二次函数中的线段、面积问题类型1 二次函数中的线段问题例1 一题多问如图（1），抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，
作直线 ，点 是直线 上方的抛物线上一动点，过点 作 轴的平行线，交直线 于点 ，交 轴于点 ，设点 的
横坐标为 .?图（1）（1）用含 的代数式表示 的长，并求 长的最大值.??[答案] 易求直线 的表达式为 .
点 的横坐标为 ， 轴， ， ， ，当 时， 的长最大，最大值为2.?（2）当 时，直接写出 的
值.[答案] .?（3）过点 作 于点 ,求 周长的最大值.?[答案] 易知 ， ， 的周长 ，
当 的长最大时， 的周长最大，最大值为 .?提分技法解决二次函数中线段长的最大值问题的方法方法一（利用二次函数的性质
求解）:1.找出与所求线段密切相关的“横平竖直”的线段，并求出两者的数量关系（若图中未给出这样的“横平竖直”的线段，则需要作辅助线
）；2.设出未知数（通常设一个与所求线段密切相关的点的横坐标）；3.用含未知数的代数式表示出“横平竖直”的线段的长，继而表示出所求
线段的长；4.利用二次函数的性质求最值.?方法二（利用函数与方程的关系求解）:1.过所求线段在抛物线上运动的端点作另一端点所在直线
（记为已知直线）的平行线，记为直线 ；2.设出直线 的表达式，并与抛物线的表达式联立，根据直线 与抛物线有且只有一个交点
时直线 与已知直线的距离最大，可求得直线 的表达式；3.利用题中条件求直线 与已知直线的距离，即可求得所求线段的最大值.
解决二次函数中图形周长最大问题的方法解决此类问题时，应利用转化思想,即先观察图形,结合题目弄清楚图形各边与其中一边（一般为“横平竖
直”的边）的数量关系，再求周长与该“横平竖直”的边的数量关系，即将求周长的最大值问题转化为求线段长的最大值问题.?（4）如图（2）
，连接 交直线 于点 ，求 的最大值.图（2）?[答案] 易求 .过点 作 轴，交 于点 ，则 .易证
， ,又 , 当 时， 取得最大值， 的最大值为 .（5）如图（3），点 为直线 上一动点，连接
， ，求 的最小值.?[答案] 作点 关于直线 的对称点 ,则点 的坐标为 .连接 交 于点 ，当点
与点 重合时， 的值最小，最小值为 的长，此时 .?图（3）类型2 二次函数中的面积问题?例2 一题多问 如图（1）
，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ,直线 经过点 ，交 轴于点 ,且与抛物线交于另一点 ，点
是直线 上方的抛物线上的一动点，连接 ， ，设点 的横坐标为 .图（1）（1）点 的坐标为_ _____,点
的坐标为_________.?? ? （2）求 面积的最大值.??[答案] 方法一：过点 作 轴，交直线 于点
，则 . , 的最大值为27.?方法二：过点 作直线 ，当直线 与抛物线有一个公共点时，点 到直线 的距离
最大，即 最大.设此时直线 的表达式为 ，直线 与 轴的交点为 ，则方程 有两个相等的实数根，据此求得 的值为
6， , 的最大值为 .?提分技法求二次函数中三角形面积最大值问题的常见方法方法一：设动顶点的横坐标为 ,用含 的
代数式表示出三角形的面积，再利用二次函数的性质求三角形面积的最大值.方法二：找到所求三角形三边中的定边，过动顶点作平行于这条定边的
平行线，当平行线和抛物线有且只有一个交点时，三角形的面积最大.?三角形面积最大值问题的相关结论本例中， 取得最大值时，点 的位
置和点 ， 关系密切.当点 的横坐标与线段 中点的横坐标相同，即 时， 最大.（3）连接 ，当 时，求点
的横坐标.??[答案] 过点 作直线 的平行线，交抛物线于点 ， ，当点 与点 或 重合时， .易求直线 的
表达式为 .令 ,解得 ，故符合题意的点 的横坐标为 .（4）如图（2），连接 , ，过点 作 轴的平行线
，分别交折线 、线段 于点 ， ，当 的面积被直线 分为 的两部分时，求点 的横坐标.?图（2）?[答案]
易求 ,则 .易求直线 的表达式为 ,直线 的表达式为 .当直线 在 轴左侧时， , ， .当直线
在 轴右侧时， , ， .强化训练?1.[2023重庆B卷中考改编] 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴
交于点 ， ，与 轴交于点 ，其中 ， ．（1）求该抛物线的表达式；?[答案] 将点 ， 分别代入 ，得
解得 该抛物线的表达式为 .（2）点 是直线 下方抛物线上一动点，过点 作 于点 ，求 的最大值及此
时点 的坐标.?[答案] 抛物线 与 轴交于点 ， ，令 ，即 ，解得 , ， .?又 ,
直线 的表达式为 .如图，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，?设 ， ，则 ， . ，
， . , ，?? ， ， . ， 当 时， 取得最大值 ，此时， ， .?2.如图
，抛物线 与 轴交于 , 两点，与 轴交于点 ，直线 过 , 两点.（1）求抛物线的表达式；?[答案]
直线 与 轴和 轴分别交于点 和点 , 点 的坐标为 ,点 的坐标为 .把 , 分别代入 ,得
解得 抛物线的表达式为 .?（2）点 是抛物线上的一点,点 为抛物线上位于直线 上方的一点，过点 作
轴交直线 于点 ，点 为抛物线对称轴上一动点，当线段 的长度最大时，求 的最小值.[答案] 设点 的坐标为 ,
则点 的坐标为 , .?? , ,? 当 时,线段 的长度最大,此时，点 的坐标为 . 点 ,
均在抛物线上， 点 和点 关于抛物线的对称轴对称.如图，连接 ，则 与抛物线的对称轴的交点即为 的值最小时点
的位置,易知 , ,即 的最小值为 的长.?连接 交直线 于点 ,则 ,点 的坐标为 , ,
, , 的最小值为 .??3.[2023安徽] 在平面直角坐标系中,点 是坐标原点,抛物线 经过点 ,对称轴
为直线 .（1）求 , 的值.??[答案] 抛物线的对称轴为直线 ， ， .将 代入 ,得 ,解
得 ， .（2）已知点 , 在抛物线上,点 的横坐标为 ,点 的横坐标为 .过点 作 轴的垂线交直线 于
点 ,过点 作 轴的垂线交直线 于点 .?（i）当 时,求 与 的面积之和.??[答案] 如图（1），易知直线
的表达式为 .由题意可知 , , , , ， ， , , .（ii）在抛物线对称轴右侧,是否存
在点 ,使得以 , , , 为顶点的四边形的面积为 ?若存在,请求出点 的横坐标 的值;若不存在,请说明理由.
?[答案] 存在.过点 作 于点 ，则 .分以下2种情况讨论.①当 时，如图（2），易知四边形 为梯形，此时 ， ， ，?? .令 ，解得 .图（2）②当 时，如图（3），易知四边形 为梯形，?图（3）?此时 ， ， ，? .令 ，解得 （舍去）， （舍去）.综上所述， 的值为 .作业：?? 完成练习册相关习题 |
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