? ⊥ 轴，∠ = 90° ，
∴ ∠ = ∠ = ∠ = 90°
，
∴ 四边形 是矩 形，
∴ ???? = ???? ，???? = ???? ．
∵ (12,10) ，
∴ ???? = ???? = 12 ，???? = ???? = 10 ，
∴ ???? = 10 ? 2 ???? = 12 ? 3
， ，
∴ 点 的坐 标为(3 , 0) ，点 的坐 标为(12,10 ? 2 ) ；
第 15 页， 共 16 页
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

当△ ∽△ 时，
①
???? ????
则有 = ，
????
3
∴ = ，
12?3 10?2
26
解得 = 0( 舍) ， = ；
1 2
7
当△ ∽△ ?????? 时，
②
???? ????
则有 = ，
???? ????
3
∴ = ，
10?2 12?3
解得 = 0( 舍) ， = 6 ．
1 2
∵ 点 运动 到点 时， 三点 随之 停止运 动，
∴ 3 ≤ 12 ，
∴ ≤ 4 ．
∵ 6 > 4 ，
∴ = 6 舍去，
26
综上所 述： 的值 为 ．
7
【解析 】 由 题可 得???? = 3 ，???? = ，???? = 2 ，易证四 边形 是矩 形， 从而 可得???? = ???? = 10 ，
???? = ???? = 12 ，从而 可求 出???? 、???? ，可 得到 点 、 的坐标 ；只 需分 两种 情况(① △ ∽△ ，
∽△ ?????? ) 讨论， 然后 运用 相似 三 角形的 性质 就可 解决 问题 ．
② △
本题主 要考 查了 相似 三角 形的判 定与 性质 、矩 形的 判定与 性质 、轴 对称 的性 质等知 识， 运用 分类 讨论 的思
想是解 决本 题的 关键 ．
第 16 页， 共 16 页