衡 阳 市 八 中 2 0 2 4 届 高 三 第 2 次 月 考
数 学 试 题
命题人：刘瑶 审题人：颜军
注 意 事 项 ： 本 试 卷 满 分 为 1 5 0 分 ， 时 量 为 1 2 0 分 钟
一 、 单 选 题 （ 本 大 题 共 8 小 题 ， 每 题 5 分 ， 共 4 0 分 ）
2
A ? { x | 0 ? x ? 2 } B ? { x | x ? 1 }
1 ． 若 集 合 ， ， 则 A ? B ? （ ）
{ x | 0 ? x ? 1 } { x | 1 ? x ? 2 } { x | 0 ? x ? 2 } { x x 0 x ? ? 1 }
A ． B. C． D ． 或
2 ． 在 复 平 面 内 ， 复 数 对 应 的 点 的 坐 标 为 （ ）
A ． （ ， ﹣ ） B ． （ ， ） C． （ 0 ， ﹣ 1 ） D ． （ 0 ， 1 ）
f ( x ) ? f ( x )
2 1
f ( x ) x ? [ 0 , ? ? ) ( x ? x ) ? 0
R x
3 ． 定 义 在 上 的 偶 函 数 满 足 ： 对 任 意 的 ， ， 有 ， 则 （ ）
2 1 2
1
x ? x
2 1
f ( 1 ) ? f ( ? 2 ) ? f ( 3 ) f ( ? 2 ) ? f ( 1 ) ? f ( 3 ) f ( 3 ) ? f ( 1 ) ? f ( ? 2 ) f ( 3 ) ? f ( ? 2 ) ? f ( 1 )
A ． B ． C ． D ．
a S S ? S ? S ? S
4 ． 已 知 等 差 数 列 ? ? 的 公 差 为 d ， 前 n 项 和 为 ， 则 “ d ? 0 ” 是 “ ” 的 （ ）
n n 3 n 2 n 2 n n
A ． 充 分 不 必 要 条 件 B ． 必 要 不 充 分 条 件 C ． 充 分 必 要 条 件 D ． 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件
2
5 ． 某 校 高 三 有 1 0 0 0 人 参 加 考 试 ， 统 计 发 现 数 学 成 绩 近 似 服 从 正 态 分 布 N(1 0 5 ， σ ) ， 且 成 绩 优 良 （ 不 低 于 1 2 0 分 ）
的 人 数 为 3 6 0 ， 则 此 次 考 试 数 学 成 绩 及 格 （ 不 低 于 9 0 分 ） 的 人 数 约 为 （ ）
A ． 3 6 0 B ． 6 4 0 C ． 7 2 0 D ． 7 8 0
2 2
x y
F F △ A F F △ A F F
6 ． 椭 圆 ? ? 1 a ? 3 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 ， ， A 为 上 顶 点 ， 若 的 面 积 为 ， 则 的 周 长 为
2 1 2 3 1 2
? ? 1
2
a 3
（ ）
A ． 8 B ． 7 C ． 6 D ． 5
x
e
f x ? ax ? m e ax ? l n x f x ? 0
7 ． 设 函 数 ? ? ? ? ? ? （ 其 中 为 自 然 对 数 的 底 数 ） ， 若 存 在 实 数 a 使 得 ? ? 恒 成 立 ， 则 实 数 m
的 取 值 范 围 是 （ ）
1 1 1
? ? ? ? ? ?
2
, ? ? , ? ? e , ? ? ? ? ,
A ． B ． C ． ? ? D ．
? ? ? ? ? ?
2 2
e e e
? ? ? ? ? ?
8 ． 如 图 ， 在 三 棱 锥 S ? A B C 中 ， S A ? S C ? A C ? 2 2 , A B ? B C ? 2 ， 二 面 角 S ? A C ? B 的 正 切 值 是 ， 则 三 棱 锥
2
S ? A B C 外 接 球 的 表 面 积 是 （ ）
4 3
A ． 1 2 π B． 4 π C ． D ．
4 3 π π
3
二 、 多 选 题 （ 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 题 5 分 ， 共 20 分 ）
试 卷 第 1 页 ， 共 4 页
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9 ． 已 知 向 量 a ? ( 1 , 3 ) , b ? ( 2 , ? 4) ， 则 下 列 结 论 正 确 的 是 （ ）
? ? ? ? ? ? ?
? ?
3 ?
?
A ． ( a ? b ) ? a B． | 2 a ? b | ? 1 0 C． 向 量 a , b 的 夹 角 为 D ． 在 方 向 上 的 投 影 向 量 是
b a 1 0 a
4
a n S n T 0 ? a ? 1 a ? a ? 1 a ? 1 a ? 1 ? 0
1 0 ． 设 等 比 数 列 ? ? 的 前 项 和 为 ， 前 项 积 为 ， 若 满 足 ， ， ? ? ? ? ， 则 下
n n n 1 7 4 0 4 0 2 0 2 3 2 0 2 4
列 选 项 正 确 的 是 （ ）
a S ? 1 ? S
A ． ? ? 为 递 减 数 列 B ．
2 0 2 3 2 0 2 4
n
T T ? 1 n
C ． 当 n ? 2 0 2 3 时 ， 最 小 D ． 当 时 ， 的 最 小 值 为 4 0 4 7
n n
f x ? c o s 2 x ? 2 s i n x
1 1 ． 已 知 函 数 ? ? ， 则 （ ）
? ?
? ? ?
f x , x ? f x
? ? ? ?
A ． 函 数 在 区 间 上 单 调 递 增 B． 直 线 是 函 数 图 象 的 一 条 对 称 轴
? ?
2
6 2
? ?
3
? ?
f ? x ? 1 , f ? x ? ? a x ? ? 0 , 2 π ? 8 π
C ． 函 数 的 值 域 为 D ． 方 程 ? ? 最 多 有 8 个 根 ， 且 这 些 根 之 和 为
? ?
2
? ?
2
2
y
l : y ? k x ? 2
1 2 ． 已 知 直 线 ? ? 交 轴 于 点 P ， 圆 M : ? x ? 2 ? ? y ? 1 ， 过 点 P 作 圆 M 的 两 条 切 线 ， 切 点 分 别 为 A ， B ，
直 线 A B 与 交 于 点 C ， 则 （ ）
M P
15
k ? 2
A ． 若 直 线 l 与 圆 M 相 切 ， 则 k ? ? B． 当 时 ， 四 边 形 P A M B 的 面 积 为 2 19
15
7
? ?
C Q
Q , 0
C ． 直 线 A B 经 过 一 定 点 D ． 已 知 点 ， 则 为 定 值
? ?
4
? ?
三 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 4 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 ）
1 3 ． 在 数 学 中 ， 有 一 个 被 称 为 自 然 常 数 （ 又 叫 欧 拉 数 ） 的 常 数 e ? 2 . 7 1 8 2 8 ． 小 明 在 设 置 银 行 卡 的 数 字 密 码 时 ， 打 算
将 自 然 常 数 的 前 6 位 数 字 2 ， 7 ， 1 ， 8 ， 2 ， 8 进 行 某 种 排 列 得 到 密 码 ． 如 果 排 列 时 要 求 两 个 2 相 邻 ， 两 个 8 不 相 邻 ，
那 么 小 明 可 以 设 置 的 不 同 密 码 共 有 个 ．
1
x
a ?
f x ? x ? a e 0 , f 0 y ? ? x
1 4 ． 曲 线 ? ? ? ? 在 点 ? ? ? ? 处 的 切 线 与 直 线 垂 直 ， 则 .
2
1 5 ． 底 面 A B C D 为 菱 形 且 侧 棱 A E ? 底 面 A B C D 的 四 棱 柱 被 一 平 面 截 取 后 得 到 如 图 所 示 的
几 何 体 . 若 D A ? D H ? D B ? 4 ， A E ? C G ? 3 . 则 三 棱 锥 F ? B E G 的 体 积 为
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
x x ? 1 x
x l : y ? a
1 6 ． 设 a ? 0 ， 平 行 于 轴 的 直 线 分 别 与 函 数 y ? 2 和 y ? 2 的 图 像 交 于 点 A ， B ， 若 函 数 y ? 2 的 图 像 上
a ?
存 在 点 C ， 满 足 ? A B C 为 等 边 三 角 形 ， 则 ．
四 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 70 分 ）
试 卷 第 2 页 ， 共 4 页
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3
1 7 ． 已 知 △ A B C 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 若 △ A B C 的 面 积 为 ， 且 c > b ．
A B ? A C ? ? 1
2
(1 ) 求 角 A 的 大 小 ；
3
(2 )设 M 为 B C 的 中 点 ， 且 A M ? ， 求 a 的 长 度 ．
2
1 8 ． 某 工 艺 品 加 工 厂 加 工 某 工 艺 品 需 要 经 过 a ， b ， c 三 道 工 序 ， 且 每 道 工 序 的 加 工 都 相 互 独 立， 三 道 工 序 加 工 合 格
3
1 1
率 分 别 为 ， ， ． 三 道 工 序 都 合 格 的 工 艺 品 为 特 等 品； 恰 有 两 道 工 序 合 格 的 工 艺 品 为 一 等 品 ； 恰 有 一 道 工 序 合
2 2
4
格 的 工 艺 品 为 二 等 品 ； 其 余 为 废 品 ．
(1 ) 求 加 工 一 件 工 艺 品 不 是 废 品 的 概 率 ；
(2 ) 若 每 个 工 艺 品 为 特 等 品 可 获 利 3 0 0 元 ， 一 等 品 可 获 利 1 0 0 元 ， 二 等 品 将 使 工 厂 亏 损 2 0 元 ， 废 品 将 使 工 厂 亏 损 1 0 0
元 ， 记 一 件 工 艺 品 经 过 三 道 工 序 后 最 终 获 利 X 元 ， 求 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望 ．
1 9 ． 在 图 1 中 ， ? A B C 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， ∠ B=9 0 ° ， ， ? A C D 为 等 边 三 角 形 ， O 为 A C 边 的 中 点 ， E 在
A B ? 2 2
E C ? 2 B E ? A C D
B C 边 上 ， 且 ， 沿 A C 将 进 行 折 叠 ， 使 点 D 运 动 到 点 F 的 位 置 ， 如 图 2 ， 连 接 F O ， F B ， F E ， 使 得
F B ? 4 ．
(1 ) 证 明 ： F O ? 平 面 A B C ．
(2 ) 求 二 面 角 E ? F A ? C 的 余 弦 值 ．
2
A A ? A A a a ? 9 a , a
2 0 ． 若 数 列 ? ? 满 足 ， 则 称 数 列 ? ? 为 “ 平 方 递 推 数 列 ” ． 已 知 数 列 ? ? 中 ， ， 点 ? ? 在 函 数
n n ? 1 n n n 1 n n ? 1
2
f ( x ) ? x ? 2 x 的 图 象 上 ， 其 中 n 为 正 整 数 ，
a ? 1 l g a ? 1
(1 )证 明 ： 数 列 ? ? 是 “ 平 方 递 推 数 列 ” ， 且 数 列 ? ? ? ? 为 等 比 数 列 ；
n n
? a , a ? b ,
b ? l g a ? 1 , c ? 2 n ? 4 a b ? d ? b c d S
(2 )设 ? ? ， 定 义 ， 且 记 ， 求 数 列 ? ? 的 前 n 项 和 ．
?
n n n n n n n n
b , a ? b ,
?
试 卷 第 3 页 ， 共 4 页
{#{QQABJQKEggioABAAAAgCEwHgCEOQkACCCAoGhAAEoAIAQAFABAA=}#}2 2
x y
B 0 , b A F ? 1
2 1 ． 已 知 双 曲 线 的 右 焦 点 ， 右 顶 点 分 别 为 F ， A ， ? ? ， ， 点 M 在 线 段 A B 上 ，
C : ? ? 1 ? a ? 0 , b ? 0 ?
2 2
a b
B M ? 3 M A O M
且 满 足 ， 直 线 的 斜 率 为 1 ， O 为 坐 标 原 点 .
(1 ) 求 双 曲 线 C 的 方 程 .
Q x
l P
(2 ) 过 点 F 的 直 线 与 双 曲 线 C 的 右 支 相 交 于 ， 两 点 ， 在 轴 上 是 否 存 在 与 F 不 同 的 定 点 E ， 使 得
E P ? F Q ? E Q ? F P
恒 成 立 ？ 若 存 在 ， 求 出 点 E 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .
1
? ?
f x ? l n x ? a x ?
? ? a ? 0
2 2 ． 已 知 函 数 ， .
? ?
x
? ?
f ? x ?
(1 )讨 论 极 值 点 的 个 数 ；
f x t , t , t t ? t ? t x , x x ? x
(2 )若 ? ? 恰 有 三 个 零 点 ? ? 和 两 个 极 值 点 ? ? .
1 2 3 1 2 3 1 2 1 2
f x ? f x ? 0
（ ⅰ ） 证 明 ： ? ? ? ? ；
1 2
? m
1 ? m e
? ?
m ? n
（ ⅱ ） 若 ， 且 m l n m ? n l n n ， 证 明 ： ? n ? l n n ? 1 ? .
t t t
1 2 3
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