求数列通项公式的十一种方法
一、累加法
1．适用于： a ? a ? f (n) ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
n?1 n
2．若 a ? a ? f (n) (n ? 2)，则
n?1 n
a ? a ? f (1)
2 1
a ? a ? f (2)
3 2
? ?
a ? a ? f (n)
n?1 n
n
两边分别相加得 a ? a ? f (n)
n?1 1 ?
k ?1
例 1 已知数列{a }满足 a ? a ? 2n ?1，a ?1，求数列{a }的通项公式。
n n?1 n 1 n
解：由 a ? a ? 2n ?1得 a ? a ? 2n ?1则
n?1 n n?1 n
a ? (a ? a ) ? (a ? a ) ??? (a ? a ) ? (a ? a ) ? a
n n n?1 n?1 n?2 3 2 2 1 1
? [2(n ?1) ?1]?[2(n ? 2) ?1]??? (2? 2 ?1) ? (2?1?1) ?1
? 2[(n ?1) ? (n ? 2) ??? 2 ?1]? (n ?1) ?1
(n ?1)n
? 2 ? (n ?1) ?1
2
? (n ?1)(n ?1) ?1
2
? n
2
所以数列{a }的通项公式为 a ? n 。
n n
n
例 2 已知数列{a }满足 a ? a ? 2?3 ?1，a ? 3，求数列{a }的通项公式。
n n?1 n 1 n
n n
解法一：由 a ? a ? 2?3 ?1得 a ? a ? 2?3 ?1则
n?1 n n?1 na ? (a ? a ) ? (a ? a ) ??? (a ? a ) ? (a ? a ) ? a
n n n?1 n?1 n?2 3 2 2 1 1
n?1 n?2 2 1
? (2?3 ?1) ? (2?3 ?1) ??? (2?3 ?1) ? (2?3 ?1) ? 3
n?1 n?2 2 1
? 2(3 ? 3 ??? 3 ? 3 ) ? (n ?1) ? 3
n?1
3(1? 3 )
? 2 ? (n ?1) ? 3
1? 3
n
? 3 ? 3? n ?1? 3
n
? 3 ? n ?1
n
所以 a ? 3 ? n ?1.
n
a a 2 1
n n?1
n?1 n
解法二： a ? 3a ? 2?3 ?1两边除以3 ，得 ? ? ? ，
n?1 n
n?1 n n?1
3 3 3 3
a a 2 1
n?1 n
则 ? ? ? ，故
n?1 n n?1
3 3 3 3
a a a a a a a a a a
n n n?1 n?1 n?2 n?2 n?3 2 1 1
? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) ?
n n n?2 n?2 n?3 2 1
3 3 a a 3 3 3 3 3 3
n?1 n?1
2 1 2 1 2 1 2 1 3
? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) ?
n n?1 n?2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
2(n ?1) 1 1 1 1 1
? ? ( ? ? ? ??? ) ?1
n n n?1 n?2 2
3 3 3 3 3 3
1
n?1
(1? 3 )
n
a 2(n ?1) 2n 1 1
n 3
因此 ? ? ?1 ? ? ? ，
n n
3 3 1? 3 3 2 2?3
2 1 1
n n
则 a ? ? n?3 ? ?3 ? .
n
3 2 2
练 习 1. 已 知 数 列 a 的 首 项 为 1 ， 且 a ? a ? 2n(n ? N )写 出 数 列 a 的 通 项 公 式 .
? ? ? ?
n n?1 n n
2
答案： n ? n ?1
1
练 习 2. 已 知 数 列 {a }满 足 a ? 3， a ? a ? (n ? 2)， 求 此 数 列 的 通 项 公 式 .
n 1 n n?1
n(n ?1)
1
答案：裂项求和 a ? 2 ?
n
n
评注：已知 a ? a , a ? a ? f (n)，其中 f(n)可以是关于 n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通
1 n?1 n
a
n
项 . ①若 f(n)是关于 n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
②若 f(n)是关于 n的二次函数，累加后可分组求和;
③若 f(n)是关于 n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
④若 f(n)是关于 n的分式函数，累加后可裂项求和。
1 n
例 3.已知数列{a }中, a ? 0且 S ? (a ? ) ,求数列{a }的通项公式.
n n n n n
2 a
n
1 n 1 n
解:由已知 S ? (a ? )得 S ? (S ? S ? ) ,
n n n n n?1
2 a 2 S ? S
n n n?1
2 2 2 2
化简有 S ? S ? n ,由类型(1)有 S ? S ? 2 ? 3 ??? n ,
n n?1 n 1
n(n ?1) 2n(n ?1)
2
又 S ? a 得 a ?1,所以 S ? ,又 a ? 0 , s ? ,
1 1 1 n n n
2 2
2n(n ?1) ? 2n(n ?1)
则 a ?
n
2
此题也可以用数学归纳法来求解.
二、累乘法
1.适用于： a ? f (n)a ----------这是广义的等比数列
n?1 n
累乘法是最基本的二个方法之二。
a a a a
n?1 2 3 n?1
2．若 ? f (n)，则 ? f (1)， ? f (2)， ??， ? f (n)
a a a a
n 1 2 n
n
a
n?1
两边分别相乘得， ? a ? f (k)
1 ?
a
k ?1
1
n
例 4 已知数列{a }满足 a ? 2(n ?1)5 ? a，a ? 3，求数列{a }的通项公式。
n n?1 n 1 n
a
n n
n?1
解：因为 a ? 2(n ?1)5 ? a，a ? 3，所以 a ? 0，则 ? 2(n ?1)5 ，故
n?1 n 1 n
a
n
原卷及解析见：新高考资料全科总群 732599440；高考数学高中数学探究群 562298495 word版见：高考高中资料无水印无广告 word群 559164877
a a a a
n n?1 3 2
a ? ? ??? ? ?a
n 1
a a a a
n?1 n?2 2 1
n?1 n?2 2 1
? [2(n ?1?1)5 ][2(n ? 2 ?1)5 ]???[2(2 ?1)?5 ][2(1?1)?5 ]?3
n?1 (n?1)?(n?2)???2?1
? 2 [n(n ?1)???3? 2]?5 ?3
n(n?1)
n?1
2
? 3? 2 ?5 ? n!
n(n?1)
n?1
2
所以数列{a }的通项公式为 a ? 3? 2 ?5 ? n!.
n n
2 2
a
n n
?a ?
例 5.设 是首项为 1的正项数列，且 ?n ?1?a ? na ? a a ? 0（ =1，2， 3，…），则它的通项公式是
n n?1 n n?1 n
=________.
解：已知等式可化为： (a ? a )?(n ?1)a ? na ?? 0
n?1 n n?1 n
a n
n?1
n? N
? ?
a ? 0 ( ) (n+1) a ? na ? 0 , 即 ?
n n?1 n
a n ?1
n
a n ?1
n
n ? 2
?
时， ?
a n
n?1
a a a n ?1 n ? 2 1 1
n n?1 2
?
a ? ? ??? ?a = ? ?? ?1 = .
n 1
a a a n n ?1 2 n
n?1 n?2 1
评注：本题是关于 a 和 a 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到 a 与 a 的更为明
n n?1 n n?1
显的关系式，从而求出 a .
n
练习.已知 a ? na ? n ?1,a ? ?1 ,求数列{an}的通项公式.
n?1 n 1
答案： a ? (n ?1)!?(a ?1) -1.
n 1
评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式 a ? na ? n ?1,转化为
n?1 n
a ?1 ? n(a ?1),若令b ? a ?1,则问题进一步转化为b ? nb 形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.
n?1 n n n n?1 n
三、待定系数法 适用于 a ? qa ? f (n)
n?1 n
基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
原卷及解析见：新高考资料全科总群 732599440；高考数学高中数学探究群 562298495 word版见：高考高中资料无水印无广告 word群 559164877
1．形如 a ? ca ? d,(c ? 0 ,其中 a ? a )型
n?1 n 1
（1）若 c=1时，数列{ a }为等差数列;
n
（2）若 d=0时，数列{ a }为等比数列;
n
（3）若 c ? 1且d ? 0时，数列{ a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
n
待定系数法：设 a ? ? ? c(a ? ?) ,
n?1 n
得 a ? ca ? (c ?1)? ,与题设 a ? ca ? d,比较系数得
n?1 n n?1 n
d d d
(c ?1)? ? d ,所以 ? ? ,(c ? 0)所以有： a ? ? c(a ? )
n n?1
c ?1 c ?1 c ?1
d
? d ?
因此数列 a ? 构成以 a ? 为首项，以 c为公比的等比数列，
? ?
n 1
c ?1 c ?1
? ?
d d d d
n?1 n?1
所以 a ? ? (a ? )?c 即： a ? (a ? )?c ? .
n 1 n 1
c ?1 c ?1 c ?1 c ?1
d d d
规律：将递推关系 a ? ca ? d 化为 a ? ? c(a ? ) ,构造成公比为 c的等比数列{a ? }从而求得
n?1 n n?1 n n
c ?1 c ?1 c ?1
d d
n?1
通项公式 a ? ? c (a ? )
n?1 1
1? c c ?1
逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系 a ? ca ? d 中把 n 换成 n-1 有 a ? ca ? d ,两式相减有
n?1 n n n?1
n
a ? a ? c(a ? a )从而化为公比为 c 的等比数列{a ? a },进而求得通项公式. a ? a ? c (a ? a ) ,再利用
n?1 n n n?1 n?1 n n?1 n 2 1
类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.
例 6已知数列{a }中， a ?1,a ? 2a ?1(n ? 2)，求数列 a 的通项公式。
? ?
n 1 n n?1 n
解法一：?a ? 2a ?1(n ? 2), ?a ?1 ? 2(a ?1)
n n?1 n n?1
n n
又?a ?1 ? 2,? a ?1 是首项为 2，公比为 2 的等比数列 ?a ?1 ? 2 ，即 a ? 2 ?1
? ?
1 n n n
解法二：?a ? 2a ?1(n ? 2), ?a ? 2a ?1
n n?1 n?1 n
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两式相减得 a ? a ? 2(a ? a )(n ? 2)，故数列 a ? a 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，再用累加
? ?
n?1 n n n?1 n?1 n
法的……
1 1
{a }
n
练习．已知数列 中， a ? 2,a ? a ? ,求通项 a 。
1 n?1 n n
2 2
1
n?1
答案： a ? ( ) ?1
n
2
n
?
2．形如： a ? p ? a ? q (其中 q是常数，且 n 0,1)
n?1 n
n
①若 p=1时，即： a ? a ? q ，累加即可.
n?1 n
n
②若 p ? 1时，即： a ? p ? a ? q ，
n?1 n
n?1
求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以 p .目的是把所求数列构造成等差数列
a a 1 p a 1 p
n n
n?1 n n
即 ? ? ?( ) ,令b ? ，则b ? b ? ?( ) ,然后类型 1，累加求通项.
n n?1 n
n?1 n n
p q p q p p q
n?1
ii.两边同除以 q . 目的是把所求数列构造成等差数列。
a p a 1
n?1 n
即： ? ? ? ,
n?1 n
q q q q
a p 1
n
令b ? ,则可化为b ? ?b ? .然后转化为类型 5来解，
n n?1 n
n
q q q
iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列
n?1 n
?
设 a ?? ?q ? p(a ? ? ? p ) .通过比较系数，求出 ，转化为等比数列求通项.
n?1 n
?
注意：应用待定系数法时，要求 p q，否则待定系数法会失效。
n?1
例 7已知数列{a }满足 a ? 2a ? 4?3 ，a ?1，求数列 a 的通项公式。
? ?
n n?1 n 1 n
n n?1
解法一（待定系数法）：设 a ? ? 3 ? ? (a ? ? ?3 )，比较系数得 ? ? ?4,? ? 2，
n?1 1 2 n 1 2
n?1 1?1
则数列 a ? 4?3 是首项为 a ? 4?3 ? ?5，公比为 2的等比数列，
? ?
n 1
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n?1 n?1 n?1 n?1
a ? 4?3 ? ?5?2 a ? 4?3 ? 5?2
n n
所以 ，即
a 2 a 4
n?1 n?1
n?1 n
解法二（两边同除以 q ）： 两边同时除以3 得： ? ? ? ，下面解法略
n?1 n 2
3 3 3 3
a a 4 3
n?1 n?1 n
n?1 n
解法三（两边同除以 p ）： 两边同时除以 2 得： ? ? ?( ) ，下面解法略
n?1 n
2 2 3 2
n?1
练习.设 a 为常数，且 a ? 3 ? 2a (n? N)．
0 n n?1
1
n n?1 n n n
n
证明对任意 ≥1， a ? [3 ? (?1) ? 2 ]? (?1) ? 2 a ；
n 0
5
3．形如 a ? pa ? kn ? b (其中 k,b是常数，且 k ? 0 )
n?1 n
方法 1：逐项相减法（阶差法）
方法 2：待定系数法
通过凑配可转化为 (a ? xn ? y) ? p(a ? x(n ?1) ? y) ;
n n?1
解题基本步骤：
1、确定 f (n) =kn+b
2、设等比数列b ? (a ? xn ? y)，公比为 p
n n
3、列出关系式 (a ? xn ? y) ? p(a ? x(n ?1) ? y) ,即b ? pb
n n?1 n n?1
4、比较系数求 x,y
5、解得数列 (a ? xn ? y)的通项公式
n
6、解得数列 a 的通项公式
? ?
n
例 8 在数列{a }中， a ?1,a ? 3a ? 2n,求通项 a .（逐项相减法）
n 1 n?1 n n
?
解： ， a ? 3a ? 2n, ①
n?1 n
? n ? 2时， a ? 3a ? 2(n ?1)，
n n?1
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a ? a ? 3(a ? a ) ? 2 b ? a ? a b ? 3b ? 2
n?1 n n n?1 n n?1 n n n?1
两式相减得 .令 ,则
n?1 n?1
b ? 5 ? 3 ? 2 a ? a ? 5 ? 3 ?1
n n?1 n
利用类型 5的方法知 即 ②
5 1 5 1
n?1 n?1
再由累加法可得 a ? ?3 ? n ? . 亦可联立①②解出 a ? ?3 ? n ? .
n n
2 2 2 2
3
例 9. 在数列{ a }中， a ? ,2a ? a ? 6n ? 3,求通项 a .（待定系数法）
n
1 n n?1 n
2
解：原递推式可化为 2(a ? xn ? y) ? a ? x(n ?1) ? ? y
n n?1
比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为 2b ? b
n n?1
9 1 9 1
n?1
? ?
所以 b 是一个等比数列，首项b ? a ? 6n ? 9 ? ,公比为 . ?b ? ( )
n 1 1 n
2 2 2 2
1
n
即： a ? 6n ? 9 ? 9?( )
n
2
1
n
故 a ? 9?( ) ? 6n ? 9 .
n
2
2
a ? 0
4．形如 a ? pa ? a ? n ? b ?n ? c (其中 a,b,c是常数，且 )
n?1 n
基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
2
例 10 已知数列{a }满足 a ? 2a ? 3n ? 4n ? 5，a ?1，求数列{a }的通项公式。
n n?1 n 1 n
2 2
解：设 a ? x(n ?1) ? y(n ?1) ? z ? 2(a ? xn ? yn ? z)
n?1 n
比较系数得 x ? 3, y ?10, z ?18，
2 2
所以 a ? 3(n ?1) ?10(n ?1) ?18 ? 2(a ? 3n ?10n ?18)
n?1 n
2 2
由 a ? 3?1 ?10?1?18 ?1? 31 ? 32 ? 0，得 a ? 3n ?10n ?18 ? 0
1 n
2
a ? 3(n ?1) ?10(n ?1) ?18
2 2
n?1
则 ? 2，故数列{a ? 3n ?10n ?18}为以 a ? 3?1 ?10?1?18 ?1? 31 ? 32为首项，
n 1
2
a ? 3n ?10n ?18
n
2 n?1 n?4 2
以 2为公比的等比数列，因此 a ? 3n ?10n ?18 ? 32? 2 ，则 a ? 2 ? 3n ?10n ?18。
n n
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5.形如 a ? pa ? qa 时将 a 作为 f (n)求解
n?2 n?1 n n
分析：原递推式可化为 a ? ?a ? ( p ? ?)(a ? ?a ) 的形式，比较系数可求得 ? ，数列 a ? ?a 为等比数
? ?
n?2 n?1 n?1 n n?1 n
列。
例 11 已知数列{a }满足 a ? 5a ? 6a ,a ? ?1,a ? 2，求数列{a }的通项公式。
n n?2 n?1 n 1 2 n
解：设 a ? ?a ? (5 ? ?)(a ? ?a )
n?2 n?1 n?1 n
比较系数得 ? ? ?3或 ? ? ?2，不妨取 ? ? ?2，（取-3 结果形式可能不同，但本质相同）
则 a ? 2a ? 3(a ? 2a )，则 a ? 2a 是首项为 4，公比为 3的等比数列
? ?
n?2 n?1 n?1 n n?1 n
n?1 n?1 n?1
?a ? 2a ? 4?3 ，所以 a ? 4?3 ? 5?2
n?1 n n
练习.数列{ a }中，若 a ? 8, a ? 2 ,且满足 a ? 4a ? 3a ? 0 ,求 a .
n
1 2 n?2 n?1 n n
n
答案： a ?11? 3 .
n
r
四、迭代法 a ? pa (其中 p,r 为常数)型
n?1 n
1
例 13.已知数列{a }的各项都是正数,且满足 : a ?1, a ? a (4 ? a ),n? N ，
n 0 n?1 n n
2
（1）证明 a ? a ? 2, n? N; （2）求数列{a }的通项公式 an.
n n?1 n
1 1
2 2
解：（1）略（2） a ? a (4 ? a ) ? [?(a ? 2) ? 4],所以 2(a ? 2) ? ?(a ? 2)
n?1 n n n n?1 n
2 2
1 1 1 1 1 2 1 n?1 n
2 2 2 2 2 1?2???2 2
令b ? a ? 2,则b ? ? b ? ? (? b ) ? ? ?( ) b ?? ? ?( ) b
n n n n?1 n?2 n?1 n
2 2 2 2 2 2
1 n 1 n
2 ?1 2 ?1
又 bn=－1，所以b ? ?( ) ,即a ? 2 ? b ? 2 ? ( ) .
n n n
2 2
1
2
方法 2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.解法 3：设 c ? ?b ，则 c ? c ,转化为上面类型（1）来解
n n n n?1
2
r
五、对数变换法 适用于 a ? pa (其中 p,r 为常数)型 p>0， a ? 0
n?1 n n
原卷及解析见：新高考资料全科总群 732599440；高考数学高中数学探究群 562298495 word版见：高考高中资料无水印无广告 word群 559164877
2
例 14. 设正项数列?a ?满足 a ?1， a ? 2a （n≥2）.求数列?a ?的通项公式.
n 1 n n?1 n
a a a a a
n n?1 n n?1 n
? ?
解：两边取对数得： log ?1? 2log ， log ?1 ? 2(log ?1) ，设b ? log ?1，则b ? 2b b 是以
2 2 2 2 n 2 n n?1 n
n?1
2 ?1
a n?1
n
1 n?1 n?1 a n?1 a ? 2
log ? 2 ? 1
n
n
2
2 为公比的等比数列，b ? log ?1 ?1 b ?1? 2 ? 2 ， log ?1 ? 2 ， ，∴
1 2 n 2
练习 数列?a ?中， a ?1， a ? 2 a （n≥2） ，求数列?a ?的通项公式.
n 1 n n?1 n
2?n
2?2
答案： a ? 2
n
n 5
例 15 已知数列{a }满足 a ? 2?3 ? a ， a ? 7 ，求数列{a }的通项公式。
n n?1 n 1 n
n 5
解：因为 a ? 2?3 ? a ，a ? 7 ，所以 a ? 0，a ? 0 。
n?1 n 1 n n?1
两边取常用对数得 lg a ? 5lg a ? nlg3? lg 2
n?1 n
设 lg a ? x(n ?1) ? y ? 5(lg a ? xn ? y) （同类型四）
n?1 n
lg 3 lg3 lg 2
比较系数得， x ? , y ? ?
4 16 4
lg3 lg3 lg 2 lg3 lg3 lg 2 lg3 lg3 lg 2
由 lg a ? ?1? ? ? lg 7 ? ?1? ? ? 0 ，得 lg a ? n ? ? ? 0 ，
1 n
4 16 4 4 16 4 4 16 4
lg3 lg3 lg 2 lg3 lg3 lg 2
所以数列{lg a ? n ? ? }是以 lg 7 ? ? ? 为首项，以 5 为公比的等比数列，则
n
4 16 4 4 16 4
lg3 lg3 lg 2 lg3 lg3 lg 2
n?1
lg a ? n ? ? ? (lg 7 ? ? ? )5 ，因此
n
4 16 4 4 16 4
lg3 lg3 lg 2 lg3 lg3 lg 2
n?1
lg a ? (lg 7 ? ? ? )5 ? n ? ?
n
4 16 4 4 6 4
1 1 1 n 1 1
n?1
4 16 4 4 16 4
? [lg(7?3 ?3 ? 2 )]5 ? lg(3 ?3 ?2 )
1 1
1 1 n 1
n?1
5
4 16 4 4 16 4
? lg(7?3 ?3 ?2 ) ? lg(3 ?3 ?2 )
n?1
5n?4n?1 5 ?1
5n?1
16 4
? lg(7 ?3 ?2 )
n?1
5n?4n?1 5 ?1
n?1
5
16 4
则 a ? 7 ?3 ? 2 。
n
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六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项
2a
n
例 16 已知数列{a }满足 a ? ,a ?1，求数列{a }的通项公式。
n n?1 1 n
a ? 2
n
? ?
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
解：求倒数得 ? ? ,? ? ? ,? ? 为等差数列，首项 ?1，公差为 ，
? ?
a 2 a a a 2 a a a 2
n?1 n n?1 n ? n?1 n ? 1
1 1 2
? ? (n ?1),?a ?
n
a 2 n ?1
n
七、换元法 适用于含根式的递推关系
1
例 17 已知数列{a }满足 a ? (1? 4a ? 1? 24a )，a ?1，求数列{a }的通项公式。
n n?1 n n 1 n
16
1
2
解：令b ? 1? 24a ，则 a ? (b ?1)
n n n n
24
1 1 1 1
2 2
代入 a ? (1? 4a ? 1? 24a ) 得 (b ?1) ? [1? 4 (b ?1) ? b ]
n?1 n n n?1 n n
16 24 16 24
2 2
即 4b ? (b ? 3)
n?1 n
1 3 1
因为b ? 1? 24a ? 0 ， 则 2b ? b ? 3 ，即b ? b ? ，可化为b ? 3 ? (b ? 3) ，
n n n?1 n n?1 n n?1 n
2 2 2
1
所 以 {b ? 3}是 以 b ? 3 ? 1? 24a ? 3 ? 1? 24?1 ? 3 ? 2 为 首 项 ， 以 为 公 比 的 等 比 数 列 ， 因 此
n 1 1
2
1 1 1 1
n?1 n?2 n?2 n?2
b ? 3 ? 2( ) ? ( ) ，则b ? ( ) ? 3 ，即 1? 24a ? ( ) ? 3 ，
n n n
2 2 2 2
2 1 1 1
n n
得 a ? ( ) ? ( ) ? 。
n
3 4 2 3
八、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前 n 项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。
8(n ?1) 8
例 18 已知数列{a }满足 a ? a ? ，a ? ，求数列{a }的通项公式。
n n?1 n 1 n
2 2
(2n ?1) (2n ? 3) 9
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8(n ?1) 8
解：由 a ? a ? 及 a ? ，得
n?1 n 1
2 2
(2n ?1) (2n ? 3) 9
8(1?1) 8 8? 2 24
a ? a ? ? ? ?
2 1 2 2
(2?1?1) (2?1? 3) 9 9? 25 25
8(2 ?1) 24 8?3 48
a ? a ? ? ? ?
3 2
2 2
(2? 2 ?1) (2? 2 ? 3) 25 25? 49 49
8(3?1) 48 8? 4 80
a ? a ? ? ? ?
4 3
2 2
(2?3?1) (2?3? 3) 49 49?81 81
2
(2n ?1) ?1
由此可猜测 a ? ，下面用数学归纳法证明这个结论。
n
2
(2n ?1)
2
(2?1?1) ?1 8
（1）当 n ?1时， a ? ? ，所以等式成立。
1 2
(2?1?1) 9
2
(2k ?1) ?1
（2）假设当 n ? k 时等式成立，即 a ? ，则当 n ? k ?1时，
k 2
(2k ?1)
2 2
8(k ?1) [(2k ?1) ?1](2k ? 3) ? 8(k ?1)
a ? a ? ?
k ?1 k
2 2 2 2
(2k ?1) (2k ? 3) (2k ?1) (2k ? 3)
2 2 2 2
(2k ?1) (2k ? 3) ? (2k ?1) (2k ? 3) ?1
? ?
2 2 2
(2k ?1) (2k ? 3) (2k ? 3)
2
[2(k ?1) ?1] ?1
?
2
[2(k ?1) ?1]
由此可知，当 n ? k ?1时等式也成立. 根据（1），（2）可知，等式对任何 n? N 都成立.
九、阶差法（逐项相减法）
1、递推公式中既有 S ，又有 a
n n
S ,n ?1
?
1
分析：把已知关系通过 a ? 转化为数列 a 或 S 的递推关系，然后采用相应的方法求解。
? ?
?
n n n
S ? S ,n ? 2
? n n?1
1
例 19 已知数列{a }的各项均为正数，且前 n项和 S 满足 S ? (a ?1)(a ? 2)，且 a ,a ,a 成等比数列，求数列{a }
n n n n n 2 4 9 n
6
的通项公式。
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1
?
解：∵对任意 n ? N 有 S ? (a ?1)(a ? 2) ⑴
n n n
6
1
∴当 n=1时， S ? a ? (a ?1)(a ? 2)，解得 a ?1或 a ? 2
1 1 1 1 1 1
6
1
当n≥2时， S ? (a ?1)(a ? 2) ⑵
n?1 n?1 n?1
6
⑴-⑵整理得： (a ? a )(a ? a ? 3) ? 0
n n?1 n n?1
∵{a }各项均为正数，∴ a ? a ? 3
n n n?1
2
当 a ?1时， a ? 3n ? 2，此时 a ? a a 成立
1 n 4 2 9
2
当 a ? 2时， a ? 3n ?1，此时 a ? a a 不成立，故 a ? 2舍去
1 n 4 2 9 1
所以 a ? 3n ? 2
n
1
2
练习。已知数列{a }中, a ? 0且 S ? (a ?1) ,求数列{a }的通项公式.
n n n n n
2
2 2
答案： (a ?1) ? (a ?1) a ? 2n ?1
S ? S ? a
n n?1 n
n n ?1 n
2、对无穷递推数列
例 20 已知数列{a }满足 a ?1，a ? a ? 2a ? 3a ??? (n ?1)a (n ? 2)，求{a }的通项公式。
n 1 n 1 2 3 n?1 n
解：因为 a ? a ? 2a ? 3a ??? (n ?1)a (n ? 2) ①
n 1 2 3 n?1
所以 a ? a ? 2a ? 3a ??? (n ?1)a ? na ②
n?1 1 2 3 n?1 n
用②式－①式得 a ? a ? na .
n?1 n n
a
n?1
则 a ? (n ?1)a (n ? 2) 故 ? n ?1(n ? 2)
n?1 n
a
n
a a a n!
n n?1 3
所以 a ? ? ??? ?a ? [n(n ?1)???4?3]a ? a . ③
n 2 2 2
a a a 2
n?1 n?2 2
由 a ? a ? 2a ? 3a ??? (n ?1)a (n ? 2)，取n ? 2得a ? a ? 2a ，则 a ? a ，又知 a ?1，则 a ?1，代入③
n 1 2 3 n?1 2 1 2 2 1 1 2
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n!
得 a ?1?3?4?5???n ? 。
n
2
n!
所以，{a }的通项公式为 a ? .
n n
2
十、不动点法 目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法
不动点的定义：函数 f (x)的定义域为 D，若存在 f (x)x ? D，使 f (x ) ? x 成立，则称 x 为 f (x)的不动点或
0 0 0 0
称 (x , f (x ))为函数 f (x)的不动点。
0 0
分析：由 f (x) ? x求出不动点 x ，在递推公式两边同时减去 x ，在变形求解。
0 0
类型一：形如 a ? qa ? d
n?1 n
例 21 已知数列{a }中， a ?1,a ? 2a ?1(n ? 2)，求数列 a 的通项公式。
? ?
n 1 n n?1 n
解：递推关系是对应得递归函数为 f (x) ? 2x ?1，由 f (x) ? x得，不动点为-1
∴ a ?1 ? 2(a ?1)，……
n?1 n
a ? a ? b
n
类型二：形如 a ?
n?1
c ? a ? d
n
a ? x ? b
分析：递归函数为 f (x) ?
c ? x ? d
a ? p a ? p
n?1 n
（1）若有两个相异的不动点 p,q 时，将递归关系式两边分别减去不动点 p,q，再将两式相除得 ? k ? ，
a ? q a ? q
n?1 n
n?1
a ? pc (a q ? pq)k ? (a p ? pq)
1 1
其中 k ? ，∴ a ?
n
n?1
a ? qc (a ? p)k ? (a ? q)
1 1
1 1
（2）若有两个相同的不动点 p，则将递归关系式两边减去不动点 p，然后用 1 除，得 ? ? k ，其中
a ? p a ? p
n?1 n
2c
k ? 。
a ? d
5a ? 4
n
例 22. 设数列{a }满足 a ? 2, a ? ,求数列{a }的通项公式.
n 1 n?1 n
2a ? 7
n
分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.
解：对等式两端同时加参数t,得：
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7t ? 4
a ?
n
5a ? 4 (2t ? 5)a ? 7t
n n 2t ? 5
a ? t ? ? t ? ? (2t ? 5) ,
n?1
2a ? 7 2a ? 7 2a ? 7
n n n
a ? t
7t ? 4
n
令t ? , 解之得 t=1,-2 代入 a ? t ? (2t ? 5) 得
n?1
2t ? 5 2a ? 7
n
a ?1 a ? 2
n n
a ?1 ? 3 , a ? 2 ? 9 ,
n?1 n?1
2a ? 7 2a ? 7
n n
a ?1 1 a ?1 a ?1 a ?1 1
n?1 n n 1
相除得 ? ? ,即{ }是首项为 ? ，
a ? 2 3 a ? 2 a ? 2 a ? 2 4
n?1 n n 1
n?1
a ?1
1 1 4 ? 3 ? 2
n 1?n
公比为 的等比数列, = ? 3 , 解得 a ? .
n
n?1
3 a ? 2 4 4 ? 3 ?1
n
方法2：?,
a ?1
n
a ?1 ? 3 ，
n?1
2a ? 7
n
1 2a ? 7 2(a ?1) ? 9 2 3
n n
两边取倒数得 ? ? ? ? ，
a ?1 3(a ?1) 3(a ?1) 3 a ?1
n?1 n n n
1 2
令b ? ，则b ? ? 3b ,?,转化为累加法来求.
n n n
a ?1 3
n
21a ? 24
n
例 23 已知数列{a }满足 a ? ，a ? 4，求数列{a }的通项公式。
n n?1 1 n
4a ?1
n
21x ? 24 21x ? 24
2
解：令 x ? ，得 4x ? 20x ? 24 ? 0，则 x ? 2，x ? 3是函数 f (x) ? 的两个不动点
1 2
4x ?1 4x ?1
21a ? 24
n
? 2
a ? 2 4a ?1 21a ? 24 ? 2(4a ?1) 13a ? 26 13 a ? 2
n?1 n n n n n
因为 ? ? ? ?
21a ? 24
a ? 3 21a ? 24 ? 3(4a ?1) 9a ? 27 9 a ? 3
n
n?1 n n n n
? 3
4a ?1
n
? ?
a ? 2 a ? 2 4 ? 2
13
n 1
所以数列 是以 ? ? 2为首项，以 为公比的等比数列，
? ?
a ? 3 a ? 3 4 ? 3 9
? n ? 1
a ? 2 13 1
n?1
n
故 ? 2( ) ，则 a ? ? 3
n
13
a ? 3 9
n?1
n
2( ) ?1
9
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a ? 2
n?1
练习 1：已知{a }满足 a ? 2,a ? (n ? 2)，求{a }的通项 a
n 1 n n n
2a ?1
n?1
n n
3 ? (?1)
答案：?a ?
n
n n
3 ? (?1)
2a ?1
n
练习 2 已知数列{a }满足 a ? 2,a ? (n? N )，求数列{a }的通项 a
n 1 n?1 n n
4a ? 6
n
13? 5n
答案：?a ?
n
10n ? 6
a ? a
n n?1
练习 3.已知数列 a }满足， a＝1 a ? 2,a ＝ ,n? N .
?
n 1 ’ 2 n＋2
2
? 令b ? a ? a ，证明：{b }是等比数列；(Ⅱ)求 a }的通项公式。
? ? ?
n n?1 n n n
1 5 2 1
n?1
答案：（1） b 是以 1为首项， ? 为公比的等比数列。（2） a ? ? (? ) (n? N )。
? ?
n n
2 3 3 2
十一 特征方程法 形如 a ? pa ? qa ( p,q是常数）的数列
n?2 n?1 n
形如 a ? m ,a ? m ,a ? pa ? qa ( p,q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项 a ，其特征方程为
1 1 2 2 n?2 n?1 n n
2
x ? px ? q…①
n n
若①有二异根?, ? ，则可令 a ? c ? ? c ? (c ,c 是待定常数）
n 1 2 1 2
n
若①有二重根? ? ? ，则可令 a ? (c ? nc )? (c ,c 是待定常数）
n 1 2 1 2
再利用 a ? m ,a ? m ,可求得 c ,c ，进而求得 a
1 1 2 2 1 2 n
例 24 已知数列{a }满足 a ? 2,a ? 3,a ? 3a ? 2a (n? N )，求数列{a }的通项 a
n 1 2 n?2 n?1 n n n
2 n n
解：其特征方程为 x ? 3x ? 2，解得 x ?1, x ? 2，令 a ? c ?1 ? c ?2 ，
1 2 n 1 2
c ?1
?
1
a ? c ? 2c ? 2
?
?
1 1 2
n?1
由 ，得 ， ?a ?1? 2
? ? 1
n
a ? c ? 4c ? 3
c ?
? 2 1 2
2
?
? 2
例 25 已知数列{a }满足 a ?1,a ? 2,4a ? 4a ? a (n? N )，求数列{a }的通项 a
n 1 2 n?2 n?1 n n n
n
1 1
? ?
2
解：其特征方程为 4x ? 4x ?1，解得 x ? x ? ，令 a ? c ? nc ，
? ?
1 2 n 1 2 ? ?
2 2
? ?
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1
?
a ? (c ? c )? ?1
1 1 2
?
c ? ?4
? 3n ? 2
?
2 1
由 ，得 ， ?a ?
? ?
n
n?1
1 c ? 6 2
? 2
?
a ? (c ? 2c )? ? 2
2 1 2
?
? 4
练习 1．已知数列{a }满足 a ?1,a ? 2,4a ? 4a ? a ?1(n? N )，求数列{a }的通项
n 1 2 n?2 n?1 n n
练习 2．已知数列{a }满足 a ?1,a ? 2,4a ? 4a ? a ? n ? 4(n? N )，求数列{a }的通项
n 1 2 n?2 n?1 n n
2
说明：(1)若方程 x ? px ? q有两不同的解 s , t,
则 a ? ta ? s(a ? ta ) , a ? sa ? t(a ? sa ) ,
n?1 n n n?1 n?1 n n n?1
n?1 n?1
由等比数列性质可得 a ? ta ? (a ? ta )s , a ? sa ? (a ? sa )t ,
n?1 n 2 1 n?1 n 2 1
?a ? ta ? a ? sa
n n
2 1 2 1
?t ? s,由上两式消去 a 可得 a ? .s ? .t .
n?1 n
s?s ? t? t?s ? t?
2
(2)若方程 x ? px ? q有两相等的解 s ? t，则
2 n?1
a ? ta ? s?a ? ta ? ? s (a ? ta ) ?? ? s ?a ? ta ?，
n?1 n n n?1 n?1 n?2 2 1
a a a
a ? ta ? ?
n?1 n n
2 1
? ? ? ,即 是等差数列，
? ?
n?1 n 2 n
s s s s
? ?
a a a ? sa
n 1 2 1
由等差数列性质可知 ? ? ，
? ? n ?1 .
n 2
s s s
? a a ? sa a ? sa ?
? ?
1 2 1 2 1 n
所以 ．
a ? ? ? .n s
? ?
n ? ?
2 2
s s s
? ?
? ?
25
2
a ?
n
5
4
例 26、数列{a }满足 a ? ? ，且 a ? 求数列{a }的通项。
n 1 n?1 n
29
12
2a ?
n
4
25 29 25
2 2
a ? a ? 2?a ? ? ?
n n n
4 4 4
解： a ? ? ? a ? ? ? ? ……①
n?1 n?1
29 29
2a ? 2a ?
n n
4 4
29? ? 25 25
2
令 ? ? ，解得 ? ?1,? ? ，将它们代回①得，
1 2
4 4
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2
25
? ?
2 a ?
? n ?
a ?1
? ? 25
4
n ? ?
a ?1 ? ……②， a ? ? ……③，
n?1 n?1
29 29
4
2a ? 2a ?
n n
4 4
2
25 25 25 25
? ?
a ? a ? a ? a ?
n?1 n n?1 n
? ?
4 4 4 4
③÷②，得 ? ,则 lg ? 2lg ，
? ?
a ?1 a ?1 a ?1 a ?1
n?1 n n?1 n
? ?
? ?
25
? ?
a ?
n
? ?
4
∴数列 lg 成等比数列，首项为1，公比 q=2
? ?
a ?1
n
? ?
? ?
n?1
25 25 25
2
a ? a ? ?10
n n
n?1
4 n?1 4 2 4
所以 lg ? 2 ，则 ?10 ，?a ?
n?1
n
2
a ?1 a ?1
10 ?1
n n
十二、四种基本数列
1．形如 a ? a ? f (n)型 等差数列的广义形式，见累加法。
n?1 n
a
n?1
2.形如 ? f (n)型 等比数列的广义形式，见累乘法。
a
n
3.形如 a ? a ? f (n)型
n?1 n
（1）若 a ? a ? d （d为常数），则数列{ a }为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶
n?1 n n
数项来讨论;
（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为 a ? a ? f (n)型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两
n?1 n
式相减)得 a ? a ? f (n) ? f (n ?1)，，分奇偶项来分求通项.
n?1 n?1
例 27. 数列{ a }满足 a ? 0, a ? a ? 2n,求数列{a }的通项公式.
n
n 1 n?1 n
分析 1：构造 转化为 a ? a ? f (n)型
n?1 n
n
解法1：令b ? (?1) a ，
n n
n?1 n n?1 n?1
则b ? b ? (?1) a ? (?1) a ? (?1) (a ? a ) ? (?1) ? 2n.
n?1 n n?1 n n?1 n
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n
?
b ? b ? (?1) ? 2(n ?1)
n n?1
?
n?1
b ? b ? (?1) ? 2(n ? 2)
? n?1 n?2
?
n ? 2时, ??
?
?
2
b ? b ? (?1) ? 2 ?1
2 1
?
?
b ? ?a ? 0
1 1
?
n n?1 3 2
各式相加:b ? 2?(?1) (n ?1) ? (?1) (n ? 2) ?? ? (?1) ? 2 ? (?1) ?1?
n
n ? 2 n ?1
? ?
当n为偶数时，b ? 2 (n ?1) ? (?1) ? ? n. 此时 a ? b ? n 当n为奇数时，b ? 2(? ) ? ?n ? 1
n n n n
? ?
2 2
? ?
?n ?1, n为奇数,
此时b ? ?a ,所以 a ? n ?1.故 a ?
?
n n n n
n, n为偶数.
?
解法2：? a ? a ? 2n
n?1 n
? n ? 2时， a ? a ? 2(n ?1)，两式相减得： a ? a ? 2.
n n?1 n?1 n?1
? a , a , a ,?,构成以 a ,为首项，以2为公差的等差数列;
1 3 5 1
a , a , a ,?,构成以 a ,为首项，以2为公差的等差数列
2 4 6 2
? a ? a ? (k ?1)d ? 2k ? 2 a ? a ? (k ?1)d ? 2k.
2k ?1 1 2k 2
?n ?1, n为奇数,
? a ? 评注：结果要还原成n的表达式.
?
n
n, n为偶数.
?
例 28.（2005江西卷）已知数列{a }的前n项和S 满足
n n
1 3
n?1
S －S =3 (? ) (n ? 3),且S ?1, S ? ? ,求数列{a }的通项公式.
n n－2 n
1 2
2 2
1
n?1
解：方法一：因为 S ? S ? a ? a 所以a ? a ? 3?(? ) (n ? 3),
n n?2 n n?1 n n?1
2
以下同上例，略
1
?
n?1
4 ? 3? ( ) ,n为奇数,
?
?
2
答案 a ?
?
n
1
n?1
?
? 4 ? 3? ( ) ,n为偶数.
?
? 2
4.形如 a ? a ? f (n)型
n?1 n
（1）若 a ? a ? p(p为常数)，则数列{ a }为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数
n?1 n n
项来讨论;
原卷及解析见：新高考资料全科总群 732599440；高考数学高中数学探究群 562298495 word版见：高考高中资料无水印无广告 word群 559164877
（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得 a ?a ? f (n ?1)，两式相除后，分奇偶项来分求通项.
n n?1
1
n
例 29. 已知数列{a }满足 a ? 3, a ? a ? ( ) , (n? N ),求此数列的通项公式.
n 1 n n?1
2
注：同上例类似，略.
原卷及解析见：新高考资料全科总群 732599440；高考数学高中数学探究群 562298495 |
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