一 元 五 次 方 程 根 式 求 解
作者: 鲍祥 平
这篇 文章 没有 证明 一元 五次 方程 的根 式解 ， 有待 完善 ， 其中 的方
法可 以证 明很 多类 特殊 情况 的解 ，所 以还 是有 借鉴 意义 。
一 、 一 元 五 次 方 程 的 概 述
1 . 1 定 义 和 公 式
形 如 ：
5 4 3 2
? + ? ? + ? ? + ? ? + ? ? + ? = 0 ? ① 一 般 形 式
5 3 2
? ? + ? ?
+ ? + ? ? + ? = 0 ? ② 特 殊 形 式
1 . 2 一 元 五 次 方 程 的 几 种 基 本 变 形
5 4 3 2
? ? ? ? ?
（ 1 ） ? ? + ? ? ? + ? ? ? + ? ? ? + ? ? ? + ? = 0
5 5 5 5 5
5 3 2
? + ? ? + ? ? + ? ? + ? = 0
5 3 2
? ? ? ?
? + ? +
? + + ? + ? + ? ? + + ? = 0
5 5 5 5
5 4 3 2
? + ? ? + ? ? + ? ? + ? ? + ? = 0
5 4 3 2
( 2 ) ? ? + ? ? ? + ? ? ? + ? ? ? + ? ? ? + ? = 0
5 4 3 2
? + ? ? + ? ? + ? ? + ? ? + ? = 0
5 4 3 2
? ? ? ? ?
+ ? + ? + ? + ? + ? = 0
? ? ? ? ?
5 4 3 2
? + ? ? + ? ? + ? ? + ? ? + ? = 0
5 4 3 2
( 3 ) ? ? + ? + ? ? ? + ? + ? ? ? + ? + ? ? ? + ? + ? ? ? + ? + ? = 0
5 4 3 2
? + ? ? + ? ? + ? ? + ? ? + ? = 0
二 、 求 解 方 法 的 原 理
2 . 1 根 式 求 解 的 原 理
一 个 一 元 n 次 方 程 要 想 根 式 求 解 ， 那 么 少 不 了 要 对 方 程 两 边 进 行 配 方 处 理 ， 这 是 必 不 可 少 的
步 奏 。 比 如 一 元 二 次 方 程 和 一 元 三 次 方 程 的 配 方 处 理 ， 这 里 就 不 再 叙 述 了 ， 大 家 可 以 去 查 查
资 料 。
对 于 一 元 四 次 方 程 ， 我 们 可 以 把 方 程 两 边 通 过 配 方 处 理 都 变 成 平 方 项 ， 形 如 ：2 2 2
? + ? = ? + ?
我 们 也 可 以 把 一 元 三 次 方 程 转 换 成 一 元 四 次 方 程 求 解 ：
3 4 2 2 2 2
? + ? ? + ? = 0 ? + ? ? + ? ? = 0 ? + ? = ? + ?
同 理 我 们 也 可 以 把 一 元 五 次 方 程 转 换 成 一 元 六 次 方 成 求 解 。
4 !
2 ! 2 !
由 于 一 元 四 次 方 程 有 三 种 组 合 配 方 形 式 ， = 3 ， 所 以 需 要 解 一 个 一 元 三 次 方 程 ， 同 样 道
2
6 !
3 ! 3 !
理 一 元 六 次 方 程 有 十 种 组 合 配 方 形 式 ， = 1 0 那 就 意 味 着 需 要 解 一 个 一 元 一 元 十 次 方 程 ，
2
当 然 这 会 使 问 题 复 杂 化 ， 于 是 我 们 可 以 通 过 特 殊 的 配 方 变 形 把 问 体 转 化 成 可 解 的 一 元 十 次 方
程 ， 比 如 ：
1 0 5
? + ? ? + ? = 0
像 上 面 这 种 形 式 是 可 以 直 接 求 解 的 。
三 、 求 解 步 骤 及 应 用
3 . 1 一 元 五 次 方 程 求 解 步 骤
由 于 一 元 五 次 方 程 像 解 一 元 三 次 方 程 那 样 很 难 求 解 ， 对 于 不 同 的 一 元 五 次 方 程 不 可 能 找 到 统
一 的 固 定 模 式 ， 因 此 我 们 必 须 借 助 一 元 六 次 方 程 的 配 方 法 来 解 出 所 有 一 元 五 次 方 程 的 解 , 然
后 才 考 虑 解 出 所 有 的 一 元 六 次 方 程 。
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? ? + ? ?
+ ? + ? ? + ? = 0 ? ②
( 1 ) 当 G , R , T , W 全 不 为 0 时 , 方 程 ② 两 边 同 时 乘 以 x
6 4 3 2
? + ? ? + ? ? + ? ? + ? ? = 0
y
令 x = , 则
a
6 4 3 2
? ? ? ?
?
+ ? + ? + ? + ? = 0
? ? ? ? ?
6 2 4 3 3 4 2 5
? + ? ? ? + ? ? ? + ? ? ? + ? ? ? = 0
2
2 3 2 4 5 2 6
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3 4 2 5
? ? ? ? = ? ? + ? + ? ? + ? +
2 2 4 2 4
右 边 无 法 进 行 配 方 ， 利 用 判 别 式 等 于 零 无 法 解 出 a 的 值 ， 只 能 对 一 些 特 殊 函 数 进 行 配 方
要 想 方 程 右 边 能 配 成 完 全 平 方 式 , 则 判 别 式 为 零 即 可 ,
2
? ? ?
? ≠ ? ? ≠ ?
① ,
4 2
2
2 4 2 2 6
? ? ? ? ? ?
4 2 2
? ? + ? ? 4 ? ? + ? = 0
4 2 4
2
? ? ?
? = ? ? = ?
② ,
4 2
2 6
?
?
直 接 对 进 行 配 方
42
? ? ?
③ ? = ? , ? ≠ ?
4 2
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? + ? ? + ? ? + ? ? + ? = 0 ? ②
把 方 程 ② 通 过 1 . 2 节 的 基 本 变 换 变 成 如 下 形 式
5 3 2
? + ? ? + ? ? + ? ? + ? = 0
2 4
? ? ? ?
直 到 ? ≠ ? , ? ≠ ? ， 再 利 用 判 别 式 等 于 零 进 行 求 解 。
4 2
（ 2 ） 当 G , R , T , W 中 有 的 为 0 时 , 可 以 通 过 1 . 2 节 的 基 本 变 换 变 成 G , R , T , W 全 不 为 0 时 为 止 。
2
2 3 2 4 5 2 6
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
3 4 2 5
我 们 解 出 ? 的 值 后 代 入 方 程 ? ? ? ? = ? ? + ? + ? ? + ? + 就
2 2 4 2 4
可 以 求 出 一 元 五 次 方 程 的 五 个 根 。
对 于 一 元 六 次 方 程 的 解 法 与 上 面 类 似 , 只 不 过 多 了 一 个 常 数 项 , 用 上 面 的 方 法 一 样 可 解 。
3 . 2 实 例 应 用
略 !
四 、 总 结 与 展 望
5 . 1 一 元 五 次 方 程 求 解 的 意 义
一 元 五 次 方 程 的 根 式 求 解 能 让 我 们 对 所 有 数 学 知 识 重 新 有 个 认 识 , 是 颠 覆 性 的 . 将 会 对 数 学
的 发 展 产 生 深 远 影 响 。 |
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