中考总复习-几何模型专题四 与圆有关的模型4.1 “隐圆”模型 在辅助圆问题中,我们了解了求关于动点最值问题的方式之一---求出动点轨迹,即可求出关于动点的最值. 本节课我们继续讨论另一类动点引发的最值问题,在此类题目中,题目或许先描述的是动点P,但最终问题问的可以是另一点Q,当然P、Q之间存在某种联系,从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值,为常规思路.定点定长型定边对定角定角夹定高四点共圆条件：OA=OB=OC结论：A、B、C,在以O为圆心,OA为半径的圆上.到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆；有几个点到同一个点的距离相等时,这儿就隐藏着一个圆,要想到构造圆.【例1】如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,若∠CAD=50o,则∠CBD=_____.25o定点定长型定边对定角定角夹定高四点共圆原理：弦AB所对同侧圆周角相等.条件：固定线段AB所对动角∠P为定值.备注：点P在优弧,劣弧上皆可.结论：点P运动轨迹为过A,B,P三点的圆.定边对定角：固定的线段对应的角度固定叫定边对定角,也叫定弦定角,那么这个角的顶点轨迹为圆(一部分)．(1)如图,在⊙O中,若弦AB长度固定,则弦AB所对的圆周角都相等；(2)有一固定线段AB及线段AB所对的∠P大小固定,根据圆的知识可知P点并不是唯一固定的点,至于点C是优弧还是劣弧取决于∠P的大小,小于90o,则P在优弧上运动；等于90o,则P在半圆上运动；大于90o则P在劣弧上运动.【例2-1】如图,AC为边长为4的菱形ABCD的对角线,∠ABC=60o.点M和N分别从点B、C同时出发,以相同的速度沿BC、CA运动.连接AM和BN,交于点P,则PC长的最小值为_____.如图,∠AOB=45o,边OA、OB上分别有两个动点C、D,连接CD,以CD为 直角边作等腰Rt△CDE,且CD=CE,当CD长保持不变且等于2cm时,则OE长的最大值为________cm.条件：AB为定线段(即直径),线段AB外一点C与A,B两端形成的张角为直角(即∠ACB=90o),结论：点C在以AB为直径的圆上运动. (不与A,B重合).定边对直角【例2-2】在正方形ABCD中,AD=2,E,F分别为边DC,CB上的点,且始终保持DE=CF,连接AE和DF交于点P,则线段CP的最小值为_____3.如图,已知在Rt△ABC中,AC＝5,BC＝12,∠ACB＝90o,P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点,且∠CPQ＝90o,求线段CQ的取值范围____________.4.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BD⊥DC,若AD=2,BC=4,则四边形ABCD面积的最大值是___.6定点定长型定边对定角定角夹定高四点共圆【题型背景】在一些最值问题中,给定一个角,并且过定角的顶点作对边的垂线为定值时,也存在最值问题,面对这种问题我们借助“隐圆”进行说明:我们称这种问题为:“定角夹定高”模型也成“探照灯”模型.主要解决：(1)线段最短问题；(2)面积最小问题.【模型】如右图所示,在△ABC中,∠BAC=α为定值,AD为BC边上的高,且AD=h为定值,则底边BC存在最小值,△ABC的面积存在最小值.αE【解题突破点】1.找出“隐圆”---三角形外接圆； 2.定高过外心(半径+弦心距)≥定高.证明：作△ABC的外接圆,圆心为O,连接AO,BO,CO,作OE⊥E.易得∠BOE=α,则OE=r·cosα.∵OA+OE≥AD,∴r+r·cosα≥h.【例3】如图,在△ABC中,∠BAC=60o,BC边上的高AD为3,则BC的最小值为___.60oE解:作△ABC的外接圆,连接OA,OB,OC, 设半径为r,则∠BOC=2∠A=2×60=120o∵OB=OC.∴∠BOE=60o.∴OE=0.5r.由垂线段最短可知：OA+OE≥AD作OE⊥BC于点E.6定点定长型定边对定角定角夹定高四点共圆(i)如图1,2,Rt△ABC和Rt△ABD共斜边,取AB中点O,根据直角三角形斜边中线等于斜边一半,可得：OC=OD=OA=OB,∴A,B,C,D四点共圆；(ⅱ)圆内接四边形对角互补,若满足其中一组对角角度之和等于180o,可考虑作它的外接圆解题.如图3,4,四边形ABCD中,满足∠ABC+∠ADC=180o,∴四边形ABCD的外接圆为⊙O,圆心O为任意一组邻边的垂直平分线的交点．四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等,完成角度等量关系的转化,是证明角度相等重要的途径之一.对角互补型同侧等角型【例4-1】如图,在四边形ABCD中,∠B=60o,∠D=120o,BC=CD=a,则AB-AD=____.E120oaa 【例4-2】如图,△ABD,△AEC都是等腰三角形,AB=AD,AE=AC,AC＞AB∠BAD=∠EAC=α,连接CD,BE交于点P,连接AP.(1)求∠BPD的度数(用含α的代数式表示)；(2)求证：∠APD=∠ABD.(3)PA平分∠DPE.FE(3)①利用全等三角形对应边上的高相等得OE=OF； ②在利用到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.(1)(2)利用四点共圆求解隐圆模型1.定点定长型2.定边对定角3.定角夹定高4.四点共圆型口诀：定点定长圆周走,定线定角双弧跑； 三点必有外接圆,对角互补也共圆.
1.如图,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44o,则∠CAD=____.2.如图,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距离相等,若∠ABC=40o,则∠ADC的度数是______.88o定点定长型定点定长型140o3.如图,在△ABC中,∠ACB=90o,O是AB的中点,将OB绕点O顺时针旋转α(0o＜α＜180o)得到OP,连接AP.若∠BAC=20o,当△ACP为等腰三角形时，α的值为________________.40o或70o或100o定点定长型4.如图,在正△ABC中,AB=2,若P为△ABC内一动点,且满足∠APC=150o,则线段PB长度的最小值为_______.5.如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且AP⊥BP,则线段CP长的最小值为____.PP2定边对定角定边对直角6.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90o,E为对角线AC的中点,连接BE,ED,BD.若∠BAD=58o,则∠EBD的度数为_____度．7.如图,∠AOB=60o,OA=OB,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC为边在右侧作等边△ACD,连接BD,则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.平行,相交或垂直32 A 60o60o60o60o60o四点共圆-对角互补1.点P在在等腰三角形ABC的外部,且AP=AB=AC,∠A=72o,那么∠BPC的度数为__________.?2.如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD=2,BC=1,AB∥CD,则BD=_____.36o或144oP1P2E定点定长型定点定长型3.如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是_____.H′EFG定边对直角4.点E在边长为4的正方形ABCD的边BC上,点F在边CD上,∠EAF=45o,则△AEF面积的最小值为_________.F′H定角夹定高5.如图,半径为2cm,圆心角为90o的扇形OAB的弧AB上有一动点P,从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H,设△OPH的内心为I,当点P在弧AB上从点A运动到点B时,内心I所经过的路径长为___________.定角夹定高6.如图,已知以AB为直径的⊙O,C为弧AB的中点,P为弧BC上任意一点，CD⊥CP交AP于D,连接BD,若AB=6,则BD的最小值为_______.定角夹定高7.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,连接EF. 求证：∠AEF=∠C.利用AEDF四点共圆证明∠1=∠2∵∠2+∠3=90o，∠B+∠3=90o.∴∠1=∠B又∵∠BAC=∠BAC∴∠AEF=∠C132四点共圆-对角互补8.如图,E是正方形ABCD的边BC反向延长线上的一点,∠AEF=90o,且EF交正方形外角的平分线CM的反向延长线于点F.求证：AE=EF.方法一：延长AB至G,使BG=BE,连接EG, 证△AEG≌△EFG得AE=EF.方法二：连接AC,AF,得∠ACF=∠AEF=90o, ∴A、E、F、C四点共圆. G∴∠EAF=∠ECF=45o∴∠EAF=∠EFA=45o∴AE=EF四点共圆-对角互补9.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=CD=4,AD∥BC,∠B=60o,点E、F分别为边BC、CD上两个动点,且∠EAF=60o,则△AEF的面积是否存在最小值?若存在,求出其最小值；若不存在,请说明理由.【简答】将△ADF绕点A顺时针旋转120o,得△ABF′,则∠EAF′=60o,易证△AEF′≌△AEF,作△AEF′的外接圆⊙O,作OH⊥BC于点H,AG⊥BC于点G,则∠F′OH=60o,设⊙O的半径为r,则OH=0.5OF=0.5r.∵OA+OH≥AG,GHF′定角夹定高F′45oH10.在四边形ABCD中,∠BAD=45o,∠B=∠D=90o,CB=CD=,点E、F分别为AB、AD上的点,若保持CE⊥CF,那么四边形AECF的面积是否存在最大值,若存在,求出面积的最大值；若不存在,请说明理由. 定角夹定高 |
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