第一 部分 立体几何
一、空间几何体
（ 一） 、空 间几 何体 的结 构
下面系 统研 究常 见的 空间 几何体 ，可 以把 它们 归结 为四类 简单 几何 体： 柱体 、椎体 、台
体、球 体．
简单几 何体 柱 锥 台 球
多面体 棱柱 棱锥 棱台
旋转体 圆柱 圆锥 圆台 球
1、多 面体 与旋 转体
由若干 个平 面多 边形 围成 的几何 体叫 多面 体 ， 围成 多面体 的各 个多 边形 叫做 多面体 的
面 ．相 邻两 个面 的公 共边 叫做多 面体 的 棱 ，棱 的公 共点叫 做多 面体 的顶点 ． 根据面 的个
数 ，可 以分 为四 面体 、五 面体 、…… ．
一个平 面图 形绕 它所 在平 面内的 一条 定直 线旋 转所 形成的 封闭 几何 体叫 做 旋 转体 ， 这条 定
直线叫 做旋 转体 的 轴 ．
2、柱 体
（1） 棱柱
有两个 面互 相平 行， 其余 各面都 是四 边形 ，并 且每 相邻两 个
四边形 的公 共边 都互 相平 行，由 这些 面所 围成 的多 面体叫 做
棱柱 ． 长方 体、 正方 体均 是棱柱 ．棱 柱中 ，有 底面 、侧面 、
侧棱、 顶点 等结 构．
棱柱的 底面 是多 边形 ，底 面是三 角形 、四 边形 、 五 边形……
的棱柱 分别 叫三 棱柱 、四 棱柱 、 五棱 柱…… ， 它们 分别是 五面 体 、 六面 体 、 七面
体…… ．用 表示 底面 各顶 点的字 母表 示棱 柱 ， 图中 的六棱 柱表 示为“棱柱
ABCDEF ? A''B''C''D''E''F '' ” ．
（2） 圆柱
以矩形 的一 边所 在直 线为 旋转轴 ，其 余三 边旋 转形 成的面 所围 成
的旋转 体叫 做圆柱 ． 圆柱 有轴、 底面 、侧 面、 母线 等结构 ．圆 柱
用表示 它的 轴的 字母 表示 ，图中 的圆 柱表 示为“圆柱 ” ．
OO ''
（3）柱
一般地 ，将 一个 平面 图形 ? 沿不在 该平 面内 的某 条直 线移动 一段 距离 形成 的几 何体叫 做 柱
体 ．
3、锥 体
（1） 棱锥
有一个 面是 多边 形， 其余 各面都 是有 一个 公共 顶点 的三角 形， 由这 些
面围成 的多 面体 叫做 棱锥 ．棱锥 中， 有底 面、 顶点 、侧棱 、侧 面等 结
构 ．底 面是 三角 形 、 四边 形 、五 边形…… 的棱 锥分 别叫三 棱锥 、四棱
锥 、五 棱锥…… ，它 们分 别是四 面体 、五 面体 、 六 面体…… ． 如图 所
示的四 棱锥 表示 为“ 棱锥 ” ．
S ? ABCD
（2） 圆锥
以直角 三角 形的 一条 直角 边所在 直线 为旋 转轴 ，其 余两边 旋转 形成 的面 所
围成的 旋转 体叫 做圆锥 ． 圆锥有 顶点 、底 面、 侧面 、轴、 母线 等结 构， 如
图所示 ．图 中的 圆锥 表示 为“圆锥 SO ” ．
（3） 锥体
一般地 ，把 一个 平面 图形 ? 中的每 个点 和平 面外 一点 P 连结起 来形 成的 几何 体叫 做 锥体 ．
4、台 体
用平行 于锥 的底 面且 位于 顶点和 底面 之间 的平 面去 截锥， 底面 和截 面
之间的 部分 叫做 台体 ．
（1） 棱台 ：
通过棱 锥得 到的 台称 为棱台 ．棱 台中 ，有 上底 面、 下底面 、侧 面、 侧
棱、顶 点等 结构 ．根 据侧 棱个数 ，棱 台可 以分 为三 棱台、 四棱
台…… ．图 中的 四棱 台表 示为“ 棱台 ABCD ? A''B''C''D'' ” ．
（2） 圆台 ：
通过圆 锥得 到的 台称 为圆台 ．圆 台中 ，有 上底 面、 下底面 、侧 面、 母
线 、顶 点等 结构 ．图 中的 四棱台 表示 为“ 圆台 ” ．
OO''
5、球
以半圆 的直 径所 在直 线为 旋转轴 ，半 圆面 旋转 一周 形成的 旋转 体叫 做球体 ，
简称 球 ，半 圆的 圆心 叫做 球的球心 ， 半圆 的半 径叫 做球的 半径 ，半 圆的 直径
叫做球 的直径 ． 图中 所示 的球表 示为“ 球 O ” ．
（ 二） 、直 观图 的斜 二测 画 法
斜二测 画法 的规 则：
（1） 建立 直角 坐标 系． 在 已知水 平放 置的 平面 图形 中取互 相垂 直的 OX ， OY ，建立 直角
坐标系 ；
（2） 画出 斜坐 标系 ．在 直 观图的 纸（ 平面 ）上 画出 对应的OX ?? ，OY ?? ，
使 ? ? ? （或 ） ， 它们 确定 的平 面 表示水 平平 面；
?X O Y = 45 ? 135 ?
? ?
（3） 画对 应图 形． 已知 图 中平行 于 X 、Y 轴的 线段 ，在 直观图 中分 别画 成平 行于 X 、Y
的线段 ，且 平行 于 X 轴的线 段长度 不变 ，平 行于Y 轴的 线段长 度为 原来 的一 半；
（4） 擦去 作为 辅助 线的 坐 标轴， 得到 图形 的直 观图 ．
（ 三） 、空 间几 何体 的表 面 积与体 积
1、柱 、锥 、台 的表 面积
空间几 何体 的表 面积 ，又 称全面 积， 就是 它各 个面 的面积 的和 ．一 般地 ，可 以把柱 、锥 、
台展成 平面 图形 ，利 用平 面图形 求面 积的 方法 ，求 出它们 的表 面积 ．
2、柱 、锥 、台 的体 积
（1） 柱的 体积 公式 ：V =Sh （ 为 底面面 积， h 为高 ） ．
S
柱 体
1
（2） 锥的 体积 公式 ：V = Sh （ S 为 底面面 积， h 为高 ） ．
锥 体
3
1
（3） 台的 体积 公式 ：V = S++ S S S h （ S 、 S 分别为 上底 面、 下底 面面
( )
台 体 上 上 下 下 上 下
3
积， 为高） ．
h
说明： 一般 地， 一个 点到 一个平 面的 距离 是指 从该 点向该 平面 作垂 线， 这点 与垂足 （垂 线
与底面 的交 点） 连线 段的 长．柱 体和 台体 的高 是指 一个底 面上 的任 一点 到另 一个底 面的 距
离．锥 体的 高是 指其 顶点 到底面 的距 离．
3、球 的体 积和 表面 积
4
3 2
设球的 半径 为 R ，则它 的体 积V 为：VR =? ，它 的表 面积 S 为：SR =? 4 ．
球 球 球 球
3
二、点、直线、平面之间的位置关系
（ 一） 、平 面的 基本 性质 与 推论
平面是 从现 实世 界中 的一 些事物 （如 黑板 面、 课桌 面等） 抽象 出来 的数 学对 象，它 是无 限
延展的 ．关 于平 面， 需要 注意
（1） 常把 平面 画成 平行 四 边 ， 图 1.1 中平 面表 示为“ 平面 ABCD ” ；为 了方 便 ， 人们 常 把希
腊字母 ? ， ? ， ? 等写 在代 表平 面的平 行四 边形 的一 个角 上， 图 1.1 中平 面也 可以 表示为
?
“ 平面 ” ．
图 1.1 图 1.2
平面表 示方 法 点在面 外、 面内
（2） 整个 空间 可以 看作 点 的集合 ，每 个平 面都 是整 个空间 的子 集． 图 1.2 中 ，点 A 在平面
? 内，记 作 A ? ? ；点 B 不在平 面 ? 内，记作 B ? ? ．
1． 平面的 基本 性质
人们提 出了 平面 满足 的一 些公理 ，这 些公 理是 进一 步推理 和研 究空 间图 形的 基础．
公理 1 如果 一条 直线 上 有两个 点在 一个 平面 内， 那么这 条直 线在 此平 面内 ．
公理 2 过不 在一 条直 线 上的三 点， 有且 只有 一个 平面．
公理 3 如果 两个 不重 合 的平面 有一 个公 共点 ，那 么它们 有且 只有 一条 过该 点的公 共直
线．
公理 3
公理 2
公理 1
公理 1 可以 用来 判断 直线 是否在 平面 内．
点 P 在直 线 l 上，记 作Pl ? ，否则 记作Pl ? ．如果 直线 l 上的 所有 点都在 平面 ? 内， 就说
直线 l 在平面 ? 内， 记作 l ? ? ．公 理１也 可以 用集 合符 号表 示：Al ? ，Bl ? ，且 A ? ? ，
B ? ? ?? l ? ．
公理 2 给出 了确 定一 个平 面的依 据． 不共 线三 点 A ， B ， C 确定 的平 面 ， 可以 记作“ 平面
” ．
ABC
公理 3 表明 ，如 果两 个不 重合的 平面 有一 个公 共点 ，那么 它们 全部 的公 共点 是一条 直线 ，
这条直 线称 为两 平面 的交 线；再 根据 公 理 1， 只要 找到了 它们 的两 个公 共点 ，就能 确定 交
线．
平面 ? 与平面 ? 相交 于直 线 l ，记作?? = l ，公 理 3 可 以用 集合 符号表 示为 ： P ? ? ，
且 P?? ? ?? = l ，且 ．
Pl ?
2． 平面基 本性 质的 推论
推论 1 ：经 过一 条直 线和 直线外 一点 ，有 且只 有一 个平面 ；
推论 2 ：经 过两 条相 交直 线，有 且只 有一 个平 面；
推论 3 ：经 过两 条平 行直 线，有 且只 有一 个平 面．
3． 共面与 异面 直线
空间中 的几 个点 或几 条直 线，如 果都 在同 意平 面内 ，我们 就说 它们 共面 ．如 果两条 直线 共
面，那 么它 们平 行或 者相 交．
不在同 一个 平面 内的 两条 直线叫 做 异 面直 线 （ 如正 方体的 体对 角线 和与 其不 相交的 棱） ，这
样，空 间两 条直 线的 位置 关系有 且只 有三 种：
相交直 线 ： 同 一平 面内 ， 有 且只有 一个 公共 点；
共面 直 线
平行直 线： 同一 平面 内， 没有公 共点 （注 意： 平行 一定共 面） ；
异面直 线： 不在 同一 个平 面，没 有公 共点 ．
（ 二） 、空 间中 的平 行关 系
1．平 行直 线
初中平 面几 何中 ，我 们学 过平行 公理 ： 过 直线 外一 点有且 只有 一条 直线 和已 知直线 平
行 ．并 且根 据平 行公 理， 我们推 出平 行线 的另 一重 要性质 ： 如 果两 条直 线都 平行于 第三 条
直线， 那么 这两 条直 线也 互相平 行． 这一 性质 同样 可以推 广到 空间 ，作 为空 间平行 直线 的
基本性 质：
公理 4 ：平 行于 同一 条直 线的两 条直 线互 相平 行．
这个公 理又 被称 为 空 间平 行线的 传递 性．
定理 ：如果一个 角的 两边 与另一 个角 的两 边分 别平 行，并 且方 向相 同， 那么 这两个 角相
等．
2．直 线与 平面 平行
我们知 道， 如果 一条 直线 和一个 平面 有两 个公 共点 ，那么 这条 直线 就在 这个 平面内 （如 下
左图） ．在 空间 中， 直线 与 平面的 位置 关系 除了 直线 在平面 内， 还有 另外 两种 情况：
直线 l 和平面 ? 只有 一个 公共 点 P ，叫 做 直 线与 平面 相交 ，这个 公共 点 P 叫做直 线与 平面
的交点 ，记 作lP ? = ． （如 下中 图 ）
直线 和平面 ? 没有 公共 点， 叫做 直 线与 平面 平行 ．记 作 ∥ ? ． （如 下图 ）
l l
直线 在 平面 内： 直线 与 平面 相交 ： 直线 与 平面 平行 ：
根据平 面的 性质 与平 行线 的性质 ，我 们给 出如 下两 个定理 ：
定理： 如果 不在 一个 平面 内的一 条直 线和 平面 内的 一条直 线平 行， 那么 这条 直线和 这个 平
面平行 ．
定理： 如果 一条 直线 和一 个平面 平行 ，经 过这 条直 线的平 面和 这个 平面 相交 ，那么 这条 直
线和两 个平 面的 交线 平行 ．
3．平 面与 平面 平行
两个不 重合 的平 面的 位置 关系除 相交 之外 ，还 有一 种情况 ：
如果两 个平 面没 有公 共点 ，则称 这 两 个平 面平 行 ． 平面 ? 平行于 平面 ? ，记 为 ? ∥ ? ．
由平行 公理 ，我 们可 归纳 出两个 平面 平行 的方 法：
定理 ： 如果 一个 平面 内有 两条相 交直 线平 行于 另一 个平面 ，那 么这 两个 平面 平行．
推论： 如果 一个 平面 内有 两条相 交直 线分 别平 行于 另一个 平面 内的 两条 直线 ，则这 两个 平
面平行 ．
根据平 行的 性质 ，我 们推 知两平 行平 面有 如下 性质 ：
定理： 如果 两个 平行 平面 同时与 第三 个平 面相 交， 那么它 们的 交线 平行 ．
（ 三） 、直 线、 平面 平行 小 结
线面平 行
面
面
公理 4
面
面
平
平
三角形 中位 线平 行于 底边
线线平 行
行
行
的
的
平行四 边形 对边 互相 平行 定
判
义
定
面面 平 行
从上面 的图 表中 可以 看出 ，直线 与直 线、 直线 与平 面、平 面与 平面 之间 的平 行关系 可以 相
互转化 ．
总之， 将空 间图 形问 题转 化为平 面图 形问 题， 以及 实现线 线关 系、 线面 关系 、面面 关系 的
相互转 化是 立体 几何 的基 本思路 和方 法．
（ 四） 、直 线与 平面 垂直
1．直 线与 平面 的垂 直关 系
如果两 条直 线相 交于 一点 或经过 平移 后相 交于 一点 ，并且 交角 为直 角， 则称 这 两条 直线 互
相垂直 ．
如果直 线 l 与平面 ? 内的 任意 一条直 线都 垂直 ，就 说直线 l 与平 面 ? 互相垂 直 ， 记作
l ⊥ ? ．直线 l 叫做 平面 ? 的垂 线 ， 平面 ? 叫做直线 l 的垂面 ，交 点 P 叫做 垂足 ．垂 线上 任
意一点 到垂 足间 的线 段， 叫做这 个点 到平 面 ? 的 垂线 段 ．垂 线段 的长 度叫 做这 个 点到 平面
? 的距离 ．
想一想： 如果一 条直线 垂 直于一
个平面内 的无数 条直线 ， 那么这
条直线 是否 与这 个平 面垂 直？
2． 直 线与 平面 垂直 的判 定
定理 一条直 线与 一个 平面 内的 两条相 交直 线都 垂直 ，则 该直线 与此 平面 垂直 ．
该定理 称为“ 直 线与 平面 垂 直的判 定定 理” ．由 该定 理 ，我们 可以 得到 以下 推论 ：
推论 1 如果在 两条 平行 直线 中， 有一条 垂直 于平 面， 那么 另一条 直线 也垂 直于 这个 平
面．
推论 2 如果两 条直 线垂 直于 同一 个平面 ，那 么这 两条 直线 平行．
（ 五） 、平 面与 平面 垂直
1． 平 面与 平面 的垂 直关 系
如果两 个相 交平 面的 交线 与第三 个平 面垂 直， 又这 两个平 面与 第三 个平 面相 交所得 的两 条
交线相 互垂 直， 就称 这 两 个平面 互相 垂直 ．
2． 平 面与 平面 垂直 的判 定
定理 如果一 个平 面过 另一 个平 面的一 条垂 线， 则两 个平 面互相 垂直 ．
该定理 称为“ 平 面与 平面 垂 直的判 定定 理” ．互 相垂 直 的两个 平面 有如 下性 质 ：
定理 如果两 个平 面互 相垂 直， 那么在 一个 平面 内垂 直于 它们交 线的 直线 垂直 于另 一个
平面．
第二部分 圆锥曲线与方程
一、直线与方程
（ 一） 、直 线方 程的 概念 与 直线的 斜率
1、直 线方 程的 概念
如果以 一个 方程 的解 为坐 标的点 都在 某条 直线 上， 且这条 直线 上的 点的 坐标 都是这 个方 程
的解， 那么 这个 方程 叫做 这条直 线的 方程 ，这 条直 线叫做 这个 方程 的直 线．
经过两 点有 且只 有一 条直 线．那 么， 经过 一 点 P 的 直线 l 的 位置 能确 定吗 ？ 答案是 否定
的 ，这 些直 线的 区别 在于 它们的“ 倾 斜程 度”不同 ． 表示直 线的“ 倾 斜程 度” 有 两个经 常使 用
的量： 倾斜 角和 斜率 ．
2、倾 斜角
当直线 与 x 轴相交 时， 我们 取 x 轴作 为基 准， x 轴正 向与 直线 向上方 向之 间所 成的 角称
l l
为直线 l 的倾 斜角 ．当 直线 l 与 x 轴平 行或 重合 时， 我们 规定它 的倾 斜角 为 0 ? ．对于 倾斜
角，我 们需 要注 意：
（1） 倾斜 角 ? 的取值 范围 是 0 ? ? ? ?180 ? ；
（2） 平面 内任 一条 直线 l 都 有一个 确定 的倾 斜角 ? ； ?=? 0 （ ?=? 90 ）等价 于 l 与 y
（ x ） 轴垂 直；
（3） 确定 平面 内一 条直 线 位置的 几何 要素 是： 直线 上的一 个点 以及 它的 倾斜 角，二 者缺 一
不可．
3、斜 率
（1） 一条 直线 倾斜 角 ? （其 中 ??? 90 ）的 正切 值叫 做这 条直 线的斜率 ， 斜率 通常 用小 写
字母 表示， 即
k k = tan ?
对于斜 率， 我们 需要 注意 ：
① 倾斜 角 不是 的直线 都有 斜率， 倾斜 角 为 的直 线（ 即 轴及 其平 行线 ）没 有
? 90 ? ? 90 ? y
斜率；
② 倾斜 角不 同的 两条 直线 的斜率 也不 同 ， 反之 亦然 ．因此 ，斜 率也 能表 示直 线的倾 斜程
度；
π π
?? ??
③ ? ? 0, ，随 着 ? 越大， k 越大 ， ? ? , π ，随着 ? 越大， k 也越 大， 正切 函数在
? ??
?
2 2
?? ??
?? π ?? π
0, , π
，单调 递增 ，在 也单 调递 增．
? ??
?
2 2
?? ??
（2） 通过 两点 的坐 标计 算 直线的 斜率
yy ?
21
经过点 P x , y ， P x , y （xx ? ）的 直线 的斜 率为 k = ，
( ) ( )
1 1 1 2 2 2 12
xx ?
21
对于这 一公 式， 我们 需要 注意：
P P
② 公式计 算得 到的 斜率 与 ， 的先后 顺序 无关 ；
1 2
② 直线 y=+ kx b 的斜 率恰 为 k ；反之 ，一条 直线 的斜 率为 k ，则 它的方 程为 y=+ kx b 的形
式．
（ 二） 、直 线方 程的 五种 形 式
1、 直 线的 点斜 式方 程———— y ? y = k x ? x
( )
00
设直线 l 的斜 率为 k ，其 上有 一点为 P x , y ，设 P x, y 在直 线 l 上，则 根据斜 率公 式可
( ) ( )
0 0 0
yy ?
0
得 = k ，整 理得 y ? y = k x ? x ．
( )
00
xx ?
0
由于此 方程 是由 直线 的斜 率 k 及其 上一 定点 P x , y 给出 的， 所以叫 做直 线 l 的点斜 式方
( )
0 0 0
程 ，简 称 点 斜式 ．
2、 直 线的 斜截 式方 程———— y=+ kx b
如果一 条直 线通 过点 (0,b ) ，且 斜率为 k ，则 直线 的点 斜式 方程为 y ? b = k (x ? 0 ) ．整 理
得： y=+ kx b
直线 l 与 y 轴交 点 0,b 的纵坐 标 b 叫做直线 l 在 y 轴上的 截距 ，上 式叫做 直线 l 的斜 截式 方
( )
程 ，简 称 斜 截式 ．
y?? y x x
11
3、 直 线的 两点 式方 程———— =
y?? y x x
2 1 2 1
yy ?
21
经过两 点 P x , y ， P x , y （其 中， x?? x , y y ）的 直线的 斜率 为 k = ，带入
( ) ( )
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
xx ?
21
点斜式 方程 并整 理可 得经 过两点 P x , y ， P x , y （其中 ， x?? x , y y ）的直 线的方
( ) ( )
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
y?? y x x
11
程为 = ，
y?? y x x
2 1 2 1
此方程 称为 直线 的 两 点式 方程 ， 简称 两点 式 ．
xy
4、 直 线的 截距 式方 程———— += 1
ab
当两点 P ( x , y ) ， P ( x , y ) 分别位 于坐 标轴 上时， 经过Pa ( ,0 ) ，Pb (0, ) （其中 ，
1 1 1 2 2 2 1 2
xy
）的直 线的 方程 为： += 1 ．
ab ? 0
ab
此方程 称为 直线 的 截 距式 方程 ， 简称 截距 式 ． 我们 把直线 l 与 x 轴交点 a,0 的横 坐标 a 叫
( )
做直线 l 在 x 轴上的 截距 ．
22
5、 直 线方 程的 一般 式———— Ax + By + C = 0 （AB +? 0 ）
我们把 关于xy , 的二 元一 次方 程叫做 直线 的 一 般方 程式 ，简称 一般 式 ．
（ 三） 、两 条直 线的 位置 关 系
1、根 据斜 率判 断两 直线 的 位置关 系
（1） 若直 线 l ： y=+ k x b ，直 线 l ： y=+ k x b ， 那么
1 11 2 22
① 两直 线平 行 ：l ∥l?? k =k ,b b ；
1 2 1 2 1 2
k =k ,b = b
② 两直 线重 合 ： ；
1 2 1 2
kk ?
③ 两直 线相 交 ： ；
12
l ⊥ l ? k ? k = ?1
④ 两直 线垂 直 ：
1 2 1 2
（注意 ，此 二式 在使 用时 已经假 定两 条直 线都 有斜 率． ） 其中 垂直 是相 交的 特 殊情况 ．
（2） 若直 线 l 的斜率 不存 在 ，则它 的平 行线 的斜 率也 不存在 ，它 的垂 线的 斜率 为 0； 若直
线 l 的斜 率 为 0， 则它 的平 行线的 斜率 也 为 0 ， 它的 垂线的 斜率 不存 在．
2、根 据系 数判 断两 直线 的 位置关 系
l:0 A x + B y + C = l:0 A x + B y + C = l l
设 ， 是两条 直线 ，则 方程 组（ ）表示 和 的共
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2
同部分 ：
? A x + B y + C = 0
1 1 1
， （ ）
?
A x + B y + C = 0
? 2 2 2
“ 直线 的交 点情 况” 与“ 二元 一次方 程组 解的 情况” 具 有 如下关 系 ：
① 若（ ）无解 ，即 ： A B ? A B = 0, AC ? A C ? 0 或B C ? B C ? 0 ，则 l 和 l 平行 ；
( )
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2
② 若（ ）只有 一组 解 ， 即 ： A B?? A B 0 则 l 和 l 相交 ， （ ）的解就 是 l 和 l 交点的 坐
1 2 2 1 1 2 1 2
标；
③ 若（ ）只有 无穷 多组 解 ，即： A B ? A B = 0, AC ? A C = 0 或B C ? B C = 0 则， l 和
( )
1
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
l
重合．
2
并且， 方程 组（ ）的解 只 可能有 以上 三种 情况 ．这 样，解 析几 何把 几何 结论 与代数 结论 联
系在一 起了 ，我 们可 以通 过解方 程了 解直 线的 位置 关系等 几何 性质 ．
（四） 、距 离公 式
22
1. 点到点 的距 离公 式： A x , y ， B x , y ， AB = x ? x + y ? y ．
( ) ( ) ( ) ( )
11 22 1 2 1 2
2. 点到直 线的 距离 公式
Ax++ By C
00
P x , y
点 ( ) 到直 线 l:0 Ax + By + C = 的距离 d = ．
0 0 0
22
AB +
3. 两平行 线间 的距 离公 式
CC ?
12
两平行 直线l:0 Ax + By + C = ， l:0 Ax + By + C = 间的距 离 d = ．
1122
22
AB +
（五） 、直 线系 方程 及其 应 用
1．定 点直 线系 方程 ：已 知 直线 l 经过定 点 P (x , y ) ，则过 点 P 的直线系 方程 为
00
y ? y = k x ? x （方程 中不 包括 与 y 轴平行 的那一 条） ，
( )
00
也可表 示为 ： A x ? x + B y ? y = 0 ；
( ) ( )
00
2．平 行直 线系 方程 ：已 知 直线 l ： Ax + By + C = 0 ，则 和 l 平行的 直线 系方程 为
Ax + By + m = 0 （ m 为参 数，mC ? ）
3．垂 直直 线系 方程 ：已 知 直线 l ： Ax + By + C = 0 ，则 和 l 垂直的 直线 系方程 为
Bx ? Ay + n = 0 （ n 为参 数）
l A x + B y + C = 0 l A x + B y + C = 0
4．交 点直 线系 方程 ：设 ： ， ： 是两条 直线 ，则 经
1 1 1 1 2 2 2 2
过 l ， l 交点的 直线 系方 程 A x + B y + C+0 ? A x + B y + C = （不包括 l ）
( )
1 2 1 1 1 2 2 2 2
二、圆与方程
（ 一） 、圆 的方 程
1. 圆 的标 准方 程：
22
2
C a,b x ? a + y ? b = r
（1） 以点 ( ) 为圆 心， r 为半 径 的圆的 方程 ： ( ) ( ) ；
2 2 2
（2） 圆心 在原 点的 圆的 标 准方程 ： x+= y r
2. 圆 的一 般方 程：
22 22
x + y + Dx + Ey + F = 0，（ D + E ?40 F ? ）（ ）
说明：
2 2
（1） x 和 y 项的系 数相 等且 都 不为零 ；
（2） 没有 xy 这样 的二 次项 ；
?? DE 1
22
?? , D+? E 4F
（3） 表示 以 为圆心 ， 为半 径的圆 ；
??
22
2
??
D E
22
① 当 D + E ?40 F = 时，方 程（ ）只有 实 根 x =? ， y =? ，方程 （ ）表示一 个 点
2 2
?? DE
?? ,
；
??
22
??
22
② 当 D + E ?40 F ? 时，方 程（ ）没有 实 根，因 而它 不表 示任 何图 形．
（ 二） 、点 、线 、圆 的位 置 关系
1. 点 与圆 的位 置关 系
22
2
设点 P 的坐标 为 xy , ，圆 C 的方程 为 x ? a + y ? b = r ，则 ：
( ) ( ) ( )
00
22 22
2 2
（1） (x ? a ) + ( y ? b ) ? r ? （1） (x ? a ) + ( y ? b ) ? r ? 点 P 在圆内 ；
00 00
22
2
（2） x ? a + y ? b = r ? 点 P 在圆上 ；
( ) ( )
00
22
2
（3） x ? a + y ? b ? r ? 点 P 在圆外 ；
( ) ( )
00
22
特殊： 其中 x ? a + y ? b = 0 时点 P 与圆 心重 合．
( ) ( )
00
2. 直 线与 圆的 位置 关系
思路一 ：将 直线 方程 与圆 的方程 联立 成方 程组 ，利 用消元 法消 去一 个元 后， 得到关 于另 一
个元的 一元 二次 方程 ，求 出其 ? 的值， 然后 比较 判别 式 ? 与 0 的大小 关系 ，
（1） 若 ??0 ，则直 线与 圆相 交 ；
（2） 若 ?=0 ，则直 线与 圆相 切 ；
（3） 若 ??0 ，则直 线与 圆相 离 ；
思路二 ：利 用点 到直 线的 距离 d 与半径 r 的关 系．
（1） 若dr ? ，则直 线与 圆相 交 ；
（2） 若dr = ，则直 线与 圆相 切 ；
dr ?
（3） 若 ，则直 线与 圆相 离 ；
22
l=? 2 r d d
2、圆 的弦 长公 式： ，其 中 r 表示圆 的半 径， 表示 圆心 到相交 弦的 距离 ．
3. 圆 与圆 的位 置关 系
O r O r d
设圆 的半径 为 ，圆 的半径 为 ，且 两圆 圆心 的距 离为 ，则：
1 1 2 2
d ? r + r ? d = r + r ?
（1） 两圆 外离； （2 ） 两圆 外切；
12 12
（3） r ? r ? d ? r + r ? 两圆 相交 ；
1 2 1 2
（4） d=? r r 两圆 内切； （rr ? ）；
12
12
（5） 0 ? d ? r ? r ? 两圆 内含 ，其 中 d = 0 时两 圆是同 心圆 ．
12
三、椭圆
（ 一） 、椭 圆的 方程 及其 简 单性质
1．椭 圆及 其标 准方 程
我们把 平面 内与 两个 定点FF , 的距离 的和 等于 常数( 大于 FF ) 的点的 轨迹 叫做 椭圆 ，这
12 12
两个定 点叫 做 椭 圆的 焦点 ，两焦 点间 的距 离叫 做 椭 圆的焦 距 ．
MF+= MF 2a
12
在平面 直角 坐标 系中 ，焦 点在 x 轴上（ 分别Fc ? ,0 ，Fc ,0 ） ，且 其 上的任 意一 点到
( ) ( )
1 2
F ， F 的距 离的 和等 于 （其中 ）的椭 圆的 方程 为
2a ac ?? 0
1 2
22
xy
+= 1 ab ?? 0
( )
22
ab
2 2 2
上面的 方程 称为 椭圆 的标 准方程 ，其 中 c =? a b ．
2．椭 圆的 基本 性质
MF+= MF 2a ( )
2a ? 2c = F F ? 0
定义 y
12 12
M
y
O
x
M
x
图形
O
x
22 22
xy yx
方程 += 1(ab ?? 0 ) += 1(ab ?? 0 )
22 22
ab ab
Fc ? ,0 Fc ,0 Fc 0, Fc 0, ?
( ) ， ( ) ( ) ， ( )
焦点
1 2 1 2
基本关 长半轴 长 a
2 2 2
c =? a b
系式 短半轴 长 b
c
半焦距
c
e =
离心率 e
a
（ 二） 、椭 圆的 焦点 三角 形
1．椭 圆的 焦点 三角 形
椭圆上 异于 左、 右顶 点的 任意一 点与 椭圆 的两 焦点 组成的 三角 形称 为椭 圆的 焦点三 角形 ，
即图中 的 △MF F ．
12
2． 椭 圆焦 点三 角形 的一 些 结论
22
xy
+ =1(ab ? ? 0)
若椭圆 方程 为 ，设 M (x , y )(y ? 0) ，?= F MF ? ，|| F M = r ，
22 0 0 0 12 11
ab
|| F M = r ，
22
2
2b
B
（1） cos ?=? 1 ， ? =?F BF ( 为短轴 的端 点) ；
max 1 2
rr
12
22
xy
2
+= 1 () r r = b
（2） 当点 在长 轴端 点时 ， ；
1 2 max
22
ab
22
xy
2
+= 1 () r r = a
当点 在短 轴端 点时 ， ；
1 2 max
22
ab
1 ?
2
（3） S = r r sin ? = b tan = c | y |
△MF F 1 2 0
12
22
PF ? ?a ? c,a + c ?
（4） ① ；
1
22
② PF?? PF ?? b ,a ；
12
??
2
2 2 2 2
??
③ PF1 ? PF = OP ? c ?2, b ? a b ；
2
??
22
22 bb
PF== PF a
④ cos ?F PF = ?1 ? ?1 ( 当且 仅当 ，即 P 为椭 圆的 短轴端
12
12
2
PF ? PF a
12
点时， cos ?F PF 取得 最小 值， 且此 时点 P 对两个 焦点 的张 角 ?F PF 最大) 。
12 12
三、双曲线
1．双 曲线 及其 标准 方程
我们把 平面 内与 两个 定点 的距离 的差 的绝 对值 等于 常数(小于 FF ) 的点的 轨迹 叫做 双曲
12
线 ，这 两个 定点 叫做 双曲 线的焦点 ， 两焦 点间 的距 离叫做 双曲 线的 焦距 ．
MF?= MF 2a 0?? 2ac 2
( )
12
在平面 直角 坐标 系中 ，焦 点在 x 轴上( 分 别是Fc ? ,0 ，Fc ,0 ) ，且其 上的任 意一 点到
( ) ( )
1 2
F F 2a ca ?? 0
， 的距 离的 差的 绝对 值等 于 ( 其中 ) 的双 曲线 的方 程为
1 2
22
xy
a ? 0 b ? 0
?= 1 （ ， ）
22
ab
2 2 2
c =+ a b
上面的 方程 称为 双曲 线的 标准方 程 ， 其中 ．
2． 双 曲线 的性 质
（1） 双曲 线的 渐近 线
22
xy
xy
双曲线 ?= 1 的各 支向 外延 伸时 ，与 这两条 直线 逐渐 接近 ，我们 把这 两条 直
?= 0
22
ab
ab
线叫做 双曲 线的 渐近 线 ．
（2） 等轴 双曲 线
实轴和 虚轴 等长 的双 曲线 叫做 等 轴双 曲线 ．其 渐近 线方程 为yx =? ．
（3） 双曲 线的 离心 率
c
双曲线 的焦 距与 实轴 长的 比 ，叫 做 双 曲线 的离 心率 ．
a
（4） 双曲 线的 焦点 三角 形 面积
22
xy
P x , y
设点 ( ) 是双曲 线 ?= 1 上异于 左、 右顶点 的任 意一 点， 点 F ， F 分别是 双曲 线
00
22 1 2
ab
2
b
S== c y
的左、 右焦 点， 则
△PF F 0
12
?F PF
12
tan
2
四、抛物线
1．抛 物线 及其 标准 方程
l l
我们把 平面 内与 一个 定点 F 和一条 定直 线 ( F 不在直 线 上) 距离相 等的 点的 轨迹 叫做 抛物
l
线， 点 F 叫做 抛物 线的 焦 点，直 线 叫做抛 物线 的准 线．
p
p
??
2
焦点坐 标为 ,0 ，准 线方 程为 x =? ．则抛 物线 的标 准方 程为 y = 2 px ．
??
2 2
??
2．抛 物线 方程 的 4 种形 式
标准方 程 图形 对称轴 焦点坐 标 准线方 程
y
l
2
y = 2px p
?? p
， 0 x =?
??
O x
F
2
( p ? 0) ?? 2
x 轴
y
l
2
y =?2 px
?? p p
? ， 0
x =
??
x
O
F 2
( p ? 0) ??2
y
2
x = 2 py p p
??
0 ， y =?
??
2 2
( p ? 0) F ??
x
O
l
y
轴
y
l
O
2
x =?2py x p
??p
0 ， ? y =
F
??
2
( p ? 0) ??2
3．抛 物线 的性 质
（1） 抛物 线的 离心 率
抛物线 上的 点 M 到焦 点的 距离和 它到 准线 的距 离的 比，叫 做 抛 物线 的离 心率 ，用 e 表
示．由 抛物 线的 定义 可知 ， e = 1 ．
（2） 抛物 线的 焦点 弦问 题
2
y=? 2 px( p 0) AC
已知 AB 是抛物 线 的焦点 弦， F 为抛物 线的 焦点 ， ， BD 垂直 于抛物 线
的准线 于 C ， D 两点 ，过 点 B 作 AC 的垂线 交 AC 于点 P ，
记直线 AB 的倾 斜角 为 ? ， A(x , y ) 、 B(x , y ) ，则有以 下结 论：
11 22
AB = x + x + p
① ；
12
2
p
2
②xx = ； y y =?p ；
12
12
4
2
p 1 1 2
S = +=
③ ；④ ；
△AOB
2sin ? AF BF p
AB
⑤ 以 为直径 的圆 与抛 物线 的准线 相切 ．
五、直线与圆锥曲线的位置关系
一、直 线与 圆锥 曲线 位置 关系
直线与 圆锥 曲线 的位 置关 系可分 为： 有两 个交 点， 一个交 点， 没有 交点 ．一 般地， 在判 断
交点个 数时 ，设 直线 l ： Ax + By + C = 0 ，圆锥曲 线 C ： f (x, y) = 0 ，由
?Ax + By + C = 0
?
f (x ， y) = 0
?
消去 y 得：
2
ax + bx + c = 0
2
(1) 若 a ? 0 ， ? = b ? 4ac ， ① ? ? 0 ? 有两个 交点 ； ② ? ? 0 ? 没有 交点 ； ③ ? = 0 ? 有一
个交点 。
(2) 若 a = 0 ，得 到一 个一 次方 程 ：若 C 为双曲 线， 则 与双曲 线的渐 近线 平行 ；若 C 为抛 物
l
线，则 与抛 物线 的对 称轴 平行 。
l
二、弦 长公 式
直线与 圆锥 曲线 有两 个相 异的公 共点 ，表 示直 线与 圆锥曲 线相 割， 此时 直线 被圆锥 曲线 截
得的线 段称 为圆 锥曲 线的 弦．若 该直 线通 过圆 锥曲 线的焦 点， 此时 得到 的弦 叫 焦点 弦．若
焦点弦 垂直 于焦 点所 在的 圆锥曲 线的 对称 轴， 此时 焦点弦 也叫 通径 ．
b c
2
如果xx ， 满足一 元二 次方 程： ax + bx + c = 0 ，则xx + = ? ，xx = ，
12
12 12
a a
?
2
x ? x = (x + x ) ? 4x x = ( ??0 ) ．
1 2 1 2 1 2
a
如果直 线的 斜率 为 k ，被圆 锥曲线 截得 弦 AB 两端点 坐标 分别为 (x ， y ) ， (x ， y ) ，则 弦长
1 1 2 2
为 ：
2
1
??
2
AB =11 + k x ? x = + y ? y
．
1 2 ?? 1 2
k
??
六、曲线与方程
（ 一） 、曲 线与 方程
1． 曲线与 方程
一般地 ，在 直角 坐标 系中 ，如果 某曲 线 C( 看 作点 的 几何或 适合 某种 条件 的点 的轨迹) 上的
点与一 个二 元方 程 的实数 解建立 了如 下的 关系 ：
f x,0 y =
( )
(1) 曲线上 的点 的坐 标都 是 这个方 程的 解；
(2) 以这个 方程 的解 为坐 标 的点都 是曲 线上 的点 ．
那么， 这个 方程 叫做 曲线 的方程 ；这 条曲 线叫 做方 程的曲 线．
2． 求曲线 的方 程
求曲线 方程 的一 般步 骤为 ：
(1) 建立适 当的 坐标 系， 用 有序实 数对 xy , 表示 曲线 上任 意一 点 M 的 坐标 ；
( )
(2) 写出适 合条 件 p 的点 M 的集合 P = M p M ；
( )
? ?
(3) 用坐标 表示 条件 ，列 出 方程 ；
pM ( ) f ( x,0 y ) =
(4) 化方程 为最 简形 式；
f x,0 y =
( )
(5) 说明以 简化 后的 方程 的 解为坐 标的 点都 在曲 线上 ．
注：一 般地 ，化 简前 后方 程的解 集是 相同 的， 步骤(5) 可以 省略 不写 ，如 有特 殊情况 ，可 以
适当说 明． 另外 ，也 可以 根据情 况省 略步 骤(2) ， 直 接列出 曲线 方程 ．
3． 求轨迹 方程 的常 用方 法
求轨迹 方程 的常 用方 法有 直译法 ，定 义法 ，代 入法( 相关点 法) ， 参数 法．
(1) 直译法
如果动 点满 足的 几何 条件 本身就 是一 些几 何量 的等 量关系 且这 些几 何简 单明 了且易 于表
x
达 ，那 么只 需把 这些 关系“ 翻译” 成含 、 y 的等式 ，就 可 得到曲 线的 轨迹 方程 ，由 于这种
求轨迹 方程 的过 程不 需要 其他步 骤， 也不 需要 特殊 的技巧 ，所 以被 称为 直译 法．
(2) 定义 法
求轨迹 方程 时， 若动 点轨 迹满足 圆或 其它 曲线 的定 义时， 可直 接由 条件 求得 曲线的 有关 参
数，按 照曲 线方 程的 标准 形式， 直接 写出 方程 ．
(3) 代入法( 相关 点法)
若动点 P x, y 所满 足的 条件 不易 用等式 列出 ，但 点 P x, y 却随另 一动点 Q x'', y'' 的运 动而
( ) ( ) ( )
有规律 地运 动， 且动 点 的轨迹方 程给 定或 容易 求得 ，则可 先将 x'' 、 表示为 x 、 的
Q y'' y
式子， 再代 入 Q 的轨迹 方程 ，然后 整理 ，即 可得 P 的轨 迹方程 ，这 种求 轨迹 方程 的方法 叫
代入法 ，也 称相 关点 法．
此法的 关键 在于 寻求 关系 式： x'' = f x, y ， y'' = g x, y ，然 后代 入点 Q 的轨 迹方程 ．
( ) ( )
(4) 参数法
有时不 容易 得出 动点 应满 足的几 何条 件， 也无 明显 的相关 点， 但却 较容 易发 现( 或经 分析 可
发现) 该 动点 常常 受到 另一 个变量( 角度 ，斜 率， 比值 ，截距 或时 间等) 的制 约， 即动点 坐标
中的 x 、 y 分别 随另 一变 量的 变化而 变化 ，我 们称 这个 变量为 参数 ，由 此建 立轨 迹
xy ,
( )
的参数 方程 ，这 种方 法叫 参数法( 或设 参消 参法) ，如 果需要 得到 轨迹 的普 通方 程，只 要消
去参数 即可 ．
第 三部分 数列
一、 数列的概念与表示
（ 一） 、数 列的 概念
1． 数 列的 定义 ：
（1） 按照 一定 次序 排列 起 来的一 列数 叫做 数列 ．
数列中 的每 一个 数叫 做这 个数列 的 项 ．排 在第 一位 的数称 为这 个数 列的 第 1 项（通 常也 叫
做 首项）， 排在 第二 位的 数 称为这 个数 列的 第 2 项…… 排在 第 n 位的数 称为 这个 数列的 第 n
项．所 以， 数列 的一 般形 式可以 写成 a ， a ， a ，… ， a ，…简记 为 a ．其中 数列
? ?
1 2 3 n n
a 的第 n 项 a 也叫做 数列 的通项 ．
? ?
n n
1,2, ,n
（2） 数列 也可 以看 成是 以 正整数 集 N （或它 的有 限子 集 ? ? ）为 定义 域的 函数
a = f (n ) ，当自 变量 按照 从小 到大 的顺序 取值 时， 所对 应的 项是一 系列 函数 值．
n
2．数 列的 分类 ：
（1） 按照 数列 的项 数的 多 少可分 为： 有穷 数列 与无 穷数列 ．项 数有 限的 数列 叫有穷 数列 ，
项数无 限的 数列 叫无 穷数 列．
（2） 按照 数列 的每 一项 随 序号变 化的 情况 可分 为： 递增数 列、 递减 数列 、常 数列、 摆动 数
列．从 第 2 项起 ，每 一项 都大于 它的 前一 项的 数列 叫做递 增数 列； 从 第 2 项 起，每 一项 都
小于它 的前 一项 的数 列叫 做递减 数列 ；各 项相 等的 数列叫 做常 数列 ．
3． 数 列的 表示 方法 ：
（1） 通项 公式 法： 如果 数 列 a 的第 n 项 a 与 n 之间 的关 系可用 一个 函数 关系 a = f n
? ? ( )
n n n
来表示 ，这 个公 式就 叫做 这个数 列的 通项 公式 ．
（2） 递推 公式 法： 如果 已 知数列 ?a ? 的第 1 项 （或 前几 项） ， 且任 意一 项 a 与它相 邻 的一
n n
项（或 几项 ）间 的关 系可 以用一 个公 式来 表示 ，那 么这个 公式 就叫 做数 列的 递推公 式．
（3） 列表 法： 与函 数一 样 ，数列 也可 以用 列表 的方 法来表 示．
如 ：全 体正 偶数 按从 小到 大的顺 序构 成的 数 列 2 ，4 ，6，8 ，… 用列 表法 可表 示为
n 1 2 3 … k …
a
2 4 6 … 2k …
n
列表法 可以 清楚 地反 映出 数列的 许多 具体 的项 ，但 由于受 某些 条件 的限 制， 用列表 的方 法
有时不 能完 整的 反映 一个 数列， 或数 列的 具体 规律 ，所以 不是 每一 个数 列都 可以用 列表 的
方法表 示．
（4） 图象 法： 可以 以序 号 为横坐 标， 相应 的项 为纵 坐标， 描点 作图 来表 示这 个数列 ．
数列的 前 n 项和 ：
一般地 ，我 们称 a + a + a + ... + a 为数 列 ?a ? 的前 n 项 和， 用 S 来表示 ，有
1 2 3 n n n
a , n =1
?
1
S = a + a + a + ...a ，易得 到 a = ．
nn 1 2 3 n ?
SS ? ,n ? 2
nn ?1
?
二、 等差数列
1、 等 差数 列的 概念
如果一个 数列从第 二项起 ，每一项 与它的前 一项的 差都等于 同一个常 数，那 么这个数 列
就叫做 等差 数列 ．这 个常 数叫做 等差 数列 的公差 ， 常用字 母 d 表示．
2、 等 差中 项
ab +
如果三 个数 a,, A b 组成 等差 数列 ，那么 A 叫做 a 和 b 的等差 中项 ，即 A = ．
2
3、 等 差数 列的 通项 公式
a = a + (n ?1)d ．
n 1
4、 等 差数 列的 前 n 项和公 式
n() a + a nn ( ?1)
1 n
S = = na + d ．
n 1
22
a ， d ， n ， a ， S 知三求 二， 可以 考虑根 据公 式同 一转 化为 两个基 本量 ．
1 n n
5、 等 差数 列简 单性 质
（1） 等差 数列 中， 若 ，则 有 a + a = a + a ；若 2m=+ p q ，则
p + q = m + n
p q m n
2a =+ a a ．
m p q
（2） 等差 数列 中， 等距 离 取出若 干项 也构 成一 个等 差数列 ，即 a ， a ， a ，…… 为
n mn + nm +2
等差数 列， 公差 为 md ．
（3） 等差 数列 中， 等差 数 列的 n 项和也 构成 一个 等差 数列， 即 S ，SS ? ，
n 2nn
2
SS ? ，…… 为等 差数 列 ， 公差 为nd ．
32 nn
三、 等比数列
1、等 比数 列的 概念
一般地 ，如 果一 个数 列从 第 2 项 起， 每一 项与 他的 前一项 的比 等于 同一 常数 ，那么 这个 数
列叫做 等比 数列 ，这 个常 数叫做 等比 数列 的公 比， 公比通 常用 字母 q 表示 （ q ? 0）．
2、等 比中 项
与等差 中项 的概 念类 似， 如果在 a 与 中间插 入一 个数 ，使得 a ， ， 成等 比数 列，
b G G b
那么 G 叫做 a 与 b 的等 比中 项．
3、等 比数 列的 通项 公式
已知数 列 a 是等比 数列 ，首 项为 a ，公比 为 q ，第 n 项为 a ，则通项 公式 为：
? ?
n 1 n
n ?1
a = a q ．
n 1
4、等 比数 列的 前 n 项和
一般地 ，等 比数 列 a 的前 n 项和用 S 表示．
? ?
n
n
na , q =1,
?
1
?
n
S =
?aq (1 ? )
n
1
, q ? 1.
?
1 ? q
?
5、等 比数 列简 单性 质
（1） 等比 数列 a 中， 若 ，则 有 a ? a = a ? a ；
? ? p + q = m + n
n p q m n
2
特殊， 若 2m=+ p q ，则有 a =? a a ．
m p q
（2） 等比 数列 a 中， S ，SS ? ，SS ? 仍 为等比 数列 ．
? ?
n n 2nn32 nn
四、 数列求和
1．公 式法 ：
直接应 用等 差数 列或 等比 数列的 求和 公式 以及 正整 数的平 方和 公式 、立 方和 公式等 求和 的
方法．
常见求 和公 式：
a + a n
( )
1 n
等差数 列求 和公 式： S =
n
2
n
aq 1 ?
( )
1
等比数 列求 和公 式： S = （ q ?1 ）
n
1 ? q
n (n++ 1 ) (2n 1 )
2 2 2
平方和 公式 ：12 + + + n =
6
2
?? nn +1
2 ( )
3 3 3
立方和 公式 ：1 + 2 + +nn = (1 + 2 + + ) =
??
2
??
2．分 组求 和：
对通项 进行 合理 的分 析， 然后再 分组 ，转 化为 易求 和的数 列求 和问 题．
3．倒 序相 加法
等差数 列前 n 项和 公式 的推 导，是 先将 和式 中各 项反 序编排 得出 另一 个和 式， 然后再
与原来 的和 式对 应相 加， 从而求 得等 差数 列的 前 n 项和公式 ．
4．错 位相 减法
针对数 列 ab 的数列 求和 应用 此法， 其中 数列 a 是等 差数 列， b 是等比 数列 ．
? ? ? ? ? ?
nn n n
5．裂 项相 消法
对通项 进行 合理 的分 拆， 然后再 消项 ，转 化为 易求 和的数 列求 和问 题．
五、 数列求通项
1．累 加法
a ?= a f n
若给出 或由 题设 可得 到 a 与 ( ) （ fn ( ) 是可 求和 的数 列） ，则 可 由
? ?
1 nn +1
n
a = a + a ? a 求 a ．
( )
n11 ? i i ? n
i =2
2．累 乘法
a
n +1
若给出 或由 题设 可得 到 a 与 （ fn 是可 求积 的数 列） ，则 可 由
=fn ( ) ? ( ) ?
1
a
n
aaa
2 3 n
aa = ? ? ? ? （ n ? 2 ）求 a ．
n 1 n
a a a
1 2 n ?1
?an,1 =
1
3．利 用 a 和 S 的关 系， 若给 出 S 或可求 出 S ，则可 利用 a = ，求 a ．
n n n n n ? n
S?? S ,2 n
?nn ?1
4．构 造法
若由给 出的 条件 直接 求 a 较难，可 以通 过变 形， 转化 ，并运 用整 体思 想， 构造 出一个 等差
n
数列或 等比 数列 ，从 而求 出通项 ．
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