数学-《一飞冲天2024》导数压轴题汇总 解析版

《一 飞冲 天 2024 》导 数压 轴题 汇总
参 考 答 案 与 试 题 解 析
一 ． 解 答 题 （ 共 49 小 题 ）
1 ． 已 知 a ＞ 0 ， 设 函 数 f （ x ） ＝ （ 2 x ﹣ a ） l n x +x ， f ′ （ x ） 是 f （ x ） 的 导 函 数 ．
（ Ⅰ ） 若 a ＝ 2 ， 求 曲 线 f （ x ） 在 点 （ 1 ， f （ 1 ） ） 处 的 切 线 方 程 ；
（ Ⅱ ） 若 f （ x ） 在 区 间 （ 1 ， +∞ ） 上 存 在 两 个 不 同 的 零 点 x ， x （ x ＜ x ） ．
1 2 1 2
（ ⅰ ） 求 实 数 a 范 围 ；
（ ⅱ ） 证 明 ： ．
注 ： 其 中 e ＝ 2 . 7 1 8 2 8? 是 自 然 对 数 的 底 数 ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ Ⅰ ） 把 x ＝ 1 代 入 原 函 数 与 导 函 数 得 到 切 点 及 斜 率 ， 利 用 点 斜 式 即 可 得 切 线 方
程 ；
（ Ⅱ ） （ i ） 可 设 ， 因 为 x ＞ 1 ， 所 以 g （ x ） 与 f （ x ） 零 点 相 同 ，
可 根 据 g （ x ） 的 单 调 性 与 极 值 情 况 来 确 定 a 的 范 围 ；
（ i i ） 根 据 题 意 ， 巧 设 函 数 ， 利 用 放 缩 构 造 等 思 路 结 合 导 数 ， 可 分 别 求 出 x f ′ （ x ） 与
2 2
的 范 围 ， 然 后 相 乘 即 可 ， 详 细 过 程 见 解 析 ．
【 解 答 】 解 ： （ Ⅰ ） 当 a ＝ 2 时 ， ，
所 以 f （ 1 ） ＝ 1 ， k ＝ f ′ （ 1 ） ＝ 1 ．
根 据 点 斜 式 可 得 曲 线 f （ x ） 在 （ 1 ， f （ 1 ） ） 处 的 切 线 方 程 为 y ＝ x ．
（ Ⅱ ） （ ⅰ ） 当 x ＞ 1 时 ， f （ x ） ＝ 0 等 价 于 ．
设 ， 则 ．
当 时 ， g '' （ x ） ＜ 0 ， g （ x ） 单 调 递 减 ；
当 时 ， g '' （ x ） ＞ 0 ， g （ x ） 单 调 递 增 ；
所 以 ， 当 x ＞ 1 时 ， ，
因 为 f （ x ） 在 区 间 （ 1 ， +∞ ） 上 存 在 两 个 不 同 的 零 点 x ， x ，
1 2
所 以 [ g （ x ） ] ＜ 0 ， 解 得 ．
m in
第 1 1页（共 1 0 6页）当 时 ， 取 ， 则 ，
故 ， 又 ，
所 以 f （ x ） 在 区 间 和 上 各 有 一 个 零 点 ．
综 上 所 述 ： ．
（ ⅱ ） 证 明 ： 设 F （ x ） ＝ f （ x ） ﹣ [ （ 3 ﹣ a ） x +a ﹣ 2 ]＝ （ 2 x ﹣ a ） l n x + （ a ﹣ 2 ） x ﹣ （ a ﹣ 2 ） ，
则 ， 它 是 [1 ， + ∞ ） 上 的 增 函 数 ．
又 F ′ （ 1 ） ＝ 0 ， 所 以 F '' （ x ） ≥ 0 ， 于 是 F （ x ） 在 [1 ， +∞ ） 上 递 增 ．
所 以 F （ x ） ≥ F （ 1 ） ＝ 0 ， 即 （ 2 x ﹣ a ） l n x +x ≥ （ 3 ﹣ a ） x +a ﹣ 2 ， 当 x ＝ 1 时 取 等 号 ．
因 为 x ＞ 1 ， 所 以 0 ＝ f （ x ） ＞ （ 3 ﹣ a ） x + a ﹣ 2 ， 解 得 ．
1 1 1
因 为 ， 所 以 x f '' （ x ） ＝ 2 x l n x ﹣ a +3 x ，
2 2 2 2 2
结 合 f （ x ） ＝ （ 2 x ﹣ a ） l n x +x ＝ 0 ，
2 2 2 2
可 知 ．
处 理 1 ： 设 函 数 ， 则 ，
所 以 当 0 ＜ x ＜ e 时 ， h ′ （ x ） ＜ 0 ， h （ x ） 递 减 ， 当 x ＞ e 时 ， h ′ （ x ） ＞ 0 ， h （ x ） 递 增 ，
所 以 ， 所 以 ．
处 理 2 ： 因 为 l n x ≤ x ﹣ 1 ， 所 以 ， 即 ， 当 x ＝ e 时 取 等 号 ，
所 以 ．
由 （ i ） 可 知 ， f （ x ） 在 [ x ， + ∞ ） 上 单 调 递 增 ， 且 f （ x ） ＝ 0 ， 所 以 ， 即 a ﹣
2 2
2 x ≥ e ．
2
因 为 在 [ e ， +∞ ） 上 是 减 函 数 ， 且 a ﹣ 2 x ≥ e ，
2
第 1 2页（共 1 0 6页）且 ．
综 上 ， ．
【 点 评 】 本 题 考 查 了 利 用 导 数 研 究 函 数 的 切 线 方 程 ， 利 用 导 数 研 究 函 数 单 调 性 与 最 值 ，
函 数 的 零 点 和 不 等 式 的 证 明 ， 考 查 了 转 化 思 想 ， 属 难 题 ．
2 ． 已 知 函 数 ．
（ 1 ） 若 a ＝ 1 ， 证 明 ： f （ x ） ≥ g （ x ） ；
（ 2 ） 若 函 数 y ＝ f （ x ） 与 函 数 y ＝ g （ x ） 的 图 象 有 且 仅 有 一 条 公 切 线 ， 求 实 数 a 的 取 值 集
合 ；
（ 3 ） 设 ， 若 函 数 y ＝ h （ x ） 有 两 个 极 值
点 x ， x ， 且 x ＜ x ， 求 证 ： ．
1 2 1 2
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 ； 利 用 导 数 研 究 函 数 的 最 值 ； 利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某
点 切 线 方 程 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ 1 ） 构 造 函 数 ， 并 利 用 导 数 去 证 明 φ （ x ） ≥ 0 即 可 解 决 ；
（ 2 ） 先 分 别 写 出 f （ x ） 与 g （ x ） 切 线 方 程 ， 再 构 造 函 数 ，
利 用 导 数 求 其 只 有 一 个 零 点 时 实 数 a 的 取 值 即 可 解 决 ；
（ 3 ） 构 造 函 数 ， 并 利 用 导 数 去 证 明 M （ x ）
＞ 0 即 可 解 决
【 解 答 】 （ 1 ） 证 明 ： a ＝ 1 时 ， 若 证 f （ x ） ≥ g （ x ） ， 即 证 l n x ﹣ ≥ 0 ，
即 证 l n x + ﹣ 1 ≥ 0 ，
令 ， 则 ，
当 x 变 化 时 ， φ （ x ） ， φ '' （ x ） 变 化 情 况 如 下 表 ：
x （ 0 ， 1 ） 1 （ 1 ， +∞ ）
φ '' （ x ） ﹣ 0 +
φ （ x ） ↘ 极 小 0 ↗
第 1 3页（共 1 0 6页）则 x ＝ 1 是 φ （ x ） 唯 一 的 极 值 点 且 是 极 小 值 点 ，
所 以 φ （ x ） ≥ φ （ 1 ） ＝ 0 ．
故 f （ x ） ≥ g （ x ） ；
（ 2 ） 解 ： ∵ ，
∴ f （ x ） 与 g （ x ） 切 线 方 程 分 别 为 ，
2
由 题 意 得 有 且 仅 有 一 解 ， 则 m ＝ a n ，
所 以 a ＞ 0 ，
代 入 方 程 得 ： ，
令 ， 则 ，
当 时 ， R '' （ n ） ＜ 0 ， R （ n ） 单 调 递 减 ， 时 ， R '' （ n ） ＞ 0 ， R
（ n ） 单 调 递 增 ，
∴ ，
a 2
当 a ＞ 0 时 ， 即 a l n a ﹣ a ﹣ 1 ≥ ﹣ 2 ， 且 e ＞ a ，
则 ，
由 题 意 根 据 函 数 零 点 判 定 定 理 可 得 ， ， 易 得 a ＝ 1 ，
综 上 ， 实 数 a 的 取 值 集 合 为 { 1 } ；
（ 3 ） 证 明 ： 因 为 ，
∴ ，
当 a ﹣ 1 ≥ 0 ， 即 a ≥ 1 时 ， 函 数 h （ x ） 单 调 增 ， 无 极 值 点 ，
当 a ﹣ 1 ＜ 0 ， 即 a ＜ 1 时 ， 由 h '' （ x ） ＝ 0 得 ： 两 根 ， 又 x ＞ ﹣ 1 ，
∴ 当 a ≤ 0 时 ， h '' （ x ） ＝ 0 只 有 一 根 ， 不 合 题 意 ， 舍 去 ，
∴ 当 0 ＜ a ＜ 1 时 ， y ＝ h （ x ） 有 两 个 极 值 点 x ， x ， 且 ∈ （ ﹣ 1 ， 0 ） ， ∈
1 2
（ 0 ， 1 ） ，
第 1 4页（共 1 0 6页）∴ x ＝ ﹣ x ， x x ＝ a ﹣ 1 ，
1 2 1 2
要 证 ， 即 证 ，
只 需 证 ，
令 ，
则 ，
∴ M （ x ） 在 （ 0 ， 1 ） 上 单 调 递 增 ， 故 M （ x ） ＞ M （ 0 ） ＝ 0 ，
∴ ， 原 不 等 式 得 证 ．
【 点 评 】 本 题 主 要 考 查 了 导 数 与 单 调 性 及 极 值 关 系 ， 还 考 查 了 导 数 与 函 数 性 质 在 不 等 式
证 明 中 的 应 用 ， 属 于 难 题 ．
x
3 ． 已 知 函 数 f （ x ） ＝ e c o s x ， g （ x ） ＝ a c o s x +x （ a ＜ 0 ） ， 曲 线 y ＝ g （ x ） 在 处 的 切 线
的 斜 率 为 ．
（ 1 ） 求 实 数 a 的 值 ；
（ 2 ） 对 任 意 的 恒 成 立 ， 求 实 数 t 的 取 值 范 围 ；
（ 3 ） 设 方 程 f （ x ） ＝ g '' （ x ） 在 区 间 内 的 根 从 小 到
大 依 次 为 x ， x ， … ， x ， … ， 求 证 ： x ﹣ x ＞ 2 π ．
1 2 n n + 1 n
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 最 值 ； 利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ 1 ） 由 已 知 可 得 g '' （ x ） ＝ 1 ﹣ a s i n x ， 进 而 求 出 g '' （ ） ， 即 可 求 出 实 数 a 的 值 ；
x
（ 2 ） 由 题 意 可 知 ： t e c o s x ≥ 1 +s i n x 对 任 意 的 恒 成 立 ， 验 证 对 任
意 的 t ∈R 恒 成 立 ； 在 x ∈ （ ﹣ ， 0 ]时 ， 由 参 变 量 分 离 可 得 出 t ≥ ， 利 用 导 数 求
出 函 数 h （ x ） ＝ 在 区 间 （ ﹣ ， 0 ]上 的 最 大 值 ， 即 可 得 出 t 的 取 值 范 围 ；
x
（ 3 ） 令 φ （ x ） ＝ e c o s x ﹣ s i n x ﹣ 1 ， 利 用 导 数 分 析 函 数 φ （ x ） 在
上 单 调 性 ， 利 用 零 点 存 在 性 定 理 可 知
， 求 得
第 1 5页（共 1 0 6页）
x ﹣ 1 ∈ （ 2 n π + ， 2 n π + ） （ n ∈N ） ， 证 明 出 φ （ x ﹣ 2 π ） ＜ φ （ x ） ， 结 合 函 数 φ （ x ）
n + 1 n + 1 n
的 单 调 性 ， 即 可 得 出 证 明 ．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 因 为 g （ x ） ＝ a c o s x +x （ a ＜ 0 ） ， 则 g '' （ x ） ＝ 1 ﹣ a s i n x ，
由 已 知 可 得 ， 解 得 a ＝ ﹣ 1 ．
（ 2 ） 由 （ 1 ） 可 知 g '' （ x ） ＝ 1 +s i n x ， 对 任 意 的
恒 成 立 ，
x
即 t e c o s x ≥ 1 +s i n x 对 任 意 的 恒 成 立 ， 当 时 ， 则 有 0 ≥ 0 对 任 意 的
t ∈R 恒 成 立 ；
当 时 ， c o s x ＞ 0 ， 则 ， 令 ， 其 中 ，
且 h ''
（ x ） 不 恒 为 零 ，
故 函 数 h （ x ） 在 上 单 调 递 增 ， 则 h （ x ） ＝ h （ 0 ） ＝ 1 ， 故 t ≥ 1 ．
m a x
综 上 所 述 ， t ≥ 1 ．
x
证 明 ： （ 3 ） 由 f （ x ） ＝ g '' （ x ） 可 得 e c o s x ＝ 1 +s i n x ，
x x
令 φ （ x ） ＝ e c o s x ﹣ s i n x ﹣ 1 ， 则 φ '' （ x ） ＝ e （ c o s x ﹣ s i n x ） ﹣ c o s x ，
因 为 ， 则 s i n x ＞ c o s x ＞ 0 ，
所 以 ， φ '' （ x ） ＜ 0 ， 所 以 ， 函 数 φ （ x ） 在 上 单 调 递
减 ，
因 为
≥ ﹣ ﹣ 1 ＞ 0 ， φ （ 2 n + ） ＝ ﹣ 2 ＜ 0 ，
所 以 ， 存 在 唯 一 的 ， 使 得 φ （ x ） ＝ 0 ，
0
所 以 ， ， 则
第 1 6页（共 1 0 6页），
所 以 ， ＝
c o s x ﹣ s i n x ﹣ 1 ＝ c o s x ﹣ c o s x ＝ （ ﹣ ）
n + 1 n + 1 n + 1 n + 1
c o s x ＜ 0 ＝ φ （ x ） ，
n + 1 n
因 为 函 数 φ （ x ） 在 上 单 调 递 减 ， 故 x ﹣ 2 π ＞ x ，
n + 1 n
即 x n + 1 ﹣ x n ＞ 2 π ．
【 点 评 】 本 题 考 查 导 数 的 几 何 意 义 、 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 、 最 值 与 极 值 ， 考 查 学
生 的 逻 辑 思 维 能 力 和 运 算 能 力 ， 属 难 题 ．
2
4 ． 设 函 数 f （ x ） ＝ l n x +x ﹣ a x （ a ∈R ） ．
（ Ⅰ ） 当 a ＝ 3 时 ， 求 函 数 f （ x ） 的 单 调 区 间 ；
（ Ⅱ ） 若 函 数 f （ x ） 有 两 个 极 值 点 x ， x ， 且 x ∈ （ 0 ， 1 ]， 求 证 ： f （ x ） ﹣ f （ x ） ≥ ﹣ +l n 2 ；
1 2 1 1 2
（ Ⅲ ） 设 g （ x ） ＝ f （ x ） +2 l n ， 对 于 任 意 a ∈ （ 2 ， 4 ） ， 总 存 在 ， 使 g
2
（ x ） ＞ k （ 4 ﹣ a ） 成 立 ， 求 实 数 k 的 取 值 范 围 ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 最 值 ； 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ； 利 用 导 数 研 究 函 数 的
极 值 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ Ⅰ ） 当 a ＝ 3 时 ， 求 导 数 ， 利 用 导 数 的 正 负 ， 即 可 求 函 数 f （ x ） 的 单 调 区 间 ；
2
（ Ⅱ ） 函 数 f （ x ） 有 两 个 极 值 点 x ， x ， 则 f ′ （ x ） ＝ ＝ 0 ， 即 2 x ﹣ a x +1 ＝ 0
1 2
有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 结 合 韦 达 定 理 ， 可 得 f （ x ） ﹣ f （ x ） ， 构 造 新 函 数 F （ x ） ＝ 2 l n x
1 2
2
﹣ x + +l n 2 （ 0 ＜ x ≤ 1 ） ， 确 定 其 单 调 性 ， 即 可 得 出 结 论 ；
（ Ⅲ ） 确 定 g （ x ） 在 上 单 调 递 增 ， 可 得 g （ x ） ＝ g （ 2 ） ＝ 2 l n （ 2 a +2 ）
m a x
2
﹣ 2 a +4 ﹣ 2 l n 6 ， h （ a ） ＝ ） ＝ 2 l n （ 2 a +2 ） ﹣ 2 a +4 ﹣ 2 l n 6 ﹣ k （ 4 ﹣ a ） ， 分 类 讨 论 ， 确 定 单
调 性 ， 即 可 得 出 结 论 ．
【 解 答 】 （ Ⅰ ） 解 ： f （ x ） 的 定 义 域 为 （ 0 ， +∞ ） ， f ′ （ x ） ＝ ，
令 f ′ （ x ） ＞ 0 ， 可 得 0 ＜ x ＜ 或 x ＞ 1 ， f ′ （ x ） ＜ 0 ， 可 得 ＜ x ＜ 1 ，
∴ f （ x ） 的 递 增 区 间 为 （ 0 ， ） 和 （ 1 ， +∞ ） ， 递 减 区 间 为 （ ， 1 ） ；
（ Ⅱ ） 证 明 ： ∵ 函 数 f （ x ） 有 两 个 极 值 点 x ， x ，
1 2
第 1 7页（共 1 0 6页）2
∴ f ′ （ x ） ＝ ＝ 0 ， 即 2 x ﹣ a x +1 ＝ 0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ，
∴ x + x ＝ ， x x ＝
1 2 1 2
∴ 2 （ x + x ） ＝ a ， x ＝ ，
1 2 2
2 2 2
∴ f （ x ） ﹣ f （ x ） ＝ l n x +x ﹣ a x ﹣ （ l n x +x ﹣ a x ） ＝ 2 l n x ﹣ x + +l n 2 （ 0 ＜ x ≤ 1 ） ．
1 2 1 1 1 2 2 2 1 1
2
设 F （ x ） ＝ 2 l n x ﹣ x + + l n 2 （ 0 ＜ x ≤ 1 ） ， 则 F ′ （ x ） ＝ ﹣ ＜ 0 ，
∴ F （ x ） 在 （ 0 ， 1 ） 上 单 调 递 减 ，
∴ F （ x ） ≥ F （ 1 ） ＝ ﹣ + l n 2 ， 即 f （ x ） ﹣ f （ x ） ≥ ﹣ +l n 2 ；
1 2
2
（ Ⅲ ） 解 ： g （ x ） ＝ f （ x ） +2 l n ＝ 2 l n （ a x +2 ） +x ﹣ a x ﹣ 2 l n 6 ，
∴ g ′ （ x ） ＝ ，
∵ a ∈ （ 2 ， 4 ） ， ∴ x + ＞ 0 ，
∴ g ′ （ x ） ＞ 0 ，
∴ g （ x ） 在 上 单 调 递 增 ，
∴ g （ x ） ＝ g （ 2 ） ＝ 2 l n （ 2 a +2 ） ﹣ 2 a +4 ﹣ 2 l n 6 ，
m a x
2
∴ 2 l n （ 2 a +2 ） ﹣ 2 a +4 ﹣ 2 l n 6 ＞ k （ 4 ﹣ a ） 在 （ 2 ， 4 ） 上 恒 成 立 ．
2
令 h （ a ） ＝ 2 l n （ 2 a +2 ） ﹣ 2 a +4 ﹣ 2 l n 6 ﹣ k （ 4 ﹣ a ） ， 则 h （ 2 ） ＝ 0 ，
∴ h （ a ） ＞ 0 在 （ 2 ， 4 ） 上 恒 成 立 ．
∵ h ′ （ a ） ＝ ，
k ≤ 0 时 ， h ′ （ a ） ＜ 0 ， h （ a ） 在 （ 2 ， 4 ） 上 单 调 递 减 ， h （ a ） ＜ h （ 2 ） ＝ 0 ， 不 合 题 意 ；
k ＞ 0 时 ， h ′ （ a ） ＝ 0 ， 可 得 a ＝ ．
① ＞ 2 ， 即 0 ＜ k ＜ 时 ， h （ a ） 在 （ 2 ， ） 上 单 调 递 减 ， 存 在 h （ a ） ＜ h （ 2 ）
＝ 0 ， 不 合 题 意 ；
② ≤ 2 ， 即 k ≥ 时 ， h （ x ） 在 （ 2 ， 4 ） 上 单 调 递 增 ， h （ a ） ＞ h （ 2 ） ＝ 0 ， 满 足 题
意 ．
第 1 8页（共 1 0 6页）综 上 ， 实 数 k 的 取 值 范 围 为 [ ， +∞ ） ．
【 点 评 】 本 题 考 查 导 数 的 综 合 运 用 ， 考 查 函 数 的 单 调 性 ， 考 查 不 等 式 的 证 明 ， 考 查 分 类
讨 论 的 数 学 思 想 ， 属 于 难 题 ．
2 x
5 ． 已 知 函 数 f （ x ） ＝ （ x ﹣ a ） e ．
（ Ⅰ ） 若 a ＝ 3 ， 求 f （ x ） 的 单 调 区 间 和 极 值 ；
（ Ⅱ ） 若 x 、 x 为 f （ x ） 的 两 个 不 同 的 极 值 点 ， 且
1 2
| ， 求 a 的 取 值 范 围 ；
3
（ Ⅲ ） 对 于 任 意 实 数 ， 不 等 式 3 f （ a ） ＜ a + ﹣ 3 a + b 恒 成 立 ， 求 b
的 取 值 范 围 ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ； 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 ； 利 用 导 数 研 究 函 数 的
最 值 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ Ⅰ ） 按 照 求 导 数 ， 令 导 数 为 0 ， 并 判 断 导 数 的 零 点 两 侧 的 符 号 ， 确 定 单 调 区 间
和 极 值 点 ；
（ Ⅱ ） 先 将 原 式 化 简 为 | x +x | ≥ | x x |① ， 结 合 x 、 x 为 f （ x ） 的 两 个 不 同 的 极 值 点 ， 即
1 2 1 2 1 2
2
x +2 x ﹣ a ＝ 0 的 两 个 互 异 实 根 ， 结 合 韦 达 定 理 代 入① 式 ， 解 关 于 a 的 不 等 式 即 可 ；
a 2
（ Ⅲ ） 将 原 不 等 式 化 简 ， 分 离 b 得 到 b ＞ e （ a ﹣ a ） +3 a 在 [ ]上 恒 成
立 ， 将 右 边 看 成 一 个 关 于 a 的 新 函 数 ， 求 其 最 大 值 即 可 ．
2 x x 2
【 解 答 】 解 ： （ Ⅰ ） 由 已 知 得 f （ x ） ＝ （ x ﹣ 3 ） e ， f ′ （ x ） ＝ e （ x +2 x ﹣ 3 ） ＝ （ x +3 ）
x
（ x ﹣ 1 ） e ，
令 f ′ （ x ） ＝ 0 得 x ＝ ﹣ 3 或 1 ， f ′ （ x ） ＞ 0 ? x ＜ ﹣ 3 或 x ＞ 1 ， f ′ （ x ） ＜ 0 ? ﹣ 3 ＜ x ＜ 1 ，
故 f （ x ） 的 单 调 减 区 间 为 [ ﹣ 3 ， 1 ]， 单 调 增 区 间 为 （ ﹣ ∞ ， ﹣ 3 ） ， （ 1 ， + ∞ ） ，
f （ x ） 的 极 小 值 为 f （ 1 ） ＝ ﹣ 2 e ， 极 大 值 为 f （ ﹣ 3 ） ＝ ；
2 x
（ Ⅱ ） f ′ （ x ） ＝ （ x +2 x ﹣ a ） e ， 若 x 、 x 为 f （ x ） 的 两 个 不 同 的 极 值 点 ，
1 2
2
则 x 1 ， x 2 是 f ′ （ x ） ＝ 0 ， 即 x +2 x ﹣ a ＝ 0 的 两 不 等 实 根 ， 即 x 1 +x 2 ＝ ﹣ 2 ， x 1 x 2 ＝ ﹣ a ， 且
Δ ＝ 4 +4 a ＞ 0 ? a ＞ ﹣ 1 ，
而 | ， 结 合 ， 上 式
可 化 为 | | ，
第 1 9页（共 1 0 6页）即 | x +x | | x ﹣ x | ≥ | x x | | x ﹣ x | ， 因 为 x ≠ x ， 故 | x +x | ≥ | x x | ，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
所 以 ， 得 ﹣ 1 ＜ a ≤ 2 即 为 所 求 ；
3 3
（ Ⅲ ） 由 3 f （ a ） ＜ a + ﹣ 3 a +b 恒 成 立 得 ： b ＞ 3 f （ a ） ﹣ a +3 a 恒 成 立 ，
，
3 a 2 3
令 g （ a ） ＝ 3 f （ a ） ﹣ a +3 a ＝ 3 e （ a ﹣ a ） ﹣ a +3 a ， ，
a 2 2 2 a
g ′ （ a ） ＝ 3 e （ a +a ﹣ 1 ） ﹣ 3 （ a + a ﹣ 1 ） ＝ 3 （ a +a ﹣ 1 ） （ e ﹣ 1 ） ， 当 时 ，
2
a +a ﹣ 1 ＜ 0 ，
a
令 e ﹣ 1 ＝ 0 得 a ＝ 0 ， 故 时 ， g ′ （ a ） ＞ 0 ， 时 ， g ′ （ a ）
＜ 0 ，
故 g （ a ） 在 [ ]上 单 调 递 增 ， 在 （ 0 ， ]上 单 调 递 减 ， 故 g （ a ） ＝ g （ 0 ） ＝ 0 ，
m a x
故 要 使 原 式 恒 成 立 ， 只 需 b ＞ g （ a ） ＝ 0 即 可 ，
m a x
故 所 求 b 的 范 围 是 （ 0 ， + ∞ ） ．
【 点 评 】 本 题 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 、 极 值 以 及 最 值 ， 从 而 解 决 不 等 式 恒 成 立
问 题 的 基 本 思 路 ， 同 时 考 查 了 学 生 的 逻 辑 推 理 、 数 学 运 算 等 核 心 素 养 ， 属 于 较 难 的 题 目 ．
x
6 ． 已 知 函 数 f （ x ） ＝ e ﹣ k s i n x 在 区 间 （ 0 ， ） 内 存 在 极 值 点 α．
（ 1 ） 求 实 数 k 的 取 值 范 围 ；
（ 2 ） 求 证 ： 在 区 间 （ 0 ， π ） 内 存 在 唯 一 的 β ， 使 f （ β ） ＝ 1 ， 并 比 较 β 与 2 α 的 大 小 ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ 1 ） 求 出 f （ '' x ） ， 利 用 极 值 点 的 定 义 得 到 f （ '' α） ＝ 0 ， 则 且 α∈ （ 0 ， ） ，
利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ， 即 可 得 到 k 的 取 值 范 围 ， 然 后 验 证 即 可 ；
x
（ 2 ） 将 问 题 转 化 为 证 明 g （ x ） ＝ e ﹣ k s i n x ﹣ 1 在 区 间 （ 0 ， π ） 内 存 在 唯 一 的 β ， 利 用 导
2 x x
数 结 合 （ 1 ） 中 的 结 论 ， 即 可 证 明 ； 表 示 出 g （ 2 α ） ， 构 造 函 数 h （ x ） ＝ e ﹣ 2 e s i n x ﹣ 1 ，
x ∈ ， 利 用 导 数 研 究 函 数 h （ x ） 的 单 调 性 以 及 取 值 情 况 ， 可 得 h （ x ） ＞ h （ 0 ）
＝ 0 ， 从 而 g （ 2 α ） ＞ g （ β ） ＝ 0 ， 再 利 用 g （ x ） 的 单 调 性 ， 即 可 比 较 得 到 答 案 ．
x
【 解 答 】 （ 1 ） 解 ： 函 数 f （ x ） ＝ e ﹣ k s i n x ，
x
则 f '' （ x ） ＝ e ﹣ k c o s x ，
第 2 0页（共 1 0 6页）因 为 f （ x ） 在 区 间 （ 0 ， ） 内 存 在 极 值 点 α，
所 以 f '' （ α） ＝ 0 ， 则 且 α∈ （ 0 ， ） ，
则 k '' ＝ ，
所 以 函 数 在 （ 0 ， ） 上 单 调 递 增 ，
则 k ＞ 1 ，
x
当 k ＞ 1 时 ， f '' '' （ x ） ＝ e +k s i n x ＞ 0 在 （ 0 ， ） 上 恒 成 立 ，
则 f '' （ x ） 在 （ 0 ， ） 上 单 调 递 增 ，
π
又 f '' （ 0 ） ＝ 1 ﹣ k ＜ 0 ， f '' （ π ） ＝ e +k ＞ 0 ，
则 当 x ∈ （ 0 ， α ） 时 ， f '' （ x ） ＜ 0 ， 则 f （ x ） 单 调 递 增 ，
当 x 时 ， f '' （ x ） ＞ 0 ， 则 f （ x ） 单 调 递 减 ，
所 以 f （ x ） 在 x ＝ α 处 取 得 极 小 值 ， 符 合 题 意 ．
综 上 所 述 ， 实 数 k 的 取 值 范 围 为 （ 1 ， + ∞ ） ；
（ 2 ） 证 明 ： 要 证 明 在 区 间 （ 0 ， π ） 内 存 在 唯 一 的 β ， 使 f （ β ） ＝ 1 ，
x
只 需 证 明 g （ x ） ＝ e ﹣ k s i n x ﹣ 1 在 区 间 （ 0 ， π ） 内 存 在 唯 一 的 β ，
x
因 为 g '' （ x ） ＝ e ﹣ k c o s x ，
由 （ 1 ） 可 知 ， g （ x ） 在 （ 0 ， α） 上 单 调 递 减 ， 在 上 单 调 递 增 ，
又 时 ， g '' （ x ） ＞ 0 ， 则 g （ x ） 单 调 递 增 ，
综 上 所 述 ， g （ x ） 在 （ 0 ， α） 上 单 调 递 减 ， 在 （ α ， π ） 上 单 调 递 增 ，
π
又 g （ 0 ） ＝ 0 ＞ g （ α ） ， g （ π ） ＝ e ﹣ 1 ＞ 0 ，
所 以 g （ x ） 在 （ 0 ， α ） 内 无 零 点 ， 在 （ α， π ） 内 存 在 一 个 零 点 ，
故 存 在 唯 一 的 β ∈ （ 0 ， π ） ， 使 得 g （ β ） ＝ 0 ，
即 在 区 间 （ 0 ， π ） 内 存 在 唯 一 的 β ， 使 f （ β ） ＝ 1 ；
α
由 （ 1 ） 可 知 ， e ＝ k c o s α＞ 1 ，
2 α 2 α α α α
所 以 g （ 2 α ） ＝ e ﹣ k s i n 2 α﹣ 1 ＝ e ﹣ 2 s i n α? e ﹣ 1 ＝ e （ e ﹣ 2 s i n α） ﹣ 1 ，
2 x x
令 h （ x ） ＝ e ﹣ 2 e s i n x ﹣ 1 ， x ∈ ，
x x
则 h '' （ x ） ＝ 2 e [e ﹣ （ c o s x +s i n x ） ]，
第 2 1页（共 1 0 6页）x
令 y ＝ e ﹣ （ c o s x +s i n x ） ，
x
则 y '' ＝ e +s i n x ﹣ c o s x ＞ 0 ，
x
故 函 数 y ＝ e ﹣ （ c o s x +s i n x ） 在 上 单 调 递 增 ，
所 以 y ＞ 0 ， 即 h '' （ x ） ＞ 0 ， 故 h （ x ） 在 上 单 调 递 增 ，
所 以 h （ x ） ＞ h （ 0 ） ＝ 0 ，
故 在 α∈ 上 ， g （ 2 α） ＞ 0 ，
所 以 g （ 2 α ） ＞ g （ β ） ＝ 0 ，
又 g （ x ） 在 （ α ， π ） 上 单 调 递 增 ， 且 α＜ β ， 2 α ＜ π ，
所 以 β ＜ 2 α ．
【 点 评 】 本 题 考 查 了 导 数 的 综 合 应 用 ， 利 用 导 数 研 究 函 数 单 调 性 的 运 用 ， 函 数 极 值 点 的
理 解 与 应 用 ， 函 数 零 点 存 在 性 定 理 的 应 用 ， 综 合 性 强 ， 考 查 了 逻 辑 推 理 能 力 与 化 简 运 算
能 力 ， 转 化 化 归 数 学 思 想 方 法 的 运 用 ， 属 于 难 题 ．
2
7 ． 已 知 f （ x ） ＝ 2 x +c o s 2 x ﹣ 1 ．
（ Ⅰ ） 求 曲 线 y ＝ f （ x ） 在 （ 0 ， f （ 0 ） ） 处 的 切 线 方 程 ；
（ Ⅱ ） 判 断 函 数 f （ x ） 的 零 点 个 数 ；
x
（ Ⅲ ） 证 明 ： 当 x ≥ 0 时 ， x e + x ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ Ⅰ ） 由 函 数 在 某 点 处 的 切 线 方 程 求 解 ， 先 求 导 求 斜 率 ， 再 求 切 点 ， 可 得 答 案 ；
（ Ⅱ ） 由 （ Ⅰ ） 可 得 导 数 ， 再 次 求 导 ， 研 究 导 数 的 单 调 性 ， 进 的 得 到 函 数 的 单 调 性 ， 可
得 答 案 ；
x 2
（ Ⅲ ） 将 所 正 的 问 题 转 化 为 x e ≥ s i n x （ 2 ﹣ c o s x ） +s i n x ， 分 x ≥ π 和 0 ≤ x ＜ π 讨 论 ， 分 别
利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 、 最 值 ， 进 而 得 出 证 明 即 可 ．
2
【 解 答 】 解 ： （ Ⅰ ） 由 f （ x ） ＝ 2 x +c o s 2 x ﹣ 1 ， 则 f ′ （ x ） ＝ 4 x ﹣ 2 s i n 2 x ，
即 切 线 方 程 的 斜 率 k ＝ f ′ （ 0 ） ＝ 0 ， f （ 0 ） ＝ c o s 0 ﹣ 1 ＝ 0 ，
则 切 线 方 程 为 y ＝ 0 ．
（ Ⅱ ） 由 （ Ⅰ ） 可 知 f ′ （ x ） ＝ 4 x ﹣ 2 s i n 2 x ， 令 g （ x ） ＝ f ′ （ x ） ， 则 g ′ （ x ） ＝ 4 ﹣ 4 c o s 2 x
≥ 0 ，
故 函 数 f ′ （ x ） 在 R 上 单 调 递 增 ， 由 （ 1 ） 可 知 ， f ′ （ 0 ） ＝ 0 ，
第 2 2页（共 1 0 6页）则 当 x ＜ 0 时 ， f ′ （ x ） ＜ 0 ， 即 f （ x ） 在 （ ﹣ ∞ ， 0 ） 上 单 调 递 减 ；
当 x ＞ 0 时 ， f ′ （ x ） ＞ 0 ， 即 f （ x ） 在 （ 0 ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ．
故 f （ x ） ≥ f （ 0 ） ＝ 0 ， 则 函 数 f （ x ） 存 在 唯 一 零 点 ， 零 点 为 0 ．
x 2 x 2
（ Ⅲ ） 要 证 x e + s i n 2 x ≥ 2 s i n x +s i n x ， 即 证 ： x e ≥ s i n x （ 2 ﹣ c o s x ） +s i n x ，
x π 2
① 当 x ≥ π 时 ， x e ≥ π e ＞ 4 ， 而 s i n x （ 2 ﹣ c o s x ） +s i n x ≤ 1 × 3 +1 ＝ 4 ， 所 以 不 等 式 成 立 ；
2
② 当 0 ≤ x ＜ π 时 ， s i n x ≥ 0 ， 由 （ 1 ） 知 x ≥ 0 时 ， c o s 2 x ≥ 1 ﹣ 2 x ， 所 以 c o s x ≥ 1 ﹣ 2 × （ ）
2
＝ 1 ﹣ ， 则 2 ﹣ c o s x ≤ 1 + ，
x 2
所 以 只 需 证 x e ≥ s i n x （ 1 + ） +s i n x ， 令 p （ x ） ＝ s i n x ﹣ x ， （ 0 ≤ x ＜ π ） ， 则 p ′ （ x ）
＝ c o s x ﹣ 1 ≤ 0 ，
所 以 p （ x ） 在 [0 ， π ） 上 单 调 递 减 ， 所 以 p （ x ） ≤ p （ 0 ） ＝ 0 ， 即 s i n x ＜ x ，
x 2 x
故 只 需 证 x e ≥ x （ 1 + ） +x ， 即 证 ： e ≥ 1 + +x ，
x x
令 q （ x ） ＝ e ﹣ 1 ﹣ ﹣ x ， （ 0 ≤ x ＜ π ） ， 则 q ′ （ x ） ＝ e ﹣ x ﹣ 1 ＝ r （ x ） ， r ′ （ x ） ＝
x
e ﹣ 1 ≥ 0 ，
q ′ （ x ） 单 调 递 增 ， 故 q ′ （ x ） ≥ q ′ （ 0 ） ＝ 0 ， 故 q （ x ） 单 调 递 增 ， 即 q （ x ） ≥ q （ 0 ）
x
＝ 0 ， 故 e ≥ 1 + +x ，
x
综 上 所 述 ， x e + x 在 x ≥ 0 时 成 立 ．
【 点 评 】 本 题 考 查 用 导 数 研 究 函 数 的 零 点 个 数 问 题 ， 需 要 明 确 函 数 的 单 调 区 间 ， 在 每 一
个 单 调 区 间 上 利 用 零 点 存 在 性 定 理 可 得 解 决 零 点 的 问 题 ； 在 利 用 导 数 证 明 不 等 式 时 ， 面
对 含 有 三 角 函 数 和 对 数 函 数 、 指 数 函 数 的 ， 利 用 放 缩 法 简 化 不 等 式 是 解 决 问 题 的 常 用 方
法 ．
x
8 ． 已 知 函 数 f （ x ） ＝ （ x ﹣ 1 ） e ﹣ ﹣ a x ， a ∈R ．
（ Ⅰ ） 当 a ＝ 1 时 ， 求 y ＝ f （ x ） 在 （ 0 ， f （ 0 ） ） 处 的 切 线 方 程 ；
（ Ⅱ ） 若 y ＝ f （ x ） 有 两 个 极 值 点 x ， x ， 且 x ＜ x ．
1 2 1 2
（ ⅰ ） 求 实 数 a 的 取 值 范 围 ；
（ ⅱ ） 求 证 ： ﹣ x ＜ a +3 ．
1
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 ． 菁 优 网 版 权 所 有
第 2 3页（共 1 0 6页）【 分 析 】 （ Ⅰ ） 根 据 条 件 ， 求 出 f （ 0 ） ， f '' （ x ） ， 根 据 利 用 导 数 的 几 何 意 义 ， 即 可 得 解 ；
x
（ Ⅱ ） （ i ） 求 得 f '' （ x ） ＝ x e ﹣ 2 ﹣ a ， 利 用 导 数 判 断 函 数 f '' （ x ） 的 单 调 性 ， 根 据 已
知 条 件 可 得 关 于 a 的 不 等 式 组 ， 解 之 即 可 ；
（ i i ） 根 据 条 件 ， 可 知 x 1 ∈ （ ﹣ 1 ， 0 ） ， x 2 ∈ （ 0 ， 1 ） ， 将 所 证 不 等 式 转 化 为 证 明 x 1 ＞ ﹣ 2 ﹣ a ，
再 分 ﹣ 1 ≤ a ＜ ﹣ 和 ﹣ 2 ＜ a ＜ ﹣ 1 两 种 情 况 讨 论 ， 当 ﹣ 1 ≤ a ＜ ﹣ 时 ， 利 用 不 等 式 的 基 本
x
性 质 可 得 证 ， 当 ﹣ 2 ＜ a ＜ ﹣ 1 时 ， 通 过 构 造 函 数 g （ x ） ＝ x e ﹣ 2 ， 并 利 用 导 数 判 断
函 数 g （ x ） 的 单 调 性 ， 结 合 不 等 式 的 基 本 性 质 ， 可 得 证 ．
x
【 解 答 】 解 ： （ Ⅰ ） 当 a ＝ 1 时 ， f （ x ） ＝ （ x ﹣ 1 ） e ﹣ ﹣ x ，
x
则 f '' （ x ） ＝ x e ﹣ 2 ﹣ 1 ，
所 以 f '' （ 0 ） ＝ ﹣ 3 ， f （ 0 ） ＝ ﹣ ，
因 此 y ＝ f （ x ） 在 （ 0 ， f （ 0 ） ） 处 的 切 线 方 程 为 y ＝ ﹣ 3 x ﹣ ．
x x
（ Ⅱ ） （ ⅰ ） f '' （ x ） ＝ x e ﹣ 2 ﹣ a ， 令 p （ x ） ＝ f '' （ x ） ， 则 p '' （ x ） ＝ （ x +1 ） e ﹣ ，
x
令 φ （ x ） ＝ p '' （ x ） ， 则 φ '' （ x ） ＝ （ x +2 ） e + ＞ 0 对 任 意 的 x ＞ ﹣ 1 恒 成 立 ，
所 以 函 数 φ （ x ） ＝ p '' （ x ） 在 （ ﹣ 1 ， + ∞ ） 上 单 调 递 增 ，
又 φ （ 0 ） ＝ 0 ，
所 以 当 ﹣ 1 ＜ x ＜ 0 时 ， φ （ x ） ＜ φ （ 0 ） ＝ 0 ， 即 p '' （ x ） ＜ 0 ；
当 x ＞ 0 时 ， φ （ x ） ＞ φ （ 0 ） ＝ 0 ， 即 p '' （ x ） ＞ 0 ，
所 以 f '' （ x ） 在 （ ﹣ 1 ， 0 ） 上 单 调 递 减 ， 在 （ 0 ， + ∞ ） 上 单 调 递 增 ，
因 为 y ＝ f （ x ） 有 两 个 极 值 点 x ， x ， 所 以 ， 解 得 ﹣ 2 ＜ a ＜ ﹣ ，
1 2
所 以 a 的 取 值 范 围 为 （ ﹣ 2 ， ﹣ ） ．
x
（ ⅱ ） 令 g （ x ） ＝ x e ﹣ 2 ， 则 g （ 1 ） ﹣ a ＝ e ﹣ 2 ﹣ a ＞ e ﹣ 2 + ＞ 0 ， g （ x ）
1
＝ g （ x ） ＝ a ，
2
由 （ i ） 知 ， x ∈ （ ﹣ 1 ， 0 ） ， x ∈ （ 0 ， 1 ） ，
1 2
要 证 ﹣ x 1 ＜ a +3 ， 需 证 ﹣ x 1 ＜ 1 ﹣ x 1 ＜ a +3 ， 即 证 x 1 ＞ ﹣ 2 ﹣ a ，
第 2 4页（共 1 0 6页）① 当 ﹣ 1 ≤ a ＜ ﹣ 时 ， ﹣ 2 ﹣ a ≤ ﹣ 1 ＜ x ， 得 证 ；
1
② 当 ﹣ 2 ＜ a ＜ ﹣ 1 时 ， 先 证 ≤ +1 ，
令 h （ x ） ＝ ﹣ ﹣ 1 ， 则 h '' （ x ） ＝ ﹣ ＝ ， x ＞ ﹣ 1 ，
当 ﹣ 1 ＜ x ＜ 0 时 ， h '' （ x ） ＞ 0 ； 当 x ＞ 0 时 ， h '' （ x ） ＜ 0 ，
所 以 y ＝ h （ x ） 在 （ ﹣ 1 ， 0 ） 上 递 增 ， （ 0 ， + ∞ ） 上 递 减 ，
所 以 h （ x ） ≤ h （ 0 ） ＝ 0 ， 得 证 ，
x x
令 t （ x ） ＝ e ﹣ （ x +1 ） ， 则 t '' （ x ） ＝ e ﹣ 1 ，
当 x ＜ 0 时 ， t '' （ x ） ＜ 0 ， t （ x ） 单 调 递 减 ； 当 x ＞ 0 时 ， t '' （ x ） ＞ 0 ， t （ x ） 单 调 递 增 ，
x
所 以 t （ x ） ≥ t （ 0 ） ＝ 0 ， 即 e ≥ x +1 ，
x 2
所 以 g （ x ） ＝ x e ﹣ 2 ≥ x （ x +1 ） ﹣ x ﹣ 2 ＝ x ﹣ 2 ，
2
记 y ＝ x ﹣ 2 与 y ＝ a 的 交 点 横 坐 标 分 别 为 x ＝ ﹣ ， x ＝ ，
3 4
则 x ＜ x ＜ 0 ， x ＞ x ＞ 0 ，
3 1 4 2
所 以 ﹣ x 1 ＜ ﹣ x 3 ＝ a +2 + ，
又 ﹣ 2 ＜ a ＜ ﹣ 1 ， 所 以 ﹣ x ＜ a +2 + ＝ a +3 ，
1
综 上 所 述 ， 命 题 得 证 ．
【 点 评 】 本 题 考 查 导 数 的 综 合 应 用 ， 涉 及 切 线 方 程 的 求 法 ， 函 数 的 单 调 性 ， 极 值 ， 以 及
不 等 式 的 证 明 ， 熟 练 掌 握 导 数 的 几 何 意 义 ， 函 数 的 单 调 性 与 导 数 之 间 的 联 系 是 解 题 的 关
键 ， 考 查 转 化 思 想 ， 逻 辑 推 理 能 力 和 运 算 能 力 ， 属 于 难 题 ．
x - 1
9 . 已 知 函 数 f （ x ） ＝ l n a x ﹣ e （ a ＞ 0 ） 有 最 大 值 ﹣ 2 ，
（ Ⅰ ） 求 实 数 a 的 值 ；
x - m
（ Ⅱ ） 若 y ＝ l n x 与 y ＝ e 有 公 切 线 y ＝ k （ x + 1 ） + l n a ， 求 k （ m -k ） 的 值 ．
x - m
（ Ⅲ ） 若 有 l n x ≤ k （ x + 1 ） +l n a ≤ e ， 求 k （ m -k ） 的 值 ．
第 2 5页（共 1 0 6页）第 2 6页（共 1 0 6页）2
1 0 ． 已 知 函 数 f （ x ） ＝ x ﹣ a l n x +b （ a ∈R ） ．
（ Ⅰ ） 若 曲 线 y ＝ f （ x ） 在 x ＝ 1 处 的 切 线 的 方 程 为 3 x ﹣ y ﹣ 3 ＝ 0 ， 求 实 数 a ， b 的 值 ；
（ Ⅱ ） 若 x ＝ 1 是 函 数 f （ x ） 的 极 值 点 ， 求 实 数 a 的 值 ；
（ Ⅲ ） 若 ﹣ 2 ≤ a ＜ 0 ， 对 任 意 x ， x ∈ （ 0 ， 2 ]， 不 等 式 | f （ x ） ﹣ f （ x ） | ≤ m | ﹣ | 恒
1 2 1 2
成 立 ， 求 m 的 最 小 值 ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 ； 利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程 ； 利 用 导 数 研 究
函 数 的 单 调 性 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ Ⅰ ） 求 出 f （ x ） 的 导 数 ， 根 据 f ′ （ 1 ） ＝ 3 ， 求 出 a ， 代 入 f （ x ） 求 出 b 即 可 ；
（ Ⅱ ） 根 据 x ＝ 1 是 极 值 点 求 出 a ， 检 验 即 可 ；
（ Ⅲ ） 问 题 可 化 为 ， 设
， 根 据 函 数 的 单 调 性 求 出 m 的 最 小 值 即 可 ．
【 解 答 】 解 ： （ Ⅰ ） ∵ ， ∴ ， … （ 2 分 ）
∵ 曲 线 y ＝ f （ x ） 在 x ＝ 1 处 的 切 线 的 方 程 为 3 x ﹣ y ﹣ 3 ＝ 0 ，
∴ 1 ﹣ a ＝ 3 ， f （ 1 ） ＝ 0 ， ∴ a ＝ ﹣ 2 ， ， ∴ a ＝ ﹣ 2 ， ． … （ 4 分 ）
（ Ⅱ ） ∵ x ＝ 1 是 函 数 f （ x ） 的 极 值 点 ，
∴ f ′ （ 1 ） ＝ 1 ﹣ a ＝ 0 ， ∴ a ＝ 1 ； … （ 6 分 ）
当 a ＝ 1 时 ， ， 定 义 域 为 （ 0 ， + ∞ ） ，
，
当 0 ＜ x ＜ 1 时 ， f '' （ x ） ＜ 0 ， f （ x ） 单 调 递 减 ，
当 x ＞ 1 时 ， f '' （ x ） ＞ 0 ， f （ x ） 单 调 递 增 ， 所 以 ， a ＝ 1 ． … （ 8 分 ）
（ Ⅲ ） 因 为 ﹣ 2 ≤ a ＜ 0 ， 0 ＜ x ≤ 2 ，
所 以 ， 故 函 数 f （ x ） 在 （ 0 ， 2 ] 上 单 调 递 增 ，
不 妨 设 0 ＜ x ≤ x ≤ 2 ， 则 ，
1 2
可 化 为 ， … （ 1 0 分 ）
设 ， 则 h （ x ） ≥ h （ x ） ．
1 2
第 2 7页（共 1 0 6页）所 以 h （ x ） 为 （ 0 ， 2 ]上 的 减 函 数 ， 即 在 （ 0 ， 2 ]上 恒 成 立 ，
3 3
等 价 于 x ﹣ a x ﹣ m ≤ 0 在 （ 0 ， 2 ]上 恒 成 立 ， 即 m ≥ x ﹣ a x 在 （ 0 ， 2 ]上 恒 成 立 ，
3 3
又 ﹣ 2 ≤ a ＜ 0 ， 所 以 a x ≥ ﹣ 2 x ， 所 以 x ﹣ a x ≤ x +2 x ，
3
而 函 数 y ＝ x +2 x 在 （ 0 ， 2 ]上 是 增 函 数 ，
3
所 以 x +2 x ≤ 1 2 （ 当 且 仅 当 a ＝ ﹣ 2 ， x ＝ 2 时 等 号 成 立 ） ．
所 以 m ≥ 1 2 ． 即 m 的 最 小 值 为 1 2 ． … （ 1 2 分 ）
【 点 评 】 利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程 ； 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 ， 恒 成 立 问 题 ，
及 参 数 取 值 范 围 等 内 容 ．
2
1 1 ． 已 知 函 数 f （ x ） ＝ x ﹣ a l n x ， g （ x ） ＝ （ a ﹣ 2 ） x +b ， （ a ， b ∈R ） ．
（ 1 ） 若 曲 线 y ＝ f （ x ） 在 点 （ 1 ， f （ 1 ） ） 处 的 切 线 与 y 轴 垂 直 ， 求 a 的 值 ；
（ 2 ） 讨 论 f （ x ） 的 单 调 性 ；
（ 3 ） 若 关 于 x 的 方 程 f （ x ） ＝ g （ x ） 在 区 间 （ 1 ， +∞ ） 上 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 x 1 ， x 2 ，
证 明 ： x + x ＞ a ．
1 2
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ； 利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ 1 ） 求 出 f （ x ） 的 导 数 ， 计 算 2 ﹣ a ＝ 0 ， 求 出 a 的 值 即 可 ；
（ 2 ） 求 出 函 数 的 导 数 ， 通 过 讨 论 a 的 范 围 ， 求 出 函 数 的 单 调 区 间 即 可 ；
（ 3 ） 不 妨 设 1 ＜ x ＜ x ， 由 题 意 可 得 a ＝ ， 则 只 需 证 x + x ＞
1 2 1 2
， 转 化 变 形 可 得 l n ＜ ， 令 h （ t ） ＝ l n t ﹣ ，
利 用 导 数 证 得 h （ t ） ＜ 0 即 可 ．
【 解 答 】 （ 1 ） 解 ： f ′ （ x ） ＝ 2 x ﹣ ， f ′ （ 1 ） ＝ 2 ﹣ a ，
因 为 曲 线 y ＝ f （ x ） 在 点 （ 1 ， f （ 1 ） ） 处 的 切 线 与 y 轴 垂 直 ，
故 2 ﹣ a ＝ 0 ， 解 得 a ＝ 2 ．
（ 2 ） 解 ： f ′ （ x ） ＝ 2 x ﹣ ＝ ， x ＞ 0 ，
当 a ≤ 0 时 ， f ′ （ x ） ＞ 0 ， f （ x ） 在 （ 0 ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ；
当 a ＞ 0 时 ， 令 f ′ （ x ） ＜ 0 ， 解 得 0 ＜ x ＜ ，
第 2 8页（共 1 0 6页）令 f ′ （ x ） ＞ 0 ， 解 得 x ＞ ，
故 f （ x ） 在 （ 0 ， ） 上 单 调 递 减 ， 在 （ ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ．
2
（ 3 ） 证 明 ： 方 程 f （ x ） ＝ g （ x ） ， 即 x ﹣ （ a ﹣ 2 ） x ﹣ a l n x ＝ b 在 （ 1 ， + ∞ ） 上 有 两 个 不
相 等 的 实 数 根 x ， x ，
1 2
2 2
不 妨 设 1 ＜ x ＜ x ， 则 ， 两 式 相 减 得 x ﹣ x ﹣ （ a ﹣ 2 ） （ x
1 2 1 2 1
﹣ x ） ﹣ a （ l n x ﹣ l n x ） ＝ 0 ，
2 1 2
所 以 a ＝ ，
要 证 x +x ＞ a ， 只 需 证 x +x ＞ ，
1 2 1 2
因 为 1 ＜ x ＜ x ， 所 以 x +l n x ＜ x +l n x ，
1 2 1 1 2 2
2 2
即 需 证 x +2 x ﹣ x ﹣ 2 x ＞ （ x +x ） （ x +l n x ﹣ x ﹣ l n x ） ，
1 1 2 2 1 2 1 1 2 2
整 理 得 l n x ﹣ l n x ＜ ， 即 证 l n ＜ ，
1 2
令 t ＝ ， t ∈ （ 0 ， 1 ） ，
令 h （ t ） ＝ l n t ﹣ ， h ′ （ t ） ＝ ＞ 0 ，
所 以 h （ t ） 在 （ 0 ， 1 ） 上 单 调 递 增 ，
所 以 h （ t ） ＜ h （ 1 ） ＝ 0 ，
所 以 x 1 +x 2 ＞ a ， 得 证 ．
【 点 评 】 本 题 主 要 考 查 导 数 的 几 何 意 义 ， 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ， 不 等 式 的 证 明 ，
考 查 分 类 讨 论 思 想 、 方 程 思 想 与 转 化 思 想 的 应 用 ， 属 于 难 题 ．
1 2 ． 设 函 数 f （ x ） ＝ l n x + ， m ∈R ．
（ Ⅰ ） 当 m ＝ e 时 ， 求 函 数 f （ x ） 的 极 小 值 ；
（ Ⅱ ） 讨 论 函 数 g （ x ） ＝ f '' （ x ） ﹣ 零 点 的 个 数 ；
第 2 9页（共 1 0 6页）（ Ⅲ ） 若 对 任 意 的 b ＞ a ＞ 0 ， ＜ 1 恒 成 立 ， 求 m 的 取 值 范 围 ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 最 值 ； 函 数 的 零 点 与 方 程 根 的 关 系 ； 利 用 导 数 研 究 函 数 的
极 值 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ Ⅰ ） 求 出 函 数 f （ x ） 的 定 义 域 为 （ 0 ， +∞ ） ， 函 数 的 导 数 ， 判 断 函 数 的 单 调 性 ，
函 数 的 极 小 值 ．
（ Ⅱ ） 函 数 ＝ （ x ＞ 0 ） ， 令 g （ x ） ＝ 0 ， 得 （ x
＞ 0 ） ． 设 ， 求 出 ? '' （ x ） ， 当 x ∈ （ 0 ， 1 ） 时 ， 当 x ∈ （ 1 ， + ∞ ）
时 ， 判 断 函 数 的 单 调 性 ， 求 出 最 大 值 ， 通 过① 当 时 ， ② 当 时 ， ③ 当
时 ， 当 m ≤ 0 时 ， 判 断 函 数 的 零 点 个 数 即 可 ．
④
（ Ⅲ ） 对 任 意 b ＞ a ＞ 0 ， 恒 成 立 ， 等 价 于 f （ b ） ﹣ b ＜ f （ a ） ﹣ a 恒 成
立 ． （ ） ． 设 h （ x ） ＝ f （ x ） ﹣ x ＝ ， 通 过 在
（ 0 ， + ∞ ） 上 恒 成 立 ， 求 解 m 的 取 值 范 围 ．
【 解 答 】 解 ： （ Ⅰ ） 由 题 设 ， 当 m ＝ e 时 ， ， 易 得 函 数 f （ x ） 的 定 义 域 为
（ 0 ， + ∞ ） ，
．
∴ 当 x ∈ （ 0 ， e ） 时 ， f '' （ x ） ＜ 0 ， f （ x ） 在 （ 0 ， e ） 上 单 调 递 减 ；
∴ 当 x ∈ （ e ， + ∞ ） 时 ， f '' （ x ） ＞ 0 ， f （ x ） 在 （ e ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ；
所 以 当 x ＝ e 时 ， f （ x ） 取 得 极 小 值 ， 所 以 f （ x ） 的 极 小 值 为 2 ．
（ Ⅱ ） 函 数 ＝ （ x ＞ 0 ） ， 令 g （ x ） ＝ 0 ， 得 （ x
＞ 0 ） ．
2
设 ， 则 ? '' （ x ） ＝ ﹣ x +1 ＝ ﹣ （ x ﹣ 1 ） （ x +1 ） ．
∴ 当 x ∈ （ 0 ， 1 ） 时 ， ? '' （ x ） ＞ 0 ， ? （ x ） 在 （ 0 ， 1 ） 上 单 调 递 增 ；
∴ 当 x ∈ （ 1 ， + ∞ ） 时 ， ? '' （ x ） ＜ 0 ， ? （ x ） 在 （ 1 ， + ∞ ） 上 单 调 递 减 ；
所 以 ? （ x ） 的 最 大 值 为 ， 又 ? （ 0 ） ＝ 0 ， 可 知 ：
① 当 时 ， 函 数 g （ x ） 没 有 零 点 ；
第 3 0页（共 1 0 6页）② 当 时 ， 函 数 g （ x ） 有 且 仅 有 1 个 零 点 ；
③ 当 时 ， 函 数 g （ x ） 有 2 个 零 点 ；
当 m ≤ 0 时 ， 函 数 g （ x ） 有 且 只 有 1 个 零 点 ．
④
综 上 所 述 ：
当 时 ， 函 数 g （ x ） 没 有 零 点 ；
当 或 m ≤ 0 时 ， 函 数 g （ x ） 有 且 仅 有 1 个 零 点 ；
当 时 ， 函 数 g （ x ） 有 2 个 零 点 ．
（ Ⅲ ） 对 任 意 b ＞ a ＞ 0 ， 恒 成 立 ， 等 价 于 f （ b ） ﹣ b ＜ f （ a ） ﹣ a 恒 成
立 ． （ ） ．
设 h （ x ） ＝ f （ x ） ﹣ x ＝ ， ∴ （ ） 等 价 于 h （ x ） 在 （ 0 ， + ∞ ） 上 单
调 递 减 ．
∴ 在 （ 0 ， +∞ ） 上 恒 成 立 ，
2
∴ m ≥ ﹣ x + x ＝ （ x ＞ 0 ） 恒 成 立 ，
∴ （ 对 ， h '' （ x ） ＝ 0 仅 在 时 成 立 ） ．
∴ m 的 取 值 范 围 是 ．
【 点 评 】 本 题 考 查 函 数 的 导 数 的 应 用 ， 函 数 的 圆 柱 以 及 函 数 的 单 调 性 的 应 用 ， 考 查 分 类
讨 论 以 及 转 化 思 想 的 应 用 ．
1 3 ． 设 函 数 ．
x
（ 1 ） 若 函 数 g （ x ） ＝ k e ﹣ x ﹣ f （ x ） 在 R 上 单 调 递 增 ， 求 k 的 最 小 值 ；
（ 2 ） 证 明 ： 当 x ≥ 0 时 ， f （ x ） ≥ ﹣ c o s x ；
a x
（ 3 ） 若 对 于 任 意 的 x ≥ 0 ， 不 等 式 e ≥ s i n x ﹣ c o s x +2 恒 成 立 ， 求 实 数 a 的 取 值 范 围 ．
【 考 点 】 函 数 恒 成 立 问 题 ； 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ； 利 用 导 数 研 究 函 数 的 最 值 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ 1 ） 将 问 题 转 化 为 导 函 数 大 于 等 于 零 恒 成 立 ， 再 参 变 量 分 离 转 化 成 最 值 即 可 求
解 ；
（ 2 ） 构 造 函 数 ， 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ， 从 而 得 最 值 ， 从 而 可 证 明 ；
第 3 1页（共 1 0 6页）x
（ 3 ） 利 用 （ 2 ） 及 （ 1 ） ， 证 明 当 x ≥ 0 时 ， e ≥ x + +1 ≥ s i n x ﹣ c o s x +2 ， 从 而 可 得 当 a ≥ 1
时 ， 满 足 题 意 ， 再 构 造 函 数 ， 排 除 a ＜ 1 ， 从 而 得 解 ．
x
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） ∵ g （ x ） ＝ k e ﹣ x ﹣ f （ x ） 在 R 上 单 调 递 增 ，
x
∴ g ′ （ x ） ＝ k e ﹣ 1 ﹣ x ≥ 0 在 R 上 恒 成 立 ，
∴ 在 R 上 恒 成 立 ，
设 h （ x ） ＝ ， 则 h ′ （ x ） ＝ ，
∴ 当 x ∈ （ ﹣ ∞ ， 0 ） 时 ， h ′ （ x ） ＞ 0 ， h （ x ） 单 调 递 增 ；
当 x ∈ （ 0 ， +∞ ） 时 ， h ′ （ x ） ＜ 0 ， h （ x ） 单 调 递 减 ，
∴ h （ x ） ≤ h （ 0 ） ＝ 1 ，
∴ k ≥ 1 ，
∴ k 的 最 小 值 为 1 ；
（ 2 ） 证 明 ： 设 φ （ x ） ＝ f （ x ） +c o s x ＝ ， （ x ≥ 0 ） ，
则 φ ′ （ x ） ＝ x ﹣ s i n x ， （ x ≥ 0 ） ，
又 φ ″ （ x ） ＝ 1 ﹣ c o s x ≥ 0 ，
∴ φ ′ （ x ） ＝ x ﹣ s i n x 在 [0 ， + ∞ ） 上 单 调 递 增 ，
∴ φ ′ （ x ） ≥ φ ′ （ 0 ） ＝ 0 ，
∴ φ （ x ） 在 [0 ， + ∞ ） 上 单 调 递 增 ，
∴ φ （ x ） ≥ φ （ 0 ） ＝ 0 ，
∴ f （ x ） +c o s x ≥ 0 ，
∴ f （ x ） ≥ ﹣ c o s x ；
（ 3 ） ∵ 当 x ≥ 0 时 ， 由 （ 2 ） 可 知 s i n x ≤ x ， 仅 当 x ＝ 0 时 ， 取 得 等 号 ，
又 由 （ 2 ） 的 结 论 可 知 ： 当 x ≥ 0 时 ， ﹣ c o s x +2 ≤ +2 ，
∴ 当 x ≥ 0 时 ， s i n x ﹣ c o s x +2 ≤ x + +1 ，
又 由 （ 1 ） 知 k ＝ 1 时 ， g （ x ） ＝ 在 [0 ， +∞ ） 单 调 递 增 ，
∴ g （ x ） ﹣ 2 ＝ 在 [0 ， + ∞ ） 单 调 递 增 ，
∴ g （ x ） ﹣ 2 ＝ ≥ g （ 0 ） ﹣ 2 ＝ 0 ，
第 3 2页（共 1 0 6页）x
∴ 当 x ≥ 0 时 ， e ≥ x + +1 ≥ s i n x ﹣ c o s x +2 ， 仅 当 x ＝ 0 时 ， 取 得 等 号 ，
∴① 若 a ≥ 1 时 ， 又 x ≥ 0 ， ∴ a x ≥ x ，
a x x x
∴ e ≥ e ， 又 ， e ≥ x + +1 ≥ s i n x ﹣ c o s x +2 ， 仅 当 x ＝ 0 时 ， 取 得 等 号 ，
a x
∴ e ≥ s i n x ﹣ c o s x +2 恒 成 立 ， 仅 当 x ＝ 0 时 ， 取 得 等 号 ，
a x
② 若 a ＜ 1 时 ， 设 h （ x ） ＝ e ﹣ s i n x +c o s x ﹣ 2 ， （ x ≥ 0 ） ，
a x
则 h ′ （ x ） ＝ a e ﹣ c o s x ﹣ s i n x ， 又 h ′ （ 0 ） ＝ a ﹣ 1 ＜ 0 ，
∴ h ′ （ x ） 在 （ 0 ， x ） ＜ 0 ， ∴ h （ x ） 在 （ 0 ， x ） 上 单 调 递 减 ，
0 0
a x
∴ x ∈ （ 0 ， x ） 时 ， h （ x ） ＜ h （ 0 ） ＝ 0 ， 即 e ＜ s i n x ﹣ c o s x +2 ，
0
∴ a ＜ 1 时 ， 不 满 足 题 意 ，
综 合①② 可 得 所 求 a 的 取 值 范 围 为 [1 ， +∞ ） ．
【 点 评 】 本 题 考 查 参 变 量 分 离 求 解 恒 成 立 问 题 ， 构 造 函 数 证 明 不 等 式 ， 放 缩 法 的 应 用 ，
利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 及 最 值 ， 属 难 题 ．
x
1 4 ． 已 知 函 数 f （ x ） ＝ e ﹣ a l n x ， a ∈R ．
（ 1 ） 当 a ＝ 0 时 ， 若 曲 线 y ＝ f （ x ） 与 直 线 y ＝ k x 相 切 ， 求 k 的 值 ；
（ 2 ） 当 a ＝ e 时 ， 证 明 ： f （ x ） ≥ e ；
（ 3 ） 若 对 任 意 x ∈ （ 0 ， + ∞ ） ， 不 等 式 f （ x ） ﹣ a l n x ＞ 2 a? l n （ 2 a ） 恒 成 立 ， 求 a 的 取 值
范 围 ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 最 值 ； 利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ 1 ） 设 切 点 坐 标 ， 然 后 利 用 导 数 的 几 何 意 义 列 方 程 ， 即 可 得 到 k ；
﹣
x x 1 x
（ 2 ） 先 证 明 e ≥ e x ， 由 此 可 得 e ≥ x ， x ﹣ 1 ≥ l n x ， ∴ x ≥ l n x +1 ， 从 而 得 到 e ≥ e （ l n x +1 ） ，
即 可 证 明 ；
﹣ （ ）
x ln 2 a ln x
（ 3 ） 依 题 意 ， 等 价 于 不 等 式 e + x ﹣ l n （ 2 a ） ＞ x +l n x ＝ e +l n x 在 （ 0 ， + ∞ ） 上 恒
成 立 ，
x
利 用 g （ x ） ＝ e +x 在 （ 0 ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ， 可 得 x ﹣ In （ 2 a ） ＞ l n x 在 （ 0 ， +∞ ） 上 恒
成 立 ， 即 （ x ﹣ l n x ） m in ＞ l n （ 2 a ） ， 即 可 求 解 ．
x x
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 当 a ＝ 0 时 ， f （ x ） ＝ e ， 则 f ′ （ x ） ＝ e ，
设 切 点 坐 标 （ x ， ） ， 则 ， 解 得 x ＝ 1 ， k ＝ e ，
0 0
所 以 k ＝ e ；
第 3 3页（共 1 0 6页）x
（ 2 ） 证 明 ： 当 a ＝ e 时 ， f （ x ） ＝ e ﹣ a l n x ， 定 义 域 为 （ 0 ， +∞ ） ，
x x
令 h （ x ） ＝ e ﹣ e x ， h ′ （ x ） ＝ e ﹣ e ， 可 得 当 x ∈ （ 0 ， 1 ） 时 ， h ′ （ x ） ＜ 0 ， 当 x ∈ （ 1 ，
+ ∞ ） 时 ， h ′ （ x ） ＞ 0 ，
所 以 在 （ 0 ， 1 ） 上 递 减 ， 在 （ 1 ， + ∞ ） 单 调 递 增 ， 所 以 h （ x ） ≥ h （ 1 ） ＝ 0 ，
x
即 e ≥ e x ， 当 x ＝ 1 时 ， 取 等 号 ，
﹣
x 1
由 此 可 得 e ≥ x ， 当 x ＝ 1 时 ， 取 等 号 ，
∴ x ﹣ 1 ≥ l n x ， ∴ x ≥ l n x +1
﹣
x 1
∴ e ≥ l n x +1 ， 当 x ＝ 1 时 ， 取 等 号 ，
x
∴ e ≥ e （ l n x +1 ） ，
x
所 以 e ﹣ e l n x ≥ e ， 则 f （ x ） ≥ e ．
（ 3 ） 由 题 可 知 a ＞ 0 ， 则 对 任 意 x ∈ （ 0 ， + ∞ ） ， 不 等 式 f （ x ） ﹣ a l n x ＞ 2 a? l n （ 2 a ） 恒 成
立 ，
﹣ （ ）
x x ln 2 a
即 e ﹣ 2 a l n x ＞ 2 a l n （ 2 a ） ， 即 e ﹣ l n x ＞ l n （ 2 a ） ，
﹣ （ ）
x ln 2 a ln x
即 e +x ﹣ l n （ 2 a ） ＞ x +l n x ＝ e +l n x 在 （ 0 ， + ∞ ） 上 恒 成 立 ，
x
令 g （ x ） ＝ e + x ， 易 知 g （ x ） 在 （ 0 ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ，
所 以 x ﹣ In （ 2 a ） ＞ l n x 在 （ 0 ， +∞ ） 上 恒 成 立 ， 即 （ x ﹣ l n x ） ＞ l n （ 2 a ） ，
m in
令 m （ x ） ＝ x ﹣ l n x ， 则 m ′ （ x ） ＝ ，
当 x ＞ 1 时 ， m ′ （ x ） ＞ 0 ． 当 0 ＜ x ＜ 1 时 ， m ′ （ x ） ＜ 0 ，
所 以 m （ x ） 在 （ 0 ， 1 ） 单 调 递 减 ， 在 （ 1 ， +∞ ） 单 调 递 增 ，
所 以 m （ x ） 的 最 小 值 为 m （ 1 ） ＝ 1 ，
所 以 1 ＞ l n （ 2 a ） ， 解 得 0 ，
综 上 ， a 的 取 值 范 围 为 （ 0 ， ） ．
【 点 评 】 本 题 主 要 考 查 了 导 数 几 何 意 义 的 应 用 、 根 据 导 数 求 解 函 数 单 调 性 与 最 值 ， 进 而
证 明 不 等 式 等 ， 同 时 也 考 查 了 “ 同 构 ” 解 决 恒 成 立 问 题 ， 属 于 难 题 ．
2
1 5 ． 已 知 函 数 f （ x ） ＝ l n x ， g （ x ） ＝ x ﹣ x +1 ， h （ x ） ＝ f （ x ） ﹣ g （ x ） ．
（ Ⅰ ） 求 函 数 h （ x ） 的 极 值 ；
（ Ⅱ ） 证 明 ： 有 且 只 有 两 条 直 线 与 函 数 f （ x ） ， g （ x ） 的 图 象 都 相 切 ；
2 x
（ Ⅲ ） 若 2 a e +l n a ≥ f （ x ） 恒 成 立 ， 求 实 数 a 的 最 小 值 ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 最 值 ； 利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程 ； 利 用 导 数 研 究
第 3 4页（共 1 0 6页）函 数 的 极 值 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ Ⅰ ） 首 先 求 函 数 的 导 数 ， 利 用 函 数 的 单 调 性 ， 判 断 函 数 的 极 值 ；
（ Ⅱ ） 首 先 设 直 线 l 与 函 数 f （ x ） ， g （ x ） 的 切 点 分 别 为
， 并 分 别 求 出 切 线 方 程 ， 再 对 比 系 数 后 可 得 x 1 ，
x 的 方 程 组 ， 消 元 后 ， 构 造 函 数 ， 利 用 导 数 判 断 函
2
数 的 单 调 性 ， 再 结 合 零 点 存 在 性 定 理 ， 即 可 判 断 函 数 的 零 点 个 数 ， 即 可 证 明 ；
x
（ Ⅲ ） 首 先 不 等 式 变 形 为 ， 再 构 造 函 数 u （ x ） ＝ x e ， 利 用 导 数 判 断
函 数 的 单 调 性 ， 并 解 不 等 式 ， 再 参 变 分 离 后 ， 转 化 为 求 函 数 的 最 值 ， 即 可 求 a 的 取 值 范
围 ．
2
【 解 答 】 解 ： （ Ⅰ ） h （ x ） ＝ l n x ﹣ x +x ﹣ 1 （ x ＞ 0 ） ，
，
当 x ∈ （ 0 ， 1 ） ， h ′ （ x ） ＞ 0 ， h （ x ） 单 调 递 增 ， 当 x ∈ （ 1 ， + ∞ ） 时 ， h ′ （ x ） ＜ 0 ， h
（ x ） 单 调 递 减 ，
所 以 当 x ＝ 1 时 ， 函 数 取 得 极 大 值 ， 极 大 值 是 h （ 1 ） ＝ ﹣ 1 ， 无 极 小 值 ；
证 明 ： （ Ⅱ ） 设 直 线 l 分 别 切 （ f x ） ， g （ x ） 的 图 象 于 点 ，
由 ， 得 直 线 l 的 方 程 ， ， 即 ，①
由 g ′ （ x ） ＝ 2 x ﹣ 1 ， 得 直 线 l 的 方 程 ， ， 即
，②
比 较①② 可 得 ， 得 ，
令 ，
，
当 x ∈ （ 0 ， 1 ） ， F ′ （ x ） ＜ 0 ， F （ x ） 单 调 递 减 ， 当 x ∈ （ 1 ， + ∞ ） 时 ， F ′ （ x ） ＞ 0 ， F
（ x ） 单 调 递 增 ， 所 以 F （ x ） ＝ F （ 1 ） ＝ ﹣ 1 ＜ 0 ，
m in
2 2
因 为 F （ e ） ＞ l n e ﹣ 2 ＝ 0 ， 所 以 F （ x ） 在 （ 1 ， +∞ ） 上 有 1 个 零 点 ，
第 3 5页（共 1 0 6页），
所 以 F （ x ） 在 （ 0 ， 1 ） 上 有 1 个 零 点 ，
所 以 函 数 F （ x ） 在 （ 0 ， +∞ ） 上 有 两 个 零 点 ，
故 有 且 只 有 两 条 直 线 与 函 数 f （ x ） ， g （ x ） 的 图 象 都 相 切 ；
（ Ⅲ ） 显 然 x ＞ 0 ， a ＞ 0 ，
2 x
2 a e +l n a ≥ f （ x ） ＝ l n x 恒 成 立 ， 即 恒 成 立 ，
于 是 恒 成 立 ， 即 恒 成 立 ，
x
设 u （ x ） ＝ x e ， 则 ，
x
u ′ （ x ） ＝ （ x +1 ） e ，
当 x ＜ ﹣ 1 时 ， u ′ （ x ） ＜ 0 ， u （ x ） 单 调 递 减 ， 当 x ＞ ﹣ 1 时 ， u ′ （ x ） ＞ 0 ， u （ x ） 单 调
递 增 ，
且 x ＜ 0 时 ， u （ x ） ＜ 0 ， 当 x ＞ 0 时 ， u （ x ） ＞ 0 ，
由 2 x ≥ 0 可 得 恒 成 立 ， 即 对 x ＞ 0 恒 成 立 ， 于 是 恒 成 立 ，
设 ，
当 时 ， v ′ （ x ） ＞ 0 ， v （ x ） 单 调 递 增 ， 当 时 ， v ′ （ x ） ＜
0 ， v （ x ） 单 调 递 减 ， ，
所 以 的 最 小 值 是 ．
【 点 评 】 本 题 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数 的 切 线 ， 零 点 和 不 等 式 恒 成 立 问 题 ， 属 于 难 题 ．
3
1 6 ． 已 知 函 数 f （ x ） ＝ x + k l n x （ k ∈R ） ， f '' （ x ） 为 f （ x ） 的 导 函 数 ．
（ Ⅰ ） 当 k ＝ 6 时 ，
（ i ） 求 曲 线 y ＝ f （ x ） 在 点 （ 1 ， f （ 1 ） ） 处 的 切 线 方 程 ；
（ i i ） 求 函 数 的 单 调 区 间 和 极 值 ；
（ Ⅱ ） 当 k ≥ ﹣ 3 时 ， 求 证 ： 对 任 意 的 x ， x ∈ [1 ， + ∞ ） ， 且 x ＞ x ， 有
1 2 1 2
．
第 3 6页（共 1 0 6页）【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ； 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ Ⅰ ） （ i ） 根 据 导 数 的 几 何 意 义 即 可 求 出 切 线 方 程 ；
（ i i ） 根 据 导 数 和 函 数 单 调 性 极 值 的 关 系 ， 即 可 求 出 ；
（ Ⅱ ） 要 证 不 等 式 成 立 ， 只 要 证 明 （ x 1 ﹣ x 2 ） [f ′ （ x 1 ） +f ′ （ x 2 ） ] ﹣ 2 [f （ x 1 ） ﹣ f （ x 2 ） ]
＞ 0 ﹣ 2 [f （ x ） ﹣ f （ x ） ] ＞ 0 ， 根 据 导 数 和 函 数 最 值 的 关 系 ， 以 及 放 缩 法 即 可 证 明 ．
1 2
3
【 解 答 】 解 ： （ I） （ i ） 当 k ＝ 6 时 ， f （ x ） ＝ x +6 l n x ，
故 ，
∴ f ′ （ 1 ） ＝ 9 ，
∵ f （ 1 ） ＝ 1 ，
∴ 曲 线 y ＝ f （ x ） 在 点 （ 1 ， f （ 1 ） ） 处 的 切 线 方 程 为 y ﹣ 1 ＝ 9 （ x ﹣ 1 ） ， 即 9 x ﹣ y ﹣ 8 ＝ 0 ；
（ i i ） ，
∴ ＝ ，
令 g ′ （ x ） ＝ 0 ， 解 得 x ＝ 1 ，
当 0 ＜ x ＜ 1 ， g ′ （ x ） ＜ 0 ，
当 x ＞ 1 ， g ′ （ x ） ＞ 0 ，
∴ 函 数 g （ x ） 在 （ 0 ， 1 ） 上 单 调 递 减 ， 在 （ 1 ， + ∞ ） 上 单 调 递 增 ，
x ＝ 1 是 极 小 值 点 ， 极 小 值 为 g （ 1 ） ＝ 1 ， 无 极 大 值 ；
3 2
证 明 ： （ Ⅱ ） 由 f （ x ） ＝ x +k l n x ， 则 f ′ （ x ） ＝ 3 x + ，
对 任 意 的 x ， x ∈ [1 ， + ∞ ） ， 且 x ＞ x ， 令 ＝ t ， t ＞ 1 ，
1 2 1 2
则 （ x ﹣ x ） [f ′ （ x ） + f ′ （ x ） ] ﹣ 2 [ f （ x ） ﹣
1 2 1 2 1
f
＝ ，
＝
＝ ① ，
第 3 7页（共 1 0 6页）令 ，
当 x ＞ 1 时 ， ，
∴ h （ x ） 在 （ 1 ， +∞ ） 单 调 递 增 ，
∴ 当 t ＞ 1 ， h （ t ） ＞ h （ 1 ） ＝ 0 ， 即 ，
∵ ，
∴
② ，
由 （ Ⅰ ） （ i i ） 可 知 当 t? 1 时 ， g （ t ） ＞ g （ 1 ） ，
即 ③ ，
由①②③ 可 得 （ x ﹣ x ） [f ′ （ x ） +f ′ （ x ） ]﹣ 2 [f （ x ） ﹣ f （ x ） ]＞ 0 ，
1 2 1 2 1 2
∴ 当 k ? ﹣ 3 时 ， 对 任 意 的 x ， x ∈ [1 ， + ∞ ） ， 且 x ＞ x ， 有
1 2 1 2
．
【 点 评 】 本 题 是 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 、 求 函 数 的 极 值 的 基 本 题 型 ， 考 查 了 不 等 式
的 证 明 ， 属 于 难 题 ．
x
1 7 ． 已 知 函 数 f （ x ） ＝ e ﹣ a x ， g （ x ） ＝ l n （ x +2 ） ﹣ a ， 其 中 e 为 自 然 对 数 的 底 数 ， a ∈R ．
（ 1 ） 当 a ＞ 0 时 ， 函 数 f （ x ） 有 极 小 值 f （ 1 ） ， 求 a ；
（ 2 ） 证 明 ： f '' （ x ） ＞ g （ x ） 恒 成 立 ；
（ 3 ） 证 明 ： ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 最 值 ； 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ 1 ） 求 导 得 f ′ （ x ） ， 分 析 f ′ （ x ） 的 符 号 ， 进 而 可 得 f （ x ） 的 单 调 性 ， 极 值 ，
即 可 得 出 答 案 ．
x x
（ 2 ） 根 据 题 意 可 得 e ﹣ l n （ x +2 ） ＞ 0 恒 成 立 ， 设 h （ x ） ＝ e ﹣ l n （ x +2 ） ， 求 导 分 析 h （ x ）
的 单 调 性 和 最 值 ， 只 需 h （ x ） ＞ 0 ， 即 可 得 出 答 案 ．
m in
﹣
x t+ 1 t 0
（ 3 ） 由 （ 2 ） 知 ， e ＞ l n （ x +2 ） ， 则 e ＞ （ l n ） ， 当 t ＝ 1 时 ， e ＞ l n 2 ， 当 t ＝ 2 时 ，
第 3 8页（共 1 0 6页）﹣ ﹣ ﹣
1 2 2 3 n + 1 n
e ＞ （ l n ） ， 当 t ＝ 3 时 ， e ＞ （ l n ） ， . . . 当 t ＝ n 时 ， e ＞ （ l n ） ， 累 加 ，
即 可 得 出 答 案 ．
x
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） f ′ （ x ） ＝ e ﹣ a （ a ＞ 0 ） ，
令 f ′ （ x ） ＝ 0 得 x ＝ l n a ，
所 以 当 x ＞ l n a 时 ， f ′ （ x ） ＞ 0 ，
当 x ＜ l n a 时 ， f ′ （ x ） ＜ 0 ，
所 以 f （ x ） 有 极 小 值 f （ l n a ） ，
所 以 l n a ＝ 1 ， 即 a ＝ e ．
x
（ 2 ） 证 明 ： 不 等 式 f ′ （ x ） ＞ g （ x ） 恒 成 立 ， 即 e ﹣ l n （ x +2 ） ＞ 0 恒 成 立 ，
x x
设 h （ x ） ＝ e ﹣ l n （ x +2 ） ， 则 h ′ （ x ） ＝ e ﹣ ，
所 以 h ′ （ x ） 在 定 义 域 上 的 增 函 数 ， 又 h ′ （ 0 ） ＝ 1 ﹣ ＞ 0 ， h ′ （ ﹣ 1 ） ＝ ﹣ 1 ＜ 0 ，
x
则 h ′ （ x ） ＝ e ﹣ ＝ 0 在 （ ﹣ 1 ， 0 ） 上 有 一 个 根 x ，
0
此 时 h （ x ） 在 （ ﹣ 1 ， x ） 上 的 单 调 递 减 ， 在 （ x ， 0 ） 上 单 调 递 增 ，
0 0
所 以 h （ x ） 的 最 小 值 为 h （ x ） ＝ ﹣ l n （ x +2 ） ，
0 0
因 为 ＝ ，
所 以 x ＝ ﹣ l n （ x +2 ） ，
0 0
因 为 x 0 ∈ （ ﹣ 1 ， 0 ） ，
所 以 h （ x ） ＝ +x ＝ ＝ ＞ 0 ，
0 0
x
所 以 e ﹣ l n （ x +2 ） ＞ 0 恒 成 立 ， 结 论 成 立 ．
x
（ 3 ） 证 明 ： 由 （ 2 ） 知 ， e ＞ l n （ x +2 ） ， 令 x ＝ ，
则 ＞ l n （ +2 ） ＝ l n ，
﹣
t+ 1 t
所 以 e ＞ （ l n ） ，
0
由 此 可 知 ， 当 t ＝ 1 时 ， e ＞ l n 2 ，
﹣
1 2
当 t ＝ 2 时 ， e ＞ （ l n ） ，
第 3 9页（共 1 0 6页）﹣
2 3
当 t ＝ 3 时 ， e ＞ （ l n ） ，
. . ．
﹣
n + 1 n
当 t ＝ n 时 ， e ＞ （ l n ） ，
﹣ ﹣ ﹣
0 1 2 n + 1 2 3 n
累 加 得 e +e +e +. . . +e ＞ l n 2 +（ l n ） +（ l n ） +. . . + （ l n ） ，
﹣ ﹣ ﹣
0 1 2 n + 1
又 e +e +e +. . . +e ＝ ＜ ＝ ，
2 3 n
所 以 l n 2 + （ l n ） +（ l n ） +. . . +（ l n ） ＜ ．
【 点 评 】 本 题 考 查 导 数 的 综 合 应 用 ， 解 题 中 需 要 理 清 思 路 ， 属 于 中 档 题 ．
2
1 8 ． 已 知 函 数 f （ x ） ＝ 2 a l n x ﹣ x +a ， g （ x ） ＝ （ a ﹣ ） x ﹣ ．
（ 1 ） 当 a ＝ 1 时 ；
（ i ） 求 曲 线 y ＝ f （ x ） 的 单 调 区 间 和 极 值 ；
（ i i ） 求 曲 线 y ＝ f （ x ） 在 点 （ e ， f （ e ） ） 处 的 切 线 方 程 ；
（ 2 ） 若 函 数 h （ x ） ＝ f （ x ） ﹣ g （ x ） 有 两 个 不 同 的 零 点 ， 求 实 数 a 的 取 值 范 围 ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ； 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 ； 利 用 导 数 研 究 曲 线 上
某 点 切 线 方 程 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ 1 ） 将 a ＝ 1 代 入 f （ x ） 的 解 析 式 ， 求 导 ：
（ i ） 根 据 导 数 的 正 负 ， 即 可 得 函 数 f （ x ） 的 单 调 区 间 ；
（ i i ） 求 出 切 点 及 切 线 的 斜 率 ， 由 点 斜 式 写 出 切 线 方 程 ， 再 化 简 即 可 ；
（ 2 ） 对 函 数 h （ x ） 求 导 得 ， h ′ （ x ） ＝ ， 分 a ≥ 、 a ＜ 讨
论 h ′ （ x ） 的 正 负 及 h （ x ） 的 最 值 ， 再 结 合 零 点 存 在 定 理 ， 求 解 即 可 ．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 当 a ＝ 1 时 ， f （ x ） ＝ 2 l n x ﹣ x +1 ， x ＞ 0 ，
f ′ （ x ） ＝ ﹣ 1 ＝ ，
（ i ） 所 以 当 0 ＜ x ＜ 2 时 ， f ′ （ x ） ＞ 0 ， f （ x ） 单 调 递 增 ； 当 x ＞ 2 时 ， f ′ （ x ） ＜ 0 ， f （ x ）
单 调 递 减 ；
所 以 f （ x ） ＝ f （ 2 ） ＝ 2 l n 2 ﹣ 1 ， 无 极 小 值 ，
极大值
综 上 f （ x ） 的 单 调 递 增 区 间 为 （ 0 ， 2 ） ， 单 调 递 减 区 间 为 （ 2 ， + ∞ ） ， f （ x ） ＝ 2 l n 2 ﹣ 1 ，
极大值
无 极 小 值 ；
第 4 0页（共 1 0 6页）（ i i ） 因 为 f （ e ） ＝ 3 ﹣ e ， 所 以 切 点 为 （ e ， 3 ﹣ e ） ，
又 因 为 f ′ （ e ） ＝ ， 即 切 线 的 斜 率 k ＝ ，
所 以 曲 线 y ＝ f （ x ） 在 （ e ， f （ e ） ） 处 的 切 线 方 程 为 y ﹣ （ 3 ﹣ e ） ＝ （ x ﹣ e ） ，
即 y ＝ x +1 ；
2
（ 2 ） 由 题 意 可 得 2 a l n x ﹣ （ a ﹣ ） x ﹣ x + a + ＝ 0 在 （ 0 ， +∞ ） 内 有 两 个 不 等 实 根 ，
2
设 h （ x ） ＝ 2 a l n x ﹣ （ a ﹣ ） x ﹣ x +a + ， x ＞ 0 ，
则 h （ 1 ） ＝ 0 ，
h ′ （ x ） ＝ ﹣ （ 2 a ﹣ 1 ） x ﹣ 1 ＝ ，
当 1 ﹣ 2 a ≤ 0 ， 即 a ≥ 时 ，
若 0 ＜ x ＜ 1 ， 则 h ′ （ x ） ＞ 0 ， h （ x ） 单 调 递 增 ； 若 x ＞ 1 ， 则 h ′ （ x ） ＜ 0 ， h （ x ） 单 调
递 减 ；
所 以 h （ x ） ＜ h （ 1 ） ＝ 0 ，
则 所 求 方 程 只 有 一 个 根 为 x ＝ 1 ， 不 符 合 题 意 ， 舍 去 ；
当 1 ﹣ 2 a ＞ 0 ， 即 a ＜ 时 ， h ′ （ x ） ＝ ? （ x ﹣ ） （ x ﹣ 1 ） ，
① 当 ≤ 0 ， 即 a ≤ 0 时 ，
若 0 ＜ x ＜ 1 ， 则 h ′ （ x ） ＜ 0 ， h （ x ） 单 调 递 减 ； 若 x ＞ 1 ， 则 h ′ （ x ） ＞ 0 ， h （ x ） 单 调
递 增 ；
所 以 h （ x ） ＞ h （ 1 ） ＝ 0 ，
则 所 求 方 程 只 有 一 个 根 为 x ＝ 1 ， 不 符 合 题 意 ， 舍 去 ；
② 当 ＝ 1 ， 即 a ＝ 时 ，
若 x ＞ 0 ， 则 h ′ （ x ） ≥ 0 ， h （ x ） 单 调 递 增 ，
又 h （ 1 ） ＝ 0 ，
则 所 求 方 程 只 有 一 个 根 为 x ＝ 1 ， 不 符 合 题 意 ， 舍 去 ；
③ 当 0 ＜ ＜ 1 ， 即 0 ＜ a ＜ 时 ，
若 0 ＜ x ＜ ， 则 h ′ （ x ） ＞ 0 ， h （ x ） 单 调 递 增 ，
第 4 1页（共 1 0 6页）若 ＜ x ＜ 1 ， 则 h ′ （ x ） ＜ 0 ， h （ x ） 单 调 递 减 ，
若 x ＞ 1 ， 则 h ′ （ x ） ＞ 0 ， h （ x ） 单 调 递 增 ，
又 h （ 1 ） ＝ 0 ， 可 知 h （ ） ＞ 0 ，
2
因 为 h （ ） ＝ 2 a l n ﹣ + a ﹣ （ a ﹣ ） （ ） + ＝ ﹣ ﹣ + a + （ ﹣ a ）
，
因 为 0 ＜ a ＜ ，
所 以 ﹣ ﹣ + a + （ ﹣ a ） ＜ ﹣ +（ ﹣ a ） ＜ ﹣ +1 ＜ 0 ，
即 h （ ） ＜ 0 ，
因 为 x ∈ （ ， 1 ） 时 ， h （ x ） ＞ 0 ，
因 为 ＜ 1 ， 所 以 ∈ （ 0 ， ） ，
所 以 h （ x ） 在 区 间 （ ， ） 单 调 递 增 ，
由 零 点 存 在 定 理 可 得 存 在 唯 一 x ∈ （ ， ） ， 使 h （ x ） ＝ 0 ，
0 0
又 h （ 1 ） ＝ 0 ， 此 时 所 求 方 程 有 2 个 不 同 解 ， 符 合 题 意 ；
④ 当 ＞ 1 ， 即 ＜ a ＜ 时 ，
若 0 ＜ x ＜ 1 ， 则 h ′ （ x ） ＞ 0 ， h （ x ） 单 调 递 增 ； 若 1 ＜ x ＜ ， 则 h ′ （ x ） ＜ 0 ， h （ x ）
单 调 递 减 ； 若 x ＞ ， 则 h ′ （ x ） ＞ 0 ， h （ x ） 单 调 递 增 ；
又 h （ 1 ） ＝ 0 ， 于 是 h （ ） ＜ 0 ，
令 m （ x ） ＝ l n x + ﹣ 1 ， x ＞ 0 ，
则 m ′ （ x ） ＝ ﹣ ＝ ，
所 以 m （ x ） 在 （ 0 ， 1 ） 上 单 调 递 减 ， 在 （ 1 ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ，
第 4 2页（共 1 0 6页）所 以 m （ x ） ≥ m （ 1 ） ＝ 0 ， 所 以 l n x ＞ 1 ﹣ ，
2 2
所 以 h （ x ） ＝ 2 a l n x ﹣ （ a ﹣ ） x ﹣ x + a + ≥ 2 a （ 1 ﹣ ） ﹣ x + a ﹣ （ a ﹣ ） + ＝ （ ﹣
2
a ） x ﹣ x ﹣ +3 a + ＝ n （ x ） ，
n （ ） ＝ ? ﹣ ﹣ +3 a + ＝ ，
2
因 为 ＜ a ＜ ， 所 以 1 ﹣ 2 a ＞ 0 ， （ 8 a ﹣ 1 ） ＞ 0 ， h （ ） ≥ n （ ） ＞ 0 ，
因 为 h （ x ） 在 （ ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ， 由 零 点 存 在 定 理 可 得 存 在 唯 一 x ∈ （ ，
1
+ ∞ ） ， 使 h （ x ） ＝ 0 ，
1
又 使 h （ 1 ） ＝ 0 ，
此 时 所 求 方 程 有 2 个 不 同 解 ， 符 合 题 意 ；
综 上 所 述 ， 当 a ∈ （ 0 ， ） ∪ （ ， ） 时 ， 函 数 h （ x ） 有 两 个 不 同 零 点 ．
【 点 评 】 本 题 考 查 了 转 化 思 想 、 导 数 的 几 何 意 义 、 综 合 运 用 及 分 类 讨 论 思 想 ， 属 于 难 题 ．
2
1 9 ． 已 知 函 数 f （ x ） ＝ x ﹣ 2 （ a +1 ） x +2 a l n x （ a ∈R ） ．
（ 1 ） 当 a ＝ 2 时 ， 求 曲 线 y ＝ f （ x ） 在 点 （ 1 ， f （ 1 ） ） 处 的 切 线 方 程 ；
（ 2 ） 若 函 数 f （ x ） 有 极 大 值 ， 试 确 定 a 的 取 值 范 围 ；
2
（ 3 ） 若 存 在 x 使 得 f （ x ） + （ l n x ﹣ 2 a ） ≤ 成 立 ， 求 a
0 0 0
的 值 ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 最 值 ； 利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程 ； 利 用 导 数 研 究
函 数 的 极 值 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ 1 ） 利 用 导 数 的 几 何 意 义 ， 求 曲 线 的 切 线 方 程 ；
（ 2 ） 首 先 求 函 数 的 导 数 f ′ （ x ） ＝ ， 再 讨 论 a ， 判 断 函 数 的 单 调 性 ， 讨
论 函 数 的 极 值 ；
2 2
（ 3 ） 不 等 式 转 化 为 （ x ﹣ a ） +（ 2 l n x ﹣ 2 a ） ≤ ， 利 用 两 点 间 的 距 离 的 几 何 意 义 ， 转
0 0
化 为 点 到 直 线 的 距 离 ， 求 a 的 值 ．
2
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 当 a ＝ 2 时 ， f （ x ） ＝ x ﹣ 6 x +4 l n x ，
依 题 意 ， f ′ （ x ） ＝ 2 x ﹣ 6 + ， 可 得 f ′ （ 1 ） ＝ 2 ﹣ 6 +4 ＝ 0 ， 又 f （ 1 ） ＝ ﹣ 5 ，
第 4 3页（共 1 0 6页）所 以 曲 线 y ＝ f （ x ） 在 点 （ 1 ， f （ 1 ） ） 处 的 切 线 方 程 为 y +5 ＝ 0 ．
（ 2 ） 函 数 f （ x ） 的 定 义 域 为 （ 0 ， +∞ ） ， f ′ （ x ） ＝ 2 x ﹣ 2 （ a +1 ） + ＝ ，
① 当 a ＝ 1 时 ， f ′ （ x ） ≥ 0 ， 所 以 f （ x ） 在 （ 0 ， + ∞ ） 上 单 调 递 增 ， 此 时 f （ x ） 无 极
大 值 ；
当 a ＞ 1 时 ， 令 f ′ （ x ） ＞ 0 ， 解 得 0 ＜ x ＜ 1 或 x ＞ a ， 令 f ′ （ x ） ＜ 0 ， 解 得 1 ＜ x ＜ a ，
②
所 以 f （ x ） 在 （ 0 ， 1 ） 和 （ a ， + ∞ ） 上 单 调 递 增 ， 在 （ 1 ， a ） 上 单 调 递 减 ，
此 时 f （ x ） 在 x ＝ 1 处 取 得 极 大 值 ， 符 合 题 意 ；
③ 当 0 ＜ a ＜ 1 时 ， 令 f ′ （ x ） ＞ 0 ， 解 得 0 ＜ x ＜ a 或 x ＞ 1 ， 令 f ′ （ x ） ＜ 0 ， 解 得 a ＜ x
＜ 1 ， 所 以 f （ x ） 在 （ 0 ， a ） 和 （ 1 ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ， 在 （ a ， 1 ） 上 单 调 递 减 ，
此 时 f （ x ） 在 x ＝ a 处 取 得 极 大 值 ， 符 合 题 意 ；
④ 当 a ≤ 0 时 ， 令 f ′ （ x ） ＞ 0 ， 解 得 x ＞ 1 ， 令 f ′ （ x ） ＜ 0 ， 解 得 0 ＜ x ＜ 1 ，
所 以 f （ x ） 在 （ 1 ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ， 在 （ 0 ， 1 ） 上 单 调 递 减 ， 此 时 f （ x ） 无 极 大 值 ；
综 上 ， 实 数 a 的 取 值 范 围 为 （ 0 ， 1 ） ∪ （ 1 ， +∞ ） ．
2 2
（ 3 ） f （ x ） + （ l n x ﹣ 2 a ） ≤ 等 价 于 （ x ﹣ a ） + （ 2 l n x
0 0 0 0
2
﹣ 2 a ） ≤ ，
2 2
（ x ﹣ a ） + （ 2 l n x ﹣ 2 a ） 可 以 看 作 是 动 点 P （ x ， 2 l n x ） 与 动 点 Q （ a ， 2 a ） 之 间 距 离 的 平
方 ， 动 点 P 在 函 数 y ＝ 2 l n x 的 图 象 上 ， Q 在 直 线 y ＝ 2 x 的 图 象 上 ，
问 题 转 化 为 求 直 线 上 的 动 点 到 曲 线 的 最 小 距 离 ，
由 y ＝ 2 l n x ， 得 y ′ ＝ ＝ 2 ， 解 得 x ＝ 1 ，
所 以 曲 线 上 点 P （ 1 ， 0 ） 到 直 线 y ＝ 2 x 的 距 离 最 小 ， 最 小 距 离 d ＝ ，
2 2
则 （ x ﹣ a ） + （ 2 l n x ﹣ 2 a ） ≥ ，
2 2 2 2
根 据 题 意 ， 要 使 （ x ﹣ a ） + （ 2 l n x ﹣ 2 a ） ≤ ， 则 （ x ﹣ a ） + （ 2 l n x ﹣ 2 a ） ＝ ， 此
0 0 0 0
时 Q 恰 好 为 垂 足 ，
由 ， 可 得 Q （ ， ） ，
所 以 a ＝ ．
【 点 评 】 本 题 主 要 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数 的 最 值 与 极 值 ， 利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 的 切
第 4 4页（共 1 0 6页）线 方 程 ， 考 查 运 算 求 解 能 力 ， 属 于 中 档 题 ．
2 0 ． 已 知 函 数 f （ x ） ＝ x ﹣ l n x ﹣ 2 ．
（ Ⅰ ） 求 曲 线 y ＝ f （ x ） 在 点 （ 1 ， f （ 1 ） ） 处 的 切 线 方 程 ；
（ Ⅱ ） 讨 论 函 数 f （ x ） 的 单 调 性 ；
（ Ⅲ ） 若 对 任 意 的 x ∈ （ 1 ， + ∞ ） ， 都 有 x l n x +x ＞ k （ x ﹣ 1 ） 成 立 ， 求 整 数 k 的 最 大 值 ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ Ⅰ ） 求 导 得 f ′ （ x ） ＝ 1 ﹣ ， 由 导 数 的 几 何 意 义 可 得 曲 线 f （ x ） 在 点 （ 1 ， f
（ 1 ） ） 处 的 切 线 的 斜 率 为 f ′ （ 1 ） ， 计 算 f （ 1 ） ， 则 切 线 方 程 为 y ﹣ f （ 1 ） ＝ f ′ （ 1 ） （ x ﹣ 1 ） ．
（ Ⅱ ） 求 导 并 分 析 f ′ （ x ） 的 符 号 ， 进 而 可 得 f （ x ） 的 单 调 性 ．
（ Ⅲ ） 由 对 任 意 的 x ∈ （ 1 ， +∞ ） ， 都 有 x l n x +x ＞ k （ x ﹣ 1 ） ， 可 得 k ＜ 在 （ 1 ， + ∞ ）
上 恒 成 立 ， 令 g （ x ） ＝ ， x ＞ 1 ， 只 需 k ＜ g （ x ） ， 即 可 得 出 答 案 ．
m in
【 解 答 】 解 ： （ Ⅰ ） 因 为 f （ x ） ＝ x ﹣ l n x ﹣ 2 ，
所 以 f ′ （ x ） ＝ 1 ﹣ ，
所 以 曲 线 f （ x ） 在 点 （ 1 ， f （ 1 ） ） 处 的 切 线 的 斜 率 为 f ′ （ 1 ） ＝ 0 ，
又 f （ 1 ） ＝ ﹣ 1 ，
所 以 函 数 f （ x ） 在 （ 1 ， f （ 1 ） ） 处 的 切 线 方 程 为 y ＝ ﹣ 1 ．
（ Ⅱ ） 因 为 f （ x ） ＝ x ﹣ l n x ﹣ 2 ，
所 以 f ′ （ x ） ＝ 1 ﹣ ＝ ，
令 f ′ （ x ） ＝ 0 得 x ＝ 1 ，
所 以 在 （ 0 ， 1 ） 上 f ′ （ x ） ＜ 0 ， f （ x ） 单 调 递 减 ，
在 （ 1 ， +∞ ） 上 f ′ （ x ） ＞ 0 ， f （ x ） 单 调 递 增 ．
（ Ⅲ ） 因 为 对 任 意 的 x ∈ （ 1 ， +∞ ） ， 都 有 x l n x +x ＞ k （ x ﹣ 1 ） ，
所 以 k ＜ ，
令 g （ x ） ＝ ，
g ′ （ x ） ＝ ， x ＞ 1 ，
由 （ 1 ） 知 ， f （ x ） ＝ x ﹣ l n x ﹣ 2 在 （ 1 ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ， 在 区 间 （ 3 ， 4 ） 有 唯 一 的 零 点 ，
设 该 零 点 为 x ∈ （ 3 ， 4 ） ， 则 f （ x ） ＝ x ﹣ l n x ﹣ 2 ＝ 0 ，
0 0 0 0
第 4 5页（共 1 0 6页）所 以 当 x ∈ （ 1 ， x ） 时 ， f （ x ） ＜ 0 ， g ′ （ x ） ＜ 0 ， g （ x ） 单 调 递 减 ，
0
当 x ∈ （ x ， + ∞ ） 时 ， f （ x ） ＞ 0 ， g ′ （ x ） ＞ 0 ， g （ x ） 单 调 递 增 ，
0
所 以 g （ x ） ＝ g （ x ） ＝ ＝ ＝ x ∈ （ 3 ， 4 ） ，
m in 0 0
所 以 k ＜ g （ x ） ＝ x ∈ （ 3 ， 4 ） ，
m in 0
所 以 整 数 k 的 最 大 值 为 3 ．
【 点 评 】 本 题 考 查 导 数 的 综 合 应 用 ， 解 题 中 需 要 理 清 思 路 ， 属 于 中 档 题 ．
2 1 ． 已 知 函 数 ， ．
（ 1 ） 求 函 数 f （ x ） 在 点 （ 1 ， f （ 1 ） ） 处 的 切 线 方 程 ；
（ 2 ） F （ x ） ＝ g （ x ） ﹣ f （ x ） ， ， x ＞ 0 ．
（ ⅰ ） 证 明 ；
（ ⅱ ） 求 函 数 F （ x ） 在 区 间 上 零 点 的 个 数 并 证 明 ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 最 值 ； 利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 导 数 的 几 何 意 义 ， 结 合 直 线 方 程 ， 即 可 得 到 结 果 ；
（ 2 ） （ ⅰ ） 直 接 代 入 计 算 ， 即 可 证 明 ；
（ ⅱ ） 求 导 可 得 F '' （ x ） ， 得 到 其 极 值 点 ， 通 过 对 其 单 调 性 的 研 究 分 分 不 同 区 间 进 行 讨 论 ，
即 可 得 到 其 零 点 个 数 ．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） ， 切 线 斜 率 为 f '' （ 1 ） ＝ 5 a ， f （ 1 ） ＝ ﹣ 3 a ，
切 线 方 程 为 y +3 a ＝ 5 a （ x ﹣ 1 ） ， ∴ 5 a x ﹣ y ﹣ 8 a ＝ 0 ．
（ 2 ） 证 明 ： （ ⅰ ） ，
；
2 2
（ ⅱ ） ， 即 为 ﹣ a x + x ﹣ 4 a ＝ 0 ， Δ ＝ 1 ﹣ 1 6 a ＞ 0 ，
解 得 ， ， x ＞ x ＞ 0 ，
1 2
当 x ∈ （ 0 ， x ） ∪ （ x ， + ∞ ） 时 ， F '' （ x ） ＜ 0 ； 当 x ∈ （ x ， x ） 时 ， F '' （ x ） ＞ 0 ，
2 1 2 1
且 F （ x ） 在 区 间 （ 0 ， x ） ， （ x ， +∞ ） 上 单 调 递 减 ， 在 区 间 （ x ， x ） 上 单 调 递 增 ， F （ 2 ）
2 1 2 1
＝ l n 1 ﹣ 2 a +2 a ＝ 0 ，
第 4 6页（共 1 0 6页）∵ x x ＝ 4 ， ∴ x ＜ 2 ＜ x ， F （ x ） 在 区 间 （ x ， x ） 上 单 调 递 增 ， F （ x ） ＞ F （ 2 ） ＝ 0 ， F
1 2 2 1 2 1 1
（ x ） ＜ F （ 2 ） ＝ 0 ，
2
， 令 ，
，
4 3
令 h （ a ） ＝ 1 2 a ﹣ 2 a +1 ， h '' （ a ） ＝ 4 8 a ﹣ 2 ， ∵ ， ∴ ， h '' （ a ） ＜ 0 h （ a ）
在 上 单 调 递 减 ，
， ∴ G '' （ a ） ＞ 0 ， G （ a ） 在 上 单 调 递 增 ，
， ， F （ x ） ＞ 0 ， ，
1
F （ x ） 在 区 间 （ x ， +∞ ） 单 调 递 减 ，
1
因 此 F （ x ） 在 区 间 上 存 在 唯 一 零 点 x ，
3
由 已 知 ，
由 （ 2 ） （ ⅰ ） F （ x ） +F （ ） ＝ 0 ， F （ x ） ＝ 0 ， ∴ ，
3 3
F （ x ） 在 区 间 （ 0 ， x ） 单 调 递 减 ， F （ x ） 在 区 间 （ 0 ， x ） 上 存 在 唯 一 零 点 ，
2 2
综 上 所 述 ， F （ x ） 在 区 间 上 存 在 3 个 零 点 ．
【 点 评 】 本 题 主 要 考 查 导 数 的 几 何 意 义 ， 利 用 导 数 研 究 函 数 的 最 值 ， 考 查 函 数 零 点 个 数
的 判 断 ， 考 查 运 算 求 解 能 力 与 逻 辑 推 理 能 力 ， 属 于 难 题 ．
2 2 ． 已 知 函 数 f （ x ） ＝ ﹣ k ．
（ Ⅰ ） 当 k ＝ 0 时 ， 求 曲 线 y ＝ f （ x ） 在 点 （ e ， f （ e ） ） 处 的 切 线 方 程 ；
（ Ⅱ ） 若 f （ x ） ≤ 0 恒 成 立 ， 求 实 数 k 的 取 值 范 围 ；
（ Ⅲ ） 证 明 ： l n ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 最 值 ； 利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ Ⅰ ） 当 k ＝ 0 时 ， 函 数 f （ x ） ＝ ， f （ e ） ＝ ， 利 用 导 数 的 运 算 法 则 可 得 f ′
（ x ） ， 即 可 得 出 f ′ （ e ） ， 利 用 点 斜 式 即 可 得 出 曲 线 y ＝ f （ x ） 在 点 （ e ， f （ e ） ） 处 的 切 线
方 程 ．
第 4 7页（共 1 0 6页）（ Ⅱ ） f （ x ） ≤ 0 恒 成 立 ， 化 为 k ≥ 的 最 大 值 ， 由 f ′ （ x ） ＝ ， f ′ （ e ） ＝
0 ， 利 用 导 数 研 究 其 单 调 性 即 可 得 出 极 值 与 最 值 ， 进 而 得 出 实 数 k 的 取 值 范 围 ．
（ Ⅲ ） 由 （ Ⅱ ） 可 得 ： ≤ ， 可 得 l n x ≤ x ， x ∈ （ 0 ， +∞ ） ， 分 别 令 x ＝ ， ， … ，
， 利 用 累 加 求 和 方 法 即 可 证 明 结 论 ．
【 解 答 】 解 ： （ Ⅰ ） 当 k ＝ 0 时 ， 函 数 f （ x ） ＝ ， f （ e ） ＝ ，
f ′ （ x ） ＝ ，
∴ f ′ （ e ） ＝ 0 ，
∴ 曲 线 y ＝ f （ x ） 在 点 （ e ， f （ e ） ） 处 的 切 线 方 程 为 y ﹣ ＝ 0 ．
（ Ⅱ ） f （ x ） ≤ 0 恒 成 立 ， 化 为 k ≥ 的 最 大 值 ，
由 f ′ （ x ） ＝ ， f ′ （ e ） ＝ 0 ，
可 得 x ∈ （ 0 ， e ） 时 ， f ′ （ x ） ＞ 0 ， 函 数 f （ x ） 单 调 递 增 ； x ∈ （ e ， + ∞ ） 时 ， f ′ （ x ） ＜ 0 ，
函 数 f （ x ） 单 调 递 减 ．
∴ x ＝ e 时 ， 函 数 f （ x ） 取 得 极 大 值 即 最 大 值 ， f （ e ） ＝ ．
∴ k ≥ ，
∴ 实 数 k 的 取 值 范 围 为 [ ， +∞ ） ．
（ Ⅲ ） 证 明 ： 由 （ Ⅱ ） 可 得 ： ≤ ， ∴ l n x ≤ x ， x ∈ （ 0 ， + ∞ ） ，
分 别 令 x ＝ ， ， … ， ，
则 l n ＜ × ， l n ＜ × ， … +l n ＜ × ，
∴ l n ．
【 点 评 】 本 题 考 查 了 利 用 导 数 研 究 其 单 调 性 与 极 值 及 最 值 、 切 线 方 程 、 累 加 求 和 方 法 、
不 等 式 的 证 明 ， 考 查 了 推 理 能 力 与 计 算 能 力 ， 属 于 中 档 题 ．
x
2 3 ． 已 知 函 数 f （ x ） ＝ a e ﹣ s i n x ﹣ a ． （ 注 ： e ＝ 2 . 7 1 8 2 8 1 … 是 自 然 对 数 的 底 数 ） ．
（ 1 ） 当 a ＝ 2 时 ， 求 曲 线 y ＝ f （ x ） 在 点 （ 0 ， f （ 0 ） ） 处 的 切 线 方 程 ；
（ 2 ） 当 a ＞ 0 时 ， 函 数 f （ x ） 在 区 间 内 有 唯 一 的 极 值 点 x ．
1
第 4 8页（共 1 0 6页）（ ⅰ ） 求 实 数 a 的 取 值 范 围 ；
（ ⅱ ） 求 证 ： f （ x ） 在 区 间 （ 0 ， π ） 内 有 唯 一 的 零 点 x ， 且 x ＜ 2 x ．
0 0 1
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 ； 利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程 ． 菁 优 网 版 权 所 有
x
【 分 析 】 （ 1 ） f （ x ） ＝ 2 e ﹣ s i n x ﹣ 2 ， 利 用 导 数 的 运 算 法 则 可 得 f '' （ x ） ， 可 得 切 线 斜 率 f ′
（ 0 ） ， 利 用 点 斜 式 可 得 切 线 方 程 ．
x
（ 2 ） （ ⅰ ） f '' （ x ） ＝ a e ﹣ c o s x ， 对 a 分 类 讨 论 ， 利 用 函 数 的 单 调 性 ， 根 据 函 数 f （ x ） 在
区 间 内 有 唯 一 的 极 值 点 x ， 即 可 得 出 a 的 取 值 范 围 ．
1
x
（ ⅱ ） 由 （ ⅰ ） 知 0 ＜ a ＜ 1 ， 当 时 ， f '' （ x ） ＝ a e ﹣ c o s x ＞ 0 ， 结 合 f '' （ x ）
的 单 调 性 与 函 数 零 点 存 在 定 理 可 得 ： f （ x ） 在 （ x ， π ） 上 有 唯 一 零 点 x ，
1 0
， 由 （ ⅰ ） 知 f '' （ x ） ＝ 0 ， ， 化 简 整 理 ，
1
构 造 函 数 ， 再 一 次 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 即 可 证 明 结 论 ．
x
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） f （ x ） ＝ 2 e ﹣ s i n x ﹣ 2 ，
x
f '' （ x ） ＝ 2 e ﹣ c o s x ，
切 线 的 斜 率 k ＝ f '' （ 0 ） ＝ 2 ﹣ 1 ＝ 1 ， 又 f （ 0 ） ＝ 0 ，
∴ 切 线 方 程 为 y ＝ x ．
x
（ 2 ） （ ⅰ ） f '' （ x ） ＝ a e ﹣ c o s x ，
x
① 当 a ≥ 1 时 ， 当 时 ， a e ＞ 1 ， c o s x ∈ （ 0 ， 1 ） ，
∴ f '' （ x ） ＞ 0 ，
∴ y ＝ f （ x ） 在 上 单 调 递 增 ， 没 有 极 值 点 ， 不 合 题 意 ， 舍 去 ；
② 当 0 ＜ a ＜ 1 时 ，
x
f '' '' （ x ） ＝ a e +s i n x ＞ 0 ， ∴ f '' （ x ） 在 上 递 增 ，
又 f '' （ 0 ） ＝ a ﹣ 1 ＜ 0 ， ，
∴ f '' （ x ） 在 上 有 唯 一 零 点 x ，
1
当 x ∈ （ 0 ， x 1 ） 时 ， f '' （ x ） ＜ 0 ， 函 数 f （ x ） 单 调 递 减 ；
当 时 ， f '' （ x ） ＞ 0 ， 函 数 f （ x ） 单 调 递 增 ，
第 4 9页（共 1 0 6页）∴ 函 数 y ＝ f （ x ） 在 区 间 内 有 唯 一 极 值 点 ， 符 合 题 意 ，
综 上 ， a 的 取 值 范 围 是 （ 0 ， 1 ） ．
x
（ ⅱ ） 证 明 ： 由 （ ⅰ ） 知 0 ＜ a ＜ 1 ， 当 时 ， f '' （ x ） ＝ a e ﹣ c o s x ＞ 0 ，
当 x ∈ （ 0 ， x ） 时 ， f '' （ x ） ＜ 0 ， 函 数 f （ x ） 单 调 递 减 ；
1
当 x ∈ （ x 1 ， π ） 时 ， f '' （ x ） ＞ 0 ， 函 数 f （ x ） 单 调 递 增 ；
∴ x ∈ （ 0 ， x ） 时 ， f （ x ） ＜ f （ 0 ） ＝ 0 ， 则 f （ x ） ＜ 0 ，
1 1
π π
又 ∵ f （ π ） ＝ a e ﹣ a ＝ a （ e ﹣ 1 ） ＞ 0 ，
∴ f （ x ） 在 （ x ， π ） 上 有 唯 一 零 点 x ，
1 0
即 f （ x ） 在 （ 0 ， π ） 上 有 唯 一 零 点 x ．
0
由 （ ⅰ ） 知 f '' （ x ） ＝ 0 ， ∴ ．
1
∵ ，
则 f （ 2 x ） ＝ ﹣ s i n 2 x ﹣ a ＝ c o s x ﹣ 2 s i n x c o s x ﹣
1 1 1 1 1
＝ ， ．
﹣
x x
设 h （ x ） ＝ e ﹣ 2 s i n x ﹣ e ， ，
﹣
x x
则 h '' （ x ） ＝ e ﹣ 2 c o s x +e ，
﹣
x x
∵ e +e ＞ 2 ， 2 c o s x ＜ 2 ，
﹣
x x
∴ h '' （ x ） ＝ e +e ﹣ 2 c o s x ＞ 0 ，
h （ x ） 在 为 单 调 递 增 ， 又 h （ 0 ） ＝ 0 ， ∴ h （ x ） ＞ 0 ，
又 时 ， c o s x ＞ 0 ，
1
∴ ．
∴ f （ 2 x ） ＞ f （ x ） ＝ 0 ．
1 0
由 前 面 讨 论 知 x 1 ＜ 2 x 1 ＜ π ， x 1 ＜ x 0 ＜ π ， f （ x ） 在 （ x 1 ， π ） 单 调 递 增 ，
∴ x ＜ 2 x ．
0 1
【 点 评 】 本 题 考 查 了 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 与 极 值 及 最 值 、 方 程 与 不 等 式 的 解 法 、
第 5 0页（共 1 0 6页）函 数 零 点 存 在 定 理 、 等 价 转 化 方 法 、 构 造 法 、 分 类 讨 论 方 法 ， 考 查 了 推 理 能 力 与 计 算 能
力 ， 属 于 难 题 ．
2 4 ． 已 知 函 数 ， ∈R ．
（ 1 ） 当 a ＝ ﹣ 2 时 ， 求 曲 线 y ＝ f （ x ） 在 点 （ 1 ， f （ 1 ） ） 处 的 切 线 方 程 ；
（ 2 ） 求 f （ x ） 在 区 间 （ 1 ， +∞ ） 上 的 极 值 ；
2
（ 3 ） 设 函 数 g （ x ） ＝ （ x ﹣ a ） l n x ， ． 当 a ≥ ﹣ 2 时 ， ? x ∈ [1 ， e ]， ? x ∈ [2 ，
1 2
3 ] ， 不 等 式 恒 成 立 ， 求 a 的 取 值 范 围 ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 最 值 ； 利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程 ； 利 用 导 数 研 究
函 数 的 极 值 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ 1 ） 求 出 函 数 的 导 函 数 ， 即 可 求 出 切 线 的 斜 率 ， 从 而 求 出 切 线 方 程 ；
（ 2 ） 求 出 函 数 的 导 函 数 ， 分 a ≥ ﹣ 2 、 a ＜ ﹣ 2 两 种 情 况 讨 论 ， 分 别 求 出 函 数 的 极 值 ；
2
（ 3 ） 根 据 对 勾 函 数 的 性 质 求 出 h （ x ） ， 依 题 意 不 等 式 恒 成 立 ，
2 m in
只 需 恒 成 立 ， 利 用 导 数 说 明 函 数 的 单 调 性 ， 结 合 （ 2 ） 中 的 结 论 求 出 参
数 的 取 值 范 围 ．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 当 a ＝ ﹣ 2 时 ， ， ，
所 以 f '' （ 1 ） ＝ 0 ， f （ 1 ） ＝ 3 ，
所 以 曲 线 y ＝ f （ x ） 在 点 （ 1 ， f （ 1 ） ） 处 的 切 线 方 程 为 y ＝ 3 ．
（ 2 ） ， x ∈ （ 1 ， +∞ ） ．
① 当 a ≥ ﹣ 2 时 ， f '' （ x ） ＞ 0 ， f （ x ） 在 （ 1 ， + ∞ ） 上 单 调 增 ， 所 以 f （ x ） 无 极 值 ；
② 当 a ＜ ﹣ 2 时 ， 当 x ∈ 时 ， f '' （ x ） ＜ 0 ， f （ x ） 单 调 递 减 ， 当 x ∈
时 ， f '' （ x ） ＞ 0 ， f （ x ） 单 调 递 增 ，
所 以 f （ x ） 的 极 小 值 为 ， 无 极 大 值 ；
综 上 可 得 ： 当 a ≥ ﹣ 2 时 函 数 无 极 值 ， 当 a ＜ ﹣ 2 时 极 小 值 为 ， 无 极 大 值 ；
（ 3 ） 易 知 在 [2 ， e ]上 单 调 递 减 ， 在 [e ， 3 ]上 单 调 递 增 ，
所 以 在 [2 ， 3 ]上 的 最 小 值 为 h （ e ） ＝ 2 e ，
第 5 1页（共 1 0 6页）所 以 ，
因 为 ，
由 题 意 ， 对 于 任 意 的 实 数 x ∈ [1 ， e ]， x ∈ [2 ， 3 ]， 不 等 式 恒 成 立 ，
1 2
只 需 恒 成 立 ， 所 以 ，
解 得 ， 又 a ≥ ﹣ 2 ， 所 以 ．
① 当 时 ， 因 为 x ∈ [1 ， e ]， 所 以 x ﹣ a ≥ 0 ，
由 （ 2 ） 知 ， f （ x ） 在 [1 ， e ]上 单 调 增 ， 所 以 f （ x ） ≥ f （ 1 ） ＝ 1 ﹣ a ≥ 0 ，
所 以 g '' （ x ） ≥ 0 ， 所 以 g （ x ） 在 [1 ， e ]上 单 调 增 ，
则 ， 解 得 ， 此 时 ，
② 当 1 ＜ a ≤ 3 e 时 ， 由 （ 2 ） 知 ， f （ x ） 在 [1 ， e ]上 单 调 递 增 ， 且 ，
又 （ f a ） ＝ 2 l n a ＞ 0 ， 所 以 存 在 x ∈ （ 1 ， a ） ， 且 x ∈ （ 1 ， e ]， 使 得 （ f x ） ＝ 0 ， 即 ，
0 0 0
得 x 0 ﹣ a ＝ ﹣ 2 x 0 l n x 0 ，
所 以 g '' （ x ） ＝ 0 的 解 为 x 和 a ， 列 表 如 下 ：
0
x （ 1 ， x ） x （ x ， a ） a （ a ， +∞ ）
0 0 0
g '' （ x ） + 0 ﹣ 0 +
g （ x ） 单 调 递 增 极 大 值 单 调 递 减 极 小 值 单 调 递 增
所 以 ， 即 ， 又 ， 所 以
恒 成 立 ， 此 时 1 ＜ a ≤ 3 e ，
综 上 所 述 ， 实 数 a 的 取 值 范 围 为 [ ﹣ 2 ， 3 e ]．
【 点 评 】 本 题 主 要 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ， 极 值 与 最 值 ， 利 用 导 数 研 究 曲 线 上
某 点 的 切 线 方 程 ， 考 查 不 等 式 恒 成 立 求 参 数 范 围 问 题 ， 考 查 转 化 思 想 与 运 算 求 解 能 力 ，
属 于 难 题 ．
x
2 5 ． 已 知 函 数 f （ x ） ＝ a ， g （ x ） ＝ l o g a x ， 其 中 a ＞ 1 ，
（ 1 ） 若 ；
第 5 2页（共 1 0 6页）（ i ） 当 a ＝ 2 时 ， 求 h （ x ） 的 单 调 区 间 ；
（ i i ） 曲 线 y ＝ h （ x ） 与 直 线 y ＝ 1 有 且 仅 有 两 个 交 点 ， 求 a 的 取 值 范 围 ．
（ 2 ） 证 明 ： 当 时 ， 存 在 直 线 l ， 使 直 线 l 是 曲 线 y ＝ f （ x ） 的 切 线 ， 也 是 曲 线 y ＝
g （ x ） 的 切 线 ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ； 利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ 1 ） （ i ） h （ x ） ＝ （ x ＞ 0 ） ， 当 a ＝ 2 时 ， h （ x ） ＝ ， 求 导 分 析 h ′ （ x ）
的 符 号 ， f （ x ） 的 单 调 性 ．
x a
（ i i ） h （ x ） ＝ ＝ 1 （ x ＞ 0 ） ， 即 a ＝ x （ x ＞ 0 ） ， 则 两 边 取 对 数 可 得 x l n a ＝ a l n x ， 进 而
可 得 ＝ ， 设 k （ x ） ＝ ， 只 需 y ＝ k （ x ） 与 直 线 y ＝ 有 两 个 交 点 ， 即 可 得
出 答 案 ．
（ 2 ） 曲 线 y ＝ f （ x ） 在 点 （ x ， ） 处 的 切 线 l ： y ﹣ ＝ l n a （ x ﹣ x ） ， 曲 线 y ＝
1 1 1
g （ x ） 在 点 （ x ， l o g x ） 处 的 切 线 l ： y ﹣ l o g x ＝ （ x ﹣ x ） ， 要 证 明 a ≥ 时 ，
2 a 2 2 a 2 2
存 在 直 线 l ， 使 l 是 曲 线 y ＝ f （ x ） 的 切 线 ， 也 是 曲 线 y ＝ g （ x ） 的 切 线 ， 即 只 需 证 明 当 a
≥ 时 ， 存 在 x ∈ （ ﹣ ∞ ， +∞ ） ， x ∈ （ 0 ， +∞ ） ， 使 得 l 和 l 重 合 ， 即 可 得 出 答 案 ．
1 2 1 2
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） （ i ） h （ x ） ＝ （ x ＞ 0 ） ，
当 a ＝ 2 时 ， h （ x ） ＝ ，
h ′ （ x ） ＝ ＝ ，
令 h ′ （ x ） ＞ 0 ， 得 2 ﹣ x l n 2 ＞ 0 ， 即 0 ＜ x ＜ ，
令 h ′ （ x ） ＜ 0 ， 得 2 ﹣ x l n 2 ＜ 0 ， 即 x ＞ ，
所 以 h （ x ） 在 （ 0 ， ） 上 单 调 递 增 ， 在 （ ， +∞ ） 上 单 调 递 减 ．
第 5 3页（共 1 0 6页）（ i i ） h （ x ） ＝ ＝ 1 （ x ＞ 0 ） ，
x a
所 以 a ＝ x （ x ＞ 0 ） ，
两 边 取 对 数 可 得 x l n a ＝ a l n x ，
所 以 ＝ ，
设 k （ x ） ＝ ，
所 以 k ′ （ x ） ＝ ＝ ，
令 k ′ （ x ） ＝ 0 得 x ＝ e ，
所 以 在 （ 0 ， e ） 上 ， k ′ （ x ） ＞ 0 ， k （ x ） 单 调 递 增 ，
在 （ e ， +∞ ） 上 ， k ′ （ x ） ＜ 0 ， k （ x ） 单 调 递 减 ，
所 以 k （ x ） ＝ k （ e ） ＝ ，
m a x
又 因 为 k （ 1 ） ＝ 0 ， 且 x ＞ 1 时 ， k （ x ） ＞ 0 ，
所 以 曲 线 y ＝ h （ x ） 与 直 线 y ＝ 1 有 且 仅 有 两 个 交 点 ，
即 曲 线 y ＝ k （ x ） 与 直 线 y ＝ 有 两 个 交 点 的 充 分 必 要 条 件 为 0 ＜ ＜ ，
所 以 0 ＜ k （ a ） ＜ k （ e ） ，
所 以 a 的 取 值 范 围 为 （ 1 ， e ） ∪ （ e ， + ∞ ） ．
（ 2 ） 证 明 ： 曲 线 y ＝ f （ x ） 在 点 （ x 1 ， ） 处 的 切 线 l 1 ： y ﹣ ＝ l n a （ x ﹣ x 1 ） ，
曲 线 y ＝ g （ x ） 在 点 （ x ， l o g x ） 处 的 切 线 l ： y ﹣ l o g x ＝ （ x ﹣ x ） ，
2 a 2 2 a 2 2
要 证 明 a ≥ 时 ， 存 在 直 线 l ， 使 l 是 曲 线 y ＝ f （ x ） 的 切 线 ， 也 是 曲 线 y ＝ g （ x ） 的 切 线 ，
只 需 证 明 当 a ≥ 时 ， 存 在 x ∈ （ ﹣ ∞ ， +∞ ） ， x ∈ （ 0 ， +∞ ） ， 使 得 l 和 l 重 合 ，
1 2 1 2
即 只 需 证 明 a ≥ 时 ， 方 程 组 有 解 ，
由① 得 x ＝ ，
2
代 入② 得 ﹣ x l n a + x + + ＝ 0③ ，
1 1
第 5 4页（共 1 0 6页）所 以 只 需 证 明 当 a ≥ 时 ， 关 于 x 1 的 方 程③ 存 在 实 数 解 ，
x x
设 函 数 u （ x ） ＝ a ﹣ x a l n a +x + + ，
即 要 证 明 当 a ≥ 时 ， 函 数 y ＝ u （ x ） 存 在 零 点 ，
2 x
u ′ （ x ） ＝ 1 ﹣ （ l n a ） x a ，
所 以 当 x ∈ （ ﹣ ∞ ， 0 ） 时 ， u ′ （ x ） ＞ 0 ， u （ x ） 单 调 递 增 ，
当 x ∈ （ 0 ， +∞ ） 时 ， u ′ （ x ） ＜ 0 ， u （ x ） 单 调 递 减 ，
又 u ′ （ 0 ） ＝ 1 ＞ 0 ， u ′ [ ]＝ 1 ﹣ ＜ 0 ，
2
所 以 存 在 唯 一 的 x ， 且 x ＞ 0 ， 使 得 u ′ （ x ） ＝ 0 ， 即 1 ﹣ （ l n a ） x ＝ 0 ，
0 0 0 0
所 以 u （ x ） 在 （ ﹣ ∞ ， x ） 上 单 调 递 增 ， 在 （ x ， +∞ ） 上 单 调 递 减 ，
0 0
u （ x ） 在 x ＝ x 0 处 取 得 极 大 值 u （ x 0 ） ，
因 为 a ≥ ， 故 l n （ l n a ） ≥ ﹣ 1 ，
u （ x ） ＝ ﹣ x l n a + x + +
0 0 0
＝ +x + ≥ ≥ 0 ，
0
下 面 证 明 实 数 t ， 使 得 u （ t ） ＜ 0 ，
x
因 为 可 证 a ≥ 1 +x l n a ，
所 以 当 x ＞ 时 ， 有 u （ x ） ≤ （ 1 +x l n a ） （ 1 ﹣ x l n a ） +x + +
2 2
＝ ﹣ （ l n a ） x +x +1 + + ，
所 以 由 二 次 函 数 的 性 质 ， 存 在 实 数 t ， 使 得 u （ t ） ＜ 0 ，
所 以 当 a ≥ 时 ， 存 在 x ∈ （ ﹣ ∞ ， +∞ ） ， 使 得 u （ x ） ＝ 0 ，
1 1
所 以 当 a ≥ 时 ， 存 在 直 线 l ， 使 得 l 是 曲 线 y ＝ f （ x ） 的 切 线 ， 也 是 曲 线 y ＝ g （ x ） 的 切
线 ．
【 点 评 】 本 题 考 查 导 数 的 综 合 应 用 ， 解 题 中 需 要 理 清 思 路 ， 属 于 中 档 题 ．
2 6 ． 已 知 函 数 f （ x ） ＝ a x ﹣ l n x ， a ∈R ．
（ Ⅰ ） 若 ， 求 函 数 f （ x ） 的 最 小 值 及 取 得 最 小 值 时 的 x 值 ；
第 5 5页（共 1 0 6页）x
（ Ⅱ ） 求 证 ： l n x ＜ e ﹣ 1 ；
x
（ Ⅲ ） 若 函 数 f （ x ） ≤ x e ﹣ （ a +1 ） l n x 对 x ∈ （ 0 ， +∞ ） 恒 成 立 ， 求 实 数 a 的 取 值 范 围 ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 最 值 ； 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ Ⅰ ） 当 a ＝ 时 ， f （ x ） ＝ x ﹣ l n x ， 求 导 分 析 f ′ （ x ） 的 符 号 ， f （ x ） 的 单 调
性 ， 即 可 得 出 答 案 ．
x x
（ Ⅱ ） 由 （ Ⅰ ） 可 知 x ﹣ l n x ≥ 0 ， 即 l n x ≤ x ， 要 证 l n x ＜ e ﹣ 1 ， 只 需 证 ＜ e ﹣ 1 ， 令 g
x
（ x ） ＝ e ﹣ x ﹣ 1 ， 只 需 证 明 g （ x ） ＜ 0 ， 即 可 得 出 答 案 ．
x x x
（ Ⅲ ） f （ x ） ≤ x e ﹣ （ a +1 ） l n x 恒 成 立 ， 等 价 于 x e ﹣ a （ x + l n x ） ≥ 0 ， 令 h （ x ） ＝ x e ﹣ a
（ x +l n x ） （ x ＞ 0 ） ， 只 需 h （ x ） ≥ 0 ， 即 可 得 出 答 案 ．
【 解 答 】 解 ： （ Ⅰ ） 当 a ＝ 时 ， f （ x ） ＝ x ﹣ l n x ，
f ′ （ x ） ＝ ﹣ ＝ ，
令 f ′ （ x ） ＝ 0 ， 得 x ＝ e ，
所 以 在 （ 0 ， e ） 上 f ′ （ x ） ＜ 0 ， f （ x ） 单 调 递 减 ，
在 （ e ， +∞ ） 上 f ′ （ x ） ＞ 0 ， f （ x ） 单 调 递 增 ，
所 以 x ＝ e 时 ， f （ x ） ＝ 0 ．
m in
（ Ⅱ ） 证 明 ： 由 （ Ⅰ ） 可 知 x ﹣ l n x ≥ 0 ， 即 l n x ≤ x ，
x x
要 证 l n x ＜ e ﹣ 1 ， 只 需 证 ＜ e ﹣ 1 ，
x
令 g （ x ） ＝ e ﹣ x ﹣ 1 ，
x
则 g ′ （ x ） ＝ e ﹣ ，
因 为 x ＞ 0 ，
x
所 以 e ＞ 1 ＞ ，
所 以 g ′ （ x ） ＞ 0 ，
所 以 g （ x ） 在 （ 0 ， + ∞ ） 上 为 增 函 数 ，
所 以 g （ x ） ＞ g （ 0 ） ＝ 0 ，
x
所 以 ＜ e ﹣ 1 ，
x
所 以 l n x ＜ e ﹣ 1 ．
第 5 6页（共 1 0 6页）x x
（ Ⅲ ） f （ x ） ≤ x e ﹣ （ a +1 ） l n x 恒 成 立 ， 等 价 于 x e ﹣ a （ x +l n x ） ≥ 0 ，
x
令 h （ x ） ＝ x e ﹣ a （ x +l n x ） （ x ＞ 0 ） ，
x x
h ′ （ x ） ＝ （ x +1 ） e ﹣ a （ 1 + ） ＝ （ x +1 ） （ e ﹣ ） ，
x
① 若 a ＝ 0 时 ， h ′ （ x ） ＝ （ x +1 ） e ＞ 0 ，
所 以 h （ x ） 在 （ 0 ， + ∞ ） 上 单 调 递 增 ，
x
h （ 0 ） ＝ 0 ， 即 h （ x ） ＞ 0 ， 满 足 x e ﹣ a （ x + l n x ） ≥ 0 ，
② 若 a ＜ 0 时 ， 则 ﹣ a ＞ 0 ， h ′ （ x ） ＞ 0 ，
所 以 h （ x ） 在 （ 0 ， + ∞ ） 上 单 调 递 增 ，
当 x → 0 时 ， h （ x ） → ﹣ ∞ ， 不 成 立 ，
所 以 a ＜ 0 不 满 足 题 意 ，
x
③ 若 a ＞ 0 时 ， 令 h ′ （ x ） ＝ 0 ， 得 a ＝ x e ，
x
令 k （ x ） ＝ e ﹣ ，
因 为 k （ x ） 在 （ 0 ， + ∞ ） 上 单 调 递 增 ，
x → +∞ 时 ， k （ x ） → +∞ ； x → 0 时 ， k （ x ） → ﹣ ∞ ，
所 以 存 在 x ∈ （ 0 ， +∞ ） ， h ′ （ x ） ＝ 0 ， a ＝ x e ，
0 0 0
所 以 在 （ 0 ， x ） 上 h ′ （ x ） ＜ 0 ， h （ x ） 单 调 递 减 ，
0
在 （ x ， + ∞ ） 上 h ′ （ x ） ＞ 0 ， h （ x ） 单 调 递 增 ，
0
所 以 h （ x ） ＝ h （ x ） ＝ x e ﹣ a （ x +l n x ） ＝ x e （ 1 ﹣ x ﹣ l n x ） ≥ 0 即 可 ，
m in 0 0 0 0 0 0 0
所 以 1 ﹣ x ﹣ l n x ≥ 0 ，
0 0
所 以 x +l n x ≤ 1 ，
0 0
因 为 x ＝ a e ，
0
所 以 l n x ＝ l n a ﹣ x ，
0 0
所 以 x +l n x ＝ l n a ≤ 1 ，
0 0
所 以 a ∈ （ 0 ， e ]，
综 上 所 述 ， a 的 取 值 范 围 为 [0 ， e ]．
【 点 评 】 本 题 考 查 导 数 的 综 合 应 用 ， 解 题 中 需 要 理 清 思 路 ， 属 于 中 档 题 ．
﹣
x
2 7 ． 已 知 函 数 f （ x ） ＝ x l n x ﹣ x +1 ， g （ x ） ＝ m l n x + e （ m ∈R ） ．
（ 1 ） 求 f （ x ） 的 最 小 值 ；
第 5 7页（共 1 0 6页）（ 2 ） 若 0 ＜ a ＜ 1 ， 且 ， 求 证 ： l o g a b ＞ 1 ；
（ 3 ） 若 g （ x ） 有 两 个 极 值 点 x 1 ， x 2 ， 证 明 ： | g （ x 1 ） ﹣ g （ x 2 ） | ＜ 1 ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 最 值 ； 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ 1 ） 利 用 导 数 确 定 函 数 的 单 调 性 ， 从 而 即 可 求 得 最 小 值 ；
（ 2 ） 由 （ 1 ） 知 f （ x ） ＝ x l n x ﹣ x +1 ≥ 0 ， 即 ， 由 ， 得
， 即 l n b ＜ l n a ， 从 而 0 ＜ b ＜ a ＜ 1 ， 再 由 对 数 函 数 的 性 质 可 得 l o g b ＞ l o g a ＝ 1 ，
a a
从 而 得 证 ；
（ 3 ） 依 题 意 可 得 有 两 个 不 等 正 根 x ， x ， 不 妨 设 x ＜ x ， 由 g '' （ x ）
1 2 1 2
＝ 0 ， 得 ， 设 ， 利 用 导 数 可 得 x ∈ （ 0 ， 1 ） ， x ∈ （ 1 ， + ∞ ） ， 令
1 2
， 由 导 数 可 得 h （ x ） 在 （ 0 ， + ∞ ） 上 单 调 递 减 ， 结 合 （ 2 ） 可 得 x l n x +1
＜ x （ x ﹣ 1 ） +1 ， 令 ， 利 用 导 数 得 m （ x ） 在 （ 0 ， 1 ） 上
单 调 递 减 ， 从 而 得 ， ， 即 可 得 证 ．
【 解 答 】 （ 1 ） 解 ： 函 数 f （ x ） 的 定 义 域 为 （ 0 ， +∞ ） ， f '' （ x ） ＝ l n x ，
当 x ∈ （ 1 ， +∞ ） 时 ， f '' （ x ） ＞ 0 ， 所 以 f （ x ） 在 （ 1 ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ，
当 x ∈ （ 0 ， 1 ） 时 ， f '' （ x ） ＜ 0 ， 所 以 f （ x ） 在 （ 0 ， 1 ） 上 单 调 递 减 ，
所 以 f （ x ） 在 x ＝ 1 时 取 得 最 小 值 0 ．
（ 2 ） 证 明 ： 由 （ 1 ） 知 f （ x ） ＝ x l n x ﹣ x +1 ≥ 0 ， 所 以 ，
由 ， 得 b ＞ 0 且 ，
所 以 ， 即 l n b ＜ l n a ， 从 而 0 ＜ b ＜ a ＜ 1 ，
所 以 l o g a b ＞ l o g a a ＝ 1 ．
（ 3 ） 证 明 ： 依 题 意 ， 有 两 个 不 等 正 根 x ， x ， 不 妨 设 x ＜ x ，
1 2 1 2
由 ， 得 ，
设 ， 由 ， 知 φ （ x ） 在 （ 0 ， 1 ） 上 单 调 递 增 ， 在 （ 1 ， +∞ ）
第 5 8页（共 1 0 6页）上 单 调 递 减 ，
且 当 x ∈ （ 0 ， + ∞ ） 时 ， φ （ x ） ＞ 0 ， 可 得 x ∈ （ 0 ， 1 ） ， x ∈ （ 1 ， + ∞ ） ．
1 2
， ，
令 ， 则 ，
当 x ∈ （ 0 ， 1 ） 时 ， （ 1 ﹣ x ） l n x ＜ 0 ， 所 以 h '' （ x ） ＜ 0 ，
当 x ∈ （ 1 ， +∞ ） 时 ， （ 1 ﹣ x ） l n x ＜ 0 ， 所 以 h '' （ x ） ＜ 0 ，
所 以 h （ x ） 在 （ 0 ， + ∞ ） 上 单 调 递 减 ．
因 为 0 ＜ x ＜ 1 ， x ＞ 1 ， 所 以 ， ．
1 2
由 （ 2 ） 当 x ＞ 0 时 ， 有 ，
所 以 ， 即 ﹣ l n x ＞ 1 ﹣ x ，
所 以 l n x ＜ x ﹣ 1 ， 从 而 x l n x +1 ＜ x （ x ﹣ 1 ） +1 ．
令 ， ，
所 以 m （ x ） 在 （ 0 ， 1 ） 上 单 调 递 减 ，
x
所 以 m （ x ） ＜ m （ 0 ） ＝ 1 ， 即 x （ x ﹣ 1 ） +1 ＜ e ，
所 以 ，
所 以 ， ，
所 以 | g （ x ） ﹣ g （ x ） | ＜ 1 ．
1 2
【 点 评 】 本 题 主 要 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 与 最 值 ， 考 查 不 等 式 的 证 明 ， 考 查 运 算
求 解 能 力 ， 属 于 难 题 ．
2
2 8 ． 已 知 a ＞ 0 ， 函 数 f （ x ） ＝ x l n a ﹣ a l n x + （ x ﹣ e ） ， 其 中 e 是 自 然 对 数 的 底 数 ．
（ Ⅰ ） 当 a ＝ 1 时 ， 求 曲 线 y ＝ f （ x ） 在 点 （ 1 ， f （ 1 ） ） 处 的 切 线 方 程 ；
（ Ⅱ ） 当 a ＝ e 时 ， 求 函 数 f （ x ） 的 单 调 区 间 ；
（ Ⅲ ） 求 证 ： 函 数 f （ x ） 存 在 极 值 点 ， 并 求 极 值 点 x 的 最 小 值 ．
0
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ； 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 ． 菁 优 网 版 权 所 有
2 2
【 分 析 】 （ Ⅰ ） 当 a ＝ 1 时 ， f （ x ） ＝ ﹣ l n x + （ x ﹣ e ） ， f （ 1 ） ＝ （ 1 ﹣ e ） ， 利 用 导 数 运
第 5 9页（共 1 0 6页）算 法 则 可 得 f ′ （ x ） ， 可 得 切 线 斜 率 f ′ （ 1 ） ， 利 用 点 斜 式 即 可 得 出 曲 线 y ＝ f （ x ） 在 点 （ 1 ，
f （ 1 ） ） 处 的 切 线 方 程 ．
2
（ Ⅱ ） 当 a ＝ e 时 ， f （ x ） ＝ x ﹣ e l n x + （ x ﹣ e ） ， x ∈ （ 0 ， + ∞ ） ． 利 用 导 数 运 算 法 则 可 得 f ′
（ x ） ， 进 而 得 出 函 数 f （ x ） 单 调 区 间 ．
2
（ Ⅲ ） a ＞ 0 ， 函 数 f （ x ） ＝ x l n a ﹣ a l n x + （ x ﹣ e ） ， x ∈ （ 0 ， + ∞ ） ． 可 得 f ′ （ x ） ＝
2
， 令 g （ x ） ＝ 2 x ﹣ （ 2 e ﹣ l n a ） x ﹣ a ， a ＞ 0 ， 可 得 f ′ （ x ） ＝ 0 ? g
（ x ） ＝ 0 ， 根 据 Δ ＞ 0 ， ? x 1 ， x 2 ， 使 得 g （ x 1 ） ＝ g （ x 2 ） ＝ 0 ， 结 合 根 与 系 数 的 关 系 可 得
f （ x ） 的 极 小 值 点 ． 进 而 得 出 x 的 最 小 值 ．
0
2 2
【 解 答 】 解 ： （ Ⅰ ） 当 a ＝ 1 时 ， f （ x ） ＝ ﹣ l n x +（ x ﹣ e ） ， f （ 1 ） ＝ （ 1 ﹣ e ） ，
f ′ （ x ） ＝ ﹣ +2 （ x ﹣ e ） ，
∴ f ′ （ 1 ） ＝ 1 ﹣ 2 e ，
2
∴ 曲 线 y ＝ f （ x ） 在 点 （ 1 ， f （ 1 ） ） 处 的 切 线 方 程 为 y ﹣ （ 1 ﹣ e ） ＝ （ 1 ﹣ 2 e ） （ x ﹣ 1 ） ，
2
化 为 （ 2 e ﹣ 1 ） x +y ﹣ e ＝ 0 ．
2
（ Ⅱ ） 当 a ＝ e 时 ， f （ x ） ＝ x ﹣ e l n x + （ x ﹣ e ） ， x ∈ （ 0 ， +∞ ） ．
f ′ （ x ） ＝ 1 ﹣ +2 （ x ﹣ e ） ＝ ， f ′ （ e ） ＝ 0 ，
∴ x ∈ （ 0 ， e ） 时 ， f ′ （ x ） ＜ 0 ， 此 时 函 数 f （ x ） 单 调 递 减 ； x ∈ （ e ， + ∞ ） 时 ， f ′ （ x ）
＞ 0 ， 此 时 函 数 f （ x ） 单 调 递 增 ．
∴ 函 数 f （ x ） 单 调 递 减 区 间 为 （ 0 ， e ） ； 函 数 f （ x ） 单 调 递 增 区 间 为 （ e ， +∞ ） ．
2
（ Ⅲ ） 证 明 ： a ＞ 0 ， 函 数 f （ x ） ＝ x l n a ﹣ a l n x + （ x ﹣ e ） ， x ∈ （ 0 ， +∞ ） ．
f ′ （ x ） ＝ l n a ﹣ +2 （ x ﹣ e ） ＝ ，
2
令 g （ x ） ＝ 2 x ﹣ （ 2 e ﹣ l n a ） x ﹣ a ， a ＞ 0 ，
∵ x ＞ 0 ， ∴ f ′ （ x ） ＝ 0 ? g （ x ） ＝ 0 ，
2
∵ Δ ＝ （ 2 e ﹣ l n a ） +8 a ＞ 0 ，
由 a ＞ 0 ， 则 ?x ， x ， 使 得 g （ x ） ＝ g （ x ） ＝ 0 ， 且 x x ＝ ﹣ ＜ 0 ，
1 2 1 2 1 2
不 妨 设 x ＜ 0 ＜ x ，
1 2
∴ f ′ （ x ） ＜ 0 ? 0 ＜ x ＜ x ，
2
f ′ （ x ） ＞ 0 ? x ＞ x ，
2
∴ ?x ＝ x 为 f （ x ） 的 极 小 值 点 ．
0 2
第 6 0页（共 1 0 6页）∵ g （ e ） ＝ e l n a ﹣ a ≤ 0 ，
∴ x ≥ e ， 等 号 成 立 ．
0
∴ x 的 最 小 值 为 e ．
0
【 点 评 】 本 题 考 查 了 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 与 极 值 、 等 价 转 化 方 法 、 方 程 与 不 等 式
的 解 法 ， 考 查 了 推 理 能 力 与 计 算 能 力 ， 属 于 难 题 ．
2 9 ． 已 知 函 数 f （ x ） ＝ x （ l n x ﹣ m ﹣ 1 ） ， m ∈R ．
（ Ⅰ ） 若 m ＝ 2 ， 求 曲 线 y ＝ f （ x ） 在 点 （ e ， f （ e ） ） 处 的 切 线 方 程 ；
（ Ⅱ ） 当 x ＞ 1 时 ， 求 函 数 f （ x ） 的 单 调 区 间 和 极 值 ；
2
（ Ⅲ ） 若 对 于 任 意 x ∈ [e ， e ） ， 都 有 f （ x ） ＜ 4 l n x 成 立 ， 求 实 数 m 的 取 值 范 围 ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 最 值 ； 利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程 ； 利 用 导 数 研 究
函 数 的 极 值 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ Ⅰ ） 求 出 函 数 的 导 数 ， 求 出 切 线 的 斜 率 ， 求 出 切 点 坐 标 ， 然 后 求 解 切 线 方 程 ．
（ Ⅱ ） 求 出 导 数 通 过① 当 m ≤ 0 时 ，② 当 m ＞ 0 时 ， 判 断 导 函 数 的 符 号 ， 判 断 函 数 的
单 调 性 求 解 函 数 的 极 值 即 可 ．
（ Ⅲ ） 题 目 化 为 f （ x ） ﹣ 4 l n x ＜ 0 ， 问 题 转 化 为 （ x ﹣ 4 ） l n x ﹣ （ m +1 ） x ＜ 0 对 于 x ∈ [e ，
2
e ]恒 成 立 ，
2
即 对 于 x ∈ [ e ， e ]恒 成 立 ， 构 造 函 数 ， 求 出 导
2
函 数 ， 令 t （ x ） ＝ 4 l n x +x ﹣ 4 ， x ∈ [ e ， e ] ， 利 用 导 函 数 求 解 最 小 值 t （ x ） ＝ t （ e ） ＝ e
m in
2
﹣ 4 +4 ＝ e ＞ 0 ， 推 出 g? （ x ） ＞ 0 ， g （ x ） 在 区 间 [e ， e ] 上 单 调 递 增 ， 然 后 求 解 最 大 值 推
出 结 果 即 可 ．
【 解 答 】 解 ： （ Ⅰ ） f （ x ） ＝ （ l n x ﹣ 3 ） x ， f （ e ） ＝ ﹣ 2 e ，
，
则 k ＝ f ′ （ e ） ＝ ﹣ 1 ． … … … … … … … … … … 3
所 以 y ＝ （ f x ） 在 点 （ e ， （ f e ） ） 处 的 切 线 方 程 为 y +2 e ＝ ﹣ （ x ﹣ e ） 即 x +y + e ＝ 0 ． … … … … … …
5
（ Ⅱ ） 因 为 f （ x ） ＝ （ l n x ﹣ m ﹣ 1 ） x （ m ∈R ） ，
所 以 x ＞ 0 ， ． … … … … … … … 6
① 当 m ≤ 0 时 ， 因 为 x ＞ 1 ， 所 以 f? （ x ） ＝ l n x ﹣ m ＞ 0 ，
函 数 f （ x ） 的 单 调 增 区 间 是 （ 1 ， +∞ ） ， 无 单 调 减 区 间 ， 无 极 值 … … … … … … … 7
第 6 1页（共 1 0 6页）m
② 当 m ＞ 0 时 ， 令 l n x ﹣ m ＝ 0 ， 解 得 x ＝ e ，
m m
当 1 ＜ x ＜ e 时 ， f? （ x ） ＜ 0 ； 当 x ＞ e ， f? （ x ） ＞ 0 ，
m m
所 以 函 数 （ f x ） 的 单 调 减 区 间 是 （ 1 ， e ） ， 单 调 增 区 间 是 （ e ， +∞ ） ， … … … … … … … …
9
m m m
在 区 间 （ 1 ， +∞ ） 上 的 极 小 值 为 f （ e ） ＝ （ m ﹣ m ﹣ 1 ） e ＝ ﹣ e ， 无 极 大 值 ． … … …
1 0
2
（ Ⅲ ） 因 为 对 于 任 意 x ∈ [e ， e ]， 都 有 f （ x ） ＜ 4 l n x 成 立 ， 所 以 f （ x ） ﹣ 4 l n x ＜ 0 ，
2
即 问 题 转 化 为 （ x ﹣ 4 ） l n x ﹣ （ m +1 ） x ＜ 0 对 于 x ∈ [e ， e ] 恒 成 立 ，
2
即 对 于 x ∈ [ e ， e ]恒 成 立 ， … … … … … … … … … 1 1
令 ， 则 ，
2
令 t （ x ） ＝ 4 l n x +x ﹣ 4 ， x ∈ [e ， e ]， 则 ，
2
所 以 t （ x ） 在 区 间 [e ， e ]上 单 调 递 增 ，
故 t （ x ） m in ＝ t （ e ） ＝ e ﹣ 4 +4 ＝ e ＞ 0 ， 进 而 g? （ x ） ＞ 0 ， … … … … … … … … … … 1 3
2
所 以 g （ x ） 在 区 间 [e ， e ]上 单 调 递 增 ，
函 数 ， … … … … … … … … … … 1 5
2
要 使 对 于 x ∈ [e ， e ]恒 成 立 ， 只 要 m +1 ＞ g （ x ） ，
m a x
所 以 ， 即 实 数 m 的 取 值 范 围 是 ． … … … … … … … … … …
1 6
【 点 评 】 本 题 考 查 函 数 的 导 数 的 应 用 ， 二 次 导 数 的 应 用 ， 构 造 法 以 及 转 化 思 想 的 应 用 ，
考 查 分 析 问 题 解 决 问 题 的 能 力 ， 是 难 题 ．
3 0 ． 已 知 函 数 f （ x ） ＝ x ﹣ a l n x ， ．
（ 1 ） 若 a ＝ 1 ， 求 函 数 f （ x ） 的 极 值 ；
（ 2 ） 设 函 数 h （ x ） ＝ f （ x ） ﹣ g （ x ） ， 求 函 数 h （ x ） 的 单 调 区 间 ；
（ 3 ） 若 在 [1 ， e ] （ e ＝ 2 . 7 1 8 ） 上 存 在 一 点 x ， 使 得 f （ x ） ＜ g （ x ） 成 立 ， 求 a 的 取 值 范
0 0 0
围 ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 ； 利 用 导 数 研 究 函 数 的 最 值 ； 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单
调 性 ． 菁 优 网 版 权 所 有
第 6 2页（共 1 0 6页）【 分 析 】 （ 1 ） 求 出 f （ x ） 的 导 函 数 ， 研 究 单 调 性 ， 即 可 得 到 函 数 的 极 值 ；
（ 2 ） 对 参 数 a 分 类 讨 论 ， 明 确 函 数 的 单 调 区 间 ；
（ 3 ） 原 问 题 等 价 于 在 区 间 [1 ， e ]上 存 在 一 点 x ， 使 得 h （ x ） ＜ 0 ， 即 求 函 数 h （ x ） 的 最
0 0
小 值 即 可 ．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） f （ x ） 的 定 义 域 为 （ 0 ， +∞ ） ，
当 a ＝ 1 时 ， f （ x ） ＝ x ﹣ l n x ， ，
∴ f （ x ） 在 x ＝ 1 处 取 得 极 小 值 1 ， 无 极 大 值 ．
（ 2 ） ，
．
① 当 a +1 ＞ 0 ， 即 a ＞ ﹣ 1 时 ， 在 （ 0 ， 1 +a ） 上 h '' （ x ） ＜ 0 ， 在 （ 1 + a ， + ∞ ） 上 h '' （ x ） ＞
0 ，
∴ h （ x ） 在 （ 0 ， 1 +a ） 上 单 调 递 减 ， 在 （ 1 +a ， +∞ ） 单 调 递 增 ；
② 当 a +1 ≤ 0 ， 即 a ≤ ﹣ 1 时 ， 在 （ 0 ， +∞ ） 上 h '' （ x ） ＞ 0 ，
∴ 函 数 h （ x ） 在 （ 0 ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ．
（ 3 ） 在 [1 ， e ]上 存 在 一 点 x ， 使 得 f （ x ） ＜ g （ x ） 成 立 ，
0 0 0
即 在 [1 ， e ]上 存 在 一 点 x ， 使 得 h （ x ） ＜ 0 ，
0 0
即 函 数 在 [1 ， e ]上 的 最 小 值 小 于 零 ．
由 （ 2 ） 可 知 ，① 当 1 +a ≥ e ， 即 a ≥ e ﹣ 1 时 ， h （ x ） 在 [1 ， e ] 上 单 调 递 减 ，
∴ h （ x ） 的 最 小 值 为 h （ e ） ， 由 ﹣ a ＜ 0 ， 可 得 ，
∵ ， ∴ ；
当 1 +a ≤ 1 ， 即 a ≤ 0 时 ， h （ x ） 在 [1 ， e ] 上 单 调 递 增 ，
②
∴ h （ x ） 最 小 值 为 h （ 1 ） ， 由 h （ 1 ） ＝ 1 +1 +a ＜ 0 ， 可 得 a ＜ ﹣ 2 ；
③ 当 1 ＜ 1 +a ＜ e ， 即 0 ＜ a ＜ e ﹣ 1 时 ， 可 得 h （ x ） 最 小 值 为 h （ 1 +a ） ，
∵ 0 ＜ l n （ 1 +a ） ＜ 1 ， ∴ 0 ＜ a l n （ 1 +a ） ＜ a ，
故 h （ 1 +a ） ＝ 2 +a ﹣ a l n （ 1 +a ） ＞ 2 ，
此 时 ， h （ 1 +a ） ＜ 0 不 成 立 ，
第 6 3页（共 1 0 6页）综 上 ， a 的 范 围 是 { a | 或 a ＜ ﹣ 2 } ．
【 点 评 】 本 题 考 查 了 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 与 最 值 ， 不 等 式 能 成 立 问 题 ， 考 查 了 分
类 讨 论 思 想 和 转 化 思 想 ， 属 难 题 ．
3 1 ． 已 知 函 数 ．
（ 1 ） 求 曲 线 y ＝ f （ x ） 在 点 （ 1 ， f （ 1 ） ） 处 的 切 线 方 程 ；
（ 2 ） 若 函 数 有 两 个 零 点 x ， x （ 其 中 x ＜ x ） ．
1 2 1 2
（ i ） 求 实 数 a 的 取 值 范 围 ；
（ i i ） 若 存 在 实 数 n ， 当 n ≤ 3 时 ， 使 不 等 式 恒 成 立 ， 求 实 数 m 的 取
值 范 围 ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 最 值 ； 利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ 1 ） 利 用 导 数 的 几 何 意 义 求 （ 1 ， f （ 1 ） ） 处 的 切 线 方 程 ；
x x
（ 2 ） （ i ） 问 题 化 为 x e ﹣ l n x ﹣ x ＝ a 有 两 个 不 等 的 实 根 ， 构 造 h （ x ） ＝ x e ﹣ l n x ﹣ x （ x ＞ 0 ） ，
应 用 导 数 研 究 其 单 调 性 ， 进 而 确 定 值 域 ， 即 可 得 a 的 取 值 范 围 ；
（ i i ） 由 在 （ ﹣ ∞ ， 3 ] 为 单 调 递 增 函 数 ， 将 问 题 化 为
x
恒 成 立 ， 令 g （ x ） ＝ 0 、 t ＝ x e 且 x ＞ 0 ， 则 t ﹣ l n t ＝ a 有 两 个 正 根
x
， ， 应 用 导 数 研 究 t ＝ x e 单 调 性 ， 再 令 进 一 步 转 化 问
题 为 （ 3 u +1 ） l n u ﹣ m （ u ﹣ 1 ） ＞ 0 在 u ∈ （ 1 ， +∞ ） 上 恒 成 立 ， 构 造 函 数 研 究 不 等 式 恒 成
立 求 参 数 范 围 ．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 由 ， 则 ，
所 以 f （ 1 ） ＝ e ﹣ 1 ， 即 切 点 坐 标 为 （ 1 ， e ﹣ 1 ） ， 切 线 斜 率 k ＝ f '' （ 1 ） ＝ e ﹣ 1 ，
故 切 线 方 程 为 y ﹣ （ e ﹣ 1 ） ＝ （ e ﹣ 1 ） （ x ﹣ 1 ） ， 即 （ e ﹣ 1 ） x ﹣ y ＝ 0 ；
x
（ 2 ） （ i ） 由 题 意 g （ x ） ＝ 0 有 两 个 不 等 的 正 根 ， 等 价 于 x e ﹣ l n x ﹣ x ＝ a 有 两 个 不 等 的 实
根 ，
x
设 h （ x ） ＝ x e ﹣ l n x ﹣ x （ x ＞ 0 ） ， 则 ，
设 ， ，
第 6 4页（共 1 0 6页）则 m （ x ） 在 （ 0 ， +∞ ） 为 增 函 数 ， ， m （ 1 ） ＝ e ﹣ 1 ＞ 0 ，
∴ 存 在 唯 一 的 x ∈ （ 0 ， +∞ ） ， 使 m （ x ） ＝ 0 ， 得 ① ．
0 0
当 x ∈ （ 0 ， x ） 时 m （ x ） ＜ 0 ， 则 h '' （ x ） ＜ 0 ， h （ x ） 为 单 调 减 函 数 ；
0
当 x ∈ （ x ， + ∞ ） 时 m （ x ） ＞ 0 ， 则 h '' （ x ） ＞ 0 ， h （ x ） 为 单 调 增 函 数 ．
0
所 以 ，
代 入① 式 得 h （ x ） ＝ 1 ， 当 x 趋 向 于 0 或 +∞ 时 ， h （ x ） 趋 向 + ∞ ，
0
所 以 a ＞ 1 时 ， 函 数 h （ x ） 有 两 个 零 点 ， 即 函 数 g （ x ） 有 两 个 零 点 ．
（ i i ） 设 ， 而 ， 所 以 φ （ n ） 在 （ ﹣ ∞ ， 3 ]为 单 调 递
增 函 数 ，
由 题 意 ， 恒 成 立 即 可 ，
x x x
令 g （ x ） ＝ 0 ， 得 x e ﹣ l n x ﹣ x ﹣ a ＝ 0 ， 即 x e ﹣ l n （ x e ） ＝ a 有 两 正 根 x ， x ， 0 ＜ x ＜ x ，
1 2 1 2
x
设 t ＝ x e 且 x ＞ 0 ， 则 t ﹣ l n t ＝ a 有 两 个 正 根 ， ，
x x
由 t '' ＝ （ x +1 ） e ＞ 0 恒 成 立 ， 故 t ＝ x e 在 （ 0 ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ， 且 t ＞ 0 ，
由 0 ＜ x ＜ x ， 得 0 ＜ t ＜ t ， 得 ， 则 ，
1 2 1 2
令 ， 由 ， 整 理 得 ，
对 于 等 价 于 在 （ 1 ， +
∞ ） 上 恒 成 立 ，
等 价 于 （ 3 u +1 ） l n u ﹣ m （ u ﹣ 1 ） ＞ 0 在 u ∈ （ 1 ， +∞ ） 上 恒 成 立 ，
令 k （ u ） ＝ （ 3 u +1 ） l n u ﹣ m （ u ﹣ 1 ） （ u ＞ 1 ） ， 则 ，
注 意 到 k （ 1 ） ＝ 0 ， 则 k '' （ 1 ） ＝ 4 ﹣ m ≥ 0 ， 解 得 m ≤ 4 ，
当 m ≤ 4 时 ， 当 u ＞ 1 时 ， 恒 成 立 ，
所 以 φ （ u ） ＝ k '' （ u ） 在 （ 1 ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ， 则 k '' （ u ） ＞ k '' （ 1 ） ＝ 4 ﹣ m ≥ 0 ，
所 以 k （ u ） 在 （ 1 ， + ∞ ） 上 单 调 递 增 ， 则 k （ u ） ＞ k （ 1 ） ＝ 0 ， 所 以 m ≤ 4 符 合 题 意 ；
第 6 5页（共 1 0 6页）当 m ＞ 4 时 ， k '' （ 1 ） ＝ 4 ﹣ m ＜ 0 ， ， 存 在 ， 使
k '' （ u 0 ） ＝ 0 ，
又 k '' （ u ） 在 （ 1 ， + ∞ ） 上 单 调 递 增 ，
所 以 当 u ∈ （ 1 ， u ） 时 k '' （ u ） ＜ 0 ， k （ u ） 为 单 调 递 减 ， 则 k （ u ） ＜ k （ 1 ） ＝ 0 ， 不 合 题
0 0
意 ．
综 上 ： 实 数 m 的 取 值 范 围 （ ﹣ ∞ ， 4 ]．
【 点 评 】 本 题 考 查 导 数 的 几 何 意 义 ， 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ， 极 值 及 最 值 ， 考
查 不 等 式 的 恒 成 立 问 题 ， 考 查 逻 辑 推 理 能 力 及 运 算 求 解 能 力 ， 属 于 中 档 题 ．
3 2 ． 已 知 a ， b ∈R ， 函 数 f （ x ） ＝ x +a s i n x + b l n x ．
（ 1 ） 当 a ＝ 0 ， b ＝ ﹣ 1 时 ， 求 f （ x ） 的 单 调 区 间 ；
（ 2 ） 当 时 ， 设 f （ x ） 的 导 函 数 为 f '' （ x ） ， 若 f '' （ x ） ＞ 0 恒 成 立 ，
求 证 ： 存 在 x ， 使 得 f （ x ） ＜ ﹣ 1 ；
0 0
（ 3 ） 设 0 ＜ a ＜ 1 ， b ＜ 0 ， 若 存 在 x ， x ∈ （ 0 ， + ∞ ） ， 使 得 f （ x ） ＝ f （ x ） （ x ≠ x ） ，
1 2 1 2 1 2
证 明 ： ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ； 利 用 导 数 研 究 函 数 的 最 值 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ 1 ） 当 a ＝ 0 ， b ＝ ﹣ 1 时 ， f （ x ） ＝ x ﹣ l n x （ x ＞ 0 ） ， 求 导 分 析 f ′ （ x ） 的 符 号 ，
进 而 可 得 f （ x ） 的 单 调 性 ．
（ 2 ） 当 a ＝ ﹣ ， b ≠ 0 时 ， （ f x ） ＝ x ﹣ s i n x +b l n x （ x ＞ 0 ） ， 求 导 可 得 f ′ （ x ） ＝ 1 ﹣ c o s x +
（ x ＞ 0 ） ， 分 两 种 情 况 ： 当 b ＜ 0 时 ， 当 b ＞ 0 时 ， 讨 论 是 否 存 在 x ，
0
使 得 f （ x ） ＜ ﹣ 1 ， 即 可 得 出 答 案 ．
0
（ 3 ） 设 x 1 ＜ x 2 时 ， 则 由 x 1 + a s i n x 1 +b l n x 1 ＝ x 2 +a s i n x 2 +b l n x 2 得 （ x 2 ﹣ x 1 ） +a （ s i n x 2 ﹣ s i n x 1 ）
＝ （ ﹣ b ） （ l n x ﹣ l n x ） ， 设 h （ x ） ＝ x ﹣ s i n x ， 求 导 分 析 单 调 性 ， 可 得 x ﹣ x ＞ s i n x ﹣ s i n x ，
2 1 2 1 2 1
则 （ ﹣ b ） l n ＜ （ a +1 ） （ x ﹣ x ） （ ） 设 M （ x ） ＝ l n x ﹣ 2 ， 求 导 分 析 单 调 性 ， 可
2 1
得 l n x ＞ 2 ， 则 l n ＞ 2 ＝ 2 ， 由 （ ） 可 得 （ ﹣ 4 b ）
＜ （ a +1 ） （ ﹣ ） （ + ） ， 化 简 即 可 得 出 答 案 ．
第 6 6页（共 1 0 6页）【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 当 a ＝ 0 ， b ＝ ﹣ 1 时 ， f （ x ） ＝ x ﹣ l n x （ x ＞ 0 ） ，
所 以 f ′ （ x ） ＝ （ x ＞ 0 ） ，
令 f ′ （ x ） ＞ 0 ， 解 得 x ＞ 1 ，
令 f ′ （ x ） ＜ 0 ， 解 得 0 ＜ x ＜ 1 ，
所 以 f （ x ） 的 单 调 递 增 区 间 为 （ 1 ， + ∞ ） ， 单 调 递 减 区 间 为 （ 0 ， 1 ） ．
（ 2 ） 证 明 ： 当 a ＝ ﹣ ， b ≠ 0 时 ， f （ x ） ＝ x ﹣ s i n x +b l n x （ x ＞ 0 ） ，
f ′ （ x ） ＝ 1 ﹣ c o s x + （ x ＞ 0 ） ，
当 b ＜ 0 时 ， f ′ （ ﹣ ） ＝ 1 ﹣ c o s （ ﹣ ） ﹣ 2 ＝ ﹣ 1 ﹣ c o s （ ﹣ ） ＜ 0 ，
所 以 不 等 式 f ′ （ x ） ＞ 0 不 恒 成 立 ，
当 b ＞ 0 时 ， f ′ （ x ） ＝ 1 ﹣ c o s x + ＞ 0 ，
取 x 0 ＝ ， 则 0 ＜ x 0 ＜ 1 ，
f （ x ） ＝ x ﹣ s i n x +b l n x ＜ 1 ﹣ s i n x ﹣ 3 ＝ ﹣ 2 ﹣ s i n x ＜ ﹣ 1 ，
0 0 0 0 0 0
所 以 当 f ′ （ x ） ＞ 0 恒 成 立 时 ， 存 在 x ， 使 得 f （ x ） ＜ ﹣ 1 ．
0 0
（ 3 ） 证 明 ： 设 x ＜ x 时 ， 则 由 x +a s i n x +b l n x ＝ x + a s i n x +b l n x ，
1 2 1 1 1 2 2 2
得 （ x 2 ﹣ x 1 ） +a （ s i n x 2 ﹣ s i n x 1 ） ＝ （ ﹣ b ） （ l n x 2 ﹣ l n x 1 ） ，
设 h （ x ） ＝ x ﹣ s i n x ， 则 h ′ （ x ） ＝ 1 ﹣ c o s x ≥ 0 在 （ 0 ， +∞ ） 上 恒 成 立 ，
所 以 h （ x ） 在 （ 0 ， + ∞ ） 上 单 调 递 增 ，
所 以 x ﹣ s i n x ＞ x ﹣ s i n x ， 即 x ﹣ x ＞ s i n x ﹣ s i n x ，
2 2 1 1 2 1 2 1
所 以 （ ﹣ b ） l n ＜ （ a +1 ） （ x ﹣ x ） ， （ ）
2 1
设 M （ x ） ＝ l n x ﹣ 2 ? ，
则 M ′ （ x ） ＝ ﹣ ＝ ≥ 0 ，
所 以 当 x ＞ 1 时 ， M （ x ） ＞ M （ 1 ） ＝ 0 ， 则 l n x ＞ 2 ? ，
第 6 7页（共 1 0 6页）所 以 l n ＞ 2 ＝ 2 ，
所 以 l n ＞ 4 ，
由 （ ） 可 得 （ ﹣ 4 b ） ＜ （ a +1 ） （ ﹣ ） （ + ） ，
2
化 简 的 4 ＜ （ + ） ，
所 以 + ＞ 2 ．
【 点 评 】 本 题 考 查 导 数 的 综 合 应 用 ， 解 题 中 需 要 理 清 思 路 ， 属 于 中 档 题 ．
﹣
x
3 3 ． 已 知 函 数 f （ x ） ＝ ﹣ a l n x ， g （ x ） ＝ （ c o s x ﹣ 1 ） e ， 其 中 a ∈R ．
（ 1 ） 若 曲 线 y ＝ f （ x ） 在 x ＝ 1 处 的 切 线 l 与 曲 线 y ＝ g （ x ） 在 x ＝ 处 的 切 线 l 平 行 ，
1 2
求 a 的 值 ；
（ 2 ） 若 x ∈ （ 0 ， π ） 时 ， 求 函 数 g （ x ） 的 最 小 值 ；
（ 3 ） 若 f （ x ） 的 最 小 值 为 h （ a ） ， 证 明 ： 当 a ∈ （ 0 ， + ∞ ） 时 ， h （ a ） ≤ 1 ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 最 值 ； 利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程 ． 菁 优 网 版 权 所 有
﹣
x
【 分 析 】 （ 1 ） 求 导 得 f ′ （ x ） ＝ ， g ′ （ x ） ＝ （ ﹣ s i n x ﹣ c o s x +1 ） e ， 若 曲 线 y
＝ f （ x ） 在 x ＝ 1 处 的 切 线 l 与 曲 线 y ＝ g （ x ） 在 x ＝ 处 的 切 线 l 平 行 ， 则 f ′ （ 1 ） ＝ g ′
1 2
（ ） ， 解 得 a ， 即 可 得 出 答 案 ．
（ 2 ） 求 导 分 析 g ′ （ x ） 的 符 号 ， g （ x ） 的 单 调 性 ， 最 值 ， 即 可 得 出 答 案 ．
（ 3 ） 求 导 得 f ′ （ x ） 的 符 号 ， f （ x ） 的 单 调 性 ， 最 小 值 ， h （ a ） 的 解 析 式 ， 求 导 分 析 单
调 性 ， 最 值 ， 即 可 得 出 答 案 ．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 因 为 f ′ （ x ） ＝ ﹣ ＝ ，
所 以 f ′ （ 1 ） ＝ ，
﹣ ﹣ ﹣
x x x
g ′ （ x ） ＝ ﹣ s i n x e +（ c o s x ﹣ 1 ） （ ﹣ e ） ＝ （ ﹣ s i n x ﹣ c o s x +1 ） e ，
第 6 8页（共 1 0 6页）所 以 g ′ （ ） ＝ 0 ，
因 为 两 条 切 线 平 行 ，
所 以 ＝ 0 ， 解 得 a ＝ ．
﹣
x
（ 2 ） 令 g ′ （ x ） ＞ 0 ， 得 （ ﹣ s i n x ﹣ c o s x +1 ） e ＞ 0 ， 即 s i n x +c o s x ＜ 1 ，
即 s i n （ x + ） ＜ 1 ， 即 s i n （ x + ） ＜ ，
所 以 在 （ 0 ， ） 上 g ′ （ x ） ＜ 0 ， g （ x ） 单 调 递 减 ，
在 （ ， π ） 上 g ′ （ x ） ＞ 0 ， g （ x ） 单 调 递 增 ，
所 以 x ∈ （ 0 ， π ） 时 ， g （ x ） 的 最 小 值 为 g （ ） ＝ ﹣ ．
（ 3 ） 证 明 ： 令 f ′ （ x ） ＞ 0 ， 有 ﹣ 2 a ＞ 0 ， 即 ＞ 2 a ，
2
当 a ＞ 0 时 ， 解 得 x ＞ 4 a ，
2 2
所 以 f （ x ） 在 （ 0 ， 4 a ） 上 单 调 递 减 ， 在 （ 4 a ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ，
2
所 以 x ＝ 4 a 是 f （ x ） 在 （ 0 ， + ∞ ） 上 唯 一 极 值 点 ， 且 是 极 小 值 点 ， 也 是 f （ x ） 的 最 小 值
点 ，
2 2
所 以 最 小 值 h （ a ） ＝ f （ 4 a ） ＝ 2 a ﹣ a l n （ 4 a ） ＝ 2 a （ 1 ﹣ l n （ 2 a ） ） ，
所 以 f （ x ） 的 最 小 值 h （ a ） 的 解 析 式 为 h （ a ） ＝ 2 a （ 1 ﹣ l n （ 2 a ） ） （ a ＞ 0 ） ，
则 h ′ （ a ） ＝ ﹣ 2 l n （ 2 a ） ，
令 h ′ （ a ） ＞ 0 解 得 a ＜ ，
当 0 ＜ a ＜ 时 ， h ′ （ a ） ＞ 0 ， h （ a ） 在 （ 0 ， ） 上 单 调 递 增 ，
当 a ＞ 时 ， h ′ （ a ） ＜ 0 ， h （ a ） 在 （ ， + ∞ ） 上 单 调 递 减 ，
所 以 h （ a ） 在 a ＝ 处 取 得 最 大 值 h （ ） ＝ 1 ，
因 为 h （ a ） 在 （ 0 ， +∞ ） 上 有 且 只 有 一 个 极 值 点 ，
所 以 h （ ） ＝ 1 也 是 h （ a ） 的 最 大 值 ，
所 以 a ∈ （ 0 ， + ∞ ） 时 ， h （ a ） ≤ 1 ．
【 点 评 】 本 题 考 查 导 数 的 综 合 应 用 ， 解 题 中 需 要 理 清 思 路 ， 属 于 中 档 题 ．
x
3 4 ． 已 知 函 数 f （ x ） ＝ e l n （ 1 +x ） ．
第 6 9页（共 1 0 6页）（ Ⅰ ） 求 曲 线 y ＝ f （ x ） 在 点 （ 0 ， f （ 0 ） ） 处 的 切 线 方 程 ；
（ Ⅱ ） 设 g （ x ） ＝ f ′ （ x ） ， 讨 论 函 数 g （ x ） 在 [0 ， + ∞ ） 上 的 单 调 性 ；
（ Ⅲ ） 证 明 ： 对 任 意 的 s ， t ∈ （ 0 ， +∞ ） ， 有 f （ s +t ） ＞ f （ s ） +f （ t ） ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ； 利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ Ⅰ ） 对 函 数 求 导 ， 将 x ＝ 0 代 入 原 函 数 及 导 函 数 得 到 纵 坐 标 和 斜 率 即 可 ；
（ Ⅱ ） 法 一 ： 对 g （ x ） 求 导 ， 并 研 究 g （ x ） 导 函 数 的 正 负 即 可 ．
x
法 二 ： 设 m （ x ） ＝ e ， n （ x ） ＝ l n （ x +1 ） + ， 则 g （ x ） ＝ m （ x ） ? n （ x ） ， 由 指 数 函
x x
数 的 性 质 得 m （ x ） ＝ e 在 （ 0 ， + ∞ ） 上 是 增 函 数 ， 且 m （ x ） ＝ e ＞ 0 ， 由 导 数 性 质 得 n
（ x ） 在 （ 0 ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ， n （ x ） ＝ l n （ x +1 ） + ＞ 0 ， 从 而 g （ x ） 在 [0 ， +∞ ）
单 调 递 增 ．
（ Ⅲ ） 构 造 函 数 w （ x ） ＝ f （ x + t ） ﹣ f （ x ） ， 利 用 w （ x ） 单 调 性 判 断 f （ s +t ） ﹣ f （ s ） 与 f
（ t ） ﹣ f （ 0 ） 大 小 关 系 即 可 ．
【 解 答 】 解 ： （ Ⅰ ） 对 函 数 求 导 可 得 ： ，
将 x ＝ 0 代 入 原 函 数 可 得 f （ 0 ） ＝ 0 ， 将 x ＝ 0 代 入 导 函 数 可 得 ： f ′ （ 0 ） ＝ 1 ，
故 在 x ＝ 0 处 切 线 斜 率 为 1 ， 故 y ﹣ 0 ＝ 1 （ x ﹣ 0 ） ， 化 简 得 ： y ＝ x ；
（ Ⅱ ） 解 法 一 ： 由 （ Ⅰ ） 有 ： g （ x ） ＝ ，
，
令 ， 令 x +1 ＝ k （ k ≥ 1 ） ，
设 ， 恒 成 立 ，
故 h （ x ） 在 [0 ， + ∞ ） 单 调 递 增 ， 又 因 为 h （ 0 ） ＝ 1 ，
故 h （ x ） ＞ 0 在 [0 ， +∞ ） 恒 成 立 ， 故 g ′ （ x ） ＞ 0 ，
故 g （ x ） 在 [0 ， + ∞ ） 单 调 递 增 ；
解 法 二 ： 由 （ Ⅰ ） 有 ： g （ x ） ＝ ，
，
x
设 m （ x ） ＝ e ， n （ x ） ＝ l n （ x +1 ） + ， 则 g （ x ） ＝ m （ x ） ? n （ x ） ，
x x
由 指 数 函 数 的 性 质 得 m （ x ） ＝ e 上 （ 0 ， +∞ ） 上 是 增 函 数 ， 且 m （ x ） ＝ e ＞ 0 ，
第 7 0页（共 1 0 6页）n ′ （ x ） ＝ ＝ ， 当 x ∈ （ 0 ， + ∞ ） 时 ， n ′ （ x ） ＞ 0 ， n （ x ） 单
调 递 增 ，
且 当 x ∈ （ 0 ， + ∞ ） 时 ， n （ x ） ＝ l n （ x +1 ） + ＞ 0 ，
∴ g （ x ） 在 [0 ， +∞ ） 单 调 递 增 ．
（ Ⅲ ） 证 明 ： 由 （ Ⅱ ） 有 g （ x ） 在 [0 ， + ∞ ） 单 调 递 增 ， 又 g （ 0 ） ＝ 1 ，
故 g （ x ） ＞ 0 在 [0 ， +∞ ） 恒 成 立 ， 故 f （ x ） 在 [0 ， +∞ ） 单 调 递 增 ，
设 w（ x ） ＝ f （ x +t ） ﹣ f （ x ） ， w′ （ x ） ＝ f ′ （ x +t ） ﹣ f ′ （ x ） ，
由 （ Ⅱ ） 有 g （ x ） 在 [0 ， + ∞ ） 单 调 递 增 ， 又 因 为 x + t ＞ x ， 所 以 f ′ （ x +t ） ＞ f ′ （ x ） ，
故 w（ x ） 单 调 递 增 ， 又 因 为 s ＞ 0 ， 故 w（ s ） ＞ w（ 0 ） ，
即 ： f （ s +t ） ﹣ f （ s ） ＞ f （ t ） ﹣ f （ 0 ） ， 又 因 为 函 数 f （ 0 ） ＝ 0 ，
故 f （ s +t ） ＞ f （ s ） +f （ t ） ， 得 证 ．
【 点 评 】 本 题 主 要 考 查 利 用 导 函 数 研 究 函 数 切 线 ， 及 证 明 函 数 不 等 式 ， 属 于 较 难 题 目 ．
x 2
3 5 ． 已 知 定 义 域 均 为 R 的 两 个 函 数 g （ x ） ＝ e ， h （ x ） ＝ （ x ﹣ a ） ．
（ Ⅰ ） 若 函 数 f （ x ） ＝ g （ x ） h （ x ） ， 且 f （ x ） 在 x ＝ ﹣ 1 处 的 切 线 与 x 轴 平 行 ， 求 a 的 值 ；
（ Ⅱ ） 若 函 数 m （ x ） ＝ ， 讨 论 函 数 m （ x ） 的 单 调 性 和 极 值 ；
（ Ⅲ ） 设 a ， b 是 两 个 不 相 等 的 正 数 ， 且 a + l n b ＝ b +l n a ， 证 明 ： a +b +l n （ a b ） ＞ 2 ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ； 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ Ⅰ ） 根 据 导 数 的 几 何 意 义 即 可 求 解 ；
（ Ⅱ ） 根 据 导 数 与 函 数 单 调 性 的 关 系 ， 确 定 单 调 性 进 而 可 得 极 值 ；
（ Ⅲ ） 根 据 同 构 和 函 数 的 单 调 性 以 及 二 次 求 导 即 可 求 解 ．
x 2
【 解 答 】 解 ： （ Ⅰ ） 因 为 f （ x ） ＝ g （ x ） h （ x ） ， 所 以 f （ x ） ＝ e （ x ﹣ a ） ，
x 2 x x 2 2
所 以 f '' （ x ） ＝ e （ x ﹣ a ） +e （ 2 x ﹣ 2 a ） ＝ e （ x ﹣ 2 a x +2 x + a ﹣ 2 a ） ，
﹣
1 2
又 f （ x ） 在 x ＝ ﹣ 1 处 的 切 线 与 x 轴 平 行 ， 所 以 f ′ （ ﹣ 1 ） ＝ 0 ， 所 以 e （ 1 +2 a ﹣ 2 + a
﹣ 2 a ） ＝ 0 ，
2 2
所 以 1 +2 a ﹣ 2 + a ﹣ 2 a ＝ 0 ， 即 a ﹣ 1 ＝ 0 ， 所 以 a ＝ ± 1 ．
（ Ⅱ ） 因 为 ， 所 以 的 定 义 域 为 （ ﹣ ∞ ， 0 ） ∪ （ 0 ， + ∞ ） ，
， 令 m ′ （ x ） ＝ 0 ， 得 x ＝ 1 ，
第 7 1页（共 1 0 6页）当 x 变 化 时 m ′ （ x ） ， m （ x ） 的 关 系 如 下 表 ：
x （ ﹣ ∞ ， 0 ） 0 （ 0 ， 1 ） 1 （ 1 ， +∞ ）
m ′ （ x ） ﹣ 无 意 义 ﹣ 0 +
m （ x ） 单 调 递 减 无 意 义 单 调 减 极 小 值 单 调 递 增
所 以 m （ x ） 在 （ ﹣ ∞ ， 0 ） ， （ 0 ， 1 ） 上 单 调 递 减 ； 在 （ 1 ， + ∞ ） 上 单 调 递 增 ，
所 以 m （ x ） 的 极 小 值 为 ， 无 极 大 值 ．
（ Ⅲ ） 证 明 ： 要 证 a +b + l n （ a b ） ＞ 2 ， 只 需 证 （ a +l n b ） +（ b +l n a ） ＞ 2 ，
根 据 a +l n b ＝ b +l n a ， 只 需 证 b +l n a ＞ 1 ， 又 a ， b 是 两 个 不 相 等 的 正 数 ， 不 妨 设 a ＜ b ，
由 a + l n b ＝ b +l n a 得 a ﹣ l n a ＝ b ﹣ l n b ，
﹣ ﹣
a ln a b ln b
两 边 取 指 数 ， e ＝ e ， 化 简 得 ＝ ，
令 p （ x ） ＝ ， 所 以 p （ a ） ＝ p （ b ） ，
p （ x ） ＝ ＝ e ? m （ x ） ，
根 据 （ Ⅱ ） 得 m （ x ） 在 （ ﹣ ∞ ， 0 ） ， （ 0 ， 1 ） 上 单 调 递 减 ； 在 （ 1 ， + ∞ ） 上 单 调 递 增 ，
如 图 所 示 ，
由 于 m （ x ） 在 （ 0 ， 1 ） 上 单 调 递 减 ， 在 （ 1 ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ，
要 使 p （ a ） ＝ p （ b ） 且 a ， b 不 相 等 ， 则 必 有 0 ＜ a ＜ 1 ， b ＞ 1 ， 即 0 ＜ a ＜ 1 ＜ b ，
由 0 ＜ a ＜ 1 ， 1 ﹣ l n a ＞ 1 ， 要 证 b +l n a ＞ 1 ， 只 需 证 b ＞ 1 ﹣ l n a ，
由 于 p （ x ） 在 （ 1 ， + ∞ ） 上 单 调 递 增 ， 要 证 b ＞ 1 ﹣ l n a ， 只 需 证 p （ b ） ＞ p （ 1 ﹣ l n a ） ，
又 p （ a ） ＝ p （ b ） ， 只 需 证 p （ a ） ＞ p （ 1 ﹣ l n a ） ， 只 需 证 ＞ ＝ ，
a
只 需 证 e （ 1 ﹣ l n a ） ＞ e ， 只 需 证 ，
只 需 证 ， 即 证 ，
﹣
x
令 φ （ x ） ＝ ﹣ e （ 0 ＜ x ＜ 1 ） ，
第 7 2页（共 1 0 6页）﹣
a
φ （ 1 ） ＝ 0 ， φ （ a ） ＝ ﹣ e ，
只 需 证 φ （ x ） ＞ 0 （ 0 ＜ x ＜ 1 ） ，
﹣
x
φ ′ （ x ） ＝ ﹣ + e ＝ ﹣ + ＝ ﹣ ，
x x
令 h （ x ） ＝ e ﹣ e x ， 则 h （ 1 ） ＝ 0 ， h ′ （ x ） ＝ e ﹣ e ＜ 0 （ 0 ＜ x ＜ 1 ） ，
所 以 h （ x ） 在 （ 0 ， 1 ） 上 单 调 递 减 ，
所 以 h （ x ） ＞ h （ 1 ） ＝ 0 ，
所 以 ， 所 以 φ （ x ） 在 （ 0 ， 1 ） 上 单 调 递 减 ，
所 以 φ （ x ） ＞ φ （ 1 ） ＝ 0 ， 所 以 φ （ a ） ＞ 0 ，
所 以 a +b + l n （ a b ） ＞ 2 ．
【 点 评 】 本 题 主 要 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 与 极 值 ， 导 数 的 几 何 意 义 ， 不 等 式 的
证 明 ， 考 查 运 算 求 解 能 力 与 逻 辑 推 理 能 力 ， 属 于 难 题 ．
﹣
x 2 2
3 6 ． 已 知 函 数 f （ x ） ＝ e （ x +3 x +3 ） ﹣ m （ x +2 x ﹣ 3 ） （ e ≈ 2 . 7 1 8 2 8 是 自 然 对 数 的 底 数 ） ．
（ 1 ） 若 m ＝ 2 ， 求 曲 线 y ＝ f （ x ） 在 点 （ 0 ， f （ 0 ） ） 处 的 切 线 方 程 ；
（ 2 ） 若 函 数 f （ x ） 有 3 个 极 值 点 x ， x ， x （ x ＞ x ＞ x ） ．
1 2 3 1 2 3
（ ⅰ ） 求 实 数 m 的 取 值 范 围 ；
（ ⅱ ） 证 明 ： ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 ； 利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ 1 ） 把 m ＝ 2 代 入 ， 求 出 函 数 f （ x ） 的 导 数 ， 利 用 导 数 的 几 何 意 义 求 解 作 答 ．
﹣
x
（ 2 ） （ i ） 根 据 给 定 条 件 可 得 f ′ （ x ） ＝ 0 有 三 个 不 同 的 解 ， 构 造 函 数 g （ x ） ＝ x e ， 探
讨 其 性 质 即 可 推 理 作 答 ．
（ i i ） 由 （ i ） 确 定 x 1 ， x 2 ， x 3 的 取 值 或 范 围 ， 并 且 有 ， 两 边 取 对 数 并 换
元 ， 对 不 等 式 作 等 价 变 形 ， 构 造 函 数 ， 利 用 导 数 推 理 作 答 ．
﹣
x 2 2
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 当 m ＝ 2 时 ， f （ x ） ＝ e （ x +3 x +3 ） ﹣ 2 （ x +2 x ﹣ 3 ） ， 则 f （ 0 ） ＝ 9 ，
﹣ ﹣
2 x x
求 导 得 f ′ （ x ） ＝ （ ﹣ x ﹣ x ） e ﹣ 2 （ 2 x +2 ） ＝ ﹣ （ x +1 ） （ 4 + x e ） ， 有 f ′ （ 0 ） ＝ ﹣ 4 ，
于 是 得 y ＝ ﹣ 4 x +9 ，
所 以 所 求 切 线 方 程 为 ： 4 x +y ﹣ 9 ＝ 0 ．
第 7 3页（共 1 0 6页）﹣
x
解 ： （ 2 ） （ i ） 依 题 意 ， f ′ （ x ） ＝ ﹣ （ x +1 ） （ 2 m +x e ） ， 因 函 数 f （ x ） 有 3 个 极 值 点 ， 即
f ′ （ x ） ＝ 0 有 三 个 不 同 的 解 ，
﹣ ﹣ ﹣
x x x
由 （ x +1 ） （ 2 m +x e ） ＝ 0 ， 得 x ＝ ﹣ 1 或 ﹣ 2 m ＝ x e ， 则 ﹣ 2 m ＝ x e 有 不 等 于 ﹣ 1 的 两 个
不 同 的 解 ，
﹣ ﹣
x x
令 g （ x ） ＝ x e ， 求 导 得 g ′ （ x ） ＝ （ 1 ﹣ x ） e ， 当 x ＜ 1 时 ， g ′ （ x ） ＞ 0 ， 当 x ＞ 1
时 ， g ′ （ x ） ＜ 0 ，
于 是 函 数 g （ x ） 在 （ ﹣ ∞ ， 1 ） 上 是 增 函 数 ， 在 （ 1 ， + ∞ ） 上 是 减 函 数 ， 则 g （ x ） m a x
＝ ，
又 当 x ＜ 0 时 ， g （ x ） ＜ 0 ， 且 g （ 0 ） ＝ 0 ， 当 x ＞ 0 时 ， g （ x ） ＞ 0 ，
﹣
x
因 此 方 程 ﹣ 2 m ＝ x e 有 两 解 时 ， 即 ， 所 以 实 数 m 的 取 值 范 围
是 ；
证 明 ： （ i i ） 由 （ i ） 知 ， ， 两 边 取 自 然
对 数 得 l n x ﹣ x ＝ l n x ﹣ x ，
1 1 2 2
整 理 得 ， 令 ， 则 x ＝ t x 且 ，
1 2
显 然 ， 等 价 于
，
2
令 h （ t ） ＝ t ﹣ 2 t l n t ﹣ 1 ， t ＞ 1 ， 则 h ′ （ t ） ＝ 2 t ﹣ 2 l n t ﹣ 2 ， 令 φ （ t ） ＝ 2 t ﹣ 2 l n t ﹣ 2 ， 则
，
从 而 得 函 数 h ′ （ t ） 在 （ 1 ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ， 则 有 h ′ （ t ） ＞ h ′ （ 1 ） ＝ 0 ，
因 此 函 数 h （ t ） 在 （ 1 ， + ∞ ） 上 单 调 递 增 ， 总 有 h （ t ） ＞ h （ 1 ） ＝ 0 ， 所 以 不 等 式
成 立 ．
【 点 评 】 本 题 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 ， 考 查 学 生 的 综 合 能 力 ， 属 于 难 题 ．
3 7 ． 已 知 函 数 ， a ， b ∈R ．
（ 1 ） 若 b ＝ ﹣ 1 ， 求 f （ x ） 的 单 调 区 间 ；
（ 2 ） 若 f （ x ） 不 单 调 ， 且 f （ 1 ） ＜ 0 ．
第 7 4页（共 1 0 6页）（ i ） 证 明 ： f （ a ） + f （ b ） ＜ ﹣ 2 l n a b ；
（ i i ） 若 f （ x ） ＝ f （ x ） ＝ f （ x ） ， 且 x ＜ x ＜ x ， 证 明 ：
1 2 3 1 2 3
．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ； 利 用 导 数 研 究 函 数 的 最 值 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 a ≤ 0 和 a ＞ 0 两 种 情 况 讨 论 ．
（ 2 ） （ i ） 根 据 f （ 1 ） ＜ 0 求 出 a b ＞ 1 ， 再 根 据 f （ x ） 不 单 调 求 出 a ＞ 0 ， b ＞ 0 ， 再 根 据 a + b
＞ +b ≥ 2 ＝ 2 证 明 ． （ i i ） 设 a ＜ b ， 则 x ＜ a ＜ b ＜ x ， 故 ＞ ＞ 1 ， 由 f （ x ）
1 3 1
＝ f （ x ） ， 即 x ﹣ （ a +b ） l n x ﹣ ＝ x ﹣ （ a +b ） l n x ﹣ ， 利 用 转 化 思 想 即 证 （ a +b ）
3 1 1 3 3
（ ） ? l n ＞ 3 （ a +b ） ﹣ 即 可 ， 进 而 利 用 换 元 法 即 证 ? l n t ＞ 3
﹣ ， 放 缩 后 即 证 ? l n t ＞ ， 进 而 变 形 为 l n t ＞ ， 可 证 结
论 成 立 ．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 若 b ＝ ﹣ 1 ， 即 ＝ x ﹣ （ a ﹣ 1 ） l n x ﹣ ， ， 定
义 域 为 （ 0 ， +∞ ） ，
∵ f ′ （ x ） ＝ 1 ﹣ ﹣ ＝ ＝ ，
当 a ≤ 0 时 ， 又 因 为 x ＞ 0 ， 所 以 f ′ （ x ） ＝ ＞ 0 ，
所 以 f （ x ） 在 （ 0 ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ；
当 a ＞ 0 时 ， f ′ （ x ） ＝ ＞ 0 ， 所 以 x ∈ （ a ， +∞ ） ， f ′ （ x ） ＝
＜ 0 ， 所 以 x ∈ （ 0 ， a ） ，
所 以 f （ x ） 在 （ 0 ， a ） 单 调 递 减 ， 在 （ a ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ．
综 上 ： a ≤ 0 时 ， f （ x ） 在 （ 0 ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ， a ＞ 0 时 ， f （ x ） 在 （ 0 ， a ） 单 调 递 减 ，
在 （ a ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ．
（ 2 ） 证 明 ： （ i ） 因 为 f （ 1 ） ＜ 0 ，
所 以 1 ﹣ a b ＜ 0 ， 即 a b ＞ 1 ，
第 7 5页（共 1 0 6页）又 因 为 f （ x ） 不 单 调 ， 即 f ′ （ x ） ＝ 在 （ 0 ， ∞ ） 上 有 零 点 ， 又 a b ＞ 1 ＞ 0 ，
所 以 a ＞ 0 且 b ＞ 0 ， 所 以 a b ＞ 1 ， 所 以 a ＞ ，
所 以 a +b ＞ +b ≥ 2 ＝ 2 ， 即 a +b ＞ 2 ，
又 因 为 f （ a ） ＝ a ﹣ （ a +b ） l n a ﹣ b ， f （ b ） ＝ b ﹣ （ a + b ） l n b ﹣ a ，
所 以 f （ a ） + f （ b ） ＝ ﹣ （ a + b ） l n a b ，
又 因 为 a +b ＞ 2 ，
所 以 ﹣ （ a + b ） l n a b ＜ ﹣ 2 l n a b ， 即 f （ a ） + f （ b ） ＜ ﹣ 2 l n a b ．
（ i i ） 证 明 ： 设 a ＜ b ， 则 x ＜ a ＜ b ＜ x ， 故 ＞ ＞ 1 ， 由 f （ x ） ＝ f （ x ） ， 即 x ﹣ （ a +b ）
1 3 1 3 1
l n x ﹣ ＝ x ﹣ （ a + b ） l n x ﹣ ，
1 3 3
即 （ x ﹣ x ） ﹣ （ a +b ） （ l n x ﹣ l n x ） ＝ ﹣ ＝ ， 可 知 （ x ﹣ x ） ﹣ （ a +b ）
1 3 1 3 1 3
l n ＝ ， 则 1 + ＝ l n ．
要 证 x +x +a b （ + ） ＞ 3 （ a +b ） ﹣ ， 也 就 是 证 明 x +x +a b （ ）
1 3 1 3
＞ 3 （ a +b ） ﹣ 成 立 ，
即 证 （ x +x ） （ 1 + ） ＞ 3 （ a +b ） ﹣ ， 把 1 + ＝ l n 代
1 3
入 ，
即 证 明 ： （ a +b ） （ ） ? l n ＞ 3 （ a + b ） ﹣ 即 可 ．
设 g （ x ） ＝ ? l n x ， g ′ （ x ） ＝ ．
即 h （ x ） ＝ x ﹣ ﹣ 2 l n x ， h ′ （ x ） ＝ 1 + ﹣ ≥ 0 ，
所 以 h （ x ） ＝ x ﹣ ﹣ 2 l n x 在 （ 0 ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ， 又 h （ 1 ） ＝ 0 ， 故 g （ x ） 在 （ 1 ， +
第 7 6页（共 1 0 6页）∞ ） 上 单 调 递 增 ， 又 因 为 ＞ ＞ 1 ， 故 g （ ） ＞ g （ ） ，
即 ? l n ＞ ? l n ， 也 就 是 证 明 ? l n ＞ ? l n ＞ 3 ﹣
， 令 ＝ t （ t ＞ 1 ） ，
2 2
即 证 ： ? l n t ＞ 3 ﹣ （ ） ， 易 知 t ≥ 1 ， t +2 t +3 ≤ t +4 t +1 ， （ ） 原 不 等 式 等 价
于 先 证 明 ： 当 t ＞ 1 ， ? l n t ＞ 3 ﹣ ．
即 ? l n t ＞ ，
等 价 于 l n t ＞ ， 即 h （ t ） ＝ l n t ﹣ ， 则 h ′ （ t ） ＝ ≥ 0 ，
故 h （ t ） ＞ h （ 1 ） ＝ 0 ， 所 以 不 等 式 l n t ＞ 成 立 ， 故 （ ） 成 立 ， 原 不 等 式 得 证 ．
【 点 评 】 本 题 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 以 及 不 等 式 的 证 明 ， 考 查 逻 辑 推 理 能 力 和
运 算 求 解 能 力 ， 本 题 的 关 键 是 将 ? l n 变 形 ? l n ， 然 后 通 过 换 元 转 化 为
? l n t ， 这 样 将 双 变 量 问 题 转 化 为 单 变 量 问 题 ， 构 造 函 数 解 决 问 题 ， 属 于 难 题 ．
3 8 ． 已 知 函 数 f （ x ） ＝ l n x + a x ， 在 点 （ t ， f （ t ） ） 处 的 切 线 方 程 为 y ＝ 3 x ﹣ 1 ．
（ 1 ） 求 a 的 值 ；
（ 2 ） 已 知 k ≤ 2 ， 当 x ＞ 1 时 ， f （ x ） ＞ k （ 1 ﹣ ） +2 x ﹣ 1 恒 成 立 ， 求 实 数 k 的 取 值 范 围 ；
（ 3 ） 对 于 在 （ 0 ， 1 ） 中 的 任 意 一 个 常 数 b ， 是 否 存 在 正 数 x ， 使 得 +
0
＜ 1 ， 请 说 明 理 由 ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 最 值 ； 利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ 1 ） 求 出 f （ x ） 的 导 数 ， 可 得 切 线 的 斜 率 和 切 点 ， 解 方 程 可 得 a 的 值 ；
（ 2 ） 求 出 f （ x ） ＝ l n x +x ， 要 证 原 不 等 式 成 立 ， 即 证 x l n x + x ﹣ k （ x ﹣ 3 ） ＞ 0 ， 可 令 g （ x ）
第 7 7页（共 1 0 6页）＝ x l n x +x ﹣ k （ x ﹣ 3 ） ， 求 出 导 数 ， 判 断 符 号 ， 可 得 单 调 性 ， 即 可 得 证 ；
（ 3 ） 对 于 在 （ 0 ， 1 ） 中 的 任 意 一 个 常 数 b ， 假 设 存 在 正 数 x ， 使 得 +
0
﹣
x 2
＜ 1 ． 运 用 转 化 思 想 可 令 H （ x ） ＝ （ x +1 ） ? e + x ﹣ 1 ， 求 出 导 数 判 断 单 调 性 ， 可 得 最
小 值 ， 即 可 得 到 结 论
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 函 数 f （ x ） ＝ l n x +a x 的 导 数 为 f ′ （ x ） ＝ +a ，
在 点 （ t ， f （ t ） ） 处 切 线 方 程 为 y ＝ 3 x ﹣ 1 ，
可 得 f ′ （ t ） ＝ + a ，
∴ 函 数 的 切 线 方 程 为 y ﹣ （ l n t +a t ） ＝ （ + a ） （ x ﹣ t ） ， 即 y ＝ （ +a ） x + l n t ﹣ 1 ，
∴ ，
解 得 a ＝ 2 ；
（ 2 ） 证 明 ： 由 （ 1 ） 可 得 f （ x ） ＝ l n x +2 x ，
∵ f （ x ） ＞ k （ 1 ﹣ ） +2 x ﹣ 1 ，
∴ l n x ＞ k （ 1 ﹣ ） ﹣ 1
即 为 x l n x +x ﹣ k （ x ﹣ 3 ） ＞ 0 ，
可 令 g （ x ） ＝ x l n x +x ﹣ k （ x ﹣ 3 ） ，
g ′ （ x ） ＝ 2 +l n x ﹣ k ，
由 x ＞ 1 ， 可 得 l n x ＞ 0 ， 2 ﹣ k ≥ 0 ，
即 有 g ′ （ x ） ＞ 0 ， g （ x ） 在 （ 1 ， +∞ ） 递 增 ，
可 得 g （ x ） ＞ g （ 1 ） ＝ 1 +2 k ≥ 0 ，
∴ ﹣ ≤ k ≤ 2
故 k 的 取 值 范 围 为 [﹣ ， 2 ]；
（ 3 ） 对 于 在 （ 0 ， 1 ） 中 的 任 意 一 个 常 数 b ，
假 设 存 在 正 数 x ， 使 得 ： + ＜ 1 ．
0
（ ）﹣ ﹣ （ ）﹣ ﹣
f x 0 + 1 3 x 0 2 ln x 0 + 1 x 0 x 0
由 e + ＝ e + ＝ （ x +1 ） ? e + ＜ 1 成 立 ，
0
从 而 存 在 正 数 x ， 使 得 上 式 成 立 ， 只 需 上 式 的 最 小 值 小 于 0 即 可 ．
0
第 7 8页（共 1 0 6页）﹣ ﹣ ﹣ ﹣
x 2 x x x
令 H （ x ） ＝ （ x +1 ） ? e + x ﹣ 1 ， H ′ （ x ） ＝ e ﹣ （ x +1 ） ? e + b x ＝ x （ b ﹣ e ） ，
令 H ′ （ x ） ＞ 0 ， 解 得 x ＞ ﹣ l n b ， 令 H ′ （ x ） ＜ 0 ， 解 得 0 ＜ x ＜ ﹣ l n b ，
则 x ＝ ﹣ l n b 为 函 数 H （ x ） 的 极 小 值 点 ， 即 为 最 小 值 点 ．
ln b 2 2
故 H （ x ） 的 最 小 值 为 H （ ﹣ l n b ） ＝ （ ﹣ l n b +1 ） e + l n b ﹣ 1 ＝ l n b ﹣ b l n b +b ﹣ 1 ，
2
再 令 G （ x ） ＝ l n x ﹣ x l n x +x ﹣ 1 ， （ 0 ＜ x ＜ 1 ） ，
2 2
G ′ （ x ） ＝ （ l n x +2 l n x ） ﹣ （ 1 +l n x ） +1 ＝ l n x ＞ 0 ，
则 G （ x ） 在 （ 0 ， 1 ） 递 增 ， 可 得 G （ x ） ＜ G （ 1 ） ＝ 0 ， 则 H （ ﹣ l n b ） ＜ 0 ．
故 存 在 正 数 x ＝ ﹣ l n b ， 使 得 + ＜ 1 ．
0
【 点 评 】 本 题 考 查 导 数 的 运 用 ： 求 切 线 的 斜 率 、 单 调 区 间 和 极 值 、 最 值 ， 考 查 不 等 式 的
证 明 ， 注 意 运 用 分 析 法 和 构 造 函 数 法 ， 求 得 导 数 判 断 单 调 性 ， 考 查 存 在 性 问 题 的 解 法 ，
注 意 运 用 转 化 思 想 和 构 造 函 数 ， 求 出 导 数 ， 运 用 单 调 性 ， 属 于 难 题 ．
3 9 ． 已 知 函 数 ．
（ 1 ） 若 函 数 y ＝ f （ x ） 为 增 函 数 ， 求 k 的 取 值 范 围 ；
（ 2 ） 已 知 0 ＜ x ＜ x ．
1 2
（ i ） 证 明 ： ；
（ i i ） 若 ， 证 明 ： | f （ x ） ﹣ f （ x ） | ＜ 1 ．
1 2
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ； 利 用 导 数 研 究 函 数 的 最 值 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ 1 ） 先 对 函 数 求 导 ， 然 后 结 合 导 数 与 单 调 性 关 系 可 求 k 的 范 围 ；
（ 2 ） 结 合 （ 1 ） 中 单 调 性 可 得 ， 结 合 不 等 式 构 造 函
数 g （ x ） ＝ x ﹣ l n x ﹣ 1 ， 对 g （ x ） 求 导 ， 结 合 导 数 分 析 g （ x ） 的 单 调 性 ， 结 合 单 调 性 即 可
证 明 ；
（ i i ） 由 已 知 可 得 ， 问 题 转 化 为 有 两 个 不 同
实 数 根 x 1 ， x 2 ， 0 ＜ x 1 ＜ 1 ＜ x 2 ， 从 而 有
第 7 9页（共 1 0 6页）， ， 令
， 结 合 导 数 分 析 g （ x ） 的 单 调 性 ， 利 用 单 调 性 及 函 数 性 质 即 可
证 明 ．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 若 是 增 函 数 ， 则 f ′ （ x ） ＝ ﹣ ≥ 0 恒
成 立 ，
所 以 k 在 （ 0 ， + ∞ ） 上 恒 成 立 ，
令 φ （ x ） ＝ ， x ＞ 0 ， 则 ，
所 以 当 x ∈ （ 0 ， 1 ） 时 ， φ （ x ） ′ ＞ 0 ， φ （ x ） 单 调 递 增 ，
当 x ∈ （ 1 ， +∞ ） 时 ， φ ′ （ x ） ＜ 0 ， φ （ x ） 单 调 递 减 ，
所 以 φ （ x ） ＝ φ （ 1 ） ＝ ，
m a x
所 以 k ≥ ， 即 k 的 取 值 范 围 为 [ ， + ∞ ） ．
证 明 ： （ 2 ） （ i ） 由 （ 1 ） 可 知 ： 当 时 ， 单 调 递 增 ，
因 为 0 ＜ x ＜ x ， 则 f （ x ） ＞ f （ x ） ， 即 ，
1 2 2 1
整 理 得 ，
令 g （ x ） ＝ x ﹣ l n x ﹣ 1 ， 则 ，
当 x ∈ （ 0 ， 1 ） 时 ， g ′ （ x ） ＜ 0 ， g （ x ） 单 调 递 减 ， 当 x ∈ （ 1 ， +∞ ） 时 ， g ′ （ x ） ＞ 0 ，
g （ x ） 单 调 递 增 ，
故 g （ x ） ＝ x ﹣ l n x ﹣ 1 ≥ g （ 1 ） ＝ 0 ， 即 ﹣ l n x ≥ 1 ﹣ x ， 当 且 x ＝ 1 时 等 号 成 立 ，
令 ， 则 ，
综 上 ；
（ i i ） 因 为 ， 变 形 得 ，
第 8 0页（共 1 0 6页）由 题 意 可 知 有 两 个 不 同 实 数 根 x ， x ， 由 （ 1 ） 知 0 ＜ x ＜ 1 ＜ x ，
1 2 1 2
可 得 ，
同 理 可 得 ，
构 建 ， 则 ，
当 0 ＜ x ＜ 1 时 ， （ 1 ﹣ x ） l n x ＜ 0 ； 当 x ＞ 1 时 ， （ 1 ﹣ x ） l n x ＜ 0 ； 当 x ＝ 1 时 ， （ 1 ﹣ x ） l n x ＝ 0 ；
故 g ′ （ x ） ≤ 0 ， 故 g （ x ） 在 （ 0 ， +∞ ） 上 单 调 递 减 ，
因 为 0 ＜ x ＜ 1 ＜ x ， 则 g （ x ） ＜ g （ 1 ） ＜ g （ x ） ， 即 ，
1 2 2 1
且 ， 则 x l n x +1 ＞ 0 ， 故 ，
1 1
可 得 ，
又 因 为 0 ＜ x ＜ 1 ， 由 （ i ） 可 得 ﹣ l n x ＞ 1 ﹣ x ， 即 l n x ＜ x ﹣ 1 ，
1 1 1 1 1
则 ，
且 ， 则 ， 可 得 ，
综 上 所 述 ： ，
可 得 ， 则 0 ＜ f （ x ） ﹣ f （ x ） ＜ 1 ，
1 2
故 | f （ x ） ﹣ f （ x ） | ＝ f （ x ） ﹣ f （ x ） ＜ 1 ．
1 2 1 2
【 点 评 】 本 题 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 与 最 值 ， 不 等 式 的 证 明 ， 考 查 运 算 求 解 能
力 与 逻 辑 推 理 能 力 ， 属 于 难 题 ．
4 0 ． 已 知 函 数 ， （ e 为 自 然 对 数 的 底 数 ） ．
（ 1 ） 当 a ＝ 1 时 ， 求 f （ x ） 的 单 调 区 间 ；
（ 2 ） a ＞ 0 时 ， 若 函 数 y ＝ f （ x ） 与 y ＝ g （ x ） 的 图 象 有 且 仅 有 一 个 公 共 点 ．
（ i ） 求 实 数 a 的 集 合 ；
（ i i ） 设 经 过 点 （ b ， c ） 有 且 仅 有 3 条 直 线 与 函 数 y ＝ f （ x ） 的 图 象 相 切 ， 求 证 ： 当 b ＞ e
第 8 1页（共 1 0 6页）时 ， ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ； 利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ 1 ） 直 接 利 用 导 函 数 求 单 调 区 间 ， 需 注 意 定 义 域 ；
（ 2 ） （ i ） 根 据 y ＝ f （ x ） 与 y ＝ g （ x ） 的 单 调 性 可 判 断 ， 只 有 时 ， 两 函 数
图 象 有 且 只 有 一 个 公 共 点 ；
（ i i ） 经 过 点 （ b ， c ） 有 且 仅 有 3 条 直 线 与 函 数 y ＝ f （ x ） 的 图 象 相 切 ， 可 转 化 为 切 点 为
（ x ， f （ x ） ） 经 过 点 （ b ， c ） 与 函 数 y ＝ f （ x ） 的 图 象 相 切 的 的 直 线 有 3 条 ， 即 将 （ b ，
0 0
c ） 代 入 切 线 方 程 后 ， 关 于 x 的 方 程 有 3 个 根 ． 进 而 转 化 为
0
有 且 仅 有 3 个 零 点 ， 根 据 u （ x ） 的 单 调 性 研 究 其 零 点 ， 可 得 到 不 等 关 系 ， 进 而 可 证 明 不
等 式 成 立 ．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 当 a ＝ 1 时 ， ， x ＞ 0 ， ，
当 0 ＜ x ＜ 1 时 ， f ′ （ x ） ＜ 0 ， 所 以 f （ x ） 在 区 间 （ 0 ， 1 ） 上 单 调 递 减 ，
当 x ＞ 1 时 ， f ′ （ x ） ＞ 0 ， 所 以 f （ x ） 在 区 间 （ 1 ， + ∞ ） 上 单 调 递 增 ，
所 以 当 a ＝ 1 时 ， f （ x ） 的 单 调 递 增 区 间 为 （ 1 ， +∞ ） ， 单 调 递 减 区 间 为 （ 0 ， 1 ） ．
（ 2 ） （ i ） ，
因 a ＞ 0 ， 当 时 ， f ′ （ x ） ＜ 0 ，
所 以 f （ x ） 在 区 间 上 单 调 递 减 ，
当 时 ， f ′ （ x ） ＞ 0 ，
所 以 f （ x ） 在 区 间 上 单 调 递 增 ，
则 f （ x ） 在 处 取 得 最 小 值 ；
，
当 时 ， g ′ （ x ） ＞ 0 ， 所 以 g （ x ） 在 区 间 上 单 调 递 增 ，
当 时 ， g ′ （ x ） ＜ 0 ， 所 以 g （ x ） 在 区 间 上 单 调 递 减 ，
则 g （ x ） 在 处 取 得 最 大 值 ，
第 8 2页（共 1 0 6页）故 若 函 数 y ＝ f （ x ） 与 y ＝ g （ x ） 的 图 象 有 且 仅 有 一 个 公 共 点 ， 当 且 仅 当 ，
得 ， 得 ，
故 实 数 a 的 集 合 为 ．
（ i i ） 证 明 ： 因 ， 所 以 ， ，
设 点 （ x ， f （ x ） ） 为 经 过 点 （ b ， c ） 的 直 线 与 函 数 y ＝ f （ x ） 的 图 象 相 切 的 切 点 ，
0 0
则 ， ，
故 切 线 方 程 为 ，
因 （ b ， c ） 在 切 线 上 ， 故 ，
整 理 得 ，
因 经 过 点 （ b ， e ） 有 且 仅 有 3 条 直 线 与 函 数 y ＝ f （ x ） 的 图 象 相 切 ，
则 设 ， u （ x ） 有 且 仅 有 3 个 零 点 ．
，
因 b ＞ e ，
故 当 0 ＜ x ＜ e ， u ′ （ x ） ＞ 0 ， u （ x ） 在 区 间 （ 0 ， e ） 上 单 调 递 增 ，
当 e ＜ x ＜ b ， u ′ （ x ） ＜ 0 ， u （ x ） 在 区 间 （ e ， b ） 上 单 调 递 减 ，
当 x ＞ b ， u ′ （ x ） ＞ 0 ， u （ x ） 在 区 间 （ b ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ，
故 u （ x ） 有 且 仅 有 3 个 零 点 时 ， u （ e ） ＞ 0 ， u （ b ） ＜ 0 ，
由 ， 得 ，
由 ， 得 ，
要 证 成 立 ，
只 需 证 成 立 ，
第 8 3页（共 1 0 6页）即 证 ，
因 ， 故 只 需 证 ，
因 ， 所 以 ，
故 只 需 证 ，
因 ， 故 当 时 ， 在 单 调 递 增 ，
因 ，
所 以 ， 即 证 ．
故 当 b ＞ e 时 ， ．
【 点 评 】 本 题 考 查 导 数 的 几 何 意 义 ， 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ， 极 值 及 最 值 ， 考
查 不 等 式 的 证 明 ， 考 查 逻 辑 推 理 能 力 及 运 算 求 解 能 力 ， 属 于 难 题 ．
x
4 1 ． 设 f （ x ） ＝ e ， g （ x ） ＝ l n x ， h （ x ） ＝ s i n x +c o s x ．
（ 1 ） 求 函 数 ， x ∈ （ 0 ， 3 π ） 的 单 调 区 间 和 极 值 ；
（ 2 ） 若 关 于 x 不 等 式 f （ x ） +h （ x ） ≥ a x +2 在 区 间 [0 ， +∞ ） 上 恒 成 立 ， 求 实 数 a 的 值 ；
（ 3 ） 若 存 在 直 线 y ＝ t ， 其 与 曲 线 和 共 有 3 个 不 同 交 点 A （ x ， t ） ， B
1
（ x ， t ） ， C （ x ， t ） （ x ＜ x ＜ x ） ， 求 证 ： x ， x ， x 成 等 比 数 列 ．
2 3 1 2 3 1 2 3
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ； 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 ； 利 用 导 数 研 究 函 数 的
最 值 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ 1 ） y ＝ ＝ ， 求 导 得 y ′ ＝ ﹣ ， 分 析 y ′ 的 符 号 ， 函 数
y ＝ 的 单 调 性 和 极 值 ．
x
（ 2 ） 关 于 x 的 不 等 式 f （ x ） +h （ x ） ≥ a x +2 ， 即 e +s i n x +c o s x ﹣ a x ﹣ 2 ≥ 0 在 [0 ， + ∞ ） 上
x
恒 成 立 ， 令 F （ x ） ＝ e +s i n x +c o s x ﹣ a x ﹣ 2 ， 只 需 F （ x ） ≥ 0 ， 即 可 得 出 答 案 ．
m in
（ 3 ） 函 数 y ＝ ＝ ， 令 F （ x ） ＝ ， 求 导 分 析 单 调 性 ， 最 值 ， 对 于 函 数 y ＝
1
＝ ， 令 G （ x ） ＝ ， 求 导 分 析 单 调 性 ， 最 值 ， 进 而 可 得 函 数 y ＝ F （ x ） 与 y ＝
1 1
G （ x ） 有 相 同 的 最 大 值 ， 下 面 证 明 曲 线 y ＝ F （ x ） 与 y ＝ G （ x ） 有 唯 一 交 点 ， 直 线 y
1 1 1
＝ t 与 曲 线 y ＝ F （ x ） ， y ＝ G （ x ） 共 有 三 个 不 同 交 点 ， 可 得 直 线 y ＝ t 必 经 过 点 B （ x ， t ） ，
1 1 2
第 8 4页（共 1 0 6页）且 F （ x ） ＝ F （ x ） ＝ G （ x ） ＝ G （ x ） ＝ t ， 0 ＜ x ＜ 1 ＜ x ＜ e ＜ x ， 0 ＜ t ＜ ， 由
1 1 1 2 1 2 1 3 1 2 3
F 1 （ x 1 ） ＝ F 1 （ x 2 ） ， 得 F 1 （ x 1 ） ＝ F 1 （ l n x 2 ） ， 再 结 合 函 数 y ＝ F 1 （ x ） 单 调 性 可 得 x 1 ＝ l n x 2 ，
由 F （ x ） ＝ G （ x ） ， 得 G （ x ） ＝ G （ ） ， 再 结 合 函 数 y ＝ G （ x ） 单 调 性 可 得 x
1 2 1 3 1 3 1 1 3
＝ ， 进 而 可 得 x x ＝ ， 即 可 得 出 答 案 ．
1 3
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） y ＝ ＝ ，
y ′ ＝ ＝ ﹣ ，
所 以 当 （ 2 k ﹣ 1 ） π ＜ x ＜ 2 k π （ k ∈Z ） 时 ， y ′ ＞ 0 ，
当 2 k π ＜ x ＜ （ 2 k +1 ） π （ k ∈Z ） 时 ， y ′ ＜ 0 ，
令 f （ x ） ＝ ，
h
所 以 在 （ 0 ， π ） 上 f ′ （ x ） ＜ 0 ， f （ x ） 单 调 递 减 ，
h h
在 （ π ， 2 π ） 上 f ′ （ x ） ＞ 0 ， f （ x ） 单 调 递 增 ，
h h
在 （ 2 π ， 3 π ） 上 f ′ （ x ） ＜ 0 ， f （ x ） 单 调 递 减 ，
h h
所 以 函 数 f h （ x ） 在 （ 0 ， 3 π ） 上 的 单 调 递 增 区 间 为 （ π ， 2 π ） ， 单 调 递 减 区 间 为 （ 0 ， π ）
与 （ 2 π ， 3 π ） ，
所 以 f （ x ） ＝ f （ π ） ＝ ﹣ ，
h h
极小值
f （ x ） ＝ f （ 2 π ） ＝ ．
h 极大值 h
x
（ 2 ） 关 于 x 的 不 等 式 f （ x ） +h （ x ） ≥ a x +2 ， 即 e +s i n x +c o s x ﹣ a x ﹣ 2 ≥ 0 在 [0 ， + ∞ ） 上
恒 成 立 ，
x
令 F （ x ） ＝ e +s i n x +c o s x ﹣ a x ﹣ 2 ，
x x
则 F （ 0 ） ＝ 0 ， F ′ （ x ） ＝ e +c o s x ﹣ s i n x ﹣ a ， F ″ （ x ） ＝ e ﹣ s i n x ﹣ c o s x ，
由 （ 1 ） 知 ， f （ x ） ＝ 在 [0 ， +∞ ） 上 的 极 大 值 为 （ k ∈N ） ，
k
所 以 f （ x ） 在 [0 ， + ∞ ） 上 的 最 大 值 为 1 ， 即 ≤ 1 在 [0 ， + ∞ ） 上 恒 成 立 ，
k
x
所 以 F ″ （ x ） ＝ e ﹣ s i n x ﹣ c o s x ≥ 0 在 [0 ， + ∞ ） 上 恒 成 立 ，
所 以 y ＝ F ′ （ x ） 在 [0 ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ，
所 以 F ′ （ x ） ≥ F ′ （ 0 ） ＝ 0 在 [0 ， + ∞ ） 上 恒 成 立 ，
若 2 ﹣ a ≥ 0 ， 即 a ≤ 2 ， y ＝ F （ x ） 在 [0 ， + ∞ ） 上 单 调 递 增 ，
第 8 5页（共 1 0 6页）所 以 F （ x ） ≥ F （ 0 ） ＝ 0 在 [0 ， + ∞ ） 上 恒 成 立 ，
若 2 ﹣ a ＜ 0 ， 即 a ＞ 2 ， 则 由 y ＝ F ′ （ 0 ） ＝ 2 ﹣ a ＜ 0 ， F ′ （ l n （ 2 a ） ）
ln 2 a
＝ e +c o s （ l n （ 2 a ） ） ﹣ s i n （ l n （ 2 a ） ） ﹣ a ＝ a ﹣ s i n （ l n （ 2 a ） ﹣ φ ） ＜ 2 ﹣ ＞ 0 ，
由 零 点 的 存 在 定 理 可 得 ， 存 在 x 0 ∈ （ 0 ， l n （ 2 a ） ） ， 使 得 F ′ （ x 0 ） ＝ 0 ，
所 以 在 （ 0 ， x ） 上 F ′ （ x ） ＜ 0 ， F （ x ） 单 调 递 减 ，
0
所 以 F （ x ） ＜ F （ 0 ） ＝ 0 ，
0
所 以 在 （ 0 ， x ） 上 F （ x ） ＜ 0 ， 不 符 合 F （ x ） ≥ 0 在 [0 ， +∞ ） 上 恒 成 立 的 条 件 ，
0
综 上 所 述 ， 实 数 a 的 取 值 范 围 为 （ ﹣ ∞ ， 2 ] ．
（ 3 ） 证 明 ： 函 数 y ＝ ＝ ，
令 F （ x ） ＝ ， 则 F ′ （ x ） ＝ ，
1 1
所 以 当 x ∈ （ ﹣ ∞ ， 1 ） 时 ， F ′ （ x ） ＞ 0 ， F （ x ） 单 调 递 增 ，
1 1
当 x ∈ （ 1 ， +∞ ） 时 ， F ′ （ x ） ＜ 0 ， F （ x ） 单 调 递 减 ，
1 1
所 以 F （ x ） ＝ F （ 1 ） ＝ ，
1 m a x 1
对 于 函 数 y ＝ ＝ ，
令 G （ x ） ＝ ， 则 G ′ （ x ） ＝ ，
1 1
所 以 在 （ 0 ， e ） 上 ， G ′ （ x ） ＞ 0 ， G （ x ） 单 调 递 增 ，
1 1
在 （ e ， +∞ ） 上 ， G ′ （ x ） ＜ 0 ， G （ x ） 单 调 递 减 ，
1 1
所 以 G （ x ） ＝ G （ e ） ＝ ，
1 m a x 1
所 以 函 数 y ＝ F （ x ） 与 y ＝ G （ x ） 有 相 同 的 最 大 值 ， 其 图 象 如 下 ：
1 1
下 面 证 明 ： 曲 线 y ＝ F （ x ） 与 y ＝ G （ x ） 有 唯 一 交 点 ，
1 1
第 8 6页（共 1 0 6页）由 F （ x ） ＝ G （ x ） ， 即 ＝ （ x ＞ 0 ） ， 即 方 程 ﹣ l n x ＝ 0 有 唯 一 实 数 根 x ，
1 1 2
令 u （ x ） ＝ ﹣ l n x ， （ x ＞ 0 ） ，
u ′ （ x ） ＝ ﹣ ＝ ，
所 以 u ′ （ x ） 在 （ e ， +∞ ） 上 恒 为 负 数 ，
所 以 曲 线 y ＝ F （ x ） 与 y ＝ G （ x ） 在 [0 ， 1 ]上 没 有 交 点 ，
1 1
在 区 间 （ 1 ， e ） 上 ， y ＝ F 1 （ x ） 单 调 递 减 ， 函 数 y ＝ G 1 （ x ） 单 调 递 增 ，
所 以 u （ x ） 在 （ 1 ， e ） 上 递 减 ，
所 以 函 数 u （ x ） 在 （ 1 ， + ∞ ） 上 单 调 递 减 ，
由 u （ 1 ） ＝ ＞ 0 ， u （ e ） ＝ ﹣ 1 ＜ 0 及 零 点 的 存 在 定 理 可 得 ：
函 数 u （ x ） 在 （ 1 ， e ） 上 存 在 唯 一 零 点 ，
所 以 方 程 u （ x ） ＝ 0 在 （ 1 ， + ∞ ） 上 有 唯 一 实 数 根 x ， 且 x ∈ （ 1 ， e ） ，
2 2
下 面 证 明 ： 直 线 y ＝ t 与 曲 线 y ＝ F （ x ） ， y ＝ G （ x ） 共 有 三 个 不 同 交 点 ，
1 1
所 以 直 线 y ＝ t 必 经 过 点 B （ x ， t ） ， 且 F （ x ） ＝ F （ x ） ＝ G （ x ） ＝ G （ x ） ＝ t ，
2 1 1 1 2 1 2 1 3
0 ＜ x ＜ 1 ＜ x ＜ e ＜ x ， 0 ＜ t ＜ ，
1 2 3
由 F （ x ） ＝ F （ x ） ， 得 ＝ ＝ ， 即 F （ x ） ＝ F （ l n x ） ，
1 1 1 2 1 1 1 2
所 以 函 数 y ＝ F （ x ） 在 （ ﹣ ∞ ， 1 ） 上 单 调 递 增 ， x ∈ （ 0 ， 1 ） ， l n x ∈ （ 0 ， 1 ） ，
1 1 2
所 以 x 1 ＝ l n x 2 ，
由 F （ x ） ＝ G （ x ） ， 得 ＝ ＝ ， 即 G （ x ） ＝ G （ ） ，
1 2 1 3 1 3 1
函 数 y ＝ G （ x ） 在 （ e ， + ∞ ） 上 单 调 递 增 ， x ∈ （ e ， +∞ ） ， ∈ （ e ， + ∞ ） ，
1 3
所 以 x ＝ ，
3
所 以 x x ＝ l n x ，
1 3 2
第 8 7页（共 1 0 6页）由 F （ x ） ＝ G （ x ） ， 得 ＝ ，
1 2 1 2
所 以 ＝ l n x ，
2
所 以 x x ＝ ，
1 3
所 以 x 1 ， x 2 ， x 3 成 等 比 数 列 ．
【 点 评 】 本 题 考 查 导 数 的 综 合 应 用 ， 解 题 中 需 要 理 清 思 路 ， 属 于 难 题 ．
2
4 2 ． 已 知 a 、 b ∈R ， 设 函 数 y ＝ f （ x ） 的 表 达 式 为 f （ x ） ＝ a ? x ﹣ b ? l n x （ 其 中 x ＞ 0 ） ．
﹣
1
（ 1 ） 设 a ＝ 1 ， b ＝ 0 ， 当 f （ x ） ＞ x 时 ， 求 x 的 取 值 范 围 ；
（ 2 ） 设 a ＝ 2 ， b ＞ 4 ， 集 合 D ＝ （ 0 ， 1 ]， 记 g （ x ） ＝ 2 c x ﹣ （ c ∈R ） ， 若 y ＝ g （ x ） 在
D 上 为 严 格 增 函 数 且 对 D 上 的 任 意 两 个 变 量 s ， t ， 均 有 f （ s ） ≥ g （ t ） 成 立 ， 求 c 的 取 值
范 围 ；
n
（ 3 ） 当 a ＝ 0 ， b ＜ 0 ， x ＞ 1 时 ， 记 h （ x ） ＝ [ f （ x ） ] + ， 其 中 n 为 正 整 数 ． 求
n
n n
证 ： [ h （ x ） ] +2 ≥ h （ x ） +2 ．
1 n
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ； 利 用 导 数 研 究 函 数 的 最 值 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ 1 ） 将 a ＝ 1 ， b ＝ 0 代 入 函 数 解 析 式 ， 再 解 不 等 式 即 可 ；
（ 2 ） 分 析 可 知 只 需 当 x ∈ （ 0 ， 1 ]时 ， f （ x ） m in ≥ g （ x ） m a x 成 立 即 可 ， 利 用 导 数 求 得 函 数
f （ x ） 的 最 小 值 和 函 数 g （ x ） 的 最 大 值 ， 综 合 即 可 得 解 ；
（ 3 ） 令 k ＝ ﹣ b l n x ， 则 k ＞ 0 ， 则
， 利 用 二 项 式 定 理 结 合 基 本 不
等 式 可 知 ， 由 此 容 易 得 证 ．
﹣
2 2 1
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 由 题 设 f （ x ） ＝ x ， 则 x ＞ x ， 即 ，
2
故 x （ x ﹣ 1 ） （ x +x +1 ） ＞ 0 ，
又 ， 则 x ﹣ 1 ＞ 0 ， 即 x ＞ 1 ，
所 以 x 的 取 值 范 围 为 （ 1 ， +∞ ） ；
2
（ 2 ） 由 题 意 f （ x ） ＝ 2 x ﹣ b l n x ， 要 使 D 上 的 任 意 两 个 变 量 s ， t ， 均 有 f （ s ） ≥ g （ t ） 成
立 ，
则 只 需 当 x ∈ （ 0 ， 1 ]时 ， f （ x ） ≥ g （ x ） 成 立 即 可 ，
m in m a x
第 8 8页（共 1 0 6页）又 y ＝ g （ x ） 在 D 上 为 严 格 增 函 数 ， 则 g （ x ） ＝ g （ 1 ） ＝ 2 c ﹣ 1 ，
m a x
且 在 （ 0 ， 1 ] 上 恒 成 立 ，
又 g ′ （ x ） 在 （ 0 ， 1 ]上 单 调 递 减 ， 则 g ′ （ 1 ） ＝ 2 （ c +1 ） ≥ 0 ， 解 得 c ≥ ﹣ 1 ，
由 b ＞ 4 且 x ∈ （ 0 ， 1 ]， ， 则 f （ x ） 在 （ 0 ， 1 ]上 递 减 ，
所 以 f （ x ） ＝ f （ 1 ） ＝ 2 ， 则 2 c ﹣ 1 ≤ 2 ， 解 得 ，
m in
综 上 ， 实 数 c 的 取 值 范 围 为 ；
（ 3 ） 证 明 ： 依 题 意 ， ， 且 x ＞ 1 ， b ＜ 0 ，
令 k ＝ ﹣ b l n x ， 则 k ＞ 0 ，
所 以 ，
而 ＝
，
，
则
，
又 ， 且
， 当 且 仅 当 k ＝ 1 时 等 号 成 立 ，
所 以 ，
同 理 ， ， 且 均 在 k ＝ 1 时 等 号 成 立 ，
所 以 ，
则 ， 即 得 证 ．
【 点 评 】 本 题 考 查 导 数 的 综 合 运 用 ， 涉 及 了 不 等 式 的 解 法 以 及 二 项 式 定 理 的 运 用 ， 考 查
运 算 求 解 能 力 ， 属 于 难 题 ．
2
4 3 ． 已 知 f （ x ） ＝ x ﹣ 4 x ﹣ 6 l n x ．
第 8 9页（共 1 0 6页）（ 1 ） 求 f （ x ） 在 （ 1 ， f （ 1 ） ） 处 的 切 线 方 程 以 及 f （ x ） 的 单 调 性 ；
（ 2 ） 令 g （ x ） ＝ f （ x ） +4 x ﹣ （ a ﹣ 6 ） l n x ， 若 g （ x ） 有 两 个 零 点 分 别 为 x ， x （ x ＜ x ）
1 2 1 2
且 x 为 g （ x ） 唯 一 极 值 点 ． 求 证 ： x +3 x ＞ 4 x ．
0 1 2 0
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ； 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 ； 利 用 导 数 研 究 曲 线 上
某 点 切 线 方 程 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ 1 ） 求 出 定 义 域 为 （ 0 ， +∞ ） ， 求 出 导 函 数 ， 推 出 切 线 方 程 ， 然 后 求 解 函 数 的 单
调 区 间 ．
（ 2 ） 利 用 导 函 数 求 解 极 值 点 ， 判 断 函 数 的 单 调 性 ， 要 使 g （ x ） 有 两 个 零 点 ， 要 满 足 g （ x ）
0
2 2
＜ 0 ， 推 出 ， 而 要 证 x 1 +3 x 2 ＞ 4 x 0 ， 只 需 证 （ 3 t +1 ） l n t ﹣ 8 t +8
2 2
＞ 0 ， 令 h （ t ） ＝ （ 3 t +1 ） l n t ﹣ 8 t +8 ， 求 出 函 数 的 导 数 ，
令 ， 利 用 函 数 的 导 数 判 断 函 数 的 单 调 性 ， 转 化 求 解 推 出
x +3 x ＞ 4 x ．
1 2 0
2
【 解 答 】 （ 1 ） 解 ： ∵ （ f x ） ＝ x ﹣ 4 x ﹣ 6 l n x ， 所 以 定 义 域 为 （ 0 ， +∞ ） ， ∴ ；
f '' （ 1 ） ＝ ﹣ 8 ； f （ 1 ） ＝ ﹣ 3 ，
所 以 切 线 方 程 为 y ＝ ﹣ 8 x +5 ； ， 令 f '' （ x ） ＞ 0 ， 解 得 x ＞ 3 ，
令 f '' （ x ） ＜ 0 ， 解 得 0 ＜ x ＜ 3 ，
所 以 f （ x ） 的 单 调 递 减 区 间 为 （ 0 ， 3 ） ， 单 调 递 增 区 间 为 （ 3 ， +∞ ） ． … … （ 4 分 ）
2
（ 2 ） 证 明 ： g （ x ） ＝ x ﹣ a l n x ， 得
， … … （ 5 分 ）
当 ， g '' （ x ） ＜ 0 ， ， g '' （ x ） ＞ 0 ；
所 以 g （ x ） 在 上 单 调 递 减 ， 上 单 调 递 增 ， 而 要 使 g （ x ） 有 两 个
零 点 ， 要 满 足 g （ x ） ＜ 0 ，
0
即 ；
因 为 ， ， 令 （ t ＞ 1 ） ， … … （ 6 分 ）
由 f （ x ） ＝ f （ x ） ， ∴ ，
1 2
第 9 0页（共 1 0 6页）即 ： ， … … （ 8 分 ）
∴ ， 而 要 证 x +3 x ＞ 4 x ， 只 需 证 ，
1 2 0
即 证 ： ， 即 ： ，
2 2
由 a ＞ 0 ， t ＞ 1 ， 只 需 证 ： （ 3 t +1 ） l n t ﹣ 8 t +8 ＞ 0 ， … … （ 1 0 分 ）
2 2
令 h （ t ） ＝ （ 3 t +1 ） l n t ﹣ 8 t +8 ， 则 ，
令 ， 则 （ t ＞ 1 ） ，
故 n （ t ） 在 （ 1 ， + ∞ ） 上 递 增 ， n （ t ） ＞ n （ 1 ） ＝ 0 ；
故 h （ t ） 在 （ 1 ， + ∞ ） 上 递 增 ， h （ t ） ＞ h （ 1 ） ＝ 0 ； ∴ x +3 x ＞ 4 x . … … （ 1 2 分 ）
1 2 0
【 点 评 】 本 题 考 查 函 数 的 导 数 的 应 用 ， 切 线 方 程 的 求 法 ， 函 数 的 单 调 区 间 的 求 法 ， 二 次
导 函 数 的 应 用 ， 考 查 转 化 思 想 以 及 计 算 能 力 ， 是 难 题 ．
4 4 ． 已 知 函 数 ．
（ 1 ） 若 函 数 y ＝ f （ x ） 为 增 函 数 ， 求 k 的 取 值 范 围 ；
（ 2 ） 已 知 0 ＜ x ＜ x ．
1 2
（ i ） 证 明 ： ；
（ i i ） 若 ， 证 明 ： | f （ x ） ﹣ f （ x ） | ＜ 1 ．
1 2
【 分 析 】 （ 1 ） 先 对 函 数 求 导 ， 然 后 结 合 导 数 与 单 调 性 关 系 可 求 k 的 范 围 ；
（ 2 ） 结 合 （ 1 ） 中 单 调 性 可 得 ， 结 合 不 等 式 构 造 函
数 g （ x ） ＝ x ﹣ l n x ﹣ 1 ， 对 g （ x ） 求 导 ， 结 合 导 数 分 析 g （ x ） 的 单 调 性 ， 结 合 单 调 性 即 可
证 明 ；
（ i i ） 由 已 知 可 得 ， 问 题 转 化 为 有 两 个 不 同
实 数 根 x ， x ， 0 ＜ x ＜ 1 ＜ x ， 从 而 有
1 2 1 2
， ， 令
第 9 1页（共 1 0 6页）， 结 合 导 数 分 析 g （ x ） 的 单 调 性 ， 利 用 单 调 性 及 函 数 性 质 即 可
证 明 ．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 若 是 增 函 数 ， 则 f ′ （ x ） ＝ ﹣ ≥ 0 恒
成 立 ，
所 以 k 在 （ 0 ， + ∞ ） 上 恒 成 立 ，
令 φ （ x ） ＝ ， x ＞ 0 ， 则 ，
所 以 当 x ∈ （ 0 ， 1 ） 时 ， φ （ x ） ′ ＞ 0 ， φ （ x ） 单 调 递 增 ，
当 x ∈ （ 1 ， +∞ ） 时 ， φ ′ （ x ） ＜ 0 ， φ （ x ） 单 调 递 减 ，
所 以 φ （ x ） ＝ φ （ 1 ） ＝ ，
m a x
所 以 k ≥ ， 即 k 的 取 值 范 围 为 [ ， + ∞ ） ．
证 明 ： （ 2 ） （ i ） 由 （ 1 ） 可 知 ： 当 时 ， 单 调 递 增 ，
因 为 0 ＜ x ＜ x ， 则 f （ x ） ＞ f （ x ） ， 即 ，
1 2 2 1
整 理 得 ，
令 g （ x ） ＝ x ﹣ l n x ﹣ 1 ， 则 ，
当 x ∈ （ 0 ， 1 ） 时 ， g ′ （ x ） ＜ 0 ， g （ x ） 单 调 递 减 ， 当 x ∈ （ 1 ， +∞ ） 时 ， g ′ （ x ） ＞ 0 ，
g （ x ） 单 调 递 增 ，
故 g （ x ） ＝ x ﹣ l n x ﹣ 1 ≥ g （ 1 ） ＝ 0 ， 即 ﹣ l n x ≥ 1 ﹣ x ， 当 且 x ＝ 1 时 等 号 成 立 ，
令 ， 则 ，
综 上 ；
（ i i ） 因 为 ， 变 形 得 ，
由 题 意 可 知 有 两 个 不 同 实 数 根 x ， x ， 由 （ 1 ） 知 0 ＜ x ＜ 1 ＜ x ，
1 2 1 2
第 9 2页（共 1 0 6页）可 得 ，
同 理 可 得 ，
构 建 ， 则 ，
当 0 ＜ x ＜ 1 时 ， （ 1 ﹣ x ） l n x ＜ 0 ； 当 x ＞ 1 时 ， （ 1 ﹣ x ） l n x ＜ 0 ； 当 x ＝ 1 时 ， （ 1 ﹣ x ） l n x ＝ 0 ；
故 g ′ （ x ） ≤ 0 ， 故 g （ x ） 在 （ 0 ， +∞ ） 上 单 调 递 减 ，
因 为 0 ＜ x ＜ 1 ＜ x ， 则 g （ x ） ＜ g （ 1 ） ＜ g （ x ） ， 即 ，
1 2 2 1
且 ， 则 x l n x +1 ＞ 0 ， 故 ，
1 1
可 得 ，
又 因 为 0 ＜ x ＜ 1 ， 由 （ i ） 可 得 ﹣ l n x ＞ 1 ﹣ x ， 即 l n x ＜ x ﹣ 1 ，
1 1 1 1 1
则 ，
且 ， 则 ， 可 得 ，
综 上 所 述 ： ，
可 得 ， 则 0 ＜ f （ x ） ﹣ f （ x ） ＜ 1 ，
1 2
故 | f （ x ） ﹣ f （ x ） | ＝ f （ x ） ﹣ f （ x ） ＜ 1 ．
1 2 1 2
【 点 评 】 本 题 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 与 最 值 ， 不 等 式 的 证 明 ， 考 查 运 算 求 解 能
力 与 逻 辑 推 理 能 力 ， 属 于 难 题 ．
4 5 ． 已 知 函 数 f （ x ） ＝ x ﹣ a l n x ， g （ x ） ＝ ﹣ （ a ＞ 0 ） ．
（ Ⅰ ） 若 a ＝ 1 ， 求 函 数 f （ x ） 的 极 值 ；
（ Ⅱ ） 设 函 数 h （ x ） ＝ f （ x ） ﹣ g （ x ） ， 求 函 数 h （ x ） 的 单 调 区 间 ；
（ Ⅲ ） 若 存 在 x ∈ [1 ， e ] ， 使 得 f （ x ） ＜ g （ x ） 成 立 ， 求 a 的 取 值 范 围 ．
0 0 0
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 ； 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ Ⅰ ） 求 出 导 数 ， 求 得 单 调 区 间 ， 进 而 得 到 极 小 值 ；
（ Ⅱ ） 求 出 h （ x ） 的 导 数 ， 注 意 分 解 因 式 ， 结 合 a ＞ 0 ， 即 可 求 得 单 调 区 间 ；
第 9 3页（共 1 0 6页）（ III） 若 在 [1 ， e ] 上 存 在 一 点 x ， 使 得 f （ x ） ＜ g （ x ） 成 立 ， 即 在 [1 ， e ]上 存 在 一 点 x ，
0 0 0 0
使 得 h （ x ） ＜ 0 ． 即 h （ x ） 在 [1 ， e ]上 的 最 小 值 小 于 零 ． 对 a 讨 论 ，① 当 1 + a ≥ e ，② 当
0
1 ＜ 1 +a ＜ e ， 求 得 单 调 区 间 和 最 小 值 即 可 ．
【 解 答 】 解 ： （ Ⅰ ） f （ x ） ＝ x ﹣ a l n x 的 定 义 域 为 （ 0 ， +∞ ） ．
当 a ＝ 1 时 ， f ′ （ x ） ＝ ．
由 f ′ （ x ） ＝ 0 ， 解 得 x ＝ 1 ．
当 0 ＜ x ＜ 1 时 ， f ′ （ x ） ＜ 0 ， f （ x ） 单 调 递 减 ；
当 x ＞ 1 时 ， f ′ （ x ） ＞ 0 ， f （ x ） 单 调 递 增 ，
所 以 当 x ＝ 1 时 ， 函 数 f （ x ） 取 得 极 小 值 ， 极 小 值 为 f （ 1 ） ＝ 1 ﹣ l n 1 ＝ 1 ；
（ Ⅱ ） h （ x ） ＝ f （ x ） ﹣ g （ x ） ＝ x ﹣ a l n x + ， 其 定 义 域 为 （ 0 ， +∞ ） ．
又 h ′ （ x ） ＝ ＝ ．
由 a ＞ 0 可 得 1 +a ＞ 0 ， 在 0 ＜ x ＜ 1 +a 上 ， h ′ （ x ） ＜ 0 ， 在 x ＞ 1 +a 上 ， h ′ （ x ） ＞ 0 ，
所 以 h （ x ） 的 递 减 区 间 为 （ 0 ， 1 +a ） ； 递 增 区 间 为 （ 1 +a ， + ∞ ） ．
（ III） 若 在 [1 ， e ]上 存 在 一 点 x 0 ， 使 得 f （ x 0 ） ＜ g （ x 0 ） 成 立 ，
即 在 [1 ， e ]上 存 在 一 点 x ， 使 得 h （ x ） ＜ 0 ． 即 h （ x ） 在 [1 ， e ]上 的 最 小 值 小 于 零 ．
0 0
① 当 1 +a ≥ e ， 即 a ≥ e ﹣ 1 时 ， 由 （ II ） 可 知 h （ x ） 在 [1 ， e ]上 单 调 递 减 ．
故 h （ x ） 在 [1 ， e ]上 的 最 小 值 为 h （ e ） ，
由 h （ e ） ＝ e + ﹣ a ＜ 0 ， 可 得 a ＞ ．
因 为 ＞ e ﹣ 1 ． 所 以 a ＞ ．
② 当 1 ＜ 1 +a ＜ e ， 即 0 ＜ a ＜ e ﹣ 1 时 ，
由 （ II） 可 知 h （ x ） 在 （ 1 ， 1 +a ） 上 单 调 递 减 ， 在 （ 1 + a ， e ） 上 单 调 递 增 ．
h （ x ） 在 [1 ， e ]上 最 小 值 为 h （ 1 + a ） ＝ 2 + a ﹣ a l n （ 1 +a ） ．
因 为 0 ＜ l n （ 1 +a ） ＜ 1 ， 所 以 0 ＜ a l n （ 1 +a ） ＜ a ．
则 2 +a ﹣ a l n （ 1 +a ） ＞ 2 ， 即 h （ 1 +a ） ＞ 2 不 满 足 题 意 ， 舍 去 ．
综 上 所 述 ： a ∈ （ ， + ∞ ） ．
【 点 评 】 本 题 考 查 导 数 的 运 用 ： 求 单 调 区 间 和 极 值 、 最 值 ， 同 时 考 查 不 等 式 成 立 的 问 题
转 化 为 求 函 数 的 最 值 ， 运 用 分 类 讨 论 的 思 想 方 法 是 解 题 的 关 键 ．
第 9 4页（共 1 0 6页）﹣
a x 1 x
4 6 ． 已 知 函 数 f （ x ） ＝ e ? c o s x ， h （ x ） ＝ e ﹣ k x ﹣ 1 ， （ a ， k ∈R ） ．
（ Ⅰ ） 若 函 数 h （ x ） 在 x ＝ 1 处 的 切 线 与 直 线 y ＝ x ﹣ 1 垂 直 ， 求 实 数 k 的 值 ；
（ Ⅱ ） 若 h （ x ） ≥ 0 恒 成 立 ， 求 实 数 k 的 取 值 范 围 ；
（ Ⅲ ） 设 a ＞ 0 ， 证 明 ： 当 时 ， 函 数 f （ x ） 存 在 唯 一 的 极 大 值 点 x ， 且
0
．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 ； 利 用 导 数 研 究 函 数 的 最 值 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ Ⅰ ） 求 导 后 利 用 切 线 的 性 质 即 可 求 解 ；
x
（ Ⅱ ） h ′ （ x ） ＝ e ﹣ k ， 考 虑 k ≤ 0 和 k ＞ 0 两 种 情 况 ， 得 到 函 数 的 单 调 区 间 ， 只 需 k ﹣ k l n k
﹣ 1 ≥ 0 ， 设 r （ k ） ＝ k ﹣ k l n k ﹣ 1 ， 求 导 得 到 单 调 区 间 ， 计 算 最 值 即 可 ；
（ Ⅲ ） 求 导 得 到 单 调 区 间 ， 确 定 t a n x ＝ a ， 结 合 （ Ⅱ ） 中 的 结 论 得 到 ，
0
2 t
设 φ （ t ） ＝ （ 1 + t ） e ﹣ 1 ， 求 导 得 到 函 数 单 调 递 增 ， 计 算 最 值 得 到 证 明 ．
x x
【 解 答 】 解 ： （ Ⅰ ） ∵ h （ x ） ＝ e ﹣ k x ﹣ 1 ， ∴ h ′ （ x ） ＝ e ﹣ k ，
∵ 函 数 h （ x ） 在 x ＝ 1 处 的 切 线 与 直 线 y ＝ x ﹣ 1 垂 直 ，
∴ h ′ （ 1 ） ＝ e ﹣ k ＝ ﹣ 2 ， 则 k ＝ e +2 ；
x
（ Ⅱ ） h ′ （ x ） ＝ e ﹣ k ，
当 k ≤ 0 时 ， h ′ （ x ） ＞ 0 ， h （ x ） 为 R 上 的 增 函 数 ， 所 以 存 在 x 0 ＜ 0 ， h （ x 0 ） ＜ h （ 0 ）
＝ 0 ， 不 符 合 题 意 ；
x
当 k ＞ 0 时 ， 由 h ′ （ x ） ＝ e ﹣ k ＝ 0 ， 得 x ＝ l n k ，
x ∈ （ ﹣ ∞ ， l n k ） 时 h ′ （ x ） ＜ 0 ， h （ x ） 是 减 函 数 ，
x ∈ （ l n k ， +∞ ） 时 h ′ （ x ） ＞ 0 ， h （ x ） 是 增 函 数 ，
所 以 h （ x ） ≥ h （ l n k ） ＝ k ﹣ k l n k ﹣ 1 ， 所 以 只 需 k ﹣ k l n k ﹣ 1 ≥ 0 ，
设 r （ k ） ＝ k ﹣ k l n k ﹣ 1 ， 则 r ′ （ k ） ＝ ﹣ l n k ，
当 0 ＜ k ＜ 1 时 ， r ′ （ k ） ＞ 0 ， r （ k ） 为 增 函 数 ； 当 k ＞ 1 时 ， r ′ （ k ） ＜ 0 ， r （ k ） 为 减 函
数 ，
则 r （ k ） ≤ r （ 1 ） ＝ 0 ， 所 以 当 且 仅 当 k ＝ 1 时 不 等 式 成 立 ，
综 上 所 述 ： k ＝ 1 ；
第 9 5页（共 1 0 6页）证 明 ： （ Ⅲ ） ，
因 为 y ＝ a ﹣ t a n x 是 上 的 减 函 数 ， 由 正 切 函 数 的 性 质 及 a ＞ 0 可 知 ，
在 内 ， 存 在 唯 一 实 数 x ， 使 得 t a n x ＝ a ，
0 0
当 x ∈ （ 0 ， x ） 时 ， f ′ （ x ） ＞ 0 ， f （ x ） 为 增 函 数 ，
0
当 时 ， f ′ （ x ） ＜ 0 ， f （ x ） 为 减 函 数 ，
所 以 x 0 是 f （ x ） 的 极 大 值 点 ，
x
由 （ 1 ） 可 知 ， 当 时 ， x ≥ s i n x ， 由 （ Ⅱ ） 可 知 e ≥ x +1 ，
所 以 ，
下 面 证 明 ，
﹣ ＜
2 t 1 0
令 ， 即 证 ， 即 （ 1 +t ） e ，
2 t t 2
设 φ （ t ） ＝ （ 1 +t ） e ﹣ 1 ， 则 φ （ t ） ＝ e （ 1 +t ） ≥ 0 ， 所 以 φ （ t ） 是 （ ﹣ ∞ ， 0 ） 上 的 增
函 数 ，
2 t
所 以 t ＜ 0 时 ， φ （ t ） ＜ φ （ 0 ） ＝ 0 ， （ 1 + t ） e ﹣ 1 ＜ 0 成 立 ， 命 题 得 证 ．
【 点 评 】 本 题 考 查 了 导 数 的 综 合 应 用 ， 属 于 中 档 题 ．
4 7 ． 已 知 函 数 ， a ＞ 0 ．
（ 1 ） 讨 论 f （ x ） 极 值 点 的 个 数 ；
（ 2 ） 若 f （ x ） 恰 有 三 个 零 点 t ， t ， t （ t ＜ t ＜ t ） 和 两 个 极 值 点 x ， x （ x ＜ x ） ．
1 2 3 1 2 3 1 2 1 2
（ ⅰ ） 证 明 ： f （ x 1 ） +f （ x 2 ） ＝ 0 ；
（ ⅱ ） 若 m ＜ n ， 且 m l n m ＝ n l n n ， 证 明 ： ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ 1 ） 求 导 得 f ′ （ x ） ＝ ﹣ （ x ＞ 0 ） ， 分 析 f ′ （ x ） 的 符 号 ， f （ x ） 的
单 调 性 ， 极 值 ， 即 可 得 出 答 案 ．
（ 2 ） （ ⅰ ） 证 明 ： 由 （ 1 ） 知 ： 0 ＜ a ＜ 且 x x ＝ 1 ， 又 f （ ） ＝ l n ﹣ a （ ﹣ x ） ＝ ﹣ f
1 2
第 9 6页（共 1 0 6页）（ x ） ， 即 可 得 出 答 案 ．
（ ⅱ ） 由 （ ⅰ ） 知 f （ ） ＝ ﹣ f （ x ） ， 0 ＜ a ＜ ， t ＜ x ＜ t ＝ 1 ＜ x ＜ t ， 则 t t ＝ 1 ， 进 而
1 1 2 2 3 1 3
可 得 t t t ＝ 1 ， 令 h （ x ） ＝ x l n x ， x ＞ 0 ， 求 导 分 析 单 调 性 可 得 0 ＜ m ＜ ＜ n ＜ 1 ， 要 证 明 ：
1 2 3
﹣
m
＞ n （ l n n +1 ） ， 只 要 证 明 l n [（ 1 ﹣ m ） e ]＞ n l n （ n +1 ） ， 只 需 证 明 l n （ 1 ﹣ m ）
+1 ﹣ m ＞ l n n +1 +l n （ l n n +1 ） ， 又 t （ x ） ＝ l n x +x 在 （ 0 ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ， 只 需 证 明 1 ﹣ m
＞ l n n +1 （ 易 证 n ＞ l n +1 ） ， 即 证 明 m +n ＜ 1 ， 即 可 得 出 答 案 ．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） f ′ （ x ） ＝ ﹣ a ﹣ ＝ ﹣ （ x ＞ 0 ） ，
2
设 函 数 g （ x ） ＝ a x ﹣ x + a ，
2
当 x ≥ 时 ， g （ x ） 开 口 向 上 ， Δ ＝ 1 ﹣ 4 a ≤ 0 ，
所 以 f ′ （ x ） ≤ 0 ， f （ x ） 在 （ 0 ， + ∞ ） 上 单 调 递 减 ， 无 极 值 点 ，
当 0 ＜ a ＜ 时 ， g （ x ） ＝ 0 在 （ 0 ， + ∞ ） 上 有 两 个 解 x ＝ ， x ＝ ，
1 2
因 为 x x ＝ 1 ，
1 2
所 以 f （ x ） 在 （ 0 ， x ） 上 单 调 递 减 ， 在 （ x ， x ） 上 单 调 递 增 ， 在 （ x ， +∞ ） 上 单 调 递
1 1 2 2
减 ，
所 以 f （ x ） 有 两 个 极 值 点 ，
综 上 所 述 ， 当 a ≥ 时 ， f （ x ） 无 极 值 点 ，
当 0 ＜ a ＜ 时 ， f （ x ） 有 两 个 极 值 点 ．
（ 2 ） （ ⅰ ） 证 明 ： 由 （ 1 ） 知 ： 0 ＜ a ＜ 且 x x ＝ 1 ，
1 2
因 为 f （ ） ＝ l n ﹣ a （ ﹣ x ） ＝ ﹣ l n x ﹣ a （ ﹣ x ） ＝ ﹣ f （ x ） ，
所 以 f （ x ） +f （ x ） ＝ f （ x ） +f （ ） ＝ 0 ．
1 2 1
（ ⅱ ） 由 （ ⅰ ） 知 f （ ） ＝ ﹣ f （ x ） ， 0 ＜ a ＜ ， t ＜ x ＜ t ＝ 1 ＜ x ＜ t ，
1 1 2 2 3
所 以 t t ＝ 1 ，
1 3
所 以 t 1 t 2 t 3 ＝ 1 ，
令 h （ x ） ＝ x l n x ， x ＞ 0 ，
第 9 7页（共 1 0 6页）h ′ （ x ） ＝ l n x +1 ，
所 以 h （ x ） 在 （ 0 ， ） 上 单 调 递 减 ， 在 （ ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ，
因 为 x ＞ 1 时 ， h （ x ） ＞ 0 ，
0 ＜ x ＜ 1 时 ， h （ x ） ＜ 0 ，
所 以 0 ＜ m ＜ ＜ n ＜ 1 ，
所 以 要 证 明 ： ＞ n （ l n n +1 ） ，
﹣
m
只 要 证 明 l n [（ 1 ﹣ m ） e ] ＞ n l n （ n +1 ） ，
只 需 证 明 l n （ 1 ﹣ m ） ﹣ m ＞ l n n +l n （ l n n +1 ） ，
只 需 证 明 l n （ 1 ﹣ m ） +1 ﹣ m ＞ l n n +1 +l n （ l n n +1 ） ，
又 因 为 t （ x ） ＝ l n x + x 在 （ 0 ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ，
所 以 只 需 证 明 1 ﹣ m ＞ l n n +1 （ 易 证 n ＞ l n +1 ） ，
只 需 证 明 1 ﹣ m ＞ n ， 即 证 明 m +n ＜ 1 ，
因 为 0 ＜ m ＜ ，
所 以 l n m ＜ ﹣ 1 ，
所 以 m l n m ＜ ﹣ m ，
因 为 m l n m ＝ n l n n ，
所 以 m ＜ ﹣ n l n n ，
所 以 m +n ＜ n ﹣ n l n n ，
令 φ （ x ） ＝ x ﹣ x l n x ， ＜ x ＜ 1 ，
φ ′ （ x ） ＝ ﹣ l n x ＞ 0 ，
所 以 φ （ x ） 在 （ ， 1 ） 上 单 调 递 增 ，
所 以 φ （ n ） ＜ φ （ 1 ） ＝ 1 ，
所 以 m +n ＜ 1 ，
所 以 ＞ n （ l n n +1 ） 成 立 ．
【 点 评 】 本 题 考 查 导 数 的 综 合 应 用 ， 解 题 中 需 要 理 清 思 路 ， 属 于 中 档 题 ．
4 8 ． 已 知 函 数 f （ x ） ＝ x +a （ l n x +1 ） ， a ∈R ．
第 9 8页（共 1 0 6页）（ 1 ） 求 函 数 f （ x ） 的 单 调 区 间 和 极 值 ；
（ 2 ） 若 f （ p ） ＝ f （ q ） ＝ 0 （ p ≠ q ） ， 求 证 ： p q ＞ 1 ；
﹣
x 1
（ 3 ） 已 知 点 P （ m ， m ） ， 是 否 存 在 过 点 P 的 两 条 直 线 与 曲 线 g （ x ） ＝ e +1 ， （ ﹣ 1 ＜ x
＜ 3 ） 相 切 ？ 若 存 在 ， 求 出 m 的 取 值 范 围 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ； 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 ； 利 用 导 数 研 究 曲 线 上
某 点 切 线 方 程 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ 1 ） 由 题 意 ， 对 函 数 f （ x ） 进 行 求 导 ， 分 a ≥ 0 和 a ＜ 0 两 种 情 况 讨 论 函 数 的 单
调 性 ， 进 而 求 解 极 值 ；
（ 2 ） 根 据 f （ p ） ＝ f （ q ） ＝ 0 （ p ≠ q ） ， 讨 论 函 数 的 单 调 性 ， 得 到 a ＜ 0 时 ， p +a （ l n p +1 ）
＝ 0 ， q + a （ l n q +1 ） ＝ 0 ， 两 式 相 减 得 ， 两 式 相 加 得
， 要 证 p q ＞ 1 ， 即 证 ， 利
用 换 元 法 ， 令 ， t ∈ （ 0 ， 1 ） ， 构 造 函 数 ， 对 函 数 h （ t ） 进 行 求
导 ， 利 用 导 数 得 到 函 数 h （ t ） 的 单 调 性 和 最 大 值 即 可 得 证 ；
（ 3 ） 设 切 点 为 Q （ x ， y ） ， 根 据 导 数 的 几 何 意 义 可 得 切 线 方 程 为 ，
1 1
再 根 据 切 线 过 点 P （ m ， m ） ， 可 得 ， 根 据 过 点 P （ m ， m ） 可 以 作 两
﹣
x 1
条 直 线 与 曲 线 g （ x ） ＝ e +1 （ ﹣ 1 ＜ x ＜ 3 ） 相 切 ， 得 到 关 于 x 的 方 程 在 （ ﹣ 1 ， 1 ） 和 （ 1 ，
3 ） 上 至 少 有 两 个 不 同 的 解 ， 构 造 函 数 ， 对 函 数 进 行 求 导 ， 利 用 导 数 得 到 函 数 的 单 调 性 ，
作 出 函 数 图 象 ， 利 用 数 形 结 合 进 行 求 解 即 可 ．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 已 知 f （ x ） ＝ x +a （ l n x +1 ） ， a ∈R ， 函 数 定 义 域 为 （ 0 ， +∞ ） ，
可 得 f ′ （ x ） ＝ 1 + ＝ ，
当 a ≥ 0 时 ， f ′ （ x ） ＞ 0 ， f （ x ） 单 调 递 增 ， 无 极 值 ；
当 a ＜ 0 时 ，
当 0 ＜ x ＜ ﹣ a 时 ， f ′ （ x ） ＜ 0 ， f （ x ） 单 调 递 减 ；
当 x ＞ ﹣ a 时 ， f ′ （ x ） ＞ 0 ， f （ x ） 单 调 递 增 ，
所 以 当 x ＝ ﹣ a 时 ， 函 数 f （ x ） 取 得 极 小 值 f （ ﹣ a ） ＝ a l n （ ﹣ a ） ， 无 极 大 值 ，
综 上 ， 当 a ≥ 0 时 ， 函 数 f （ x ） 在 定 义 域 上 单 调 递 增 ， 无 极 值 ；
第 9 9页（共 1 0 6页）当 a ＜ 0 时 ， 函 数 f （ x ） 在 （ 0 ， ﹣ a ） 上 单 调 递 减 ， 在 （ ﹣ a ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ，
函 数 极 小 值 为 a l n （ ﹣ a ） ， 无 极 大 值 ；
（ 2 ） 证 明 ： 由 （ 1 ） 知 f ′ （ x ） ＝ 1 + ＝ ，
当 a ≥ 0 时 ， f '' （ x ） ＞ 0 ， 函 数 f （ x ） 在 （ 0 ， + ∞ ） 上 单 调 递 增 ，
所 以 函 数 f （ x ） 最 多 一 个 零 点 ， 不 满 足 题 意 ；
当 a ＜ 0 时 ， 函 数 f （ x ） 在 （ 0 ， ﹣ a ） 上 单 调 递 减 ， 在 （ ﹣ a ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ，
因 为 f （ p ） ＝ f （ q ） ＝ 0 （ p ≠ q ） ，
不 妨 设 0 ＜ p ＜ ﹣ a ＜ q ，
要 证 p q ＞ 1 ，
即 证 l n p + l n q ＞ 0 ，
需 证 ，
要 证 ，
即 证 ，
令 ，
不 妨 设 ， 函 数 定 义 域 为 （ 0 ， 1 ） ，
可 得 h ′ （ t ） ＝ ﹣ ＝ ＞ 0 ，
所 以 函 数 h （ t ） 在 定 义 域 上 单 调 递 增 ，
因 为 h （ 1 ） ＝ 0 ，
所 以 ，
故 p q ＞ 1 ；
﹣
x 1
（ 3 ） 假 设 存 在 过 点 P 的 两 条 直 线 与 曲 线 g （ x ） ＝ e +1 ， （ ﹣ 1 ＜ x ＜ 3 ） 相 切 ，
设 切 点 为 Q （ x ， y ） ，
1 1
﹣
x 1
因 为 y '' ＝ e ，
所 以 切 线 的 斜 率 为 ，
第 1 0 0页（共 1 0 6页）则 切 线 方 程 为 ，
因 为 切 线 过 点 P （ m ， m ） ，
所 以 ，
即 m （ 1 ﹣ ） ＝ （ 1 ﹣ x ） +1 ， （ ﹣ 1 ＜ x ＜ 3 ） ，
1 1
此 时 关 于 x 的 方 程 至 少 有 两 个 不 同 的 解 ，
1
易 知 x ＝ 1 不 是 该 方 程 的 解 ，
1
所 以 关 于 x 的 方 程 m ＝ 在 （ ﹣ 1 ， 1 ） 和 （ 1 ， 3 ） 上 至 少 有 两 个 不 同 的 解 ，
不 妨 设 ， 函 数 定 义 域 为 （ ﹣ 1 ， 1 ） ∪ （ 1 ， 3 ） ，
可 得 ，
﹣
x 1
不 妨 设 F （ x ） ＝ e +1 ﹣ x ， 函 数 定 义 域 为 （ ﹣ 1 ， 1 ） ∪ （ 1 ， 3 ） ，
﹣
x 1
可 得 F '' （ x ） ＝ e ﹣ 1 ，
当 ﹣ 1 ＜ x ＜ 1 时 ， F '' （ x ） ＜ 0 ， F （ x ） 单 调 递 减 ；
当 1 ＜ x ＜ 3 时 ， F '' （ x ） ＞ 0 ， F （ x ） 单 调 递 增 ，
所 以 F （ x ） ＞ F （ 1 ） ＝ 0 ，
则 当 x ∈ （ ﹣ 1 ， 1 ） ∪ （ 1 ， 3 ） 时 ， k （ x ） ＞ 0 ，
函 数 k （ x ） 在 （ ﹣ 1 ， 1 ） 上 单 调 递 减 ， 在 （ 1 ， 3 ） 上 单 调 递 增 ，
又 ， ，
所 以 k （ ﹣ 1 ） ＜ k （ 3 ） ，
作 出 函 数 k （ x ） 图 象 如 下 所 示 ：
第 1 0 1页（共 1 0 6页）结 合 图 象 可 知 ： 当 ＜ m ＜ 时 ，
关 于 x 的 方 程 m ＝ 在 （ ﹣ 1 ， 1 ） 和 （ 1 ， 3 ） 上 有 两 个 不 同 的 解 ，
此 时 过 点 P 可 以 作 两 条 直 线 与 曲 线 F （ x ） 相 切 ，
故 实 数 m 的 取 值 范 围 为 （ ， ） ．
【 点 评 】 本 题 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 和 极 值 ， 考 查 了 逻 辑 推 理 、 转 化 思 想 、 分
类 讨 论 和 运 算 能 力 ．
4 9 ． 已 知 函 数 f （ x ） ＝ x l n x ﹣ a （ x ﹣ 1 ） ， 其 中 a ∈R ．
（ 1 ） 当 a ＝ 1 时 ， 求 函 数 f （ x ） 在 点 （ e ， f （ e ） ） 上 的 切 线 方 程 ． （ 其 中 e 为 自 然 对 数 的
底 数 ）
（ 2 ） 已 知 关 于 x 的 方 程 有 两 个 不 相 等 的 正 实 根 x ， x ， 且 x ＜ x ．
1 2 1 2
（ ⅰ ） 求 实 数 a 的 取 值 范 围 ；
e
（ ⅱ ） 设 k 为 大 于 1 的 常 数 ， 当 a 变 化 时 ， 若 有 最 小 值 e ， 求 k 的 值 ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 最 值 ； 利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程 ． 菁 优 网 版 权 所 有
第 1 0 2页（共 1 0 6页）【 分 析 】 （ 1 ） 对 函 数 求 导 数 ， 求 出 在 点 （ e ， f （ e ） ） 处 的 斜 率 ， 最 后 求 切 线 方 程 即 可 ；
（ 2 ） （ ⅰ ） 方 程 有 两 个 不 相 等 的 正 实 根 ， 等 价 于 函 数 的 图
象 与 直 线 y ＝ a 有 两 个 交 点 ， 利 用 函 数 导 数 求 出 极 值 ， 再 结 合 图 象 求 出 a 的 取 值 范 围 即 可 ；
（ ⅱ ） 结 合 （ ⅰ ） 及 指 对 互 化 得 ， ， 从 而 把 最 小 值 化 为
的 最 小 值 ， 多 次 构 造 函 数 ， 求 导 ， 研 究 函 数 的 单 调 性 及 最 值 ， 利 用 最 值 即 可
求 解 ．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 当 a ＝ 1 时 ， f （ x ） ＝ x l n x ﹣ （ x ﹣ 1 ） ， ∴ f ′ （ x ） ＝ l n x ，
∴ f ′ （ e ） ＝ l n e ＝ 1 ， 又 f （ e ） ＝ e ﹣ （ e ﹣ 1 ） ＝ 1 ，
∴ 函 数 f （ x ） 在 点 （ e ， f （ e ） ） 上 的 切 线 方 程 为 y ﹣ 1 ＝ x ﹣ e ， 即 x ﹣ y ﹣ e +1 ＝ 0 ；
（ 2 ） （ ⅰ ） 即 l n x ＝ a x ， 则 有 ， x ＞ 0 ，
设 ， x ＞ 0 ， 则 ， 令 F ′ （ x ） ＝ 0 ， 得 x ＝ e ，
令 F ′ （ x ） ＞ 0 ， 得 0 ＜ x ＜ e ， 令 F ′ （ x ） ＜ 0 ， 得 x ＞ e ，
∴ 函 数 在 （ 0 ， e ） 上 单 调 递 增 ， 在 （ e ， +∞ ） 上 单 调 递 减 ，
又 x 趋 向 于 0 时 ， F （ x ） 趋 向 负 无 穷 ， x 趋 向 于 正 无 穷 大 时 ， F （ x ） 无 限 趋 向 0 ， 且 ，
函 数 的 图 象 如 下 ：
由 题 意 ， 方 程 有 两 个 不 相 等 的 正 实 根 ，
即 方 程 有 两 个 不 相 等 的 正 实 根 ，
∴ 函 数 的 图 象 与 直 线 y ＝ a 有 两 个 交 点 ，
由 图 知 ， ， 故 实 数 a 的 取 值 范 围 为 ；
（ ⅱ ） ∵ F （ 1 ） ＝ 0 ， 由 （ ⅰ ） 得 1 ＜ x ＜ e ＜ x ， 则 ，
1 2
第 1 0 3页（共 1 0 6页）∴ ， 设 ， 则 ，
即 ， ，
e
由 题 意 有 最 小 值 e ， 即 有 最 小 值 e ，
设 ， t ＞ 1 ， 则 ，
记 ， 则 ，
由 于 t ＞ 1 ， k ＞ 1 ， t ∈ （ 1 ， k ） 时 ， G ′ （ t ） ＜ 0 ， 则 G （ t ） 在 （ 1 ， k ） 上 单 调 递 减 ，
t ∈ （ k ， +∞ ） 时 ， G ′ （ t ） ＞ 0 ， 则 G （ t ） 在 （ k ， + ∞ ） 上 单 调 递 增 ，
又 G （ 1 ） ＝ 0 ， G （ k ） ＜ G （ 1 ） ＝ 0 ， 且 t 趋 向 于 正 无 穷 大 时 ， 趋 向 于 正 无 穷 大 ，
故 存 在 唯 一 t ∈ （ k ， +∞ ） ， 使 得 G （ t ） ＝ 0 ，
0 0
1 ＜ t ＜ t 时 ， G （ t ） ＜ 0 ， 即 g ′ （ t ） ＜ 0 ， ∴ g （ t ） 在 （ 1 ， t ） 上 单 调 递 减 ，
0 0
t ＞ t 0 时 ， G （ t ） ＞ 0 ， 即 g ′ （ t ） ＞ 0 ， ∴ g （ t ） 在 （ t 0 ， + ∞ ） 上 单 调 递 增 ，
∴ k ＞ 1 时 ， g （ t ） 有 最 小 值 g （ t ） ，
0
而 g ′ （ t ） ＝ 0 ， 则 ， 即 ，
0
∴ ，
由 题 意 知 g （ t ） ＝ e ， 令 x ＝ l n t ，
0 0
设 ， 则 ，
﹣ ﹣
x x
设 H （ x ） ＝ （ x +2 ） e +x ﹣ 2 ， 则 H ′ （ x ） ＝ ﹣ （ x +1 ） e +1 ，
﹣ ﹣
x x
设 u （ x ） ＝ ﹣ （ x +1 ） e +1 ， 则 u ′ （ x ） ＝ x e ＞ 0 ，
故 H ′ （ x ） 在 （ 0 ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ， H ′ （ x ） ＞ H ′ （ 0 ） ＝ 0 ， 此 时 H （ x ） 在 （ 0 ，
+ ∞ ） 上 单 调 递 增 ，
有 H （ x ） ＞ H （ 0 ） ＝ 0 ， 此 时 h ′ （ x ） ＞ 0 ， 故 h （ x ） 在 （ 0 ， +∞ ） 上 单 调 递 增 ，
又 h （ 1 ） ＝ e ， 故 h （ x ） ＝ e 的 唯 一 解 是 x ＝ 1 ，
第 1 0 4页（共 1 0 6页）故 g （ t ） ＝ e 的 唯 一 解 是 l n t ＝ 1 ， 即 t ＝ e ，
0 0 0
2
综 上 所 述 ， k ＝ e ﹣ 2 e ．
【 点 评 】 本 题 主 要 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 与 最 值 ， 利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 的
切 线 方 程 ， 考 查 运 算 求 解 能 力 ， 属 于 难 题 ．
x 2
5 0 ． 已 知 函 数 f （ x ） ＝ e ﹣ m x （ m ∈R ， x ＞ 0 ） ， 其 中 e 为 自 然 对 数 的 底 数 ．
（ 1 ） 当 m ＝ 0 时 ， 设 ， 求 函 数 g （ x ） 的 极 值 ；
（ 2 ） 若 函 数 h （ x ） ＝ f '' （ x ） ﹣ 2 n s i n x 在 （ 0 ， +∞ ） 有 零 点 ， 求 证 ： ．
【 考 点 】 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 ． 菁 优 网 版 权 所 有
【 分 析 】 （ 1 ） 求 导 ， 研 究 单 调 性 、 极 值 即 可 ；
2 2
（ 2 ） 首 先 构 造 出 m + n （ 利 用 两 点 间 距 离 公 式 ） ， 借 助 点 到 直 线 距 离 公 式 进 行 放 缩 ， 再
借 助 函 数 不 等 式 放 缩 即 可 ．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 当 m ＝ 0 时 ， ， x ＞ 0 ， ， ，
当 0 ＜ x ＜ 1 时 ， g '' （ x ） ＜ 0 ， g （ x ） 单 调 递 减 ； 当 x ＞ 1 时 ， g '' （ x ） ＞ 0 ， g （ x ） 单 调 递 增 ，
故 g （ x ） ＝ g （ 1 ） ＝ e ， 无 极 大 值 ．
极小值
（ 2 ） 证 明 ： h （ x ） ＝ f '' （ x ） ﹣ 2 n s i n x 在 （ 0 ， + ∞ ） 有 零 点 ， 即 m x + n s i n x ﹣ ＝ 0 ， 此 方
程 可 以 看 作 m O n 坐 标 平 面 的 直 线 l 的 方 程 ．
则 直 线 l 上 的 任 意 一 点 （ m ， n ） 到 原 点 的 距 离 满 足 不 等 式 ： ，
则 ．
令 k （ x ） ＝ x ﹣ | s i n x | ， x ＞ 0 ，
当 0 ＜ x ≤ 1 时 ， s i n x ＞ 0 ， k （ x ） ＝ x ﹣ s i n x ， 于 是 k '' （ x ） ＝ 1 ﹣ c o s x ≥ 0 ， k （ x ） 单 调 递 增 ，
故 k （ x ） ＞ k （ 0 ） ＝ 0 ；
当 x ＞ 1 时 ， 由 于 | s i n x | ≤ 1 ， 则 k （ x ） ＞ 0 ， 故 对 任 意 的 x ＞ 0 ， 都 有 k （ x ） ＞ 0 ， 即 x ＞ | s i n x | ，
2 2
即 x ＞ s i n x ，
由 （ 1 ） 知 ： ， 故 ＞ ＝
第 1 0 5页（共 1 0 6页）．
【 点 评 】 本 题 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 、 极 值 ， 并 以 此 来 证 明 函 数 不 等 式 ， 属 于
中 档 题 ．
声 明 ： 试 题 解 析 著 作 权 属 菁 优 网 所 有 ， 未 经 书 面 同 意 ， 不 得 复 制 发 布 日 期 ： 2 0 2 3 / 8 / 2 4 2 0 : 0 1 : 5 9 ； 用 户 ： 数 学 ； 邮 箱 ： t i a n j i n 3 0 4 @ x y h . c o m ； 学 号 ： 2 7 4 2 2 6 6 3
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