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常州市联盟学校 2023—2024学年度第一学期学情调研
高三年级数学答案
选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
一、
目要求的．
1．A 2．B 3．C 4．B 5.C 6. D 7. A 8．A
二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．BC 10. AC 11．AD 12.BCD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
7
3
13. 60 14． 2,7 15． 16．(1) 3 (2)
? ?
25
2
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1
? ?
x?a ?2 x?a 3
17. （1） ，
A ? x | ? 3 ? 27 ? x | 3 ? 3 ? 3 ? x | a ? 2 ? x ? a ? 3
? ? ? ?
? ?
9
? ?
A ? (a ? 2, a ? 3]
a ? 2
即 .当 时， = (0,5], ……………………2分
2 2
由 ，得 ，解得 ，即 ………………………4分
0 ? 3x ? 2 ?1
log (3x ? 2) ? 0, ? x ?1 B ? ( ,1]
1
3 3
3
2
? ?
2
e B ? A ? 0, ? 1,5
? = ] ∪ (1, + ∞)∴? ? ? ? .……………………6分
(?∞,
U ?
?
3 3
? ?
x? B x? A B A
（2）由 是 的充分不必要条件，可知集合 是集合 的真子集.
? 2
a ? 2 ?
?
3 ,
所以 ? （且两等号不能同时成立），………………………………………………8分
?
a ? 3 ?1
?
8
?2 ? a ?
解得 ，
3
8
? ?
?2,
经检验符合集合 B是集合 A的真子集，所以 a的取值范围是 . ………10分
? ?
3
? ?
18. ∵f(x)为定义在 R 上的偶函数，∴f(-1)=f(1)
解得 k=1 ……………………3分
???
???
= (2 + 2 ) = = ??(??)
当 k=1时， ( ) , (??? ) (2 + 2 ) ，
2 2
f(x)为偶函数符合条件 ∴ k=1 ……………………………………………….…6分
[0, + ∞)
（2） ( )在（?∞，0]上单调减，在 上单调增……………………...…8分
> ??? > ??( ) ∴ >
(2???1 ) ( + 1) (|2???1 |) | + 1| |2???1 | | + 1|
解得 x<0或 x>2
(?∞,0) ∪ (2, + ∞)
∴不等式解集为 ……………………………………………..…12分
2
2ax ? (1? 2a)x ?1 (2ax ?1)(x ?1)
19. (1) ? x ? 0 ? f ?(x) ? ? ，
x x
1 1
x ? f ?( ) ? 0
因为 是函数 f (x)的极值点，所以 ，解得 a ? ?1，……………………3分
2 2
经检验， a ? ?1符合题意，故 a ? ?1． …………………4分 2
2ax ? (1? 2a)x ?1 (2ax ?1)(x ?1)
?
(2) ? x ? 0 ? f (x) ? ? ，
x x
? ?
当 a ? 0时，当 0 ? x ? 1时 f (x) ? 0，当 x ?1时 f (x) ? 0，
f (x)
所以 在 (0,1)上单调递减，在 (1, ??)上单调递增； ……………………………6分
1
当 时，令 f ?(x) ? 0，解得 x ? ? 或 x ? 1，
a ? 0
2a
1 1
当 时，
? ?1，即a ? ?
2a 2
1 1
f ?(x) ? 0 f ?(x) ? 0
因为当 ? ? x ?1时 ，当 0 ? x ? ? 或 x ?1时
2a 2a
?
f (x) ? 0，
1 1
? ? ? ?
所以 在 0, ? 上单调递减，在 ? ,1 上单调递增，在 上单调递减．………8分
f (x) 1, ??
? ?
? ? ? ?
2a 2a
? ? ? ?
1 1
当 ? ?1，即? ? a ? 0时，
2a 2
1 1
? ?
因为当1 ? x ? ? 时 f (x) ? 0 f (x) ? 0，当 0 ? x ?1或 x ? ? 时
2a 2a
?
f (x) ? 0，
1
? ?
1
? ?
所以 f (x)在 0,1 上单调递减，在 1,? 上单调递增，在 上单调递减．………10分
? ? ? , ??
? ?
? ?
2a
? ? 2a
? ?
1 1
?
当 ? ?1，即a ? ? 时，当? x ? 0时， f (x) ? 0
2a 2
所以 在 0, ?? 上单调递减 ………………11 分
f (x) ? ?
f (x) (0,1)
综上，当 a ? 0时 在 上单调递减，在 (1, ??)上单调递增；
1 1
? ?
1
? ?
当 ? ? a ? 0时， 在 0,1 上单调递减，在 1,? 上单调递增，在 上单调递减；
f (x) ? ?
? , ??
? ?
? ?
2 2a 2a
? ? ? ?
1
f (x)
当 a ? ? 时， 在 0, ?? 上单调递减；
? ?
2
1 1 1
? ? ? ?
当 a ? ? 时， 在 0, ? 上单调递减，在 ? ,1 上单调递增，在 上单调递减．
f (x) 1, ??
? ?
? ? ? ?
2 2a 2a
? ? ? ?
……12分
20. （1）连结 AC交 BD于 O，连结 MO.
∵PA//平面 MBD????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
?
PA 平面 PAC
平面 PAC ∩平面 PBD=MO ∴PA//MO…………………………..3分
2 2
∴ = = 由 △ ～△ 可得 = ,∴CD=1……………….4分
1 1
2 2 2
2 2
（2）由题意可求得 = ,???? = ,???? = 2， + = ，
z
∴BD⊥AD……………………….5分
又∵ 平面 PAD⊥平面 ABCD
P
M
平面 PAD∩平面 ABCD=AD
C
D
y
?
BD 平面 ABCD
∴B3D⊥平面 PAD………………………………………7分
A
B
?
PA 平面 PAD
x
∴BD⊥PA,又∵PA⊥PD,PD ?平面 PBD, BD ?平面 PBD,PD∩BD=D
∴PA⊥平面 PBD……………………………………………8 分
（3）取 AB中点 E，以 DE为 x轴，DC为轴，过 D作 z轴⊥底面 ABCD
∴A(1,-1,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)
取 AD中点 F，∵△PAD为正三角形
∴PE⊥AD，又∵ 平面 PAD⊥平面 ABCD
平面 PAD∩平面 ABCD=AD
1 1
2
PE ?平面 APD ∴PE⊥平面 ABCD ∴P( ，? ， ),
2 2
2
? = 0
设 = (??,??,??) 为平面 PBC的一个法向量，
? = 0
2
解得 = (0, ,3)为平面 PBC的一个法向量………………………………………10分
1 1
2 22
2
= ( ,? , ), = | < , | =
2 2
2 11
22
2
∴PA PBC ……………………………………….12
与平面 所成角的正弦值为 分
11
21.（1） 的可能取值为 ，
则 ；
；
，…………………………………………………3分
0 1的分布列为：
．……………………………………………4分
（2）由（1）知 ，……………………………………………………………5分
经过两轮比赛，甲累计得分低于乙累计得分有两种情况：
一是甲两轮得分都为 ；二是两轮中甲有一轮得 0分，另一轮得 分，
则 ．………………………………………………7分
经过三轮比赛，甲累计得分低于乙累计得分有四种情况：
三轮中甲得分都为 ；三轮中甲有两轮得 分，另一轮得 0分；
三轮中甲有一轮得 分，另两轮得 0分；三轮中甲有两轮得 分，另一轮得 1分，
则 ，………………9分
由题意，点 均在函数 的图象上，
则 ，解得： ， ， ．……………………12分
x x
22. （1）由 可得 ? ，…………1分
f x ? e ? (a ?1)x ? cosx ? 2 f x ? e ? (a ?1) ? sin x
? ? ? ?
0 0
此时切线斜率为 ? ，而 ；…………3分
f 0 ? e ? a ?1? sin 0 ? a f 0 ? e ? 0 ? cos0 ? 2 ? 0
? ? ? ?
所以切线方程为 y ? 0 ? a x ? 0 ，即 y ? ax；
? ?
即曲线 y ? f x 在点 处的切线方程为 y ? ax； …………4分
? ? 0, f ?0?
? ?
f ? x? ?0, ?? ?
（2）根据题意，若 在 上单调递增，
x x
即可得 在 上恒成立，即 恒成立；…………5分
f ? x ? e ? a ?1? sin x ? 0 0,?? a ?1 ? sin x ? e
? ? ? ?
x x
令 ，则 ? ；
g x ? sin x ? e , x ? 0, ?? g x ? cos x ? e , x ? 0, ??
? ? ? ? ? ? ? ?x
x 0
e
显然 在 上满足 e ? e ?1，而 恒成立，
x ? 0, ?? cos x ?1
? ?
x
所以 ? 在 上恒成立；
g ? x? ? cos x ? e ? 0 x ??0, ???
x
即 在 单调递减， …………6分
g x ? sin x ? e x ? 0, ??
? ? ? ?
所以 ；所以 即可；
g x ? g 0 ? ?1 a ?1 ? ?1
? ? ? ?
a
所以实数 的取值范围为 . …………8分
0, ??
? ?
x
x
（3）令 ，即可得 e ? cosx ? (1? a)x ? 2；
f ? x? ? e ? (a ?1)x ? cosx ? 2 ? 0,(a ? 0)
x x
构造函数 ， ，易知 ? 在 上恒成立，
h? x? ? e ? cosx x ??0, ??? h ? x? ? e ? sin x ? 0 ?0,?? ?
即 在 上单调递增，如下图中实曲线所示：
h? x? 0,??
? ?
0
又函数 恒过 ，且 ，
y ? (1? a)x ? 2 0, 2 h 0 ? e ? cos0=2
? ? ? ?
x
0
易知 ，所以函数 在 处的切线
h? 0 ? e ? sin 0 ?1 h x ? e ? cosx 0, 2
? ? ? ? ? ?
y ? (1? a)x ? 2
方程为 ；
y ? x ? 2
又 ，所以 y ? (1? a)x ? 2（图中虚线）在 范围内
a ? 0,?1? a ?1 ?0,?? ?
恒在 （图中实直线）的上方；
y ? x ? 2
x
所以由图易知 与 在 范围内仅有
y ? (1? a)x ? 2 h x ? e ? cosx 0,??
? ? ? ?
一个交点，
即函数 在 内仅有一个零点. …………12分
f ? x? ?0,?? ? |
|
