2023 江苏省南通市如皋市九月诊断
数学试题
注 意事 项：
1.答 卷前 ，考生 务必 将自 己的 姓名 ? 准考 证号填 写在 答题卡 上.
2.回 答选 择题时 ，选 出每 小题 答案后 ，用 铅笔把 答题 卡对应 题目 的答案 标号 涂黑； 如需 改
动 ，用 橡皮擦 干净 后，再 选涂 其他答 案标 号. 回 答非 选择题 时， 将答案 写在 答题卡 上， 写在试
卷上无效.
3.考 试结 束后， 本试 卷和 答题 卡一并 交回.
一 ?单 项选择 题： 本题共 8 小 题，每 小题 5 分， 共 40 分. 在每 小题 给出 的四 个选项 中， 只有一
项 是符 合题目 要求 的.
2 2 22
M= x∣∣ x? 2 mx? 3 m≤ 0, N= x x+? mx 2 m≤ 0
{ } { }
ba ?
1. 已知 集合 ，定义 叫 做集合
xa ∣ ≤≤ x b
{ }
MN ∩ MN ∪
的长度 ，若 集合 的 长度为 4，则 的 长度 为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 10
4 32
abc ,,, d ,, em , n ∈ R
2. 设 z = mn + i 是 方程 的一个 复数 根 ，这里 .则下 列各 数
az + i bz + cz + i0 dz+= e
一定是 方程 的根 的是 （ ）.
A. B. C. D.
mn ? i ?+ mn i nm + i 1i ? mn +
222
a () abc ++
3. 设 a ，b ，c 为 正数 ，且 ，则 的最大 值为 （ ）
abc ++= 1
3 2
31 + 21 +
A. B. C. D.
2 2 2 2
5 π 5π
π ?? ??
fx () ω
4. fx ( ) = sin(ω x +φ ) ( ω > 0) f () =1 f π = 0 ,
已知 满足 ， 且 在 上 单调， 则 的最大
?? ??
3 46
4
?? ??
值为（ ）
12 18 6 30
A. B. C. D.
7 17 17 17
5. 15 个 人围 坐在 圆桌 旁，从 中 任取 4 人， 他们 两两互 不 相邻 的概 率是 （ ）
30 25 15 10
A. B. C. D.
91 91 91 91
22
6. 数学 中有 许多 形状 优美、 寓 意美 好的 曲线 ，曲线 C ： x+= y 1| + x | y 就是 其中 之一 （如 图）.给 出下
列三个 结论 ：
①曲线 C 恰好 经过 6 个整 点（即 横、 纵坐 标均 为整 数的点 ） ；
C
②曲线 上任 意一 点到 原点 的 距离 都不 超过 ；
2
③曲线 C 所围 成的“ 心形”区 域的 面积 小于 3.
其中， 所有 正确 结论 的序 号是
A. ① B. ② C. ①② D. ① ②③
nn ?1
a a ? tn n S SS ≤
7. 已知 数列 { } 满足 a +22 a + ??? + an = ?2 ，记 数 列 { } 的 前 项 和为 ，若 对 任意
n n n 10
12 n n
t
的 恒 成立 ，则 实数 的取值 范围是 （ ）
n ∈ N
12 11 12 11 11 10 11 10
?? ?? ?? ??
, , , ,
A. B. C. D.
? ??
?? ? ??
11 10 11 10 10 9 10 9
?? ?? ?? ??
2
e
8. 已知 ，则（ ）
a = 2 2?= 2,bc ,= ln2
7
A. abc >> B. bac >>
C. D. bc >> a
c>> ab
4 5 20 .
二 ?多 项选择 题： 本题共 小 题，每 小题 分， 共 分 在每 小题 给出 的四 个选项 中， 有多项
符 合题 目要求.全部 选对 的得 5 分， 部分 选对的 得 2 分，有 选错 的得 0 分.
9. 已知 正四 面体 P ? ABC 的棱长 为 2，下 列说 法正 确的 是（ ）
A. 正四 面体 P ? ABC 的外 接球 表面 积为6 π
B.
正四 面体 P ? ABC 内任意 一点 到 四个面 的距 离之 和为 定值
1
C. 正四 面体 P ? ABC 的相邻 两个 面 所成二 面角 的正 弦值 为
3
Q ? MNG Q ? MNG
D. 正四 面体 在 正四 面体 P ? ABC 的内部， 且可 以任 意转 动， 则正四 面体 的体 积最
22
大值为
81
nn ≥ 2 n
10. 历史 上著 名的 伯努 利错 排 问题 指的 是： 一 个人有 ( ) 封 不同 的信， 投入 个对 应的不 同的 信箱 ， 他把每封 信都 投错 了信 箱 ， 投错的 方法 数为 a . 例如 两封 信都投 错有 a =1 种 方法， 三封信 都 投错 有 a = 2 种
n 2 3
a= na+ a n≥ 3 .
方法，通过推理可得： ( ) ( ) 高等数学给出了泰勒公式：
n+? 11 nn
23 n
xx x
x
e = 1++ x + +?? + + ，则下 列说 法正 确的 是（ ）
2! 3! n!
a = 9
A.
4
a?+ n 2 a
B. { ( ) } 为等比 数列
nn ++ 21
23 n
a (?? 1) ( 1) (? 1)
n
C.
= + + ?+ (n≥ 2 )
nn ! 2! 3! !
1
D. 信 封均 被投 错的 概率 大于
e
11. 下 述正 确的 是（ ）
A. ，则 xx 10 ? 的最大 值是 25
若 x ∈ R ( )
2
? x+? x 4
B. 若 x > 0 ，则 的 最大 值是
?3
x
π 4
??
x ∈ 0,
C. 若 ，则sinx + 的 最小 值是 4
?
?
2 sinx
??
π 9 24
??
x ∈ 0,
D. 若 ，则 +? 的最小 值是 12
??
22
2 sin x cos xx cos
??
12. 平 面内 到两 定点 距离 之积为 常数 的点 的轨 迹称 为卡西 尼卵 形线 ，它 是 1675 年卡 西尼 在研 究土 星及其 卫
xOy 中， M ( ?2, 0) ， N(2, 0) ， 动点 P 满足
星的运 行规 律时 发现 的， 已知在 平面 直角 坐标 系
| PM ||?= PN | 5
，则下 列结 论正 确的 是（ ）
??
? 5, 5
A. 点 P 的横坐 标的 取值 范围 是
??
OP 1, 3
B. 的取值 范围 是 [ ]
5
C. 面积的 最大 值为
?PMN
2
??
D. PM + PN 的取 值范 围是 2 5,5
??
三 ?填 空题： 本题 共 4 小 题， 每小题 5 分 ，共 20 分.
a
13. 设等 比数 列 { } 满足 a +a =10 ，a +a =5 ，则 a a …a 的 最大 值为___________ ．
1 3 2 4 1 2 n
nn n 2
14. 已知 的展开 式的 二项 式系数 和 为 128 ，若
( xy + ) (23 x + ) = a +ax ( +2 ) +a ( x +2 ) + ??? +
01 2
n
aa += ________
ax + 2 ，则 ．
( )
12
n
?
xOy
15. 已知 平面 直角 坐标 系 中向量 的旋 转和 复数 有关 ，对于 任意 向量 x = (ab , ) ， 对应 复数 z = ab + i ，
?
z ′= ab+= i cosθθ+ isin a cosθ?
向量 逆时针 旋转 一个 角度 θ ，得到 复数 ( ) ( )
x
??
′
b sinθ++ i (a sinθθ b cos ) ，于是 对应 向量 xa= cosθ?+ b sinθθ , a sin b cosθ ．这 就是 向量的 旋转 公
( )
的两个 顶点坐 标是 AB (1,4 ), (3,2 ) ，根 据此 公式 ，求得 点 的坐标 是
式．已 知正 三角 形 ABC C
_______． （任 写一 个即 可）
f ( a ) ? fb ()
fx ()
[, ab ] xx , a<< x x< b ′′
16. 定义 ：如 果函 数 在 上存在 ( ) ，满足 fx = fx = ，
( ) ( )
12 1 2 12
ab ?
fx ()
则称数x ， x 为[, ab ] 上的“对望 数” ，函数 为[, ab ] 上的“ 对望 函数” ，给出 下列 四个 命题 ：
2
1
2
1 在 任意 区间[, ab ] 上都 不可 能是“ 对望 函数” ；
（ ）二 次函 数 f () x= x++ mx n
1
32
[0,2]
2 fx ()= x?+ x 2 “ ”
（ ）函 数 是 上的 对望 函数 ；
3
ππ 11
??
3 fx ( ) = x + sin x , 的“ ”
（ ）函 数 是 上 对望 函数 ；
??
66
??
fx () fx ()
4 [, ab ] “ ” [, ab ]
（ ） 为 上的 对望 函数 ，则 在 上不单 调；
其中正 确命 题的 序号 为__________(填上 所有 正确 命题 的 序号)
四 ?解 答题： 本题 共 6 小题，共 70 分.请在 答题 卡指 定区域 内作 答，解 答时 应写出 文字 说明 ?
证 明过 程或演 算步 骤.
2bc ? cosC
A ,, BC abc ,,
17. 在 ?ABC 中 ，角 所对的 边分 别为 .已知 ab = 3, = 2, = .
aA cos
（1） 求角 ；
A
2 cos 3BC + .
（ ） 求 ( ) 的值
1 1
?
a S a =1 na = 2S b b =
18. 已知 数列 { } 的前 n 项和为 ， ，且 ，数列 { } 满足b = ， ， ，
?∈ n N
n n 1 nn +1 n 2
1
4
2
2
都有b = bb ．
n+ 12 nn+
b
（1）求 数列 {a } 、 { } 的 通项 公式；
n n
n
?
T = ab λλ nT+ 2 b S>+ 2 n 3 b
（2） 设 ， ， ( ) 恒 成 立， 求实数 λ 的取 值范 围．
?∈ n N
∑
n ii n nn n
i =1PA //DQ
19. 已知 底面 是 正 方形， 平面 ， ， PA = AD = 33 DQ = ，点 、 分别为
ABCD PA ⊥ ABCD E F
CQ
线段 PB 、 的中 点．
PADQ
（1）求 证： EF // 平面 ；
PM
42
PCQ
（2） 线段 PC 上是 否存 在点 M ，使 得 直线 与平面 所成 角的 正弦值 是 ，若存 在求 出
AM
MC
7
的值， 若不 存在 ，说 明理 由．
20.
为 丰富 学生 课外 生活 ，某市 组织 了高 中生 钢笔 书法比 赛， 比赛 分两 个阶 段进行 ：第 一阶 段由 评委 为所
有参赛 作品 评分 ，并 确定 优胜者 ；第 二阶 段为 附加 赛，参 赛人 员及 获奖 情况 由组委 会按 规则 另行 确定 ，数
频率
[75,100)
据统计 员对 第一 阶段 的 分数 进行了 统计 分析 ，这 些分 数 X 都在 区间 内，记 = Y ，以 5 为组
组距
频率
距得出 的分 布如 下：
组距
X [75,80) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100)
7 19
Y
150 300
1 k
?
5nX ≤< 5(n+ 1)
当85≤< X 100 时 ，若 ，其中 ，则Y = ? .
nn ≥∈ 17, N
15 20 ? n
1 k
（ ） 求 的 值；
2 85 [95,100)
（ ）组 委会 确定 ：在 第一阶 段 比赛 中低于 分 的学 生无缘 获奖 也不 能参 加附 加赛； 分数 在 内的
1
[90,95)
学生评 为一 等奖 ；分 数在 内的学 生评 为二 等奖 ，且 通过附 加赛 每人 有 的概率 提升为 一等 奖； 分
11
1
[85,90)
数在 内的学 生评 为三 等奖 ，且通 过附 加赛 每人 有 的概率提 升为 二等 奖（ 所有 参加附 加赛 的获 奖
7
.
学生均 不降 低获 奖等 级， 且附加 赛获 奖等 级在 第一 阶段获 奖等 级基 础上 ，最 多升高 一级 ） 设 参加 附加赛 的
学生获 奖提 升情 况互 相独 立.在所 有最 初参 赛学 生中随 机 选择 一名 学生 A.
①求 学生 A 最终 能获 得一 等奖的 概率 ； B A B .
②已 知学生 在第 一阶 段获 得 二等 奖， 求学生 最终 获 奖等 级不 低于 学生 最终获 奖等 级的 概率
22
xy 3
21. A B
已知 椭圆 + = 10 ab >> 的离心 率为 ， 左 、右 顶点 分别为 ， ，上顶 点为 D ， 坐标 原点
( )
22
ab 2
25
.
O 到直线 AD 的距 离为
5
（1）求 椭圆 的方 程；
AQ Q ?BPQ
（2） 过 A 点作 两条 互相 垂直 的 直线 AP ， 与 椭圆 交于 ， 两点， 求 面积的 最大 值.
P
x
22. fx = e sinx ? x .
已知 函数 ( )
1 y = fx 0, f 0
（ ）求 曲线 ( ) 在点 ( ( ) ) 处的切 线 方程；
π
（2）证 明： ln π?< ln3 .
6
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