2024届高三第二次学业质量评价（T8联考）数学试题命题学校：石家庄市第二中学命题人：宛昭勋 刘越起 刘俊男 审题人：刘英娟考试时间：202
4年3月20日下午15：00—17：00 试卷满分：150分 考试用时：120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考
证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他
答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题
，每小题3分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则（ ）A． B． C． D．2．复数满
足为纯虚数，则（ ）A． B． C． D．3．样本数据的第70百分位数次为（ ）A．7 B．9 C．9.5 D．
104．若成等比数列，则公比为（ ）A． B． C． D．25．甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能
报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（ ）A． B． C． D．6．在中，，则（
）A． B． C． D．17．已知正方体的棱长为为线段上的动点，则三棱锥外接球半径的取值范围为（ ）A． B． C． D．8．已
知抛物线的方程为为其焦点，点坐标为，过点作直线交抛物线于两点，是轴上一点，且满足，则直线的斜率为（ ）A． B． C． D．二、多
选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在毎小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的
得0分。9．已知函数，则下列判断正确的是（ ）A．若，且，则 B．若，且，则C．是偶函数 D．在区间上单调递增10．已知为坐标原点
，点．若点满足，则下列判断错误的是（ ）A． B．面积的最大值为C． D．11．已知正方体的棱长为是中点，是的中点，点满足，平
面截该正方体，将其分成两部分，设这两部分的体积分别为，则下列判断正确的是（ ）A．时，截面面积为 B．时，C．随着的增大先减小后
增大 D．的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．是任处的切线方程，则_________。13．1675年
，卡西尼在矿究土星及其卫星的运行规律时发现了卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹。已知点，动点满足，
则面积的最大值为_________。14．已知是实数，满足，当取得最大值时，_________。四、解答题：本题共5小题，共77分
。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本小题满分13分）设数列为等差数列，前项和为．（1）求数列的通项公式；（2）设的
前项和为，求。16．（本小题满分15分）兵乓球（table tennis），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目。已
知某次乒乓球比赛单局赛制为：两球换发制，每人发两个球，然后由对方发球，先得11分者获胜。（1）若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为，
甲接球时获胜的概率为，甲先发球，求单局比赛中甲获胜的概率；（2）若比赛采用三局两胜制（当一队朚得两场胜利时，该队获胜，比赛结束），
每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记为比赛结束时的总局数，求的期望．（参考数据）17．（本小题满分15分）已知三棱锥中
，侧面是边长为2的正三角形，，，平面与底面的交线为直线．（1）若，证明：；（2）若三棱锥的体积为为交线上的动点，若直线与平面的夹角
为，求的取值范围．18．（本小题满分17分）已知双曲线的方程为，其中，）是双曲线上一点，直线与双曲线的另一个交点为，直线与双曲线的
另一个交点为，双曲线在点处的两条切线记为与交于点，线段的中点为，设直线的斜率分别为。（1）证明：；（2）求的值。19．（本小题满分
17分）记，若，满足：对任意，均有，则称为函数在上“最接近”直线．已知函数．（1）若，证明：对任意；（2）若，证明：在上的“最接近
”直线为：，其中且为二次方程的根。2024届高三第二次学业质量评价（T8联考）数学试题参考答案及多维细目表题号123456答案BA
DBCC题号7891011答案CBADACDBCD1．【答案】B【解析】．，故选B．2．【答案】A【解析】．．故选A．3．【答案】
D【解析】数据，11，12的第70百分位数为10．故选D。4．【答案】B【解析】成等比数列．，即，。，公比为，故选B．5．【答案】
C【解析】先将5名志愿者分成3组，第一类分法是3，1，1，第二类分法是2，2，1，再分配到三项活动中，总安排数为，甲、乙、丙三位同
学所报活动各不相同排列数为，设过件为甲、乙、丙三个同学所报活动各不相同，．故选C。6．【答穼】C【解析】，两式相减，得．由正弦定理
，得，故选C。7．【答案】C【解析】如图，连接，交于点，易多为的外心。進接．交于点，易知平而三棱锥的外接球球心在上。设的外接四四心
为平面，且。设的外接圆半径为．三棱锥的外接球半径为。设．又．．设，设．则．又易知．故选C。8．【答案】B【解析】设，直线方程为：，
联立直线与抛物线方程，可得．又，故是方程的解。将代入方程，得。，即．故选B．9．【答案】AD10．【答穼】ACD【解析】落，则点在
劣弧上，或者在优弧上。或者，故A错误；，故B正确；取，故C错误；点在劣弧上时，．点在优弧上时．错误．故选ACD．11．【答案】BC
D【解析】如图1，当时，截面为正六边形．且棱长为，故截面面积为错误；由对称性可知．当时．平面分两部分体积相等，B正确；如图2．当从
0变化到1时．截面从四边形变化至五边形（其中为靠近点的三等分点）．被截面所分两部分体积之差的绝对值先减小至0，再逐渐增大，故C正确
．取最大值时对应为，或时情形．计算可知讨．时，的最大值为，故D正确。故选BCD。12．【答案】13．【答案】314．【答案】5【解
析】．．．取等条件：或15．（1）略。（2）。11分。13分16．略。17．解：由题意：∵，∴分别为棱的中点，∴。2分．4分为等边
三角形，为中点．．又平面，平面．6分平而7分（2）如图，在底面内过点作的平行线即面与底面的交线．由题意可得，即。8分故底面的面积为
。设底面上的高为，则，于是．注意到侧面是边长为2的正三角形，取中点．连接，则，从而平面．9分取中点，连接，则。于是，以点为坐标原点．分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，12分于是．．设平面的一个法向是为。则即解得即14分由线面所成角的定义可知15分18．解：（1）证明：．3分又任双曲线上，．5分由可知 7分略19.略 |
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