《律呂正論》之以周公密率算橫黍律管法3上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112何世強 Ho Sai Keung提要
：明?朱載堉著《律呂正論》，其卷二談及以周公之圓周率計算橫黍十二律律管內徑及外徑，律管之截面面積及律管之內體積。注意橫黍黃鍾律為1
0寸。部分數字配有長條圖，注意長條末所形成之曲線。關鍵詞： 周公圓周率 橫黍 內徑 外徑 實積第1節 《律呂正論》作者朱載堉簡
介朱載堉﹝公元1536年至1611年﹞，字伯勤，號句曲山人，年青時曾自號“狂生”、“山陽酒狂仙客”。明宗室鄭恭王朱厚烷嫡子，出生於
懷慶（今河南沁陽）。明仁宗第二子鄭靖王朱瞻埈之後，明太祖朱元璋之九世孫，明成祖朱棣之八世孫，明仁宗朱高熾之七世孫。早年即從外戚何瑭
習天文、算術。朱載堉乃明律學家、音樂家、數學家，發明“十二平均律”。其著作有《樂律全書》、《律呂正論》、《律呂質疑辨惑》、《嘉量算
經》、《律呂精義》、《律曆融通》、《算學新說》、《瑟譜》等。第2節 《律呂正論》之周公圓周率及橫黍十二律之相生法《律呂正論?卷二
》談及算十二律體積之算法，算圓柱形體積難免涉及圓周率π，朱載堉用“周公圓周率”為π以算出圓管之體積。依朱載堉所云周公圓周率為 。根
據《樂律全書》所云，若一圓中之正方形邊長為 9 寸，則直徑為9√2寸，圓周為 π9√2寸，即 39.986寸，取其近似值為40寸。
即π9√2 = 40，移項得：π = = = = = 。故“周公之率”可簡寫為 。朱載堉依 π = 以算出律管之體積，
見以下各律。朱載堉尚有三黍律之說，所謂“三黍律”乃指斜黍律、斜黍律及橫黍律，筆者已有文名為〈《律呂正論》之以周公密率算縱黍律管法1
〉及〈《律呂正論》之以周公密率算斜黍律管法2〉，本文乃以上兩文之延續談及橫黍律之相關數字。以下為《律呂正論》之橫黍相生新法﹝以較準
確之數運算﹞，以黃鍾為10寸，第三欄單位為寸，九位小數；第四欄單位亦為寸，三位小數，因四捨五入關係，故第三位小數與《律呂正論》原數
略有出入：序號十二律寸﹝九位小數﹞寸﹝三位小數﹞1黃鍾10.0000000010.0002大呂9.4393052679.4393太
蔟8.9100483938.9104夾鍾8.4104666728.4105姑洗7.9388962367.9396仲呂7.49376
65057.4947蕤賓7.0735949657.0748林鍾6.6769822216.6779夷則6.3026073446.30
310南呂5.9492234705.94911無射5.6156536445.61612應鍾5.3007869025.301上表數字
其實為一遞減幾何級數，首項為10，末項為5.300786902，公比為 ，至於此公比之來源朱載堉無詳細說明，詳情可參閱筆者另文〈《
律呂正論》十二律之橫黍相生法 (3)〉。以下為〈橫黍十二律之相生長條圖〉，單位為“寸”：注意長條末所形成之曲線。又黃鍾內周為11.
11分，今以此數為基礎而算出其餘十一律之內周。以下為橫黍律內周之算法表：序號十二律內周﹝九位小數﹞分內周﹝三位小數﹞分1黃鍾11.
11000000011.1102大呂10.79479207010.7953太蔟10.48852708010.4894夾鍾10.19
095130010.1915姑洗9.9018182119.9026仲呂9.6208882739.6217蕤賓9.347928754
9.3488林鍾9.0827135199.0839夷則8.8250228528.82510南呂8.5746432688.57511
無射8.3313673428.33112應鍾8.0949935318.095上表數字亦為一遞減幾何級數，首項為11.11，末項為8
.094993531，公比為 ，至於此公比之來源朱載堉無詳細說明。有內周之長即可算出內圓之直徑，有內周及內圓直徑即可算出內圓之面積
，內圓面積乘以律管長即得內管之體積。又黃鍾外周為15.71分，今以此數為基礎而算出其餘十一律之外周。以下為橫黍律外周之算法表：序號
十二律外周﹝八位小數﹞分外周﹝三位小數﹞分1黃鍾15.7100000015.7102大呂15.2642829415.2643太蔟1
4.8312115614.8314夾鍾14.4104270914.415姑洗14.0015809314.0026仲呂13.6043
343613.6047蕤賓13.2183583013.2188林鍾12.8433329812.8439夷則12.478947712
.47910南呂12.1249006112.12511無射11.7808983711.78112應鍾11.4466560211.4
47上表數字其實為一遞減幾何級數，首項為15.71，末項為11.44665602，公比仍為 。以下為〈橫黍外周長條圖〉，單位為“分
”：注意長條末所形成之曲線。有外周之長即可算出外圓之直徑，有外及內圓直徑即可算出律管之厚。第3節 《律呂正論》橫黍十二律之綜合算
法面羃乃指內圓之面積。以下為橫黍十二律之綜合算法﹝數字未必四捨五入﹞，答案儘量配合《律呂正論》：﹝一﹞黃鍾橫黍律長十寸﹝即是一百分
﹞內周一寸一分一釐一毫內徑三分五釐三毫外周一寸五分七釐一毫外徑五分面羃九分八十二釐積實九百八十二分黃鍾橫黍律長10寸 = 100分
：1. 內周1.111寸 = 11.11分。2. 若π = ，內徑 = 11.11 ÷ = = 3.535180353﹝分﹞，
即3分5釐3毫。3. 外周1.571寸 = 15.71分。4. 外徑 = 15.71 ÷ = = 4.99889139﹝分﹞，
即5分。5. 管厚 = ?(5 – 3.53) = ? × 1.47 = 0.735﹝分﹞。6. 面羃 = “周徑相乘四歸”= 1
1.11 × 3.53518 × = 9.818 = 9.82﹝平方分﹞。7. 積實 = 100 × 9.82 = 982﹝立方
分﹞。﹝二﹞大呂橫黍律長九寸四分三釐九毫內周一寸○分七釐九毫內徑三分四釐三毫外周一寸五分二釐六毫外徑四分八釐六毫面羃九分二十六釐積
實八百七十五分大呂橫黍律長9.439寸 = 94.39分：1. 內周1.079寸 = 10.79分。2. 內徑 = 10.79 ÷
= = 3.4333﹝分﹞，即3分4釐3毫。3. 外周1.526寸 = 15.26分。4. 外徑 = 15.26 ÷ =
= 4.8557﹝分﹞，即4分8釐6毫。5. 管厚 = ?(4.86 – 3.43) = ? × 1.43 = 0.715﹝分﹞
。6. 面羃 = 10.79 × 3.4333 × = 9.2613 = 9.26﹝平方分﹞。7. 積實 = 94.39 × 9
.26 = 874.17 = 874﹝立方分﹞。﹝《律呂正論》作875立方分﹞﹝三﹞太蔟橫黍律長八寸九分○釐九毫內周一寸○分四釐八
毫內徑三分三釐三毫外周一寸四分八釐三毫外徑四分七釐二毫面羃八分七十四釐積實七百七十九分太蔟橫黍律長8.909寸 = 89.09分：
1. 內周1.048寸 = 10.48分。2. 內徑 = 10.48 ÷ = = 3.3347﹝分﹞，即3分3釐3毫。3. 外
周1.483寸 = 14.83分。4. 外徑 = 14.83 ÷ = = 4.718877﹝分﹞，即4分7釐2毫。5. 管厚
= ?(4.72 – 3.33) = ? × 1.39 = 0.695﹝分﹞。6. 面羃 = 10.48 × 3.3347 ×
= 8.736914 = 8.74﹝平方分﹞。7. 積實 = 89.09 × 8.74 = 778.6466 = 779﹝立方分﹞
。﹝四﹞夾鍾橫黍律長八寸四分○釐九毫內周一寸○分一釐八毫內徑三分二釐四毫外周一寸四分四釐○毫外徑四分五釐八毫面羃八分二十五釐積實六
百九十四分夾鍾橫黍律長8.409寸 = 84.09分：1. 內周1.018 寸 = 10.18分。2. 內徑 = 10.18 ÷
= = 3.239256﹝分﹞，即3分2釐4毫。3. 外周1.440寸 = 14.40分。4. 外徑 = 14.4 ÷ =
= 4.58205﹝分﹞，即4分5釐8毫。5. 管厚 = ?(4.58 – 3.24) = ? × 1.34 = 0.67﹝分﹞
。6. 面羃 = 10.18 × 3.24 × = 8.2458 = 8.25﹝平方分﹞。7. 積實 = 84.09 × 8.2
5 = 693.7425 = 694﹝立方分﹞。﹝五﹞姑洗橫黍律長七寸九分三釐七毫內周九分八釐九毫內徑三分一釐五毫外周一寸三分九釐
九毫外徑四分四釐五毫面羃七分七十九釐積實六百一十八分姑洗橫黍律長7.937寸 = 79.37分：1. 內周9.89分。2. 內徑
= 9.89 ÷ = = 3.1469787﹝分﹞，即3分1釐5毫。3. 外周1.399寸 = 13.99分。4. 外徑 =
13.99 ÷ = = 4.4515907﹝分﹞，即4分4釐5毫。5. 管厚 = ?(4.45 – 3.15) = ? × 1
.3 = 0.65﹝分﹞。6. 面羃 = 9.89 × 3.15 × = 7.788375 = 7.79﹝平方分﹞。7. 積實
= 79.37 × 7.79 = 618.16 = 618﹝立方分﹞。﹝六﹞仲呂橫黍律長七寸四分九釐一毫內周九分六釐一毫內徑三分○
釐六毫外周一寸三分六釐○毫外徑四分三釐二毫面羃七分三十五釐積實五百五十一分仲呂橫黍律長7.491寸 = 74.91分：1. 內周9
.61分。2. 內徑 = 9.61 ÷ = = 3.05788﹝分﹞，即3分0釐6毫。3. 外周1.360寸 = 13.60分
。4. 外徑 = 13.6 ÷ = = 4.32749﹝分﹞，即4分3釐2毫。5. 管厚 = ?(4.32 – 3.06) =
? × 1.26 = 0.63﹝分﹞。6. 面羃 = 9.61 × 3.06 × = 7.35165 = 7.35﹝平方分﹞。
7. 積實 = 74.91 × 7.35165 = 550.708 = 551﹝立方分﹞。﹝七﹞蕤賓橫黍律長七寸○分七釐一毫內周九
分三釐四毫內徑二分九釐七毫外周一寸三分二釐一毫外徑四分二釐○毫面羃六分九十四釐積實四百九十一分蕤賓橫黍律長7.071寸 = 70.
71分：1. 內周9.34分。2. 內徑 = 9.34 ÷ = = 2.971970﹝分﹞，即2分9釐7毫。3. 外周1.32
1寸 = 13.21分。4. 外徑 = 13.21 ÷ = = 4.203396﹝分﹞，即4分2釐0毫。5. 管厚 = ?(4
.20 – 2.97) = ? × 1.23 = 0.615﹝分﹞。6. 面羃 = 9.34 × 2.97197 × = 6.9
395 = 6.94﹝平方分﹞。7. 積實 = 70.71 × 6.94 = 490.7274 = 491﹝立方分﹞。﹝八﹞林鍾橫
黍律長六寸六分七釐四毫內周九分○釐七毫內徑二分八釐八毫外周一寸二分八釐三毫外徑四分○釐八毫面羃六分五十五釐積實四百三十七分林鍾橫黍
律長6.674寸 = 66.74分：1. 內周9.07分。2. 內徑 = 9.07 ÷ = = 2.886065﹝分﹞，即2分
8釐8毫。3. 外周1.283寸 = 12.83分。4. 外徑 = 12.83 ÷ = = 4.08248﹝分﹞，即4分0釐8
毫。5. 管厚 = ?(4.08 – 2.88) = ? × 1.2 = 0.6﹝分﹞。6. 面羃 = 9.07 × 2.8860
65 × = 6.54415 = 6.54﹝平方分﹞。﹝《律呂正論》作6.55平方分﹞7. 積實 = 66.74 × 6.544
15 = 436.75657 = 437﹝立方分﹞。﹝九﹞夷則橫黍律長六寸二分九釐九毫內周八分八釐一毫內徑二分八釐○毫外周一寸二分
四釐七毫外徑三分九釐六毫面羃六分一十八釐積實三百八十九分夷則橫黍律長6.299寸 = 62.99分：1. 內周8.81分。2. 內
徑 = 8.81 ÷ = = 2.803324834﹝分﹞，即2分8釐0毫。3. 外周1.247寸 = 12.47分。4. 外
徑 = 12.47 ÷ = = 3.967929﹝分﹞，即3分9釐6毫。5. 管厚 = ?(3.96 – 2.80) = ?
× 1.16 = 0.58﹝分﹞。6. 面羃 = 8.81 × 2.803324834 × = 6.1743229 = 6.17
﹝平方分﹞。﹝《律呂正論》作6.18方分﹞7. 積實 = 62.99 × 6.17 = 388.6483 = 389﹝立方分﹞。﹝
十﹞南呂橫黍律長五寸九分四釐六毫內周八分五釐六毫內徑二分七釐二毫外周一寸二分一釐一毫外徑三分八釐五毫面羃五分八十三釐積實三百四十七
分南呂橫黍律長5.946寸 = 59.46分：1. 內周8.56分。2. 內徑 = 8.56 ÷ = = 2.72377532
1﹝分﹞，即2分7釐2毫。3. 外周1.211寸 = 12.11分。4. 外徑 = 12.11 ÷ = = 3.8533784
04﹝分﹞，即3分8釐5毫。5. 管厚 = ?(3.85 – 2.72) = ? × 1.13 = 0.565﹝分﹞。6. 面羃
= 8.56 × 2.723775321 × = 5.828879 = 5.83﹝平方分﹞。7. 積實 = 59.46 × 5.
83 = 346.6518 = 347﹝立方分﹞。﹝十一﹞無射橫黍律長五寸六分一釐二毫內周八分三釐二毫內徑二分六釐四毫外周一寸一分
七釐七毫外徑三分七釐四毫面羃五分五十一釐積實三百○九分無射橫黍律長5.612寸 = 56.12分：1. 內周8.32分。2. 內徑
= 8.32 ÷ = = 2.647407789﹝分﹞，即2分6釐4毫。3. 外周1.177寸 = 11.77分。4. 外徑
= 11.77 ÷ = = 3.745191067﹝分﹞，即3分7釐4毫。5. 管厚 = ?(3.74 – 2.64) =
? × 1.1 = 0.55﹝分﹞。6. 面羃 = 8.32 × 2.647407789 × = 5.506608201 = 5
.51﹝平方分﹞。7. 積實 = 56.12 × 5.51 = 309.0308522 = 309﹝立方分﹞。﹝十二﹞應鍾橫黍律長
五寸二分九釐七毫內周八分○釐八毫內徑二分五釐七毫外周一寸一分四釐三毫外徑三分六釐三毫面羃五分二十○釐積實二百七十五分應鍾橫黍律長5
.297寸 = 52.97分：1. 內周8.08分。2. 內徑 = 8.08 ÷ = = 2.571040256﹝分﹞，即2分
5釐7毫。3. 外周1.143寸 = 11.43分。4. 外徑 = 11.43 ÷ = = 3.637003729﹝分﹞，即3
分6釐3毫。5. 管厚 = ?(3.64 – 2.57) = ? × 1.07 = 0.535﹝分﹞。6. 面羃 = 8.08 ×
2.571040256 × = 5.1935 = 5.19﹝平方分﹞。﹝《律呂正論》作5.20方分﹞7. 積實 = 52.97
× 5.19 = 275.099 = 275﹝立方分﹞。將以上數字列成表如下﹝依序，序為律長序，亦為以上綜合算法之排列序﹞：序一
十二律橫黍律長/分內周﹝分﹞內徑﹝分﹞外周﹝分﹞外徑﹝分﹞面羃/平方分積實/立方分1黃鍾100.0011.113.5315.715.009.829822大呂94.3910.793.4315.264.869.268753太蔟89.0910.483.3314.834.728.747794夾鍾84.0910.183.2414.404.588.256945姑洗79.379.893.1513.994.457.796186仲呂74.919.613.0613.604.327.355517蕤賓70.719.342.9713.214.206.944918林鍾66.749.072.8812.834.086.554379夷則62.998.812.8012.473.966.1838910南呂59.468.562.7212.113.855.8334711無射56.128.322.6411.773.745.5130912應鍾52.978.082.5711.433.635.20275以下為〈橫黍律實積﹝即律管體積﹞長條圖〉，單位為“立方分”：宜注意長條末所形成之曲線。[1] |
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