American Journal of Multidisciplinary Research & Development (AJMRD)
Volume XX, Issue XX (June - 2023), PP 22-27
ISSN: 2360-821X
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Research Paper Open Acces
孪生素 数猜想、 波利尼亚 克 猜想和哥德巴赫 猜想成立的初等证明
Liao Teng
Tianzheng International Mathematical Research Institute, Xiamen, China
摘要:
为了从纯 数学的 角度严 格证 明哥德巴 赫在 1742 年提出的哥德巴赫 猜想和 希尔伯 特在 1900 年国际数学家
大会的报 告上第 8 个问题中 提出的孪 生素数 猜想， 以及 法国学者 阿尔方 ? 德 ? 波 利尼 亚克在 1849 年提出
的波利尼 亚克猜 想， 本文 运 用了欧几 里得素 数有无 穷多 个原理、 等 价变换 原理， 和 集合元素 运算归 一思
想，证明 了哥德 巴赫猜 想、 孪生素数 猜想和 波利尼 亚克 猜想是完 全正确 的。
关键词:
孪生素数 猜想， 波 利尼亚 克 猜想， 哥德 巴赫猜 想， 素数 个数的无 穷性， 等 价变换 原 理， 集合元 素运算 归
一思想。
I. 介绍
哥德巴赫 1742 年在给欧 拉 的信中提 出了以 下猜想 ： 任 一大于 2 的整 数都可 写成三 个质数之 和 [1] 。
但是哥德 巴赫自 己无法 证明 它， 于 是就写 信请教 赫赫有 名的大数 学家欧 拉帮忙 证明 ， 但是 一直到
死，欧拉 也无法 证明。
因现今数 学界已 经不使 用 “1 也是素数” 这 个约定 ， 但 本论文需 要恢复 “1 也是素 数” 这个 约定。
原初猜想 的现代 陈述为 ： 任 一大于 5 的整数 都可写 成三 个质数之 和。 （n ＞5：当 n 为 偶数， n=2+(n-2) ，
n-2 也 是偶数 ，可以 分解为 两个质数 的和； 当 n 为 奇数 ，n=3+(n-3) ，n-3 也是 偶数 ，可以分 解为
两个质数 的和） 欧 拉在回 信 中也提出 另一等 价版 本， 即 任一大于 2 的偶 数都可 写成 两个质数 之和 。
常见的猜 想陈述 为欧拉 的版 本。 把 命题 “任 一充分 大的 偶数都可 以表示 成为一 个素 因子个数 不超
过 a 个的数与 另一个 素因子 不超过 b 个的数 之和” 记作 “a+b ” 。 常见的猜 想陈述 为 欧拉的版 本，
即任一大 于 2 的偶数都 可写 成两个素 数之和 ， 亦 称为 “ 强哥德巴 赫猜想 ” 或 “关于 偶数的哥 德巴
赫猜想 ” 。 从 关于偶 数的哥 德巴赫猜 想， 可推出 ： 任何 一个大于 7 的奇 数都能 被表 示成三个 奇质
数的和 。 后 者称为 “弱 哥德 巴赫猜想 ” 或 “ 关于奇 数的 哥德巴赫 猜想 ” 。 若关 于偶 数的哥德 巴赫
猜想是对 的，则 关于奇 数的 哥德巴赫 猜想也 会是对 的。
孪生素数 就是指 相差 2 的素 数对， 例如 3 和 5 ，5 和 7 ，11 和 13 …。 这个猜想正 式 由希尔伯 特在
1900 年国际数学家大会 的报 告上第 8 个问题 中提出 ，可 以这样描 述：
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存在无穷 多个素 数 p ，使得 p + 2 是素数。
素数对（p, p + 2 ）称为孪生 素数。
在 1849 年，阿尔方·德· 波利尼亚 克提出 了一般 的猜 想：对所 有自然 数 k ，存在 无穷多个 素数
对（p, p + 2k ）。k = 1 的情 况就是孪 生素数 猜想。
II. 推理
1900 年以 前的 数学 家都 把 1 当作是 最小 的质 数， 本 论文将 恢复 这一 传统, 把 1 当作是 最小
的奇质 数， 所 以 1 是最 小 的素数 。
假如只记 素数 ， 根 据欧 几里 德证 明的 素数 有无 穷多 个的 定理 ，那 么1 加上 x(x )
个 2 总要 变成 无穷 多个 素 数，用{ 为素数 ， 表示， 为
1 ，3 ，5 ，7 ，11，13 ，17 ，…，
假如只记 素数 ，3 加上 x-1( ) 个 2 也 总要 变 成无穷 多个 素数 ，
用 为素 数， 表示，为1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 11 ， 13 ， 17 ，… ， = 为素 数， 为素 数，
。
假如只记 素数 ， 而 1 加上 x (x ) 个 2 和 3 加上 x-1( 个 2
总要变 成无 穷个 素数 ，用{ 为素 数， 表示 ，为3 ，7 ，11 ，13 ，17 ，…，
假如只记 素数 ， 显然 1 加上 x(x ) 个 2 和 3 加上 x-1( ) 个 2 都要 变
成相同 的无 穷多 个素 数， 为 1 ，3 ，5 ，7 ，11 ，13 ，17 ，… ，用{ 为素 数，
和 为素 数， 来表示 ，那么 = 为素 数， 为素 数， 。
1 加上 x (x ) 个 2 和 1 加上 x (x ) 个 2 相差 2 ，同 时 3 加上
x-1( ) 个 2 和 3 加上 x-1( 个 2 相差 2 ， 考虑 素数 集合{ 、
和 ， 和 相差 或 和 相差 ， 所以 2 可 以写 成无 穷 多对素 数的 差 ， 这 正是孪生
素数猜 想 所 描述 的内 容。 孪生素 数猜 想 是 说是 否存 在无穷 对相 差 2 的 素数 ， 利用欧 几里 德
证明的 素数 有无 穷多 个的 定理， 我们 可以 很轻 松地 就证明 孪生 素数 猜想 成立 。
接下来 再来 看：
假如只记 素数 ， 根 据欧 几里 德证 明的 素数 有无 穷多 个的 定理 ，那 么1 加上 x(x )
个 2 总要 变成 无穷 多个 素 数，用{ 为素数 ， 表示， 为
1 ，3 ，5 ，7 ，11，13 ，17 ，…，
假如只记 素数 ，5 加上 x-2( ) 个 2 也 总要 变 成无穷 多个 素数 ，
用 为素 数， 表示，为1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 11 ， 13 ， 17 ，… ， = 为素 数， 为素 数，
。
假如只记 素数 ， 而 加上 个 和5 加上 x-2( ) 个 2 总要
变成无 穷个 素数 ，用{ 为 素数 ， 表示为5 ，7 ，11 ，13 ，17 ，… ，
假如只记 素数 ， 显然 1 加上 x(x ) 个 2 和 5 加上 x-2( ) 个 2 都要变
成相同 的无 穷多 个素 数， 为 1 ，3 ，5 ，7 ，11 ，13 ，17 ，… ，用{ 为素 数，
和 为素 数， 来表示 ，那么 = 为素 数， 为素 数， 。
1 加上 x (x ) 个 2 和 1 加上 x (x ) 个 2 相差 4 ，同时 5 加上
x-2( ) 个 2 和 5 加上 x-2( ) 个 2 相差 4 ， 考虑素 数集 合{ 、
和 ，那么 和 相差 或 和 相差 ， 所以 4 可 以写 成 无穷多 对素 数的 差。
再来看 ：
假如只记 素数 ，， 根据 欧几 里德 证明 的素 数有 无穷 多个 的定 理 ， 那么1 加上 x(x
) 个 2 总 要变 成无 穷多 个素 数，用{ 为素 数， 表示 ，为
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1 ，3 ，5 ，7 ，11，13 ，17 ，…，
假如只记 素数 ，7 加上 x-3(x ) 个 2 也总 要变 成无穷 多个 素数 ，
用 为 素数 ， 表示， 为1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 11 ， 13 ， 17 ，…， = 为素 数， 为 素数 ，
。
而 1 加上 x (x ) 个 2 和 7 加上 x-3( ) 个 2 总要 变 成相 同 的无穷 多
个素数 ， 为 7 ， 11 ， 13， 17， … ， 用 为 素数 来表 示 。 1 加上 x (x ) 个 2 和
1 加上 x (x ) 个 2 相差 6 ， 同时 7 加上 x-3( ) 个 2 和 7 加上 x-3(
) 个 2 相差 6 ， 考 虑素 数集 合{ 、 和 ， 那么 和 相差 或 和 相差 ，
所以 6 可 以写 成无 穷多 对 素数的 差。
再来看 ：
假如只记 素数 ， 根 据欧 几里 德证 明的 素数 有无 穷多 个的 定理 ，那 么1 加上 x(x )
个 2 总要 变成 无穷 多个 素 数，用{ 为素数 表示， 为
1 ，3 ，5 ，7 ，11，13 ，17 ，…，
假如只记 素数 ，9 加上 x-4(x ) 个 2 也总 要变 成无穷 多个 素数 ，
用 为素 数， 表示 ， 为1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 11 ， 13 ， 17 ，…， = 为素 数， 为素 数，
。
而 1 加上 x (x ) 个 2 和 9 加上 x-4( ) 个 2 都得 到(9) ，11 ，13 ，
(15), 17 ，…， 奇数 放在 括号 内， 除 去奇数 后， 将得 到 相 同的无 穷多 个素 数, 用 为 素数
来表示 ，为 ， ， ， 。 1 加上 x (x ) 个 2 和 1 加上 x (x )
个 2 相差 8 ， 同时 9 加上 x-4(x ) 个 2 和 9 加上 x-4( ) 个 2 相差 8 ，
考虑素 数集 合{ 、 和 ， 那么 和 相差 或 和 相差 ， 所以 8 可以 写成 无穷 多
对素数 的差 。
再来看 ：
假如只记 素数 ， 根 据欧 几里 德证 明的 素数 有无 穷多 个的 定理 ，那 么1 加上 x(x )
个 2 总要 变成 无穷 多个 素 数，用{ 为素数 表示， 为
1 ，3 ，5 ，7 ，11，13 ，17 ，…，
假如只记 素数 ，11 加上 x-5(x ) 个 2 也总 要 变成无 穷多 个素 数，
用 为素 数， 表示 ， 为1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 11 ， 13 ， 17 ，…， = 为素 数， 为素 数，
。
而 1 加上 x (x ) 个 2 和 11 加上 x-5( ) 个 2 都得到 11 ， 13 ， (15),
17 ，…(21) ，23 ，… ，奇 数放在 括号 内， 除去 奇数 后，将 得到 相同 的无 穷多 个素数, 用
为素 数 来表 示， 为 ， ， ， , 1 加上 x (x ) 个 2 和 1
加上 x (x ) 个 2 相差 10，同时 11 加上 x-5(x ) 个 2 和 11 加上
x-5( ) 个 2 相差 10 ， 考虑 素 数集合{ 、 和 ，那么 和 相差 或
和 相差 ， 所以 10 可 以写 成无 穷多 对 素数的 差。
再来看 ：
假如只记 素数 ， 根 据欧 几里 德证 明的 素数 有无 穷多 个的 定理 ，那 么1 加上 x(x )
个 2 总要 变成 无穷 多个 素 数，用{ 为素数 表示， 为
1 ，3 ，5 ，7 ，11，13 ，17 ，…，
假如只记 素数 ，13 加上 x-6(x ) 个 2 也总 要 变成无 穷多 个素 数，
用 为 素数 表示， 为1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 11 ， 13 ， 17 ，… ， = 为 素数 ， 为 素数 ，
。
而 1 加上 x (x ) 个 2 和 13 加上 x-6( ) 个 2 都 得到 13 ，(15),
17 ，…(21) ，23 ，… ，奇 数放在 括号 内， 除去 奇数 后，将 得到 相同 的无 穷多 个素数, 用
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为 素数 来表示 ，为 ， ， , 1 加上 x (x ) 个 2 和 1 加上 x
(x ) 个 2 相差 12 ，1 加上 x (x ) 个 2 和 13 加上 x-6( )
个 2 ，同时 13 加上 x-6( ) 个 2 和 13 加上 x-6( ) 个 2 相差
12 ， 考虑 素数 集合{ 、 和 ， 那么 和 相差 或 和 相差 ， 所以 12 可 以写
成无穷 多对 素数 的差 。
再来看 ：
假如只记 素数 ， 根 据欧 几里 德证 明的 素数 有无 穷多 个的 定理 ，那 么1 加上 x(x )
个 2 总要 变成 无穷 多个 素 数，用{ 为素数 表示， 为
1 ，3 ，5 ，7 ，11，13 ，17 ，…，
假如只记 素数 ，15 加上 x-7(x ) 个 2 也总 要 变成无 穷多 个素 数，
用 为 素数 表示， 为1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 11 ， 13 ， 17 ，… ， = 为 素数 ， 为 素数 ，
。
而 1 加上 x (x ) 个 2 和 15 加上 x-7( ) 个 2 都得到 (15), 17 ，… ，
(21) ，23 ，(25) ，(27) ，29 ，… ，奇 数放 在括 号内 ， 除去奇 数后 ， 将得 到相 同 的无穷 多个 素
数, 用 为 素数 ， 来 表示 ，为 ， ， ， ， ， ，1 加上 x (x
) 个 2 和 1 加上 x (x ) 个 2 相差 14 ，同时 15 加上 x-7(x ) 个 2 和 15
加上 x-7( ) 个 2 相差 14， 考 虑素数 集合{ 、 和 ，那么 和 相差
或 和 相差 ，所以 14 可以 写成 无穷 多 对素数 的差 。
再来看 ：
假如只记 素数 ， 根 据欧 几里 德证 明的 素数 有无 穷多 个的 定理 ，那 么1 加上 x(x )
个 2 总要 变成 无穷 多个 素 数，用{ 为素数 表示， 为
1 ，3 ，5 ，7 ，11，13 ，17 ，…，
假如只记 素数 ，17 加上 x-8(x ) 个 2 也总 要 变成无 穷多 个素 数，
用 为 素数 表示， 为1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 11 ， 13， 17 ，… ， = 为素 数， 为 素数 ，
。
而 1 加上 x (x ) 个 2 和 17 加上 x-8( ) 个 2 都得 到 17 ， 19 ， (21) ，
23 ，(25) ，(27) ，29 ，… ，奇数 放在 括号 内， 除去 奇数后 ，将 得到 相同 的无 穷多个 素数, 用
为素 数， 来表 示， 为 ， ， ， ， ，1 加上 x (x ) 个 2
和 1 加上 x (x ) 个 2 相差 16 ，同 时 17 加上 x-8(x ) 个 2 和 17 加上
x-8( ) 个 2 ， 考 虑素 数集 合{ 、 和 ， 那么 和 相差 或
和 相差 ， 所以 16 可 以写 成无 穷多 对 素数的 差。
… ，
以此 类 推：
假如只记 素数 ，1 加上 x(x ) 个 2 总 要变 成 无穷多 个素 数， 用{ 为素数
表示， 为
1 ，3 ，5 ，7 ，11，13 ，17 ，…，
假如只记 素数 ， 根 据欧 几里 德证 明的 素数 有无 穷多 个的 定理 ，那 么p( 为任意 素数) 加上
x-j(x ， ) 个 2 也 总要 变成 无穷 多个素 数，
用 为 素数 表示， 为1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 11 ， 13 ， 17 ，… ， = 为 素数 ， 为 素数 ，
。 而 1 加上 x (x ) 个 2 和 p( 为任意 素数) 加上 x-j(
， ) 个 2 都得 到 ， ，( ) ， ， ， ， ，…， 奇数放 在括 号内 ， 除 去奇 数后 ，
将得到 相同 的无 穷多 个素 数, 用 为素 数， 来表 示， 为 ， ， ， ， ， 1
加上 x (x ) 个 2 和 1 加上 x (x ) 个 2 相差 2k ，同时
p( 为任 意素 数) 加上 x-j(x ， ) 个 2 和 p( 为任意 素数) 加上 x-j(
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， ) 个 2 相差 2k ， 考虑 素数 集 合{ 、 和 ， 所以 2k 可
以写成 无穷 多对 素数 的差 。 这正是 波利 尼亚 克猜想 所 描述的 内容 ， 所以 波利 尼亚 克 猜想成立。
波利尼 亚克 猜想 成立 则哥 德巴赫 猜想 自动 成立 。 和 都是 素数 ，
假设 ，根据 波利 尼亚 克猜想 成 立， 则 = ，
那么 = ，
所以 = ，因 为 表 示全 体偶 数， 所以
2k= ｛0 ，2 ，4 ，6 ，8 ，10 ，…， ｝， 而 为素数 且 ，所 以 是 所有 素数 的两 倍，
即 ｛ ， ， ， ， ， ｝(p 为 素数) ，
表示全体偶 数集 合｛0 ，2 ，4 ，6 ，8 ，10 ，… ，｝ 中的 每 一个元 素的 值都 要加 上
合 ｛ ， ， ， ， ， ｝(p 为 素数) 中的 任意 一个 元素的 值， 结果 仍然 是全 体偶数 ，
以 ｛0 ，2 ，4 ，6 ，8 ，10 ，…， ｝， 所以仍然 可以 用 为 非负 整数 来表示,
则 = ｛0 ，2 ，4 ，6 ，8 ，10 ，…， ｝ 2k ，
那么 = 。
显然 = 就是哥 德巴 赫猜 想所 描述的 内容 。
至少是 一对 素数 的和 ， 和 可以 相 等 也可 以不 相等 ， 所以 大于 零的 偶数 至少 可
以写成 一对 素数 的和 。 由于 为 素数 ， 和 为素 数， 均 可以 表示 为无 穷
多个素数 ， 但由 具 体的 偶数 的值 是 有限的， 所以 根据 = ， 我们 可以
知道所 有的 偶数 都可 以表 示为有 限对 素数 的和 ，即 哥德巴 赫猜 想成 立。
根据 波 利尼 亚克 猜想 成立 ，
有无穷多 对素 数 和 相差 2k( ) ，
即 ， 。
也 有 无穷多对 素数 ， 相差 2k( ) ，即 =
， 。
那么 ， , 那么 、 、 构成一 个等 差数 列 ，公
差为 2k( ) ， 而且 有无 穷多 组。 所 以存 在无 穷多 组由 素数构 成的 等差 数列 。
III.结论
波利尼 亚克 猜想 、孪 生素 数猜想 、 哥 德巴 赫猜 想 完 全成立 。
IV. 致谢
衷心感谢 您阅读 本论文 。
V.贡献
唯一作者 ，提出 研究问 题， 论证并证 明所提 问题。
VI. 作者 介绍
名称 ：廖腾(1509135693@139.com)
单位：中 国厦门 天正国 际数 学与物理 研究所
地址：中 国厦门 市湖里 区围 里社高崎 机场路 237 号
邮编: 361001
参考文献
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[1] 《Problems related to flip graph Equation 》；
[2] Riemann : 《On the Number of Prime Numbers Less than a Given Value 》；
[3] John Derbyshire(America): 《PRIME OBSESSION 》P218,BERHARD RIEMANN
AND THE GREATEST UNSOlVED PROBLEM IN MATHMATICS,Translated by Chen
Weifeng,ShanghaiScience and Technology Education Press,
China,https://www.doc88.com/p-54887013707687.html;
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