初 中 数 学 （ 公 式 及 性 质 版 ）
1． 乘法 与因 式分解
2 2 2 2 2 2 2 3 3
①( a＋b) ( a－b) ＝a －b ；②( a± b) ＝a ± 2ab＋b ；③( a＋b) ( a －ab＋b ) ＝a ＋b ；
2 2 3 3 2 2 2 2 2
④( a－b) ( a ＋ab＋b ) ＝a －b ；a ＋b ＝( a＋b) －2ab；( a－b) ＝( a＋b) －4ab。
2． 幂的 运算 性质
n
a
a
m n m + n m n m - n m n m n n n n n
①a × a ＝a ；②a ÷ a ＝a ；③( a ) ＝a ；④( ab) ＝a b ；⑤( ) ＝ ；
n
b
b
1
- n - n n 0
⑥a ＝ ，特别：( ) ＝( ) ；⑦a ＝1( a≠ 0) 。
n
a
3．二次根式
2
①( ) ＝a( a≥ 0) ；② ＝丨a丨；③ ＝ × ；④ ＝ ( a＞0，b≥ 0) 。
4． 三角 不等 式
| a | - | b | ≤ | a ± b | ≤ | a | + | b | （ 定 理 ） ；
加强条件： | | a |- | b | | ≤ | a ± b|≤ | a |+ | b | 也成立， 这个不等式也 可称为向量的三角不等式 （其中 a ， b 分别
为向量 a 和向量 b）
| a + b| ≤ | a | + | b | ；| a - b| ≤ | a | + | b | ；| a | ≤ b< = > - b ≤ a ≤ b ；
| a - b| ≥ | a | - | b | ； - | a | ≤ a ≤ | a | ；
5． 某些 数列 前 n 项之 和
2
1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ …+ n= n( n+ 1) / 2 ；1+ 3+ 5+ 7+ 9+ 1 1 + 13+ 15+ …+ ( 2n- 1) = n ；
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2+ 4+ 6+ 8+ 10+ 12+ 14+ …+ ( 2n) = n( n+ 1) ； 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + …+ n = n( n+ 1) ( 2n+ 1) / 6 ；
3 3 3 3 3 3 3 2 2
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …n = n ( n+ 1) / 4 ； 1 2+ 23+ 34+ 45+ 56+ 67+ …+ n( n+ 1) = n( n+ 1) ( n+ 2) / 3 ；
6． 一元 二次 方程
2
对于方程：ax ＋bx ＋c ＝0：
2
? b ? b ? 4 ac
2
①求根 公式 是x ＝ ，其中△＝b －4ac 叫做根的判别式。
2 a
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△＝0时，方程有两个相等的实数根；
当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥ 0时，方程有实数根。
2
②若方程有两个实数根x 和x ，则二次三项式ax ＋bx ＋c 可分解为 a( x －x ) ( x －x ) 。
1 2 1 2
2
③以a和b为根的一元二次方程是x －( a＋b) x ＋ab＝0。
7． 一次 函数
一次 函数 y ＝k x ＋b( k ≠ 0) 的图象是一条直线( b是直线与y 轴的交点的纵坐标，称为截距) 。
①当k ＞0时， y 随x 的增大而增大( 直线从左向右上升) ；
第 1 页 共 7 页 1②当k ＜0时， y 随x 的增大而减小( 直线从左向右下降) ；
③特别地：当b＝0时，y ＝k x ( k ≠ 0) 又叫做正比例函数 ( y 与x 成正比例) ，图象必过原点。
8． 反比 例函 数
反比 例函 数 y ＝ ( k ≠ 0) 的图象叫做双曲线。
①当k ＞0时，双曲线在一、三象限 ( 在每一象限内，从左向右降) ；
②当k ＜0时，双曲线在二、四象限 ( 在每一象限内，从左向右上升) 。
9． 二次 函数
2
（1）.定义 ： 一般地，如果 y ? ax ? bx ? c ( a , b , c 是常数， a ? 0 ) ，那么 y 叫做 x 的二次函数。
（2）.抛物 线的 三要素 ： 开口方向、对称轴、顶点。
① a 的符号决定抛物线的开口方向：当 a ? 0 时，开口向上；当 a ? 0 时，开口向下；
a 相等，抛物线的开口大小、形状相同。
②平行于 y 轴（或重合）的直线记作 x ? h .特别地， y 轴记作直线 x ? 0 。
3 .
（ ） 几种 特殊 的二次 函数 的图像 特征 如 下：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
2
y ? a x x ? 0 （ y 轴）
（0,0）
2
y ? a x ? k x ? 0 （ y 轴） ( 0, k )
当 a ? 0 时
2
开口向上
y ? a ? x ? h ? x ? h ( h ,0)
当 a ? 0 时
2
x ? h ( h , k )
y ? a ? x ? h ? ? k
开口向下
2
b
b 4 ac ? b
2
x ? ?
y ? ax ? bx ? c ( ? ， )
2 a
2 a 4 a
（4）.求抛 物线 的顶点 、对 称轴的 方法
2
2 2
? b ? 4 ac ? b b 4 ac ? b
2
① 公 式 法 ： y ? ax ? bx ? c ? a x ? ? ， ∴ 顶 点 是 （ ? ， ） ， 对 称 轴 是
? ?
2 a 4 a 2 a 4 a
? ?
b
直线 x ? ? 。
2 a
2
② 配 方 法 ： 运 用 配 方 的 方 法 ， 将 抛 物 线 的 解 析 式 化 为 y ? a ? x ? h ? ? k 的 形 式 ， 得 到 顶 点 为
( h , k ) ，对称轴是直线 x ? h 。
③运用抛物线的对称性： 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形 ， 对称轴与抛物线的交点
是顶点。
x ? x
1 2
若已知抛物线上两点 ( x , y ) 、 ( x , y ) （及 y 值相同） ， 则对称轴方程可以表示为： x ?
1 2
2
第 2 页 共 7 页 22
y ? ax ? bx ? c a , b , c
（5 ）. 抛 物 线 中 ， 的 作 用
2
① a 决定开口方向及开口大小，这与 y ? ax 中的 a 完全一样。
2
② b 和 a 共 同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 y ? ax ? bx ? c 的对称轴是直线。
b b
x ? ? ， 故： ① b ? 0 时 ，对 称 轴 为 y 轴 ； ② ? 0 （ 即 a 、 b 同 号） 时 ， 对称 轴 在 y 轴
2 a a
b
左侧；③ ? 0 （即 a 、 b 异号） 时，对称轴在 y 轴右侧。
a
2
③ c 的大小决定抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 y 轴交点的位置。
2
当 x ? 0 时， y ? c ，∴抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 y 轴有且只有一个交点（0， c ） ：
① c ? 0 ，抛物线经过原点; ② c ? 0 ,与 y 轴交于正半轴；③ c ? 0 ,与 y 轴交于负半 轴.
b
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则 ? 0 。
a
（6 ）. 用 待 定 系 数 法 求 二 次 函 数 的 解 析 式
2
①一般式： y ? ax ? bx ? c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一般式.
2
②顶点式： y ? a ? x ? h ? ? k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
③交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x 、 x ，通常选用交点式： y ? a ? x ? x ? ? x ? x ? 。
1 2 1 2
（7）.直线 与抛 物线的 交点
2
① y 轴与抛 物线 y ? ax ? bx ? c 得交点为( 0, c ) 。
②抛物线与 x 轴的交点。
2
二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x 、 x ，是对应一元二次方程
1 2
2
ax ? bx ? c ? 0 的 两 个 实 数 根 . 抛 物 线 与 x 轴 的 交 点 情 况 可 以 由 对 应 的 一 元 二 次 方 程 的 根 的 判 别
式判定：
a 有两个交点 ? ( ? ? 0 ) ? 抛物 线与 x 轴相交；
b 有一个交点（顶点在 x 轴上） ? ( ? ? 0 ) ? 抛物线与 x 轴相切；
c 没有交点 ? ( ? ? 0 ) ? 抛物线 与 x 轴相离。
x
③平行于 轴的直线与抛物线的交 点
0 1 2 . 2
同②一样可能有 个交点、 个交点、 个交点 当有 个交点时，两交点的纵坐标相等，
2
ax ? bx ? c ? k
设纵坐标为 k ，则横坐标是 的两个实数根。
2
④一次 函数 y ? k x ? n ? k ? 0 ? 的图 像 l 与二 次函数 y ? ax ? bx ? c ? a ? 0 ? 的图 像 G 的交 点，由
y ? k x ? n
方程组 的解的数目来确定：
2
y ? a x ? b x ? c
a 方程组有两组不同的解时 ? l 与 G 有两个交点；
b 方程组只有一组解时 ? l 与 G 只有一个交点；
c 方程组无解时 ? l 与 G 没有交点。
2
⑤ 抛 物 线 与 x 轴 两 交 点 之 间 的 距 离 ： 若 抛 物 线 y ? ax ? bx ? c 与 x 轴 两 交 点 为
A ? x ， 0 ? ， B ? x ， 0 ? ，则 A B ? x ? x
1 2 1 2
第 3 页 共 7 页 31 0 ． 统计 初步
（1）概 念 ：①所要考察的对象的全体叫做总体 ，其中每一个考察对象叫做个体 ． 从总体中抽
取的一部份个体叫做总体的一个样本 ，样本中个体的数目叫做样本 容量 ．②在一组数据中，出
现次数最多的数( 有时不止一个) ，叫做这组数据的众数 ．③将一组数据按大小顺序排列，把处
在最中间的一个数( 或两个数的平均数) 叫做这组数据的中位 数．
（2）公 式： 设有 n 个数 x ，x ，…，x ，那么：
1 2 n
x + x + ...... + x
1 2 n
①平均数为： x = ；
n
②极差：用一组数 据的最大值减去最小值所得的差 来反映这组数据的变化范围， 用这种方法
得到的差称为极差，即：极差= 最大值- 最小值；
2
③方差：数据 、 ……, x 的方差为 s ，
x x
n
1 2
2 2 2
1
轾
2
则 s =
x - x + x - x + . . . . . + x - x
犏 ( ) ( ) ( )
1 2 n
n 臌
④标准差：方差的算术平方根。
数据 x 、 x ……, x 的标准差 s ，
1 2 n
2 2 2
1
轾
= x - x + x - x + . . . . . + x - x
则 s
犏 ( ) ( ) ( )
1 2 n
n 臌
一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。
1 1 ． 频率 与概 率
（1）频 率
频 数
频率= ， 各小组的频数之和等于总数 ， 各小组的频率之和等于 1， 频率分布直方图中各
总 数
个小长方形的面积为各组频率。
（2）概 率
①如果用 P 表示一个事件 A 发生的概率，则 0≤ P （A ）≤ 1；
P （必然事件） = 1 ；P （不可能事件 ）= 0 ；
②在具体情境中了 解概率的意义，运用列举法（包 括列表、画树状图）计算简单 事件发生的
概率。
③大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值；
1 2 ． 锐角 三角 形
①设∠A 是△A B C 的任一锐角，则∠A的正弦：s i n A ＝ ，∠A的余弦：c os A ＝ ，
2 2
∠A 的正切：t a n A ＝ ．并且s i n A ＋c os A＝1。
0＜s i n A＜1，0＜c os A ＜1，t a n A ＞0．∠A 越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小。
②余角 公式 ：s i n( 90 o－A ) ＝c os A ，c os ( 90 o－A ) ＝s i n A 。
③特殊 角的 三角函 数值 ： s i n30 o ＝c os 60 o ＝ ，s i n45 o ＝c os 45 o ＝ ，s i n60 o ＝c os 30 o＝ ，
第 4 页 共 7 页 4t a n30 o ＝ ，t a n45 o ＝1，t a n60 o＝ 。
铅 垂 高 度
④斜坡 的坡 度： i ＝ ＝ ．设坡角为α ，则i ＝t a n α ＝ 。 h
水 平 宽 度
α
l
1 3 ． 正（ 余） 弦定理
（1） 正弦 定理 a / s i nA = b/ s i nB = c / s i nC = 2R ；注：其中 R 表示三角形的外接圆半径。
正弦定理的变形公式 ：( 1 ) a = 2 R s i n A , b = 2 R s i n B , c = 2 R s i n C ； ( 2 ) s i n A : s i n B : s i n C = a : b : c
2 2 2 2 2 2 2 2 2
（2） 余弦 定理 b = a + c - 2a c c os B ；a = b + c - 2 bc c os A ；c = a + b - 2a bc os C ；
注：∠ C 所 对 的 边 为 c ， ∠ B 所 对 的 边 为 b ， ∠ A 所 对 的 边 为 a
1 4 ． 三角 函数 公式
（1） 两角 和公 式
s i n( A + B ) = s i nA c os B + c os A s i nB s i n( A - B ) = s i nA c os B - s i nB c os A
c os ( A + B ) = c os A c os B - s i nA s i nB c os ( A - B ) = c os A c os B + s i nA s i nB
t a n( A + B ) = ( t a nA + t a nB ) / ( 1- t a nA t a nB ) t a n( A - B ) = ( t a nA - t a nB ) / ( 1+ t a nA t a nB )
c t g( A + B ) = ( c t g A c t gB - 1) / ( c t g B + c t gA ) c t g( A - B ) = ( c t g A c t gB + 1) / ( c t g B - c t gA )
（2） 倍角 公式
t a n2A = 2t a nA / ( 1- t a n2A ) c t g 2A = ( c t g 2 A - 1) / 2c t ga
c os 2a = c os 2a - s i n2a = 2c os 2a - 1= 1- 2s i n 2a
（3） 半角 公式
s i n( A / 2) = √ ( ( 1- c os A ) / 2) s i n( A / 2) = - √ ( ( 1- c os A ) / 2)
c os ( A / 2) = √ ( ( 1+ c os A ) / 2) c os ( A / 2) = - √ ( ( 1+ c os A ) / 2)
t a n( A / 2) = √ ( ( 1- c os A ) / ( ( 1+ c os A ) ) t a n( A / 2) = - √ ( ( 1- c os A ) / ( ( 1+ c os A ) )
c t g( A / 2) = √ ( ( 1+ c os A ) / ( ( 1- c os A ) ) c t g( A / 2) = - √ ( ( 1+ c os A ) / ( ( 1- c os A ) )
（4） 和差 化积
s i nA + s i nB = 2s i n( ( A + B ) / 2) c os ( ( A - B ) / 2 c os A + c os B = 2c os ( ( A + B ) / 2) s i n( ( A - B ) / 2)
t a nA + t a nB = s i n( A + B ) / c os A c os B t a nA - t a nB = s i n( A - B ) / c os A c os B
c t gA + c t g B s i n( A + B ) / s i nA s i nB - c t gA + c t gB s i n( A + B ) / s i nA s i nB
（5） 积化 和差
2s i nA c os B = s i n( A + B ) + s i n( A - B ) 2c os A s i nB = s i n( A + B ) - s i n( A - B )
2c os A c os B = c os ( A + B ) - s i n( A - B ) - 2s i nA s i nB = c os ( A + B ) - c os ( A - B )
1 5 ． 平面 直角 坐标系 中的 有关知 识
1 P a b P x P a b P
（ ） 对 称性 ： 若直角坐标 系内一点 （ ， ） ， 则 关于 轴对称的点 为 1 （ ， － ） ， 关于
y 轴对称的点为 P （－a，b） ，关于原点对称的点为 P （－a，－b） 。
2 3
2 P a b h P a h b
（ ）坐 标平 移： 若直角坐标系内 一点 （ ， ）向左平移 个单位，坐标变 为 （ － ， ） ，
向 右 平 移 h 个 单 位 ， 坐 标 变 为 P （ a ＋ h ， b ） ； 向 上 平 移 h 个 单 位 ， 坐 标 变 为 P （ a ，b ＋ h ） ， 向
h P a b h . A 2 1 2
下 平 移 个 单 位 ， 坐 标 变 为 （ ， － ） 如 ： 点 （ ， － ） 向 上 平 移 个 单 位 ， 再 向 右 平
第 5 页 共 7 页 5移 5 个单位，则坐标变为 A （7，1） 。
1 6 ． 多边 形内 角和公 式
多边 形内 角 和公 式： n边形的内角和等于( n－2) 180 o（n≥ 3，n是正整数），外角和等于360o
1 7 ． 平行 线段 成比例 定理
（1）平 行线 分线段 成比 例定理 ： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
a b c l l a b c A B C D E F
如图： ∥ ∥ ，直线 1 与 2 分别与直线 、 、 相交与点 、 、 和 、 、 ，
A B D E A B D E B C E F
则有 ? , ? , ? 。
B C E F A C D F A C D F
（2） 推论 ： 平行于三角形一边的直线截其 他两边 （或两边的延长线） ， 所得的对应线段成比例 。
如 图 ： △A B C 中 ， D E ∥B C ， D E 与 A B 、 A C 相 交 与 点 D 、 E ， 则 有 ：
A D A E A D A E D E D B E C
? , ? ? , ?
D B E C A B A C B C A B A C
l
1
l A
2
E
D
A
D
a
A
b
B E
D E
c
C F
B
B C
C
1 8 ． 直角 三角 形中的 射影 定理
C
o
直角 三角 形中的 射影 定理： 如图： R t △A B C 中，∠A C B ＝90 ，C D ⊥A B 于 D ，
2 2 2
则有： （1） C D ? A D ? B D （2） A C ? A D ? A B （3） B C ? B D ? A B
A D B
1 9 ． 圆的 有关 性质
（1）垂径 定理 ：如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质：①经过圆心；②垂直弦；
③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性
质．注：具备①，③时，弦不能是直径。
（2）两条平行 弦 所夹的弧相等。
（3）圆心 角 的度数等于它所对的弧的度数。
（4）一条弧所对的圆周 角 等于它所对的圆心 角 的一半。
（5）圆周角等于它所对的弧的 度数 的一半。
（6）同弧 或等 弧 所对的圆周角相等。
（7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
（8）90o 的圆周角所对的弦是 直径 ，反 之，直径所对的圆周角是 90o，直径是最长的弦。、
（9）圆内 接四 边形 的对角互补。
2 0 ． 三角 形的 内心与 外心
1
（ ）三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心 ．三角形的内心就是三内角角平分线的交点 。
第 6 页 共 7 页 6（2）三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心 ．三角形的外心就是三边中垂线的交点．
a ? b ? c
常见结论： ① R t △A B C 的三条边分别 为 ： a、 b、 c （ c 为斜边） ， 则它的内切圆的半径 r ? ；
2
1
S ? l r
l 2
②△A B C 的周长为 ，面积为 S ，其内切圆的半径为 r ，则
2 1 ． 弦切 角定 理及其 推论
（1） 弦切 角 ： 顶点在圆上， 并且一边和圆相交， 另一边和圆相切的角叫做弦切角 。 如图： ∠P A C
为弦切角。
（2）弦 切角 定理： 弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。
B
1 1
?
如果 A C 是⊙O 的弦，P A 是⊙O 的切线 ， A 为切点，则 ? P A C ? A C ? ? A O C A
2 2
O
推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等）
如果 A C 是⊙O 的弦，P A 是⊙O 的切线 ， A 为切点，则 ? P A C ? ? A B C
C
P
2 2 ． 相交 弦定 理、割 线定 理和切 割线定 理
（1）相 交弦 定理： 圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。
如图①，即：P A ·P B = P C ·P D
2
（ ）割 线定 理： 从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相
等。如图 ②，即：P A ·P B = P C ·P D
（3 ） 切 割 线 定 理 ： 从 圆 外 一 点 引 圆 的 切 线 和 割 线 ， 切 线 长 是 这 点 到 割 线 与 圆 交 点 的 两 条 线 段
2
长的比例中项。如图 ③，即：P C = P A ·P B
C
C
C
D
P
B
O
O P
P
O
B B
D
A
A
A
① ② ③
2 3 ． 面积 公式
2
①S ＝ × ( 边长) ． ⑦弧长L ＝ ．
正△
②S ＝底× 高．
2
平行四 边形
n ? r 1
⑧ S ? ? l r
扇 形
360 2
③S ＝底× 高＝ × ( 对角线的积) ，
菱形
⑨S ＝底面周长× 高＝2π r h ，
1
圆柱侧
S ? ( 上 底 ? 下 底 ) ? 高 ? 中 位 线 ? 高
④
梯 形
2
2
S ＝S ＋S ＝2π r h ＋2π r
全面积 侧 底
2
⑤S ＝π R ．
圆
⑩S ＝ × 底面周长× 母线＝π r b ，
圆锥侧
⑥l ＝2π R．
圆周长
2
S ＝S ＋S ＝π r b ＋π r
全面积 侧 底
第 7 页 共 7 页 7 |
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