三角函数诱导公式揭秘
熊明军
无论在哪本教材中， 三角函数诱导公式这一节所涉及到的公式都是相当得多。 在许多参
考书里共同提到了记忆诱导公式的统一口诀： “奇变偶不变， 符号看象限” 。 多少年来， 参
考书这么写，老师们这么教，但是教材却从没有简化，原因何在？
本文首先对该口诀进行必要的介绍， 然后尝试去探寻众多诱导公式的联系及内涵， 进而
对教材内容的编排提出自己的理解。
一、口诀解析
任意一个角都可以表示为 的形 式。 当把 任意 角化 为该 形
式后，利用口诀“奇变偶不变，符号看象限”，就能把任意角转化到 之间，即初中
所学，学生熟悉的锐角三角函数值问题了。
下面对该口诀进行必要的 解析：
① “奇 ” 与 “偶 ” ： 是指 把任 意角 化为 的形式中 的 奇
偶性，即 是奇数还是偶数；
② “变 ” 与 “不 变” ： 是指 三角 函数 的名 称改 变与 否， 即若 变 ， 则正 弦变 余弦 、 余弦 变
正弦、正切变余切、余切变正切。
综合①②，“奇变偶不变”是说，把任意角化为 的形式后，若 是奇数则三
角函数名称改变，若 是偶数则三角函数名称不改变。
③“象限”：是指把任意角化为 的形式后，假设 时， 所
在的象限。
④“符号”：是指在确定 所在的象限后，相应的原三角函数值的符号（如下
图）。
二、诱导公式的内 在联系
教材中所给的诱导公式， 集中体现了数学中的化归与转化思想。 在求任意角的三角函数
值时，其基本思路为：负角 正角 内的角 内的角。
根据 这个 思路 ， 运用 口诀 “奇 变偶 不变 ， 符号 看象 限 ” 化简 ， 就不 可能 充分 地体 现出 来，
并且在口诀中，任意角所在象限的判断也是相当麻烦的。
下面 ， 针对 教材 中所 给的 三角 函数 诱导 公式 及化 归与 转化 思路 ， 将它 们划 分为 三类 诱导
公式。
①名不变，奇 偶 （繁角 简角）
如果任意角可以表示成 ，即含有 的整数倍，则选用第一
类诱导公式。利用该公式可将繁杂角化为简单的角。
第一类诱导公式： 正弦函数、 余弦函数的名称不改变， 化简后的符号随 的奇偶性而改
变──奇数 、偶数 。即
， ；
可得： .
②名改变，正 余 （钝角 锐角）
利用其余诱导公式先化简， 若出现 的形 式， 即含 有 ， 则选 用第
二类诱导公式。该公式是开篇口诀的特例。
第二类诱导公式： 正弦函数、 余弦函数的名称改变， 化简后的符号由原式三角函数名确
定──正弦 、余弦 。即
；
可得： .
③奇偶性，正奇余偶（负角 正角）
对于函数 ，若函数为奇函数，则 ；若函数为偶函数，
则 。
第三类诱导公式：正弦函数为奇函数；余弦函数为偶函数。即
；
可得： .
综上所述，三角函数诱导公式只需要三类即可将负角 正角 内的角
内的角。即
第一类： ， ；
第二类： ；
第三类： .
三、三类诱导公式 的简单运用
诱导公式一：
解析 将正切化为弦，即 。利用第一类诱导公式，名
不变，因为 的系数 是偶数，为正，所以 .
诱导公式二：
解析 第一类诱导公式， 名不变， 因为 的系数 是奇 数， 为负 ， 所以
诱导公式四：
解析 将减法变为加法，即 。利用第一类诱导公式，名不
变， 因为 的系数 是奇 数， 为负 ， 所以 ； 利用 第
三类诱导公式，因为余弦函数为偶函数，所以 .
诱导公式五：
解析 将减法变为加法， 即 。 利用 第二 类诱 导公 式， 名改
变， 正弦 ， 所以 ； 利用 第三 类诱 导公 式， 因为 余
弦函数是偶函数，所以 .
例： 化简 。
解析 ， 首先 利用 第一 类诱 导公 式,名不 变， 又因 为 的系数
是奇数，符号为负，所以 ；然后利用第二
类诱导公式，名改变，余弦 ，所以 .
注意 ：在应用三类诱导公式时，必须抓住①第一类诱导公式：任意角能分离出 的整
数倍；②第二类诱导公式：任意角能分离出 ；③ 与 也是选择诱导公式的依据。
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