2 0 2 3 — — 2 0 2 4 学 年 河 北 省 部 分 学 校 高 三 摸 底 考 试
数 学
一、选择 题： 本题共 8 小题 ，每 小题 5 分， 共 4 0 分。 在每 小题给 出的 四个选 项中，
只有 一项 是符合 题目 要求的 。
U ? A ? B ? x ? N 0 ? x ? 8 A ? e B ? 1 , 3 , 5
1 ． 已 知 全 集 ? ? ， ? ? ? ? ， 则 集 合 B 为
U
2 , 4 , 6 , 7 0 , 2 , 4 , 6 , 8 0 , 2 , 4 , 6 , 7 , 8 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8
A ． ? ? B． ? ? C． ? ? D ． ? ?
m n ? ?
2 ． 已 知 直 线 l 、 、 与 平 面 、 ， 下 列 命 题 正 确 的 是
? / / ? n ? ? ? ? ? l ? ?
A ． 若 ， l ? ? ， ， 则 l / / n B． 若 ， l ? ? ， 则
? ? ?
m ? n l ? ? l / / ?
C． 若 l ? n ， ， 则 l / / m D ． 若 ， ， 则
2
p
M n , 6 4 p
3 ． 若 抛 物 线 x ? 2 py ( p ? 0) 上 一 点 ? ? 到 焦 点 的 距 离 是 ， 则 的 值 为
1 2 7 6 7
． ． ． ．
A B C D
7 1 2 7 6
4 ． 在 党 的 二 十 大 报 告 中 ， 习 近 平 总 书 记 提 出 要 发 展 “ 高 质 量 教 育 ” ， 促 进 城 乡 教 育 均 衡 发 展 . 某 地 区
教 育 行 政 部 门 积 极 响 应 党 中 央 号 召 ， 近 期 将 安 排 甲? 乙? 丙? 丁 4 名 教 育 专 家 前 往 某 省 教 育 相 对 落
后 的 三 个 地 区 指 导 教 育 教 学 工 作 ， 则 每 个 地 区 至 少 安 排 1 名 专 家 的 概 率 为
1 4 1 8
A ． B． C． D ．
9 9 3 2 7
5 ． 蚊 香 具 有 悠 久 的 历 史 ， 我 国 蚊 香 的 发 明 与 古 人 端 午 节 的 习 俗 有 关 . 如 图 为 某 校 数 学 社 团 用 数 学 软
件 制 作 的 “ 蚊 香 ” . 画 法 如 下 ： 在 水 平 直 线 上 取 长 度 为 1 的 线 段 A B ， 作 一 个 等 边 三 角 形 A B C ， 然
后 以 点 B 为 圆 心 ， A B 为 半 径 逆 时 针 画 圆 弧 交 线 段 C B 的 延 长 线 于 点 D （ 第 一 段 圆 弧 ） ， 再 以 点 C
为 圆 心 ， C D 为 半 径 逆 时 针 画 圆 弧 交 线 段 A C 的 延 长 线 于 点 E ， 再 以 点 A 为 圆 心 ， A E 为 半 径 逆
时 针 画 圆 弧 … … 以 此 类 推 ， 当 得 到 的 “ 蚊 香 ” 恰 好 有 1 5 段 圆 弧 时 ， “ 蚊 香 ” 的 长 度 为
A ． 4 4 π B． 6 4 π C． 7 0 π D ． 8 0 π
数 学 试 题 第 1 页 （ 共 5 页 ）
{#{QQABbQQUogAIABBAAAhCEwEKCAIQkBCAACoGxAAMsAAACQNABAA=}#}2 2
m x ? n y ? 1 ? 0
6 ． 已 知 圆 C : x ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ， 直 线 ? ? 与 圆 C 交 于 A ， B 两 点 . 若 ? A B C 为 直 角 三 角
形 ， 则
2 2
A ． m n ? 0 B． m ? n ? 0 C． m ? n ? 0 D ．
m ? 3 n ? 0
3 5
7 . 现 有 甲 、 乙 两 组 数 据 ， 每 组 数 据 均 由 六 个 数 组 成 ， 其 中 甲 组 数 据 的 平 均 数 为 ， 方 差 为 ， 乙 组
数 据 的 平 均 数 为 5 ， 方 差 为 3 ． 若 将 这 两 组 数 据 混 合 成 一 组 ， 则 新 的 一 组 数 据 的 方 差 为
A ． 3.5 B． C． 4.5 D ． 5
4
8 ． “ 曼 哈 顿 距 离 ” 是 十 九 世 纪 的 赫 尔 曼 ? 闵 可 夫 斯 基 所 创 词 汇 ， 定 义 如 下 ： 在 直 角 坐 标 平 面 上 任 意 两
2 2
A x , y , B x , y d A , B ? x ? x ? y ? y
点 ? ? ? ? 的 曼 哈 顿 距 离 为 ： ? ? . 已 知 点 M 在 圆 O : x ? y ? 1 上 ，
1 1 2 2 1 2 1 2
l : 3 x ? y ? 9 ? 0 d M , N
点 N 在 直 线 上 ， 则 ? ? 的 最 小 值 为
9 10 9 10 1 8 ? 2 1 0 1 0
A ． B． ? 1 C． D ． 3 ?
10 10 5 3
二、选择 题： 本题共 3 小题 ，每 小题 6 分， 共 1 8 分， 在每 小题给 出的 选项中 ，有多
项符 合题 目要求 。全 部选对 的得 6 分， 部分 选对得 部分 分，有 选错的 得 0 分。
Q
P ? x ∣ 0 ? x ? 4 , Q ? y ∣ 0 ? y ? 4 P
9 ． 设 集 合 ? ? ? ? ， 则 下 列 图 象 能 表 示 集 合 到 集 合 的 函 数 关 系 的 有
A ． B ． C． D ．
8
1
? ?
3
1 0 ． 已 知 二 项 展 开 式 f x ? x ? ， 下 列 说 法 正 确 的 有
? ?
? ?
x
? ?
f ? x ? f ? x ? 0
A ． 的 展 开 式 中 的 常 数 项 是 5 6 B ． 的 展 开 式 中 的 各 项 系 数 之 和 为
f x f i ? ? 1 6
C ． ? ? 的 展 开 式 中 的 二 项 式 系 数 最 大 值 是 7 0 D ． ? ? ， 其 中 i 为 虚 数 单 位
A ? nB n ? N
1 1 ． 在 ? A B C 中 ， 若 ? ? ， 则
A ． 对 任 意 的 n ? 2 ， 都 有 s i n A ? n s i n B B ． 对 任 意 的 n ? 2 ， 都 有 t a n A ? n t a n B
n n
C ． 存 在 ， 使 s i n A ? n s i n B 成 立 D ． 存 在 ， 使 t a n A ? n t a n B 成 立
数 学 试 题 第 2 页 （ 共 5 页 ）
{#{QQABbQQUogAIABBAAAhCEwEKCAIQkBCAACoGxAAMsAAACQNABAA=}#}三、 填空 题：本 题共 3 小题 ，每 小题 5 分， 共 1 5 分。
? ?
?
? ?
?
2 a ? b ? 3 a ? b ?
1 2 ． 已 知 单 位 向 量 a , b 满 足 ， 则 .
d S , T ? P Q P ? S , Q ? T P Q
1 3 ． 定 义 两 个 点 集 S 、 T 之 间 的 距 离 集 为 ? ? ， 其 中 表 示 两 点 P 、 Q 之
? ?
2
S ? x , y y ? k x ? t , x ? R T ? x , y y ? 4 x ? 1 , x ? R
间 的 距 离 ， 已 知 k 、 t ? R ， ? ? ， ? ? ， 若
? ?
? ?
d S , T ? 1 , ? ?
? ? ? ? ， 则 t 的 值 为 .
3
2
?
P 1 , 0
C : y ? x ? ? l A B A
1 4 ． 已 知 ， 过 点 倾 斜 角 为 60 的 直 线 交 C 于 、 两 点 （ 在 第 一 象 限 内 ） ， 过
2
x
点 A 作 A D ? x 轴 ， 垂 足 为 ， 现 将 C 所 在 平 面 以 轴 为 翻 折 轴 向 纸 面 外 翻 折 ， 使 得
D
2 π
? x ? x ?
， 则 几 何 体 P A B D 外 接 球 的 表 面 积 为 .
上 平 面 下 平 面
3
四、 解答 题 ： 本题 共 5 小题 ， 共 7 7 分。 解答 应写 出文字 说明、 证明 过程 或演算 步骤 。
1 5 ． （ 1 3 分 ）
f x ? a l n x ? x
已 知 函 数 ? ? ．
f x
（ 1 ） 当 a ? 1 时 ， 求 函 数 ? ? 的 单 调 区 间 ；
f x
a ? 0 ? ?
（ 2 ） 当 时 ， 求 函 数 的 最 大 值 ．
1 6 ． （ 1 5 分 ）
? ?
S
? ? 1 1
n
n
S a
设 为 数 列 ? ? 的 前 项 和 ， 已 知 是 首 项 为 、 公 差 为 的 等 差 数 列 .
n ? ?
n
2
n n ? 1 3
? ?
? ?
? ?
a
（ 1 ） 求 ? ? 的 通 项 公 式 ；
n
n n
? 2 n ? 1 ? a
6 ? 1
n
b ? T b n T ?
（ 2 ） 令 ， 为 数 列 ? ? 的 前 项 积 ， 证 明 ： .
n n
n ? i
S
5
n
i ? 1
1 7 ． （ 1 5 分 ）
p ( 0 ? p ? 1 )
最 新 研 发 的 某 产 品 每 次 试 验 结 果 为 成 功 或 不 成 功 ， 且 每 次 试 验 的 成 功 概 率 为 ． 现 对
该 产 品 进 行 独 立 重 复 试 验 ， 若 试 验 成 功 ， 则 试 验 结 束 ； 若 试 验 不 成 功 ， 则 继 续 试 验 ， 且 最 多 试
E X
验 8 次 ． 记 X 为 试 验 结 束 时 所 进 行 的 试 验 次 数 ， X 的 数 学 期 望 为 ? ? ．
数 学 试 题 第 3 页 （ 共 5 页 ）
{#{QQABbQQUogAIABBAAAhCEwEKCAIQkBCAACoGxAAMsAAACQNABAA=}#}1
E X ?
（ 1 ） 证 明 ： ? ? ；
p
p ? 0 . 2 a ( a ? 0)
（ 2 ） 某 公 司 意 向 投 资 该 产 品 ， 若 ， 每 次 试 验 的 成 本 为 元 ， 若 试 验 成 功 则 获
利 8 a 元 ， 则 该 公 司 应 如 何 决 策 投 资 ？ 请 说 明 理 由 ．
1 8 ． （ 1 7 分 ）
2 2
x y 1
b ? 0 F F F
已 知 椭 圆 C ： ? ? 1 （ a ? 0 ， ） 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 、 ， 离 心 率 为 ， 经 过 点
2
1 1
2 2
2
a b
?
? ?
x
? 0 ? ? ? △ A B F
且 倾 斜 角 为 的 直 线 l 与 椭 圆 交 于 A 、 B 两 点 （ 其 中 点 A 在 轴 上 方 ） ， 的 周
? ? 2
2
? ?
长 为 8 ．
（ 1 ） 求 椭 圆 C 的 标 准 方 程 ；
y y
x O y x x A F F
（ 2 ） 如 图 ， 将 平 面 沿 轴 折 叠 ， 使 轴 正 半 轴 和 轴 所 确 定 的 半 平 面 （ 平 面 ） 与
1 2
x
B F F
轴 负 半 轴 和 轴 所 确 定 的 半 平 面 （ 平 面 ） 互 相 垂 直 ．
1 2
?
? ? A F B F
① 若 ， 求 异 面 直 线 和 所 成 角 的 余 弦 值 ；
1 2
3
?
? ? 1 5
? 0 ? ? ? △ A B F
② 是 否 存 在 ， 使 得 折 叠 后 的 周 长 为 ？ 若 存 在 ， 求 t a n ? 的 值 ； 若 不
? ? 2
2
? ? 2
存 在 ， 请 说 明 理 由 ．
数 学 试 题 第 4 页 （ 共 5 页 ）
{#{QQABbQQUogAIABBAAAhCEwEKCAIQkBCAACoGxAAMsAAACQNABAA=}#}1 9 ． （ 1 7 分 ）
h x h x ? 2 π ? h x ? h 2 π
已 知 定 义 域 为 R 的 函 数 ? ? 满 足 ： 对 于 任 意 的 x ?R ， 都 有 ? ? ? ? ? ? ， 则 称 函 数
h ? x ? P
具 有 性 质 .
f x ? 2 x , g x ? c o s x
（ 1 ） 判 断 函 数 ? ? ? ? 是 否 具 有 性 质 P ； （ 直 接 写 出 结 论 ）
3 5 π
? ?
? , ?
f x ? s i n ? x ? ? ? ? ? , ? ? f x
（ 2 ） 已 知 函 数 ? ? ? ? ， 判 断 是 否 存 在 ， 使 函 数 ? ? 具 有
? ?
2 2 2
? ?
? , ?
P
性 质 ？ 若 存 在 ， 求 出 的 值 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理 由 ；
f x 0 , 2 π ? f 0 , f 2 π ?
（ 3 ） 设 函 数 ? ? 具 有 性 质 P ， 且 在 区 间 ? ? 上 的 值 域 为 ? ? ? ? .
? ?
g x ? s i n f x g x ? 2 π ? g x 0 , 2 π
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
函 数 ? ? ， 满 足 ， 且 在 区 间 上 有 且 只 有 一 个 零 点 .
f ? 2 π ? ? 2 π
求 证 ： .
数 学 试 题 第 5 页 （ 共 5 页 ）
{#{QQABbQQUogAIABBAAAhCEwEKCAIQkBCAACoGxAAMsAAACQNABAA=}#} |
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