圆锥曲线的基本公式推导
圆锥曲线的几大大题特征公式：焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线
方程圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。
本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解
法。
【基础知识 1：切线方程、极线方程】
2 2
【1-0】公式小结：x 换成 xx ，y 换成 yy ，x 换成(x+x )/2,y换成(y+y )/2.
0 0 0 0
【1-1】 椭圆的切线方程 ：
2 2
xx yy
x y 0 0
①椭圆 上一点 P(x , y )处的切线方程是 ? ? 1。
? ? 1
0 0
2 2
2 2
a b a b
2 2
xx yy
x y 0 0
②过椭圆 外一点 P(x , y )所引两条切线的切点弦方程是 ? ? 1。
? ? 1
0 0 2 2
2 2
a b a b
2 2
2 2 2 2 2
x y
③椭圆 与直线 Ax ? Bx ? C ? 0相切的条件是 A a ? B b ? C ? 0
? ? 1
2 2
a b
(也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0 的充要条件)
【1-2】双曲线的切线方程：
2 2
xx yy
x y 0 0
①双曲线 上一点 P(x , y )处的切线方程是 ? ? 1。
? ? 1
0 0
2 2
2 2
a b
a b
2 2
xx yy
x y 0 0
②过椭圆 外一点 P(x , y )所引两条切线的切点弦方程是 ? ? 1。
? ? 1
0 0
2 2
2 2
a b a b
2 2
x y 2 2 2 2 2
③椭圆 与直线 Ax ? Bx ? C ? 0相切的条件是 A a ? B b ? C ? 0
? ? 1
2 2
a b
【1-3】抛物线的切线方程：
2
物线 y ? 2 px 上一点 P(x , y )处的切线方程是 yy ? 2 p(x ? x )
0 0 0 0
2
②过抛物线 y ? 2 px 外一点 处所引两条切线是 yy ? 2 p(x ? x )
0 0
2 2
③抛物线 y ? 2 px 与直线 Ax ? Bx ? C ? 0相切的条件是 pB ? 2AC
【1-4】 基础知识的证明：
【公式一：曲线 C 上切点公式证明】
1、第 1种证明思路：过曲线上一点的切线方程
设曲线 C 上某一点处 P(x , y )的 切 线 方 程 为 y ? y ? k(x ? x ) , 联立方程，令
0 0 0 0
2 2
xx yy (x ) ( y )
0 0 0 0
? ? 0 ,得到 k 的表达式，再代入原始式，最后得切线方程式 ? ? ? ? 1
2 2 2 2
a b a b
（注: k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下）
2、第 2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样)
(x , y ) (x , y ) (x , y )
证明：设某直线与曲线 C 交于 M、N两点坐标分别为 、 ，中点 P
1 1 0 0
2 22 2
?
x y
1 1
? ? 1,??(1)
? 2 2 2 2
2 2
x ? x y ? y
? a b
1 2 1 2
则有 ? (1) ? (2)，得 ? ? 0.
?
2 2
2 2
a b
x y
?
2 2
? ? 1.??(2)
2 2
?
? a b
2
y ? y y ? y y ? y y ? y 2 y y
b
2 1 2 1 2 1 1 2 0 0
? ? ? ? 又? k ? , ? ? .
MN
2
x ? x x ? x a x ? x x ? x 2x x
2 1 2 1 2 1 1 2 0 0
2 2
y b y b
0 0
?k ? ? ? (弦中点公式的椭圆基本表达式。双曲线则是 k ? ? )
MN MN
2 2
x a x a
0 0
2
b x
0
当 M、N无限趋近时，P在椭圆 C 上。即得切线斜率 k ? ? ?
2
a y
0
3、第三种证明思路(注意：仅供理解，考试使用可能分
证明：由 2（圆锥曲线切线证明）（同一目录下文章）可知圆上一点的切线方程。
坐标变幻，令x '' ? a ? x, y ''=b ? y ,
2 2
? x ''? ? y ''?
2 2
因为圆方程为x +y ? 1,从而得到变形后椭圆表达式 ? ? 1
2 2
a b
x '' x '' y '' y ''
0 0
因为圆切线方程为xx +yy ? 1从而得到椭圆切线方程 ? ? 1
0 0
2 2
a b
附言：第 1 种证明思路中，抛物线证明过程中稍微有些不同。③
①切线斜率可用导数表示。
2 2
②得到式子后，要利用 y ? 2 px 把 y 消去。
0 0
【公式二：曲线外一点引切线，过切点作直线的通式证明】(称为极线方程)
证明思路：过 P(x , y )作两条曲线 C 的切线，切点为 A (x , y )，B (x , y )。
0 0 1 1 2 2
Ax ? By ? C ? 0
?
1 1
? 。所以 ?过 A、B两点直线 l 方程为 Ax ? Bx ? C ? 0
?
AB
Ax ? By ? C ? 0
? 2 2
证明(就举椭圆为例)
(x , y ) (x , y )
解：过 P(x , y )作两条曲线 C 的切线，切点为 A ，B 。
1 1
0 0 2 2
xx yy xx yy
1 1 2 2
过 A点切线: ? ? 1，过 B点切线： ? ? 1。
2 2 2 2
a b a b
xx yy
0 0
?过 A、B两点直线 l 方程为 ? ? 1
AB
2 2
a b【公式三：由公式一的思路可得】
【基础知识 2：焦半径与准线】(具体关系与内容省略，详情看圆锥曲线知识表格)
【1-0】
【1-1】焦半径公式(具体推导用“两点间距离公式”也可解决，之后类似“求长度”的题型，
求长度式子写“两点间举例公式”，结果可以直接靠背。对于焦半径 PF，
口诀：椭圆 F 左加右减。 a ? ex (记忆： a大则在前)
双曲线 F 左加右减，双曲线上点 P左减右加。 ? ex ? a
2
a
焦半径与点到准线距离关系如下。即( a ? ex )/e= ? x ?准线距离
c
推广应用:
通过 m, n比例 ? e的值 ? cos? 的值 ? tan? ? k 的值
m ? n 1
巧用公式 cos? ? ? (注：双曲线交于同侧、抛物线类似)
m ? n e
m ? n 1
不过需要注意的是，双曲线交于异侧时，公式就变为 cos? ? ? ，具体自己推导吧
m ? n e
【基础知识 3：弦中点公式及系列类似结论拓展】(坐标变幻只能用于证明部分内容)
【结论一：弦中点公式】
【证明】：设某直线与曲线 C 交于 M、 N两点坐标分别为 (x , y )、 (x , y )，中点 P (x , y )
1 1 2 2 0 02 2
?
x y
1 1
? ? 1,??(1)
? 2 2 2 2
2 2
x ? x y ? y
? a b
1 2 1 2
则有 ? (1) ? (2)，得 ? ? 0.
?
2 2
2 2
a b
x y
?
2 2
? ? 1.??(2)
2 2
?
? a b
2
y ? y y ? y y ? y y ? y 2 y y
b
2 1 2 1 2 1 1 2 0 0
? ? ? ? 又? k ? , ? ? .
MN
2
x ? x x ? x a x ? x x ? x 2x x
2 1 2 1 2 1 1 2 0 0
2
y b
0
?即k ? ? k ? k ? ? (常用)
MN MN OP
2
x a
0
结论：斜率不变的直线与椭圆交于两点，所得两点中点的轨迹是一条过原点的直线。
【抽象理解型证明】
具体理解，可以用“坐标系变幻理解”
证明：设某斜率为定值 k 的直线与曲线 C 交于 M、N 两点坐标分别为 (x , y )、 (x , y )，
1 1 2 2
中点 P (x , y )
0 0
2 2
x y
2 2
? ? 1，令 x ? a ? x '', y=b ? y '' ? (x '') + (y '') ? 1。
2 2
a b
∵变幻后， x轴缩短a倍，y轴缩短b倍 ，得到中点轨迹方程始终与 MN垂直
?y b?y '' b
'' ''
?k ? k ? ?1 又?k ? ? ? ? k ''
OP MN
?x a?x '' a
2
b b b
'' ''
?k ? k ? k ? k ? ?
OP MN OP MN
2
a a a
【结论二：顶点连线斜率乘积公式】(用坐标变幻好理解)(部分设元会用它比较方便) 2
b
k ? k ? ? ,具体证明见下面的“拓展性证明” ,若要抽象理解的话坐标变幻后两个垂直，
AP BP 2
a
2
b
证明方法和上面一样。至于双曲线，则是 k ? k ? 。结论可以直接背，不过引用的时
AP BP
2
a
候还得按照下面的方法老实推导。
【结论三：（上一结论的延伸）对称点连线斜率乘积公式】(没法用坐标变幻)
证明：不建议设直线，直接设两个元最后消元即可(此处只列椭圆的，双曲线的证明类似)
A (m, n)、B (?m,?n)在椭圆上，且关于原点对称。
2 2
?
x y
1 1
? ? 1,??(1)
? 2 2 2
2 2
? y ? n b
a b
则有 ? (1) ? (2)，得 ? ?
?
2 2 2
2 2
x ? m a
m n
?
? ? 1.??(2)
2 2
?
? a b
2 2 2
y ? n y ? n y ? n b
∴k ? k = ? = ? ?
AP BP
2 2 2
x ? m x ? m x ? m a |
|
