《律呂正論》之以周公密率算斜黍律管法2上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112何世強 Ho Sai Keung提要
：明?朱載堉著《律呂正論》，其卷二談及以周公之圓周率計算斜黍十二律律管內徑及外徑，律管之截面面積及律管之內體積。注意斜黍黃鍾律為9
寸。關鍵詞： 周公圓周率 斜黍 內徑 外徑 面羃第1節 《律呂正論》作者朱載堉簡介朱載堉﹝公元1536年至1611年﹞，字伯勤
，號句曲山人，年青時曾自號“狂生”、“山陽酒狂仙客”。明宗室鄭恭王朱厚烷嫡子，出生於懷慶（今河南沁陽）。明仁宗第二子鄭靖王朱瞻埈之
後，明太祖朱元璋之九世孫，明成祖朱棣之八世孫，明仁宗朱高熾之七世孫。早年即從外戚何瑭習天文、算術。朱載堉乃明律學家、音樂家、數學家
，發明“十二平均律”。其著作有《樂律全書》、《律呂正論》、《律呂質疑辨惑》、《嘉量算經》、《律呂精義》、《律曆融通》、《算學新說》
、《瑟譜》等。第2節 《律呂正論》之周公圓周率及斜黍十二律之相生法《律呂正論?卷二》談及算十二律體積之算法，算圓柱形體積難免涉及
圓周率π，朱載堉用“周公圓周率”為π以算出圓管之體積。依朱載堉所云周公圓周率為 。根據《樂律全書》所云，若一圓中之正方形邊長為 9
寸，則直徑為9√2寸，圓周為 π9√2寸，即 39.986寸，取其近似值為40寸。即π9√2 = 40，移項得：π = =
= = = 。故“周公之率”可簡寫為 。朱載堉尚有三黍律之說，所謂“三黍律”乃指縱黍律、斜黍律及橫黍律，筆者已有文名為〈《律
呂正論》之以周公密率算縱黍律管法1〉，本文乃其延續談及“斜黍律”。本文談及斜黍律之相關數字。管之厚 = ?﹝外徑 – 內徑 ﹞。以
下為《律呂正論》之斜黍相生法，以黃鍾為9寸。第三欄單位為分，八位小數；第四欄單位為寸，三位小數，因四捨五入及以較準之數值計算關係，
故第三位小數與以下數字略有出入：序號十二律分﹝八位小數﹞寸﹝三位小數﹞1黃鍾90.000000009.0002大呂84.95374
7408.4953太蔟80.190435538.0194夾鍾75.694200057.5695姑洗71.450066127.145
6仲呂67.443898556.7447蕤賓63.662354686.3668林鍾60.092839996.0099夷則56.72
3466105.67210南呂53.543011235.35411無射50.540882795.05412應鍾47.7070821
24.771以下為斜黍相生長條圖：上表數字其實為一遞減幾何級數，首項為90或9，末項為47.70708212 或4.771，公比為
，至於此公比之來源朱載堉無詳細說明，詳情可參閱筆者另文〈《律呂正論》十二律之斜黍相生法 (2)〉。以下為斜黍律內周之算法表﹝由於
四捨五入關係，小數後第二或第三之數與《律呂正論》未盡相同﹞：序號十二律內周﹝九位小數﹞分內周﹝三位小數﹞分1黃鍾10.000000
00010.0002大呂9.7162844939.7163太蔟9.4406184359.4414夾鍾9.1727734509.17
35姑洗8.9125276438.9136仲呂8.6596654138.6607蕤賓8.4139772768.4148林鍾8.17
52596938.1759夷則7.9433148987.94310南呂7.7179507377.71811無射7.49898050
67.49912應鍾7.2862228007.286上表數字其實為一遞減幾何級數，首項為10，末項為7.286222800，公比為
，至於此公比之來源朱載堉無詳細說明。有內周之長即可算出內圓之直徑，有內周及內圓直徑即可算出內圓之面積，內圓面積乘以律管長即得內管
之體積。以下為斜黍律外周之算法表﹝由於四捨五入關係，小數後第二或第三之數與《律呂正論》未盡相同﹞：序號十二律外周﹝八位小數﹞分外周
﹝三位小數﹞分1黃鍾14.1400000014.1402大呂13.7388262713.7393太蔟13.3490344713.3
494夾鍾12.9703016612.9705姑洗12.6023140912.6026仲呂12.2447668912.2457蕤賓
11.8973638711.8978林鍾11.5598172111.5609夷則11.2318472711.23210南呂10.9
131823410.91311無射10.6035584410.60412應鍾10.3027190410.303上表數字其實為一遞減
幾何級數，首項為14.14，末項為10.30271904，公比仍為 。有外周之長即可算出外圓之直徑，有外及內圓直徑即可算出律管之厚
。第3節 《律呂正論》斜黍十二律之綜合算法面羃乃指管內圓之面積。以下為《律呂正論》斜黍十二律之綜合算法﹝數字未必四捨五入﹞：﹝一
﹞黃鍾斜黍律長九寸﹝即是九十分﹞內周十分內徑三分一釐八毫外周一寸四分一釐四毫外徑四分五釐面羃七分九十五釐積實七百一十六分黃鍾斜黍律
長9寸 = 90分：1. 內周10分。2. 若π = ，內徑 = 10 ÷ = = 3.181980515﹝分﹞，即3分1釐8
毫。3. 外周1.414寸 = 14.14分。4. 外徑 = 14.14 ÷ = = 4.499320449﹝分﹞，即4分5釐
。5. 管厚 = ?(4.5 – 3.18) = ? × 1.32 = 0.66﹝分﹞。6. 面羃 = “周徑相乘四歸”= 10
× 3.18 × = 7.95 ﹝平方分﹞。7. 積實 = 90 × 7.95 = 715.5 = 716﹝立方分﹞。﹝二﹞大呂
斜黍律長八寸四分九釐五毫內周九分七釐一毫內徑三分○釐九毫外周一寸三分七釐四毫外徑四分三釐七毫面羃七分五○釐積實六百三十八分大呂斜黍
律長8.495寸 = 84.95分：1. 內周9.71分 (或10 × = 9.71628449，下同)。2. 內徑 = 9.7
1 ÷ = = 3.08970﹝分﹞，即3分0釐9毫。3. 外周1.374寸 = 13.74分。4. 外徑 = 13.74 ÷
= = 4.37204﹝分﹞，即4分3釐7毫。5. 管厚 = ?(4.37 – 3.09) = ? × 1.28 = 0.6
4﹝分﹞。6. 面羃 = 9.71 × 3.09 × = 7.500975 = 7.50﹝平方分﹞。7. 積實 = 84.95
× 7.5 = 637.2078 = 637﹝立方分﹞。﹝《律呂正論》作638立方分﹞﹝三﹞太蔟斜黍律長八寸○分一釐八毫內周九分四
釐四毫內徑三分○釐○毫外周一寸三分三釐五毫外徑四分二釐四毫面羃七分○八釐積實五百六十八分太蔟斜黍律長8.018寸 = 80.18分
：1. 內周9.44分。2. 內徑 = 9.44 ÷ = = 3.0037896﹝分﹞，即3分0釐0毫。3. 外周1.335寸
= 13.35分。4. 外徑 = 13.35 ÷ = = 4.24794﹝分﹞，即4分2釐4毫。5. 管厚 = ?(4.24
– 3.00) = ? × 1.24 = 0.62﹝分﹞。6. 面羃 = 9.44 × 3.00 × = 7.08 ﹝平方分﹞
。7. 積實 = 80.18 × 7.08 = 567.6744 = 568﹝立方分﹞。﹝四﹞夾鍾斜黍律長七寸五分六釐八毫內周九分
一釐七毫內徑二分九釐一毫外周一寸二分九釐七毫外徑四分一釐二毫面羃六分六十八釐積實五百○六分夾鍾斜黍律長7.568寸 = 75.68
分：1. 內周9.17分。2. 內徑 = 9.17 ÷ = = 2.917876133﹝分﹞，即2分9釐1毫。3. 外周1.2
97寸 = 12.97分。4. 外徑 = 12.97 ÷ = = 4.1270287﹝分﹞，即4分1釐2毫。5. 管厚 = ?
(4.12 – 2.91) = ? × 1.21 = 0.605﹝分﹞。6. 面羃 = 9.17 × 2.91 × = 6.67
1175 = 6.67﹝平方分﹞。﹝《律呂正論》作6.68平方分﹞若以9.17 × 2.917876133 × = 6.6892
31 = 6.69﹝平方分﹞。7. 積實 = 75.68 × 6.67 = 504.7856 = 505﹝立方分﹞。﹝《律呂正論》
作506立方分﹞若以75.68 × 6.68 = 505.5424 = 506﹝立方分﹞。﹝五﹞姑洗斜黍律長七寸一分四釐三毫內周八
分九釐一毫內徑二分八釐三毫外周一寸二分六釐○毫外徑四分○釐○毫面羃六分三十一釐積實四百五十一分姑洗斜黍律長7.143寸 = 71.
43分：1. 內周8.91分。2. 內徑 = 8.91 ÷ = = 2.8351446﹝分﹞，即2分8釐3毫。3. 外周1.2
60寸 = 12.60分。4. 外徑 = 12.6 ÷ = = 4.009295﹝分﹞，即4分0釐0毫。5. 管厚 = ?(4
.00 – 2.83) = ? × 1.17 = 0.585﹝分﹞。6. 面羃 = 8.91 × 2.83 × = 6.3038
25 = 6.30﹝平方分﹞。﹝《律呂正論》作6.31平方分﹞若以8.91 × 2.8351446 × = 6.31528459
7 = 6.32﹝平方分﹞。7. 積實 = 71.43 × 6.30 = 450.009 = 450﹝立方分﹞。﹝《律呂正論》作4
51立方分﹞若以71.43 × 6.31 = 450.7233 = 451﹝立方分﹞。﹝六﹞仲呂斜黍律長六寸七分四釐二毫內周八分六
釐五毫內徑二分七釐五毫外周一寸二分二釐四毫外徑三分八釐九毫面羃五分九十五釐積實四百○二分仲呂斜黍律長6.742寸 = 67.42分
：1. 內周8.65分。2. 內徑 = 8.65 ÷ = = 2.752413146﹝分﹞，即2分7釐5毫。3. 外周1.22
4寸 = 12.24分。4. 外徑 = 12.24 ÷ = = 3.894744﹝分﹞，即3分8釐9毫。5. 管厚 = ?(3
.89 – 2.75) = ? × 1.14 = 0.507﹝分﹞。6. 面羃 = 8.65 × 2.75 × = 5.9468
75 = 5.95﹝平方分﹞。7. 積實 = 67.42 × 5.95 = 401.149 = 401﹝立方分﹞。﹝《律呂正論》作
402立方分﹞﹝七﹞蕤賓斜黍律長六寸三分六釐四毫內周八分四釐○毫內徑二分六釐七毫外周一寸一分八釐九毫外徑三分七釐八毫面羃五分六十二
釐積實三百五十八分蕤賓斜黍律長6.364寸 = 63.64分：1. 內周8.40分。2. 內徑 = 8.40 ÷ = = 2.
672863633﹝分﹞，即2分6釐7毫。3. 外周1.189寸 = 11.89分。4. 外徑 = 11.89 ÷ = = 3
.783374833﹝分﹞，即3分7釐8毫。5. 管厚 = ?(3.78 – 2.67) = ? × 1.11 = 0.555﹝分
﹞。6. 面羃 = 8.40 × 2.67 × = 5.607 = 5.61﹝平方分﹞。﹝《律呂正論》作5.62平方分﹞若8.4
0 × 2.672863633 × = 5.613013629 = 5.61﹝平方分﹞，仍不能得5.62之數。7. 積實 = 6
3.64 × 5.61 = 357.0204 = 357﹝立方分﹞。﹝《律呂正論》作358立方分又63.64 × 5.613013
629 = 357.212187 = 357﹝立方分﹞，不能得358之數。﹞﹝八﹞林鍾斜黍律長六寸○分○釐七毫內周八分一釐六毫內徑
二分五釐九毫外周一寸一分五釐五毫外徑三分六釐七毫面羃五分三十釐積實三百一十九分林鍾斜黍律長6.007寸 = 60.07分：1. 內
周8.16分。2. 內徑 = 8.16 ÷ = = 2.59649610﹝分﹞，即2分5釐9毫。3. 外周1.155寸 = 1
1.55分。4. 外徑 = 11.55 ÷ = = 3.675187495﹝分﹞，即3分6釐7毫。5. 管厚 = ?(3.67
– 2.59) = ? × 1.08 = 0.54﹝分﹞。6. 面羃 = 8.16 × 2.59 × = 5.2836 = 5
.28﹝平方分﹞。﹝《律呂正論》作5.30平方分﹞若8.16 × 2.5964961 × = 5.2968 = 5.30﹝平方分
﹞。7. 積實 = 60.07 × 5.28 = 317.1696 = 317﹝立方分﹞。﹝《律呂正論》作319立方分，又60.0
7 × 5.3 = 318.371 = 318﹝立方分﹞，仍不能得319之數。﹞﹝九﹞夷則斜黍律長五寸六分七釐○毫內周七分九釐三毫
內徑二分五釐二毫外周一寸一分二釐二毫外徑三分五釐七毫面羃五分○一釐積實二百八十四分夷則斜黍律長5.670寸 = 56.70寸：1.
內周7.93分。2. 內徑 = 7.93 ÷ = = 2.523310549﹝分﹞，即2分5釐2毫。3. 外周1.122寸
= 11.22分。4. 外徑 = 11.22 ÷ = = 3.570182138﹝分﹞，即3分5釐7毫。5. 管厚 = ?(3
.57 – 2.52) = ? × 1.05 = 0.525﹝分﹞。6. 面羃 = 7.93 × 2.52 × = 4.9959
= 5.00﹝平方分﹞。﹝《律呂正論》作5.01平方分﹞若7.93 × 2.523310549 × = 5.00246 = 5
.00﹝平方分﹞，仍不能得5.01之數。7. 積實 = 56.70 × 5.00 = 283.5 = 284﹝立方分﹞。﹝十﹞南呂
斜黍律長五寸三分五釐二毫內周七分七釐一毫內徑二分四釐五毫外周一寸○分九釐○毫外徑三分四釐七毫面羃四分七十二釐積實二百五十三分南呂斜
黍律長5.352寸 = 53.52分：1. 內周7.71分。2. 內徑 = 7.71 ÷ = = 2.453307﹝分﹞，即2
分4釐5毫。3. 外周1.090寸 = 10.9分。4. 外徑 = 10.9 ÷ = = 3.468358﹝分﹞，即3分4釐7
毫。5. 管厚 = ?(3.47 – 2.45) = ? × 1.02 = 0.51﹝分﹞。6. 面羃 = 7.71 × 2.45
× = 4.722375 = 4.72﹝平方分﹞。7. 積實 = 53.52 × 4.72 = 252.742 = 253﹝立
方分﹞。﹝十一﹞無射斜黍律長五寸○分五釐一毫內周七分四釐九毫內徑二分三釐八毫外周一寸○分五釐九毫外徑三分三釐七毫面羃四分四十六釐積
實二百二十五分無射斜黍律長5.051寸 = 50.51分：1. 內周7.49分。2. 內徑 = 7.49 ÷ = = 2.38
330﹝分﹞，即2分3釐8毫。3. 外周1.059寸 = 10.59分。4. 外徑 = 10.59 ÷ = = 3.36971
7﹝分﹞，即3分3釐7毫。5. 管厚 = ?(3.37 – 2.38) = ? × 0.99 = 0.495﹝分﹞。6. 面羃 =
7.49 × 2.38 × = 4.45655 = 4.46﹝平方分﹞。7. 積實 = 50.51 × 4.46 = 225.
100 = 225﹝立方分﹞。﹝十二﹞應鍾斜黍律長四寸七分六釐七毫內周七分二釐七毫內徑二分三釐一毫外周一寸○分二釐九毫外徑三分二釐
七毫面羃四分二十一釐積實二百○○分應鍾斜黍律長4.767寸 = 47.67寸：1. 內周7.27分。2. 內徑 = 7.27 ÷
= = 2.3133﹝分﹞，即2分3釐1毫。3. 外周1.029寸 = 10.29分。4. 外徑 = 10.29 ÷ =
= 3.274258﹝分﹞，即3分2釐7毫。5. 管厚 = ?(3.27 – 2.31) = ? × 0.96 = 0.48﹝分﹞
。6. 面羃 = 7.27 × 2.31 × = 4.198425 = 4.20﹝平方分﹞。﹝《律呂正論》作4.21平方分﹞若作
7.27 × 2.3133 × = 4.2044 = 4.20﹝平方分﹞，仍不能得4.21之數。7. 積實 = 47.67 ×
4.2 = 146.15 = 200.214 = 200﹝立方分﹞。將以上資料列成表如下﹝依序，序為律長序，亦為以上算法之排列序﹞
：序十二律斜黍律長/分內周﹝分﹞內徑﹝分﹞外周﹝分﹞外徑﹝分﹞面羃/平方分積實/立方分1黃鍾90.00103.1814.144.507.957162大呂84.959.713.0913.744.377.506383太蔟80.189.443.0013.354.247.085684夾鍾75.689.172.9112.974.126.685065姑洗71.438.912.8312.604.006.314516仲呂67.428.652.7512.243.895.954027蕤賓63.648.402.6711.893.785.623588林鍾60.078.162.5911.553.675.303199夷則56.707.932.5211.223.575.0128410南呂53.527.712.4510.903.474.7225311無射50.517.492.3810.593.374.4622512應鍾47.677.272.3110.293.274.21200以下為積實之長條圖﹝Y軸之單位為立方分﹞：注意長條末所形成之曲線。[1] |
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