A m e r i c a n J o u r n a l o f M u l t i d i s c i p l i n a r y R e s e a r c h & D e v e l o p m e n t ( A J M R D )
V o l u m e X X , I s s u e X X ( J u n e - 2 0 2 3 ) , P P 2 2 - 3 1
I S S N : 2 3 6 0 - 8 2 1 X
w w w . a j m r d . c o m
R e s e a r c h P a p e r O p e n A c c e s s
黎 曼 猜 想 的 证 明
廖 腾
T i a n z h e n g I n t e r n a t i o n a l M a t h e m a t i c a l R e s e a r c h I n s t i t u t e , X i a m e n , C h i n a
摘 要:
为 了 从 纯 数 学 的 角 度 严 格 证 明 黎 曼 在 1 8 5 9 年 所 写 的 论 文 《 论 不 大 于 x 的 素 数 的 个 数 》 中
提 出 的 假 设 和 猜 想 ， 本 论 文 使 用 欧 拉 公 式 ， 对 黎 曼 ζ ( s ) 函 数 和 黎 曼 ξ ( s ) 函 数 的 对 称 零 点 与 共
轭 零 点 的 关 系 进 行 了 研 究 ， 证 明 了 黎 曼 假 设 和 黎 曼 猜 想 是 完 全 正 确 的 。
关 键 词:
欧 拉 公 式 ， 黎 曼 ζ ( s ) 函 数 ， 黎 曼 ? ( ? ) 函 数 ， 黎 曼 假 设 ， 黎 曼 猜 想 ， 对 称 零 点 ， 共 轭 零 点 ，
唯 一 性 。
I . 引言
黎 曼 假 设 和 黎 曼 猜 想 是 黎 曼 在 他 论 文 《 论 不 大 于 x 的 素 数 的 个 数 》 中 遗 留 下 来 的 一 个 重 要 而
[ 1 ]
著 名 数 学 问 题 ， 对 于 研 究 素 数 分 布 有 重 要 意 义 ， 号 称 数 学 中 最 大 的 未 解 之 谜 。 本 人 经 过 多
年 的 努 力 ， 解 决 了 这 一 问 题 。 研 究 表 明 黎 曼 假 设 和 黎 曼 猜 想 完 全 成 立 。
I I . 推理
? s ? s ? 1
欧 拉 乘 积 公 式 ， 对 于 任 意 复 数 s ， 当 R s ( s ) > 1 , 那 么 n = ( 1 ? p ) , 并 且 当 R s ( s ) >
n p
? s ? s ? 1
1 黎 曼 Z e t a 函 数 ζ ( s ) = n = ( 1 ? p ) ( n ∈ Z , p ∈ Z , s ∈ C ， n 遍 取 其 值 有 序 且 有 限 的
+ +
n p
自 然 数 , 不 重 复 ， 不 遗 漏 ， p 遍 取 其 值 有 序 且 有 限 的 素 数 ， 不 重 复 ， 不 遗 漏 ） 。 如 果 s 是 一
个 任 意 复 数 ， R s ( s ) 是 任 意 实 数 ， 那 么 欧 拉 Z e t a ( ) 函 数 和 黎 曼 Z e t a ( ) 函 数 的 表 达 式 都 是 ζ ( s ) =
? s
n ( n ∈ Z , s ∈ C ， n 遍 取 其 值 有 序 且 有 限 的 自 然 数 , 不 重 复 ， 不 遗 漏 ） 。 我 们 来 证 明 ζ ( s ) 和
+
n
π s
1 ? s ? s
ζ 2 π
( ( s ) 是 共 轭 复 数 ， 并 得 到 等 式 ζ ( 1 - s ) = C o s ( ) Γ ( s ) ζ ( s ) 。 因 为 e = 2 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5 . . . ,
2
i x
它 是 一 个 自 然 常 数 , 我 用 号 表 示 相 乘 ， 永 ^ 表 示 乘 方 , 那 么 根 据 欧 拉 公 式 e = c o s x + i s i n ( x ) ( x ∈ R ) ，
得 到 ( e ^ ( 3 i ) ) ^ ( 2 ) = ( c o s ( 3 ) + i s i n ( 3 ) ) ^ ( 2 ) = c o s ( 2 3 ) + i s i n ( 2 3 ) = c o s ( 6 ) + i s i n ( 6 ) ，
因 为 e ^ ( 6 i ) = c o s ( 6 ) + i s i n ( 6 ) ,
( e ^ ( 3 i ) ) ^ ( 2 ) = e ^ ( 6 i )
所 以 ，
M u l t i d i s c i p l i n a r y J o u r n a l w w w . a j m r d . c o m P a g e | 2 2T h e p r o o f o f t h e R i e m a n n c o n j e c t u r e
一 般 地 ，
( e ^ ( b i ) ) ^ ( c ) = e ^ ( b c i ) ( b ∈ R ， c ∈ R ) 成 立 。
j
对 于 x > 0 ( x ∈ R ) , 设 e = x ( e = 2 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5 … ， x ∈ R 且 x > 0 ， j ∈ R ) ， 那 么 j = l n ( x ) ，
i x
根 据 欧 拉 公 式 e = c o s ( x ) + i s i n ( x ) ( x ∈ R ) 得 ：
j i l n ( x ) i
e = e = c o s ( l n x ) + i s i n ( l n x ) ( x ∈ R 且 x > 0 ) 。
y i
设 y ∈ R , 现 在 来 求 x ( x ∈ R 且 x > 0 , y ∈ R 且 y ≠ 0 ) 的 表 达 式 ：
j
根 据 上 面 的 e = x ( e = 2 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5 … ， 为 自 然 常 数 ， x ∈ R 且 x > 0 , j ∈ R ) 和
j i l n ( x ) i
e = e = c o s ( l n x ) + i s i n ( l n x ) ( x ∈ R 且 x > 0 ) 得 到 ：
y i j y i j i y y
x = ( e ) = ( e ) = ( c o s ( l n x ) + i s i n ( l n x ) ) 。
s
假 设 s 为 任 意 一 个 复 数 ， 且 s = ρ + y i ( ρ ∈ R ， y ∈ R 且 y ≠ 0 ， s ∈ C ) ， 那 么 我 们 再 来 求 x ( x ∈ R 且
x > 0 ， s ∈ C ) 的 表 达 式 ：
y i j y i j i y
并 把 上 面 的 s = ρ + y i ρ ∈ R ， y ∈ R 且 y ≠ 0 ， s ∈ C 和 x = ( e ) = ( e ) = ( c o s l n x +
y s
i s i n ( l n x ) ) 代 入 x 得 到 ：
s ( ρ + y i ) ρ y i ρ y ρ
x = x = x x = x ( c o s ( l n x ) + i s i n ( l n x ) ) = x ( c o s y l n x + i s i n ( y l n x ) ) 。
y i j y i j i y y
s = ? y i ∈ R y ∈ R y ≠ 0 s ∈ C x ( e ) ( e ) ( c o s l n x + i s i n ( l n x ) )
根 据 ρ ρ ， 且 ， 和 = = =
代 入 下 面 的 等 式 ， 得 ：
s ( ρ ? y i ) ρ ? y i ρ y i ? 1 ρ ? y ρ
x = x = x x = x ( x ) = x ( c o s ( l n x ) + i s i n ( l n x ) ) = x ( c o s ? y l n x +
ρ
i s i n ? y l n x ) x c o s y l n x ? i s i n y l n x
= .
s s = ? y i ∈ R y ∈ R y ≠ 0 s ∈ C
设 复 数 s 的 共 厄 复 数 为 ， 那 么 ρ ρ ， 且 ， ， 那 么 ：
s o
1 1 1 1 1
? ρ
ζ s = = = ( ? ) = x
s ρ + y i ρ y i y
x x ( c o s l n x + i s i n ( l n x ) )
x x
? ρ ? y ? ρ
= ( x ( c o s l n x + i s i n ( l n x ) ) ) = ( x ( c o s y l n x ? i s i n ( y l n x ) ) ,
1 1 1 1 1
ρ ? 1
ζ 1 ? s = = = ( ? ) = x
? y i ? y
1 ? s 1 ? ρ ? y i 1 ? ρ
x x x x ( c o s l n x + i s i n ( l n x ) )
ρ ? 1 y ρ ? 1
= ( x ( c o s l n x + i s i n ( l n x ) ) ) = ( x ( c o s y l n x + i s i n ( y l n x ) )
,
a n d
1 1 1 1 1 1
ζ s = = = ( ? ) = ( ? )
ρ ? y i ρ ? y i ρ ? y
s
x x x x ( c o s ( l n x ) + i s i n ( l n x ) )
n
? ρ ? ρ
y
= ( x ( c o s? ( l n x ) + i s i n ( l n x ) ) ) = ( x ( c o s y l n x + i s i n ( y l n x ) ) ,
设 ：
? ρ ? y ? ρ ? ρ
X = x ( c o s ? ( l n x ) + i s i n ( l n x ) ) = x ( c o s ? y l n x + i s i n ( ? y l n x ) ) = x ( c o s ( y l n x ) - i s i n ( y l n x ) )
? ρ y ? ρ
x c o s ? ( l n x ) + i s i n ( l n x ) ) x ( c o s y l n x + i s i n ( y l n x ) )
a n d Y = = ， 那 么 ：
1 1
ζ s = = X ζ s = = Y
， ，
s
s
x
x
由 于 这 里 X 和 Y 互 为 共 轭 复 数 ， 即 X = Y ， 那 么
[ 2 ]
ζ ( S ) = ζ ( s ) 。
在 黎 曼 ζ s 函 数 中 ， x 取 其 值 有 序 且 有 限 个 自 然 数 ， 不 重 复 ， 不 遗 漏 。 那 就 把 x = 1 ， 2 ， 3 ， . . .
M u l t i d i s c i p l i n a r y J o u r n a l w w w . a j m r d . c o m P a g e | 2 3T h e p r o o f o f t h e R i e m a n n c o n j e c t u r e
n - 1 ， n ， . . . ， 等 其 值 有 序 且 有 限 个 自 然 数 都 不 重 复 不 遗 漏 地 代 入
? s
ζ n ∈ Z , s ∈
s = ( n C ， n 遍 取 其 值 有 序 且 有 限 个 自 然 数 ， 不 重 复 ， 不 遗 漏 ) 吧 ！
+
n
令 S = ρ + y i ( ρ ∈ R ， y ∈ R 且 y ≠ 0 ， s ∈ C ) ， 显 然
1
? ρ ? ρ ? ρ ? ρ
ζ s = ζ ( ρ + y i ) = = X = [ 1 C o s ( y l n 1 ) + 2 C o s ( y l n 2 ) + 3 C o s ( y l n 3 ) + 4 C o s ( y l n 4 ) + . . . ] -
s
x
? ρ ? ρ ? ρ ? ρ
i [ 1 S i n ( y l n 1 ) + 2 s i n ( y l n 2 ) + 3 s i n ( y l n 3 ) + 4 s i n ( y l n 4 ) + . . . ] = U - V i ，
? ρ ? ρ ? ρ ? ρ
其 中 U = [ 1 C o s ( y l n 1 ) + 2 C o s ( y l n 2 ) + 3 C o s ( y l n 3 ) + 4 C o s ( y l n 4 ) + . . . ] ，
? ρ ? ρ ? ρ ? ρ
V = [ 1 S i n ( y l n 1 ) + 2 s i n ( y l n 2 ) + 3 s i n ( y l n 3 ) + 4 s i n ( y l n 4 ) + . . . ] 。
那 么 :
1
? ρ ? ρ ? ρ ? ρ
1 2 3 4
ζ ( s ) = ζ ( ρ - y i ) = = Y = [ C o s ( y l n 1 ) + C o s ( y l n 2 ) + C o s ( y l n 3 ) + C o s ( y l n 4 ) + . . . ]
s
x
? ρ ? ρ ? ρ ? ρ
+ i [ 1 S i n ( y l n 1 ) + 2 s i n ( y l n 2 ) + 3 s i n ( y l n 3 ) + 4 s i n ( y l n 4 ) + . . . ] = U + V i ，
? ρ ? ρ ? ρ ? ρ
其 中 U = [ 1 C o s ( y l n 1 ) + 2 C o s ( y l n 2 ) + 3 C o s ( y l n 3 ) + 4 C o s ( y l n 4 ) + . . . ] ，
? ρ ? ρ ? ρ ? ρ
V = [ 1 S i n ( y l n 1 ) + 2 s i n ( y l n 2 ) + 3 s i n ( y l n 3 ) + 4 s i n ( y l n 4 ) ) + . . . ] ，
考 察 ζ ( S ) 和 ζ ( s ) ， 发 现 ζ ( S ) 和 ζ ( s ) 互 为 轭 复 数 ， 即 ζ ( S ) = ζ ( s ) 。
π s
1 ? s ? s
因 为 黎 曼 已 经 证 明 黎 曼 ζ ( s ) 函 数 有 零 点 ， 也 就 是 在 ζ ( 1 - s ) = 2 π C o s ( ) Γ ( s ) ζ ( s ) 中 ， ζ ( s ) = 0
2
成 立 。 那 么 当 ζ ( s ) = 0 时 ， ζ ( 1 - s ) = ζ ( s ) = 0 必 定 成 立 。 并 且 如 果 ζ ( S ) = 0 ， 那 么 必 有 ζ ( s ) = 0 ， 因 为
0 + 0 i = 0 - 0 i ， 所 以 ， 当 ζ ( S ) = 0 ， 必 定 有 ζ ( s ) = ζ ( s ) = 0 成 立 。
1 1 1
因 此 1 - s = s 或 1 - s = s , 所 以 s = 或 s = + y i ( y ∈ R 并 且 y ≠ 0 , s ∈ C ) , 所 以 仅 有 ρ = 成 立 .
2 2 2
1 1
因 为 ζ ( ) > 0 , 所 以 1 - s = s 错 误 ， 而 1 - s = s 正 确 , 所 以 s = + y i ( y ∈ R 并 且 y ≠ 0 , s ∈ C ) 。 而 且 仅 当
2 2
1
ρ = 和 ζ ( s ) = 0 , 下 面 三 个 等 式 ζ ( ρ + y i ) = 0 , ζ ( 1 ? ρ ? y i ) = 0 , a n d ζ ( ρ - y i ) = 0 才 同 时 成 立 ， 所 以
2
1 1
s = + y i ( y ∈ R 且 y ≠ 0 , s ∈ C ) 成 立 , 或 者 说 仅 有 s = + t i ( t ∈ R a n d t ≠ 0 , s ∈
仅 仅 有
2 2
C ） 成 立 . 对 于 任 意 复 数 s , 当 R s s 为 任 意 实 数 ， 包 括 R s s > 0 ∧ ( s ≠ 1 ) 和 R s s ≤ 0 ∧
π s
s s ? 1
( s ≠ 0 ) , 那 么 黎 曼 Z e t a 函 数 的 表 达 式 就 是 ζ ( s ) = 2 π S i n ( ) Γ ( 1 - s ) ζ ( 1 - s ) . 假 设 s = ρ + y i
2
( ρ ∈ R , y ∈ R ， 并 且 y ≠ 0 , s ∈ C ) ， 我 们 来 证 明 ζ ( s ) 和 ζ ( ( s ) 是 共 轭 复 数 ， 并 得 到 黎 曼 得 到 过 的 函 数
π s
1 ? s ? s
ζ ( 1 - s ) = 2 π C o s ( ) Γ ( s ) ζ ( s ) 。
2
黎 曼 的 论 文 中 的 推 理 过 程 中 有 这 么 一 个 步 骤 ：
s s ? 1 s ? 1 s ? 1 [ 1 ]
2 s i n ( s ) ( s ? 1 ) ζ ( s ) = ( 2 π ) n ( ( ? i ) + i ) ( 3 )
π 式 ，
i x
根 据 欧 拉 公 式 ： e = c o s x + i s i n ( x ) ( x ∈ R ) 可 得 :
π
? π ? π
i ( ? )
2
e = c o s ( ) + i s i n ( ) = 0 - i = - i ,
2 2
π
π π
i ( )
2
e = c o s ( ) + i s i n ( ) = 0 + i = i ,
2 2
M u l t i d i s c i p l i n a r y J o u r n a l w w w . a j m r d . c o m P a g e | 2 4T h e p r o o f o f t h e R i e m a n n c o n j e c t u r e
那 么 :
π π
i ? s i s
2 2
s ? 1 s ? 1 ? 1 s ? 1 s ? 1 ? 1
? i + i = ? i ? i + i i = ? i e + i e =
π π
i ? s i s
? π s ? π s π s π s π s π s π s π s
2 2
i e - i e = i ( c o s + i s i n ) - i ( c o s + i s i n ) = i c o s ( ) - i c o s ( ) + s i n ( ) + s i n ( = 2
2 2 2 2 2 2 2 2
π s
( 4 )
s i n ( ) 式
2
s ? 1
根 据 伽 玛 函 数 的 性 质 ： Π ( s - 1 ) = Γ ( s ) ， 且 Σ n = ζ ( 1 - s ) , 把 上 面 ( 4 式 ) 代 入 上 面 的 ( 3 式 ) ，
π s
s
得 到 2 s i n ( π s ) Γ ( s ) ζ ( s ) = ( 2 π ) ζ ( 1 ? s ) 2 s i n ( ) ( ( 5 式 ) 。
2
π s π s
根 据 倍 角 公 式 S i n ( π s ) = 2 S i n ( ) C o s ( ) , 将 它 代 入 ( 5 式 ) 得 :
2 2
π s
1 ? s ? s
ζ ( 1 - s ) = 2 π C o s ( ) Γ ( s ) ζ ( s ) ( 6 式 ) ，
2
1 ? s
1 ? s
?
2
当 s ≠ ? 2 n ( n ∈ Z ) 时 ， 因 为 π ≠ 0 、 Γ ( ) ≠ 0 ， 所 以 当 ζ ( s ) = 0 时 ， ζ ( 1 - s ) = 0 。
+
2
作 替 换 s → 1 - s ( 就 是 把 s 当 作 1 - s 代 入 ( 6 式 ) 后 即 得 ：
π s
s s ? 1
ζ ( s ) = 2 π S i n ( ) Γ ( 1 - s ) ζ ( 1 - s ) ( 7 式 ) ,
2
这 就 是 ζ ( s ) 的 函 数 方 程 。 为 了 将 它 改 写 成 一 种 对 称 的 形 式 ， 我 们 利 用 伽 玛 函 数 的 余 元 公 式
π
[ 3 ]
Γ ( Z ) Γ ( 1 - Z ) = ( 8 式 )
s i n π Z
和 勒 让 德 公 式
1
Z Z 1
1 ? Z
2
Γ ( ) Γ ( + ) = 2 π Γ ( Z ) ( 9 式 )
2 2 2
s
在 ( 8 式 ) 中 令 z = ， 并 将 之 代 入 ( 8 式 ) 得 ：
2
π
π s
s i n ( ) = ( 1 0 式 )
s s
2
( ) ( 1 ? )
Γ Γ
2 2
在 ( 9 式 ) 中 令 z = 1 - s , 并 将 之 代 入 ( 9 式 ) 得 ：
1
1 ? s s
?
? s
2
Γ ( 1 - s ) = 2 π Γ ( ) Γ ( 1 - ) ( 1 1 式 )
2 2
把 ( 1 0 式 ) 和 ( 1 1 式 ) 代 入 ( 7 式 ) 得 :
s 1 ? s
s 1 ? s
? ?
2 2
π Γ ( ) ζ ( s ) = π Γ ( ) ζ ( 1 - s ) ，
2 2
即
s
s
?
2
Γ ( ) π ζ ( s ) 在 变 换 s → 1 - s 下 不 变
2
这 也 正 是 黎 曼 在 他 的 论 文 中 所 说 过 的 。
也 就 是 说 ：
s
s
?
2
Π ( ? 1 ) π ζ ( s ) 在 变 换 s → 1 - s 下 不 变
2
M u l t i d i s c i p l i n a r y J o u r n a l w w w . a j m r d . c o m P a g e | 2 5T h e p r o o f o f t h e R i e m a n n c o n j e c t u r e
即 ：
s 1 ? s
s 1 ? s
? ?
2 2
( ? 1 ) π ζ ( s ) = ( ? 1 ) π ζ ( 1 - s )
2 2
或
s 1 ? s
s 1 ? s
? ?
2 2
π Γ ( ) ζ ( s ) = π Γ ( ) ζ ( 1 - s ) ( 2 式 ) ，
2 2
π s
s s ? 1
那 么 ζ ( s ) = 2 π S i n ( ) Γ ( 1 - s ) ζ ( 1 - s ) ，
2
上 式 作 变 换 s → 1 - s 得 :
π s
1 ? s ? s
ζ ( 1 - s ) = 2 π C o s ( ) Γ ( s ) ζ ( s ) ( 1 式 )
2
当 ζ ( s ) = 0 时 ，
根 据 伽 玛 函 数 Γ ( s ) 与 指 数 函 数 的 函 数 值 不 为 零 的 性 质 ，
1 ? s
1 ? s
?
2
Γ ( ) ≠ 0 ， 并 且 π ≠ 0 ，
2
所 以 当 ζ ( s ) = 0 时 ， ζ ( 1 - s ) = 0 ， 即 ζ ( s ) = ζ ( 1 - s ) = 0 成 立 。
π s
π s
s ? 1
s s s ? 1
因 为 2 = 2 , π = π , S i n ( ) = S i n ( ) , Γ ( 1 - s ) = Γ ( 1 ? s ) ，
2
2
ζ ( s ) = ζ ( 1 - s ) = 0 = ζ ( 1 - s ) = ζ ( 1 ? s ) = ζ ( 1 ? s ) = 0 ,
ζ
因 此 ζ ( s ) = ( s ) = o , 也 就 是 说 ζ ( s ) = ζ ( s ) = 0 。 因 此 ζ ( ρ + y i ) = ζ ( ρ - y i ) = 0 。
i Z ? i Z
e ? e
因 为 s i n ( Z ) = , S u p p o s e Z = s = ρ + y i ( ρ ∈ R , y ∈ R a n d y ≠ 0 , s ∈ C ) , 那 么
2 i
i s ? i s i ( ρ + y i ) ? i ( ρ + y i )
e ? e e ? e
s i n( s ) = = ，
2 i 2 i
i s ? i s i ( ρ ? y i ) ? i ( ρ ? y i )
e ? e e ? e
s i n( s ) = = ,
2 i 2 i
s ( ρ + y i ) ρ y i ρ y ρ
根 据 x = x = x x = x ( c o s ( l n x ) + i s i n ( l n x ) ) = x ( c o s y l n x + i s i n ( y l n x ) ) , 那 么
s ( ρ + y i ) ρ y i ρ ρ
+ i s i n c o s + i s i n
e = e = e e = e ( c o s ( y ) ( y ) ) = e ( y ( y ) ) ,
i s i ( ρ + y i ) ρ i
e = e = e ( c o s i y + i s i n ( i y ) ) = ( c o s ρ + i s i n ( ρ ) ) ( c o s i y + i s i n ( i y ) )
i s i ( ρ ? y i ) ρ i
e = e = e ( c o s ? i y + i s i n ( ? i y ) ) = ( c o s ρ + i s i n ( ρ ) ) ( c o s i y ? i s i n ( i y ) ) ,
? i s ? i ( ρ + y i ) ? ρ i
e e e ( c o s ? i y + i s i n ( ? i y ) ) = c o s ρ ? i s i n ( c o s i y ? i s i n ( i y ) )
= = ( ( ρ ) ) ，
? i s ? i ( ρ ? y i ) ? ρ i
e = e = e ( c o s i y + i s i n ( i y ) ) = ( c o s ρ ? i s i n ( ρ ) ) ( c o s i y + i s i n ( i y ) ) ,
s ( ρ + y i ) ρ y i ρ y ρ
2 = 2 = 2 2 = 2 ( c o s ( l n 2 ) + i s i n ( l n 2 ) ) = 2 ( c o s y l n 2 + i s i n ( y l n 2 ) ) ,
s ( ρ ? y i ) ρ ? y i ρ ? y ρ
2 2 2 2 2 ( c o s ( l n 2 ) + i s i n ( l n 2 ) ) 2 ( c o s y l n 2 ? i s i n ( y l n 2 ) )
= = = = ,
s ? 1 ( ρ ? 1 + y i ) ρ ? 1 y i ρ ? 1 y ρ ? 1
π = 2 = 2 2 = 2 ( c o s ( l n 2 ) + i s i n ( l n 2 ) ) = 2 ( c o s y l n 2 + i s i n ( y l n 2 ) ) ,
s ? 1 ( ρ ? 1 ? y i ) ρ ? 1 ? y i ρ ? y ρ ? 1
π = 2 = 2 2 = 2 ( c o s ( l n 2 ) + i s i n ( l n 2 ) ) = 2 ( c o s y l n 2 ? i s i n ( y l n 2 ) ) ,
因 此
i s i s ? i s ? i s s s s ? 1 s ? 1
e e e e 2 2 π π
= , = , = , = ,
M u l t i d i s c i p l i n a r y J o u r n a l w w w . a j m r d . c o m P a g e | 2 6T h e p r o o f o f t h e R i e m a n n c o n j e c t u r e
因 此
i s ? i s
i s ? i s
e ? e e ? e
= ,
2 i 2 i
所 以
S i n ( s ) = S i n ( s ) ,
所 以
πs
π s
S i n ( ) = S i n ( ) 。
2
2
复 数 域 上 的 伽 玛 函 数 定 义 为 :
+ ∞
? ? 1 ? ?
Γ ( s ) = ? ? d t
0
其 中
R e ( s ) > 0 , 这 个 定 义 可 以 由 解 析 延 拓 原 理 推 广 到 除 非 正 整 数 外 的 整 个 复 数 域 ，
因 此
Γ ( s ) = Γ ( s ) 。
因 此
ζ ( s ) = ζ ( 1 - s ) = 0 = ζ ( 1 - s ) = ζ ( 1 ? s ) = ζ ( 1 ? s ) = 0 ,
π s
s s ? 1
根 据 2 π 那 么
ζ ( s ) = S i n ( ) Γ ( 1 - s ) ζ ( 1 - s ) ,
2
ζ ( s ) = ζ ( s ) = o , 也 就 是 说 ζ ( s ) = ζ ( s ) = 0 . s o ζ ( ρ + y i ) = ζ ( ρ - y i ) = 0 .
根 据 ζ ( s ) = ζ ( 1 - s ) = 0 和 ζ ( s ) = ζ ( s ) = 0 那 么
ζ ( 1 - s ) = ζ ( s ) = 0 , 因 此 s = 1 - s 或 者 s = 1 - s , 因 此 ρ + y i = 1 - ρ - y i 或 者 ρ - y i = 1 - ρ - y i ,
1
因 此 ρ = 并 且 y = 0 , 或 者 y ∈ R ,
2
1 1
因 此 s = + o i 或 者 s = + y i （ y ∈ R 并 且 y ≠ 0 ） 。
2 2
黎 曼 在 他 的 论 文 中 得 到 :
s
s s ? 3
s ∞ ∞ 1
? ? 1
2 2 2
? 1 π ζ s = ψ ( x ) x d x + ψ ( ) x d x
1 1
x
2
s ? 3 s
1
1
? 1
2 2
+ ( x - x ) d x
0
2
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s 1 + s
1 ∞
? 1 ?
[ 1 ]
2 2
= + ψ ( x ) ( x + x ) d x
1
s ( s ? 1 )
s 1 + s
1 ∞
s
? 1 ?
2 2
因 为 和 ψ ( x ) ( x + x ) d x 都 在 s → 1 ? s 下 不 变 ， 若 引 入 辅 助 函 数 ， ψ s = ?
1
s ( s ? 1 ) 2
s
?
2
1 π ζ s ， 于 是 可 以 简 洁 地 写 为 ψ ( s ) = ψ ( 1 - s ) 。 但 更 方 便 的 做 法 是 在 ψ ( s ) 中 添 加 因 子 s ( s ? 1 ) ，
s
1 1 s
?
2
并 引 入 系 数 ， 黎 曼 正 是 这 么 做 的 ， 即 令 ξ ( s ) = s ( s - 1 ) Γ ( ) π ζ s 。 因 为 因 子 ( s - 1 ) 消 去 了 ζ s
2 2 2
s s
在 s = 1 处 的 一 阶 极 点 ， 而 因 子 s 消 去 了 Γ ( ) 在 s = 0 处 的 极 点 ， 且 s 等 于 - 2 ， - 4 ， - 6 , . . . 时 和 Γ ( )
2 2
ξ ( s ) s ( s ? 1 ) → 1 ? s
的 其 余 极 点 抵 消 ， 因 此 是 一 个 整 函 数 。 注 意 到 因 子 显 然 在 s 下 不 变 ， 所 以
π s π s
s s ? 1
同 样 有 函 数 方 程 ξ ( s ) = ξ ( 1 ? s ) 。 根 据 ζ ( s ) = 2 π S i n ( ) Γ ( 1 - s ) ζ ( 1 - s ) ( 1 式 ) ， 当 S i n ( ) = 0 ， 那 么
2
2
π s
1 ? s ? s
s = - 2 n ( n ∈ Z ) ζ ( s ) 2 π ( 1 )
如 果 时 ， 将 取 得 平 凡 零 点 。 同 时 根 据 ζ ( 1 - s ) = C o s ( ) Γ ( s ) ζ ( s ) 式 ，
+
2
如 果 ζ ( s ) = 0 ， 那 么 必 定 有 ζ ( 1 - s ) = 0 ， 所 以 ζ ( s ) = ζ ( 1 - s ) = 0 成 立 。 根 据 黎 曼 的 假
1
1
设 : s = + t i ( t ∈ C , s ∈ C 且 t ≠ 0 ) , s 和 t 差 一 个 线 性 变 换 : s = + t i ( t ∈ C , s ∈ C 且 t ≠ 0 ) ， 即 一 个 9 0 ° 旋 转
2 2
1
加 1 / 2 的 平 移 。 这 样 一 来 ， s 平 面 中 的 直 线 R e ( s ) = 就 对 应 于 t 平 面 中 的 实 数 轴 ， 黎 曼 函 数 ζ s
2
1
在 临 界 直 线 R e ( s ) = 上 的 零 点 就 对 应 于 函 数 ξ ( t ) ( t ∈ C 且 t ≠ 0 ) 的 实 数 根 ， 在 黎 曼 设 计 的 ξ ( t ) 函 数
2
中 ， 函 数 方 程 ξ ( s ) = ξ ( 1 ? s ) 就 变 成 了 ξ ( t ) = ξ ( ?
t ) ξ ( t ) ξ ( t )
， 即 是 偶 函 数 ， 偶 函 数 是 对 称 函 数 ， 所 以 是 偶 函 数 ， 且 零 点 关 于 t = 0 对 称 分 布 。
1
ξ ( t ) ( t ∈ C ) s = + t i ( t ∈ C , s ∈ C t ≠ 0 ) ξ ( s ) ξ ( 1 ?
根 据 黎 曼 设 计 的 函 数 函 数 和 黎 曼 假 设 且 ， =
2
s ) 等 价 于 ξ ( t ) = ξ ( ? t ) ， 所 以 函 数 ξ ( s ) 也 是 偶 函 数 。 当 ξ ( t ) = 0 ， 即 ξ ( t ) = ξ ( ? t ) = 0 时 ， ξ ( t ) 的 零 点
1
关 于 t = 0 对 称 分 布 。 当 ξ ( s ) = 0 ， 即 ξ ( s ) = ξ ( 1 ? s ) = 0 时 ， ξ ( s ) 的 零 点 关 于 点 ( , 0 i ) 在 垂 直 于 复 平 面
2
1
实 数 轴 的 直 线 上 对 称 分 布 。 所 以 当 ξ ( s ) = ξ ( 1 ? s ) = 0 时 ， s 与 1 - s 是 ζ ( s ) 函 数 在 复 平 面 关 于 点 ( , 0 i )
2
在 垂 直 于 复 平 面 实 数 轴 的 直 线 上 对 称 分 布 的 一 对 零 点 。 当 ζ ( s ) = 0 时 ， ζ ( 1 - s ) = 0 ， 即 ζ ( s ) = ζ ( 1 - s ) = 0
成 立 。 我 们 发 现 ζ ( s ) = ζ ( 1 - s ) = 0 与 ξ ( s ) = ξ ( 1 ? s ) = 0 仅 仅 函 数 名 称 不 一 样 ， 自 变 量 s 都 等 于
1
+ t i ( t ∈ C , s ∈ C ) ， 说 明 ζ ( s ) 函 数 和 ξ ( s ) 函 数 的 零 点 完 全 一 致 ， 而 ξ ( s ) 函 数 的 零 点 在 复 平 面 上 是 关 于
2
1
点 ( , 0 i ) 在 垂 直 于 复 平 面 上 实 数 轴 的 直 线 上 对 称 分 布 的 ， 所 以 ζ ( s ) 函 数 的 零 点 在 复 平 面 上 也 是 关
2
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1
于 点 ( , 0 i ) 在 垂 直 于 复 平 面 实 数 轴 的 直 线 上 对 称 分 布 的 ， 所 以 当 ζ ( s ) = ζ ( 1 ? s ) = 0 时 ， s 与 1 - s
2
1
是 ζ ( s ) 在 复 平 面 上 关 于 点 ( , 0 i ) 在 垂 直 于 复 平 面 实 数 轴 的 直 线 上 对 称 分 布 的 一 对 零 点 。 我 们 前 面
2
1
得 到 ζ s = ζ ( s ) ( s = ρ + y i , ρ ∈ R , y ∈ R ) , 当 黎 曼 的 假 设 s = + t i ( t ∈ C , s ∈ C 且 t ≠ 0 中 t 是 一 个 复 数 ， 且
2
1 1
s = + t i = ρ + y i ， 则 ζ s = ζ ( s ) ( s = ρ + y i , ρ ∈ R , y ∈ R 且 y ≠ 0 ) 中 的 s 与 黎 曼 的 假 设 s = + t i ( t ∈ C , s ∈ C 且 t ≠ 0 )
2 2
π s
1 ? s ? s
中 的 s 就 一 致 。 我 们 再 来 看 前 面 得 到 的 ζ ( 1 - s ) = 2 π C o s ( ) Γ ( s ) ζ ( s ) ( 1 式 ) ， 其 中 ζ ( s ) 的 自 变 量
2
s 显 然 是 一 个 普 通 的 复 数 变 量 ， 我 们 可 以 用 s = ρ + y i ( ρ ∈ R , y ∈ R 且 y ≠ 0 ) 来 表 示 ， 那 么 就 与
ζ s ζ s ∈ y ≠ 0
= ( ) ( s = ρ + y i , ρ R , y ∈ R 且 ) 中 的 自 变 量 s 一 致 。
如 果 ζ ( s ) = ζ ( s ) = 0 ( s = ρ + y i , ρ ∈ R , y ∈ R 且 y ≠ 0 ) ， 由 于 s 和 s 是 一 对 共 轭 复 数 ， 那 么 s 和 s 必 定 是
ζ ( s ) s s 是 ζ ( s ) ( ρ , 0 i )
函 数 在 垂 直 于 复 平 面 实 数 轴 的 直 线 上 的 对 称 零 点 ， 和 在 复 平 面 上 关 于 点 在
垂 直 于 复 平 面 实 数 轴 的 直 线 上 对 称 分 布 的 一 对 零 点 。 s 既 是 1 - s 的 对 称 零 点 ， s 又 是 s 的 对 称 零
点 。 同 一 个 黎 曼 ζ ( s ) 函 数 的 同 一 个 零 点 s 的 在 垂 直 于 复 平 面 实 数 轴 的 直 线 上 的 对 称 零 点 怎 么 会
1
既 是 在 垂 直 于 复 平 面 实 数 轴 的 直 线 上 关 于 点 ( , 0 i ) 对 称 分 布 的 一 个 零 点 1 ? s ， 又 是 垂 直 于 复 平
2
1
1
面 实 数 轴 的 直 线 上 关 于 点 ( ρ , 0 i ) 对 称 分 布 的 一 个 零 点 s ？ 除 非 ρ 和 是 同 一 个 值 ， 即 ρ = ， 而
2 2
且 仅 有 1 - s = s 成 立 ， 否 则 绝 无 可 能 ， 这 是 由 黎 曼 ζ ( s ) 函 数 的 零 点 在 经 过 该 点 垂 直 于 复 平 面 实 数
轴 的 直 线 上 关 于 该 直 线 与 复 平 面 实 数 轴 的 垂 足 对 称 分 布 的 零 点 的 唯 一 性 决 定 的 ， 从 零 点 s 向 复
平 面 实 数 轴 作 垂 线 ， 仅 能 作 出 一 条 , 垂 足 也 只 有 一 个 。 在 同 一 个 复 平 面 上 ， ζ ( s ) 函 数 的 同 一 个 零
点 在 经 过 该 点 垂 直 于 复 平 面 实 数 轴 的 直 线 上 关 于 该 直 线 与 复 平 面 实 数 轴 的 垂 足 对 称 分 布 的 零
点 只 会 有 一 个 。
从 方 程 的 角 度 来 考 虑 ， 因 为 ζ s = ζ ( s ) ( s = ρ + y i , ρ ∈ R , y ∈ R 且 y ≠ 0 ) ， 那 么 当 ζ ( ρ + y i ) = 0 , 则
则 ζ ( ρ ? y i ) = 0 ， 又 因 为 ζ s = ζ 1 ? s = 0 ， 那 么 ζ ( 1 - ρ - y i ) = 0 。 因 为 下 面 三 个 方 程 ζ ( ρ + y i ) = 0 ，
1
ζ ( ρ ? y i ) = 0 ， ζ ( 1 - ρ - y i ) = 0 都 成 立 ， 那 么 只 能 1 - ρ = ρ ， ρ = 。 调 和 级 数 ζ ( 1 ) 是 发 散 的 ， 已 由
2
中 世 纪 晚 期 法 国 学 者 奥 雷 姆 ( 1 3 2 3 - 1 3 8 2 ) 证 明 。
1 1
因 为 级 数 ζ ( ) 的 各 项 的 分 母 比 级 数 ζ ( 1 ) 的 各 项 的 分 母 更 小 ， 所 以 ζ ( ) > ζ ( 1 ) > 0 → + ∞ ,
2 2
1 1 1
所 以 级 数 ζ ( ) = ζ ( + 0 i ) 更 是 发 散 的 ， 所 以 s = 不 是 级 数 ζ ( s ) 的 零 点 ， 舍 去 。 当 ζ ( s ) = 0 ， 求 解
2 2 2
1
1
1 - s = s ， 也 得 到 仅 有 s = + y i ( y ∈ R ， s ∈ C 且 y ≠ 0 ) 成 立 。 所 以 当 ρ = 并 且 ζ ( s ) = 0 ， 黎 曼 假 设
2 2
1 1
1
s = + t i ( t ∈ C , s ∈ C 且 t ≠ 0 ) 必 须 等 价 于 s = + y i ( y ∈ R ， s ∈ C 且 y ≠ 0 ) ， s = + y i ( y ∈ R ， s ∈ C 且 y ≠ 0 ) 也
2 2 2
1
s = + t i ( t ∈ R s ∈ C t ≠ 0 )
可 以 写 成 ， 且 。
2
s
s
?
2
而 且 黎 曼 在 他 的 论 文 中 得 到 的 ( s - 1 ) π ζ ( s ) = ξ ( t ) ，
2
3
∞
1 1 ? 1
2
4
ξ ( t ) = - ( t + ) ψ ( x ) x c o s ( t l n x ) d d x x ， 或
1
2 4 2
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s
s
?
2
( s - 1 ) π ζ ( s ) = ξ ( t ) ，
2
3
1
2
∞ d ( x ψ ’ ( x ) ) 1 1
?
[ 1 ]
4
ξ ( t ) = 4 x c o s ( t l n x ) d x ， 因 为 ζ ( + t i ) = 0 ( t ∈ R a n d t ≠ 0 , s ∈ C ） 成 立 , 所 以
1
d x 2 2
s
1
s
?
2
π a n d t ≠ 0
方 程 ( s - 1 ) ζ ( + t i ) = ξ ( t ) = 0 ( t ∈ R , s ∈ C ) 和 方 程
2 2
3
s 1
s 1 ∞ d ( x 2 Ψ ’ ( x ) ) 1 1
? ?
2 4
( s - 1 ) π ζ ( + t i ) = 4 x c o s ( t l n x ) d x = ξ ( t ) = 0 和 方 程 ξ ( t ) = -
1
2 d x 2 2
2
3
∞
1 1
?
2
4
( t + ) ψ ( x ) x c o s ( t l n x ) d d d x x x = 0 都 成 立 ， 所 以
1
4 2
3
s 1
1 ∞ 2
s d ( x Ψ ’ ( x ) ) 1 1
? ?
2 4
( s - 1 ) π ζ ( + t i ) = ξ ( t ) = 0 4 x c o s ( t l n x ) d x = ξ ( t ) = 0 和 ξ ( t ) = -
1
2 2 d x 2 2
3
∞
1 ? 1
2
4
( t + ) ψ ( x ) x c o s ( t l n x ) d d x x = 0 的 根 必 定 都 是 实 数 。 当 ζ ( s ) = 0 和 ξ ( t ) = 0 时 , 方 程 ξ ( t ) = 0
1
4 2
实 部 在 0 和 T 之 间 的 根 必 定 都 是 实 数 。
因 为 方 程 ξ ( t ) = 0 的 实 部 在 0 和 T 之 间 的 复 数 根 的 数 目 约 等 于
T T T
[ 1 ]
l n ? ，
2 π 2 π 2 π
黎 曼 对 零 点 数 目 估 计 的 这 一 结 果 在 1 8 9 5 年 由 M a n g o l d t 严 格 证 明 ， 那 么 ， 当 ζ ( s ) = 0 和 ξ ( t ) = 0
T T T
[ 1 ]
l n ?
时 ， 方 程 ξ ( t ) = 0 的 实 部 在 0 和 T 之 间 的 实 数 根 的 数 目 也 必 定 约 等 于 ， 所 以 ，
2 π 2 π 2 π
当 黎 曼 ζ ( s ) = 0 ， 黎 曼 假 设 和 黎 曼 猜 想 完 全 成 立 。
I I I . 致 谢
衷 心 感 谢 您 阅 读 本 论 文 。
I V . 贡 献
唯 一 作 者 ， 提 出 研 究 问 题 ， 论 证 并 证 明 所 提 问 题 。
V . 作 者 介 绍
名 称 ： 廖 腾 ( 1 5 0 9 1 3 5 6 9 3 @ 1 3 9 . c o m )
单 位 ： 中 国 厦 门 天 正 国 际 数 学 与 物 理 研 究 所
地 址 ： 中 国 厦 门 市 湖 里 区 围 里 社 高 崎 机 场 路 2 3 7 号
邮 编 : 3 6 1 0 2 2
参 考 文 献
[ 1 ] R i e m a n n : 《 O n t h e N u m b e r o f P r i m e N u m b e r s L e s s t h a n a G i v e n V a l u e 》 ；
[ 2 ] J o h n D e r b y s h i r e ( A m e r i c a ) : 《 P R I M E O B S E S S I O N 》 P 2 1 8 , B E R H A R D R I E M A N N
M u l t i d i s c i p l i n a r y J o u r n a l w w w . a j m r d . c o m P a g e | 3 0T h e p r o o f o f t h e R i e m a n n c o n j e c t u r e
A N D T H E G R E A T E S T U N S O l V E D P R O B L E M I N M A T H M A T I C S , T r a n s l a t e d b y C h e n
W e i f e n g , S h a n g h a i S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y E d u c a t i o n P r e s s ,
C h i n a , h t t p s : / / w w w . d o c 8 8 . c o m / p - 5 4 8 8 7 0 1 3 7 0 7 6 8 7 . h t m l ;
[ 3 ] X i e G u o f a n g : O n t h e n u m b e r o f p r i m e n u m b e r s l e s s t h a n a g i v e n v a l u e - N o t e s t o R i e m a n n '' s
o r i g i n a l p a p e r p r o p o s i n g t h e R i e m a n n c o n j e c t u r e ,
h t t p s : / / m a x . b o o k 1 1 8 . c o m / h t m l / 2 0 2 1 / 0 5 1 9 / 8 0 1 6 0 0 7 0 7 0 0 0 3 1 0 2 . s h t m ；
M u l t i d i s c i p l i n a r y J o u r n a l w w w . a j m r d . c o m P a g e | 3 1 |
|
