§3-5 简谐波三、平面简谐波的波动方程： 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐运动时，在介质中所形成的波.平面简谐波：波面为平面的
简谐波.平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频率的简谐振动，在任一时刻，各点的振动相位一般不同，它们的位移也不相同。据波阵面的定
义可知，任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位，它们离开各自的平衡位置有相同的位移。各质点相对平衡位置的位移波线上各质点平衡位置
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y(x, t) 称为波函数.t 时刻
点 P 的运动t-x/u时刻点O 的运动 以速度u 沿x 轴正向传播的平面简谐波 . 令原点O 的初相为?，其振动方程 点P
振动方程时间推迟方法 考察波线上任意点P，P点振动的相位将落后于O点。若振动从O 传到P所需的时间为?t, 在时刻t，P点处质
点的位移就是O 点处质点在t –?t 时刻的位移，从相位来说，P 点将落后于O点，其相位差为??t 。 沿x正向传播的波动方程：
波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出，此式即所求的沿x 轴方向前进的平面简谐波的波动方程。 沿x轴负向传播的波动方
程波动方程说明：距离原点为 x 处的位移是时间和空间的函数.随时间改变的频率为振动原点的圆频率,随空间改变的频率为2?/?.如果以
x为横坐标,以相应点的位移为纵坐标绘制波动图,其图像和振动时序图类似,所以2?/?也称为空间频率. 波动方程的物理意义：即波函数表
示波线上 x1 处的质点的振动方程。该质点振动的初相: 振动方程波函数表示t1 时刻的波形。以y为纵坐标、x 为横坐标，得到一条余
弦曲线，它是t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移所构成的波形曲线(波形图)波形方程沿波线方向，在同一时刻任意两点x1、x2
的简谐运动相位差为：表示波程差x1、x2分别表示该两点距原点O的距离，即波程。若?=x2-x1=±k? ,则?? =±2k? (k
=0?1?2?3?) ,说明波程差为波长的整数倍时,两点质点的振动同相；若?=x2-x1=±(2k+1)λ/2,则?? =±(2k
+1)? ,说明波程差为半波长的奇数倍时,两点质点的振动反相。实线：t 时刻波形；虚线：t+?t 时刻波形 例题1 一波源以s＝
0.04cos2.5πt(m)的形式作简谐振动，并以100m.s-1的速度在某种介质中传播。试求：①波动方程；②在波源起振后1.0
s，距波源20m处质点的位移及速度。 解：(1)根据题意，波动方程为(2)在x=20m处质点的振动为在波源起振后1.0s,
该处质点的位移为该处质点的速度为由此可见，质点的振动速度与波的传播速度是两个完全不同的概念。例2 设波方程为式中，x及s以厘米计，
以t秒计。试求其振幅、波长、波速、周期及波的传播方向。解：将波动方程写成标准形式。则振幅为:A=2cm波长为：λ=4cm周期：T=
1/ν=1/100=0.01s波速为 u=νλ=100×4=400cm.s-1解 写出波动方程的标准式2）求
波形图.介质中各质点在各自平衡位置附近振动动能介质间相互作用产生弹性形变势能简谐波的能量=1、波的能量四、波的能
量（ Wave energy ）dV当平面简谐波波传到此dV 时，体积元动能为：由介质体积元形变产生的势能：dV该公式表明：在单位
体积元内,波的能量与波的振幅的平方、频率的平方和体积元密度成正比,任一体积元内的能量随时间以正弦函数的平方方式变化.总能量为二者相
加波动的能量与振动能量有着本质上的不同.简谐振动的能量是保守的,能量在动能与势能之间相互转换,转换过程能量守恒.波动的能量是开放的
.随着波动的传播,能量向波动的传播方向转移.振动过程中总能量守恒波动的能量随波动过程变化.动能和势能在位移为零处同时达到最大, 总
能量也同时达到最大,并随波动向波的传播方向运动. 体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大. 体积元的位移最大时，三者
均为零.任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地传播能量 . 任一体积元的机械能不守恒 . 波动是能量传递的一种方式 .平
均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值. 波的能流和能流密度( 波的强度 ) 能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量.2、能量密
度和能流密度： 能量密度：单位体积介质中的波动能量. 平均能流：振动和波动的联系与区别惠更斯于1690年解释波的传播时提出：介质中
波前上每一点都可以作为独立的波源,发出球面子波,这些子波的包迹就是新的波前.§3-6 波的叠加原理和干涉一、波的叠加原理1、惠更斯
原理 求波前：t时刻波面? t+?t 时刻波面? 波的传播方向 应用举例： 解释波的衍射现象(diffraction of wa
ve)： 波在传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播. 2、波传播的独立性：两
列波在某区域相遇后再分开，传播情况与未相遇时相同，互不干扰. 3、波的叠加性：在相遇区，任一质点的振动为二波单独在该点引起的振
动的合成.（沿相反方向传播的两列波的叠加为例）二、波的干涉(interference of wave)相干波：满足相干条件的几列波
称为相干波。相干波源：能发出相干波的波源称为相干波源。波的干涉：频率相同、振动方向相同(或平行)、相位相同或相位差恒定的两列波相遇
时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象，称为波的干涉现象.相干条件：两个相干波源波源O1和O2的振动方程分别
为：点点其中由叠加原理，P点合振动方程为：合振幅最大，干涉加强,相长干涉 合振动的振幅A(波的强度)在空间任一指定点为一常量, 其
大小取决于初相位差和波程差; 在空间各点的分布随位置而变，但是稳定的.合振幅最小，干涉减弱 若A1=A2，A=0， 干涉相
消 两同相相干波源，在波程差等于波长整数倍的各点，振幅最大；在波程差等于半波长奇数倍的各点，振幅最小。 (2) 根据合振动的振
幅公式,R处的合振幅为例1. 波的干涉，如图所示,两平面简谐波源分别在P,Q两点处.初相位均为零,它们相距3?/2,由P,Q发出振
幅分别为A1和A2、频率为?、波长为?的两列相干波.R为PQ连线上的一点.求：(1) 由P,Q发出的两列波在R处的相位差；(2)
两列波在R处干涉时的合振幅.解：(1) R处的相位差例2、 如图所示,两列相干波在p点相遇.一列波在B点的振动为
; 另一列波在C点的振动为
； BP=0.45m, CP=0.30m.波的传播速度为0.20m/s,求
p点的合振动的振动方程. 解:在p点引起的分振动.则:其中:
结果请同学们代入自行运算. 例3、 如图所示，A、B 两点为同一介质中两相干波源.其振幅皆为5cm，频率皆为100Hz，但当点
A 为波峰时，点B 恰为波谷.设波速为10m/s，试写出由A、B发出的两列波传到点P 时干涉的结果.解求：（1）它们连线上振动加
强的位置及其合振幅？由加强（2）延长线上合振动如何？加强两边延长线上合振动始终加强可以！半波长的奇数倍即可。（4）能否使延长线上合
振动一边加强、一边减弱？这在无线电波定向辐射中很有用！如果不改变题目条件，不行！加强减弱合振幅合振幅合成波能量向左传加强定向辐射（
二元端式天线）波个数愈多则定向性愈好！（天线列阵）三、驻波(Standing wave )当两列频率相同、振动方向相同、传播方向
相反的波相遇时产生所谓驻波.考虑两列波分别为方程中的正负号表示了传播方向上的不同. 运用三角叠加公式,得到将上述公式看成两项
和其中第一项与时间无关,并且存在一些空间点使第一项为0.第二项与空间位置无关,位移是时间的余弦函数.
两者的乘积表明：在某些位置有最大振幅,这些位置的位移随时间做余弦式改变. 在另一些位置,质点位移永远为零.波腹与波节在上述讨论中我
们看到：两列相对传播的波相遇时一些点可以有最大位移,这些可以出现最大位移的点称为波腹(loop),另一些点位移永远为零,这些点称为波节(node).当传播波动的介质满足某些条件时,波节和波腹的位置不随时间改变,形成一种特殊的振动—驻波(standing wave). 驻波的形成、波节(?)和波腹(+)驻 波 的 形 成波节始终不动的点波腹振动最大的点预习要求：1、声波及多普勒效应作业：习题3-5~3-7 |
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