2023~2024学年第一学期九年级期中考试数学试题注意事项：本试题共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．答卷前，请考生务必将自己的
姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上．答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡
上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的
答题区域作答，答案写在试卷上无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第1卷（选择题共40分）一．选择题（本大题共10个小题，每
小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图是一个零件的示意图，它的俯视图是（ ）A.
B. C. D. 2.已知2a=3b(ab≠0)，则下列比例式成立的是（ ）A.= B.= C.= D.=3.如图，两条直
线被三条平行线所截，若DE=3，EF=6，BC=8，则AB等于（ ）A.4 B.8 C.12D.9 4.若
x=1是关于x的一元二次方程x2－mx+3=0的一个解，则m的值是（ ）A.6 B.5 C.4
D.35.若反比例函数y=的图像经过点（﹣2，a），则a的值是（ ）A.6 B.﹣2 C.﹣3D.36.下列命题正确的是（
）A.对角线相等的四边形是平行四边形 B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直
且相等的四边形是正方形7.对于反比例函数y=﹣，下列说法不正确的是（ ）A.图象分布在第二、四象限 B.图象关于原点对称C.
图象经过点（1，﹣2）D.若点A(x1，y1)，B(x2，y2）都在该函数图象上，且x1 ABCD中，点E在边DC上，DE:EC=4:1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）A.4:5
B.9:16 C.16:25 D.3:5 （第8题图） （第10题图）9.电影《长安三万里》上映以来，全国
票连创佳绩，据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，将增长率记作x，
则方程可以列为（ ）A.(1+x)2=10 B.2(1+x)2=10 C.2+2x+2(1+x)2=10 D.2+2(1
+x)+2(1+x)2=1010.如图，在矩形ABCD中，点F是CD边上的一点，把矩形ABCD沿BF折叠，点C落在AD边上的点E处
，AD=5，AB=4，点M是线段CF上的动点，连接BM，过点E作BM的垂线交BC于点N，垂足为H．以下结论：①△ABE∽△DEF:
②=:③CF=2:④=.其中正确的结论有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个II卷（非选择题共110分）二．填空题：
（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11.一元二次方程x2=x的根是 .12.若＝，则= .13.为了估计水塘中的鱼数，养鱼
者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼，通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳
定在2.5％左右，则鱼塘中估计有鱼 条.14.如图的红叶，A，B，C三点在同一直线上，B为AC的黄金分割点（AB>BC)，若AC的
长度为10cm，则BC的长度为 .（结果保留根号） （第14题图） （第15题图）
（第16题图）15.如图，是反比例函数y=和y=（k1 B两点，若SAOB=2，则k2－k1的值是 .16.如图，正方形ABCD边长为4，O为对角线BD的中点，点M在边AB上，且BM=2
AM，点N在边BC上，且BN=AM，连接AN，MD交于点P，连接OP，则OP的长为 .三．解答题（本大题10个小题，共86分．解答
应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分6分）解方程：x2+4x+3=0.18.（本小题满分6分）如图，四边形ABC
D是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.求证：△ABE≌△ADF. 19.（本小题满分6分）如图，某同学利用镜面反射的原理巧
妙地测出了树的高度，已知人的站位点A，镜子点O，树底点B三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，OA =2.4米，OB=6
米，则树高为多少米．20.（本小题满分8分）如图，在△ABC中，∠CAD=∠B，BC=8，D是BC边上一点，且CD=2.(1)求证
：△ABC∽△DAC.(2)求AC的长．21.（本小题满分8分）在如图的方格纸中（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）,△O
AB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(﹣2，﹣1)，B(﹣1，﹣3)，△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．(1
)在图中标出位似中心P的位置并直接写出P点的坐标 .(2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，
使它与△OAB的位似比为2:1.(3)△OAB的内部一点M的坐标为（a，b），直接写出点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为 .
22.（本小题满分8分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小
球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确
定点M的坐标为（x，y）.(1)用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标.(2)求点M(x，y)在函数y=﹣x+1的图象上的概率．2
3.（本小题满分10分）如图，学校打算用16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙，墙长8m，长方形的面积是30
m2．求生物园的长和宽．24.（本小题满分10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由点B
出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ．设运动的时间
为t(s)，其中0<1<4．解答下列问题：(1)AP= ，AQ＝ （用含t的代数式表示）(2)当t为何值时，△APQ∽△ABC.(
3)在P、Q运动过程中，是否存在某一时刻使得PC=PQ，若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 备用图（1）
备用图（2）25.（本小题满分12分）如图，已知一次函数图象y=x+b与y轴交于点C(0，1)，与反比例函数图象y=交于点A
(a，2)和点B两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式.(2)求点B的坐标和△AOB的面积.(3)若点M为y轴上的一个动点，N
为平面内任意一点，当四边形ABMN是矩形时，请求出M点坐标．26.（本小题满分12分）已知△ABC中，∠ABC=90°，点D、E分
别在边BC、边AC上，连接DE，DF⊥DE，点F、点C在直线DE同侧，连接FC，且==k.(1)点D与点B重合时:①如图1，k=1
时，AE和FC的数量关系是 ，位置关系是 .②如图2，k=2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由；(2)BD=2CD时，①如图3，
k =1时，若AE=2，S△CDF=6，求FC的长度.②如图4，k=2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB=10，直接写出M
N最小值．答案解析一．选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如
图是一个零件的示意图，它的俯视图是（ C ）A. B. C. D. 2.已知2a=3b(ab≠0)，则下列比例式成立的是（
B ）A.= B.= C.= D.=3.如图，两条直线被三条平行线所截，若DE=3，EF=6，BC=8，则AB等于（ A
）A.4 B.8 C.12D.9 4.若x=1是关于x的一元二次方程x2－mx+3=0的一个解，则m的值是（
C ）A.6 B.5 C.4D.35.若反比例函数y=的图像经过点（﹣2，a），则a的值是（ C
）A.6 B.﹣2 C.﹣3D.36.下列命题正确的是（ C ）A.对角线相等的四边形是平行四边形 B.对角线相等的四边形
是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形7.对于反比例函数y=﹣，下列说法不正确的是
（ D ）A.图象分布在第二、四象限 B.图象关于原点对称C.图象经过点（1，﹣2）D.若点A(x1，y1)，B(x2，y2）
都在该函数图象上，且x1 点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ C ）A.4:5 B.9:16 C.16:25 D.3:5 （第8题图）
（第10题图）9.电影《长安三万里》上映以来，全国票连创佳绩，据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，若以后每天票
房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ D ）A.(1+x)2=10 B.2(
1+x)2=10 C.2+2x+2(1+x)2=10 D.2+2(1+x)+2(1+x)2=1010.如图，在矩形ABCD中，点
F是CD边上的一点，把矩形ABCD沿BF折叠，点C落在AD边上的点E处，AD=5，AB=4，点M是线段CF上的动点，连接BM，过点
E作BM的垂线交BC于点N，垂足为H．以下结论：①△ABE∽△DEF:②=:③CF=2:④=.其中正确的结论有（ B ）A.1
个 B.2个 C.3个 D.4个II卷（非选择题共110分）二．填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11.一元二次方
程x2=x的根是 x1=1，x2=0.12.若＝，则= .13.为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获50条鱼，在每一条鱼身
上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼，通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2.5％左右，则鱼塘中估计有鱼 2
000条.14.如图的红叶，A，B，C三点在同一直线上，B为AC的黄金分割点（AB>BC)，若AC的长度为10cm，则BC的长度为
（15－5）m.（结果保留根号） （第14题图） （第15题图） （第1
6题图）15.如图，是反比例函数y=和y=（k1 B=2，则k2－k1的值是 4.16.如图，正方形ABCD边长为4，O为对角线BD的中点，点M在边AB上，且BM=2AM，点N在边
BC上，且BN=AM，连接AN，MD交于点P，连接OP，则OP的长为 .三．解答题（本大题10个小题，共86分．解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分6分）解方程：x2+4x+3=0. （x+1）（x+3）=0 x1=﹣1，x2=﹣318
.（本小题满分6分）如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.求证：△ABE≌△ADF. 证明：四边形ABC
D是菱形∴AB=BC= CD=AD，∠B=∠D∵AE⊥BC，AF⊥CD∴∠AEB=∠AFD在△ABE和△ADF中， ∴△ABE≌△
AD (AAS)19.（本小题满分6分）如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A，镜子点O，树底点B三
点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，OA =2.4米，OB=6米，则树高为多少米．点O作镜面的法线FO，由入射角等于反射
角可知∠COF=∠DOF∵∠COA =90°－∠COF ∠DOB=90°－∠DOF∴∠COA=∠DOB∵∠CAO=∠OBD=90°
∴△ACO∽△BDO∴=∵AC=1.6米，OA=2.4米，OB=6米=∴BD=4米答：树高为4米20.（本小题满分8分）如图，在△
ABC中，∠CAD=∠B，BC=8，D是BC边上一点，且CD=2.(1)求证：△ABC∽△DAC.(2)求AC的长．（1）∵∠C=
∠C，∠CAD=∠B∴△ABC∽△DAC（2）∵△ABC∽△DAC∴=∵CD=2，BC=8即=∴AC=421.（本小题满分8分）在
如图的方格纸中（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）,△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(﹣2，﹣1)，B(﹣1，﹣3
)，△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．(1)在图中标出位似中心P的位置并直接写出P点的坐标 .(2)以原点O
为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2:1.(3)△OAB的内部一点M的坐标为
（a，b），直接写出点M在△OA2B2中的对应点M2的坐标为 .（1）（﹣5，﹣1）（2）（3）（2a，2b）22.（本小题满分8
分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1
，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M的坐标为（x，
y）.(1)用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标.(2)求点M(x，y)在函数y=﹣x+1的图象上的概率．（1）（2）一共有9种
等可能性，其中在函数y=﹣x+1图象上的 有2个，概率为23.（本小题满分10分）如图，学校打算用16m的篱笆围成一个长方形的生物
园饲养小兔，生物园的一面靠墙，墙长8m，长方形的面积是30m2．求生物园的长和宽．设宽为xm，则长为（16－2x)m由题意，得x(
16－2x)=30解得x1=3，x2=5当x=3时，16－2×3=10 10>9，不合题意舍去，当x=5时，16－2×5=6答：围
成矩形的长为6m，宽为5m.24.（本小题满分10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由
点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ．设运动的
时间为t(s)，其中0<1<4．解答下列问题：(1)AP= ，AQ＝ （用含t的代数式表示）(2)当t为何值时，△APQ∽△ABC
.(3)在P、Q运动过程中，是否存在某一时刻使得PC=PQ，若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 备用图（1）
备用图（2）（1）5－t t（2）当∠A=∠A∴当=时，△APQ∽△ABC即=∴t=（3）= t=25.（本小题
满分12分）如图，已知一次函数图象y=x+b与y轴交于点C(0，1)，与反比例函数图象y=交于点A(a，2)和点B两点．(1)求一
次函数和反比例函数的解析式.(2)求点B的坐标和△AOB的面积.(3)若点M为y轴上的一个动点，N为平面内任意一点，当四边形ABM
N是矩形时，请求出M点坐标．(1).一次函数图象y=x+b与y轴交于点C(0，1)∴b=1∴一次函数的解析式为y=x+1∵点A(a
，2)在直线y=x+1上，∴a=1即A(1，2)又∵反比例函数y=过A点∴k=2∴反比例函数为y=(2)反比例函数与一次函数交于点
A和点B联立两解析式得解得或 ∴B(﹣2，﹣1)△AOB面积=1×1÷2+1×2÷2=1.5（3）M（0，3）或（0，﹣3）或（0
，）或 （0，）26.（本小题满分12分）已知△ABC中，∠ABC=90°，点D、E分别在边BC、边AC上，连接DE，DF⊥DE，
点F、点C在直线DE同侧，连接FC，且==k.(1)点D与点B重合时:①如图1，k=1时，AE和FC的数量关系是 ，位置关系是 .②如图2，k=2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由；(2)BD=2CD时，①如图3，k =1时，若AE=2，S△CDF=6，求FC的长度.②如图4，k=2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB=10，直接写出MN最小值．（1）①结论：AE=CF，AE⊥CF②结论：AE=2CF，AELCF∵==2 ∠ABE=∠CBF∴△ABE∽△CBF∴AE=2CF ∠A+∠BCF∵∠A+∠ACB=90°∴∠BCF+∠ACB=90°∴AELCF(2)①如图，过点D作DH⊥AC于H，DT//AB交AC于T∵AB=BC，∠ABC=90°∴∠ACB=45°∵DT∥AB，∴∠CDT=∠CBA=90°∴∠DTC=∠DCT=45°∴DT=DC∵DH⊥CT∴HT=HC∴DH=HT=HC设DH=HT=HC=m（4m－2）m=6m1=2，m2=﹣（舍去）②1 |
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