专题24 与圆有关的位置关系的核心知识点精讲1.探索并了解点和圆、直线和圆以及圆和圆的位置关系．2．知道三角形的内心和外心．3．了解切线的
概念，并掌握切线的判定和性质，会过圆上一点画圆的切线.考点1：点与圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<
r点P在⊙O内；d=r点P在⊙O上；d>r点P在⊙O外。考点2：直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；2、直线与圆相切
有一个交点；3、直线与圆相交 有两个交点；考点3：切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直
线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如
上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①
过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。考点4：切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线
，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵、是的两条切线 ∴；平分考点5：三角形的内切圆和内心 （1）三角形的
内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。（2）三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角
形的内心。注意：内切圆及有关计算。（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。（2）△ABC中，∠C=90
°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。 BOA D（3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是
内切圆的半径。（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦
切角，∠ABC=∠D。 【题型1：点、直线与圆位置关系的判定】【典例1】（2023?宿迁）在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心
O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）A．2B．5C．6D．8【答案】B【解答】解：如图，
由题意得，OA＝2，OB＝3，当点P在BO的延长线与⊙O的交点时，点P到直线l的距离最大，此时，点P到直线l的最大距离是3+2＝5
，故选：B．1．（2022?六盘水）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（ ）A．相切B．相交
C．相离D．平行【答案】B【解答】解：根据直线与圆的位置关系可得，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系相交，故选：B．2．（20
21?浙江）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（ ）A
．相离B．相交C．相切D．相交或相切【答案】D【解答】解：⊙O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，即点A到圆心O的距离
大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，故选：D．【题
型2：切线的判定与性质】【典例2】（2023?盐城）如图，在△ABC中，O是AC上（异于点A，C）的一点，⊙O恰好经过点A，B，A
D⊥CB于点D，且AB平分∠CAD．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AC＝10，DC＝8，求⊙O的半径长．【答
案】（1）BC与⊙O相切，理由见解答；（2）⊙O的半径长为．【解答】解：（1）BC与⊙O相切，理由如下：如图，连接OB，∵OA＝O
B，∴∠OAB＝∠OBA，∵AB平分∠CAD，∴∠DAB＝∠CAB，∴∠DAB＝∠OBA，∴AD∥OB，∵AD⊥CB，∴OB⊥CB
，∵OB是⊙O的半径，∴BC与⊙O相切；（2）∵∠D＝90°，AC＝10，DC＝8，∴AD＝＝6，∵AD∥OB，∴＝，∴＝，∵OA
＝OB，∴OB＝，∴⊙O的半径长为．1．（2023?河南）如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB＝CA
．若OA＝5，PA＝12，则CA的长为 ．【答案】．【解答】解：连接OC，∵PA与⊙O相切于点A，∴∠OAP＝90°，∵OA＝
OB，OC＝OC，CA＝CB，∴△OAC≌△OBC（SSS），∴∠OAP＝∠OBC＝90°，在Rt△OAP中，OA＝5，PA＝12
，∴OP＝＝＝13，∵△OAC的面积+△OCP的面积＝△OAP的面积，∴OA?AC+OP?BC＝OA?AP，∴OA?AC+OP?B
C＝OA?AP，∴5AC+13BC＝5×12，∴AC＝BC＝，故答案为：2．（2023?武汉）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD
，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若，则sinC的值是（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解
：连接DB、DE，设AB＝m，∵＝，∴CD＝3AB＝3m，∵AD是⊙D的半径，AD⊥AB，∴AB是⊙D的切线，∵⊙D与BC相切于点
E，∴BC⊥DE，EB＝AB＝m，∠CBD＝∠ABD，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD＝3m
，∴CE＝CB﹣EB＝3m﹣m＝2m，∵∠CED＝90°，∴DE＝＝＝m，∴sinC＝＝＝，故选：B．3．（2023?内蒙古）如图
，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，点C是的中点，连接BC，过点C的直线垂直于BE的延长线于点D，交BA的延长线于点P．（1）求
证：PC为⊙O的切线；（2）若PC＝2BO，PB＝10，求BE的长．【答案】（1）略；（2）．【解答】（1）证明：连接OC，∵点C
是的中点，∴∠ABC＝∠DBC，∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥DB，∵PD⊥BD，∴PD⊥CO
，∴PC为⊙O的切线；（2）解：连接AE，设OB＝OC＝r，∵PC＝2BO＝2r，∴OP＝＝3r，∵PB＝10，∴3r+r＝10，
即r＝．∵OC∥DB，∴△PCO∽△PDB，∴，∴，∴BD＝，∵AB是⊙O的直径，∴AE⊥BD，∴AE∥PD，∴，∴，∴BE＝．4
．（2023?东营）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的
切线；（2）若∠C＝30°，CD＝2，求的长．【答案】（1）证明见解答；（2）的长是．【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC于点E，∴∠ODE＝∠CED＝90°，∵
OD是⊙O的半径，DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．（2）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB
＝AC，CD＝2，∴BD＝CD＝2，∵∠B＝∠C＝30°，∴AD＝BD?tan30°＝2×＝2，∵OD＝OA，∠AOD＝2∠B＝6
0°，∴△AOD是等边三角形，∴OD＝AD＝2，∵∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，∴＝＝，∴的长是．【题型3：三角形的外接
圆和内切圆】【典例3】（2021?毕节市）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点
D，连接BD，BE．（1）求证：DB＝DE；（2）若AE＝3，DF＝4，求DB的长．【答案】（1）见解析；（2）6．【解答】（1）
证明：∵点E是△ABC的内心，∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，又∵∠CAD与∠CB
D所对弧为，∴∠CAD＝∠CBD＝∠BAD．∵∠BED＝∠ABE+∠BAD，∠DBE＝∠CBE+∠CBD，∴∠BED＝∠DBE，故
DB＝DE．（2）解：∵∠D＝∠D，∠DBF＝∠CAD＝∠BAD，∴△ABD∽△BFD，∴①，∵DF＝4，AE＝3，设EF＝x，由
（1）可得DB＝DE＝4+x，则①式化为，解得：x1＝2，x2＝﹣6（不符题意，舍去），则DB＝4+x＝4+2＝6．1．（2023
?攀枝花）已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为πr2，则△ABC的面积为（ ）A．rlB．πrlC．rlD．πrl【答案】A
【解答】解：如图，设内切圆O与△ABC相切于点D，点E，点F，连接OA，OB，OC，OE，OF，OD，∵AB切⊙O于E，∴OE⊥A
B，OE＝r，∴S△AOB＝AB×OE＝AB×r，同理：S△BOC＝BC×r，S△AOC＝AC×r，∴S＝S△AOB+S△BOC+
S△AOC＝AB×r+BC×r+AC×r＝（AB+BC+AC）×r，∵l＝AB+BC+AC，∴S＝lr，故选：A．2．（2020?
济宁）如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．则△DBC的面积是（ ）A．4B．2C．2D．
4【答案】B【解答】解：过点B作BH⊥CD的延长线于点H．∵点D为△ABC的内心，∠A＝60°，∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+
∠ACB）＝（180°﹣∠A），∴∠BDC＝90°+∠A＝90°+×60°＝120°，则∠BDH＝60°，∵BD＝4，∴DH＝2，
BH＝2，∵CD＝2，∴△DBC的面积＝CD?BH＝＝2，故选：B．3．（2023?镇江）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十
五步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是
多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据勾、股，求得弦长．用勾、股、弦相加作为除数，用勾乘以股，再乘以2作为被除数，商即为该直角三
角形内切圆的直径，求得该直径等于 6 步（注：“步”为长度单位）．【答案】6．【解答】解：根据勾股定理得：斜边为＝17，则该直角
三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r＝＝3（步），即直径为6步，故答案为：6．4．（2023?湖州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB
＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交OA于点E，连结OB．（1）求证：BD＝BC．（2
）已知OC＝1，∠A＝30°，求AB的长．【答案】（1）见解答；（2）．【解答】（1）证明 如图，连结OD，∵半圆O与AB相切于
点D，∴OD⊥AB，∵∠ACB＝90°，∴∠ODB＝∠OCB＝90°，在Rt△ODB和Rt△OCB中，∴Rt△ODB≌Rt△OCB
（HL），∴BD＝BC；（2）解 如图，∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，∵Rt△ODB≌Rt△OCB，∴，
在Rt△OBC中，∵OC＝1，∴，在Rt△ABC中，．一．选择题（共8小题）1．平面内，已知⊙O的半径是8cm，线段OP＝7cm，
则点P（ ）A．在⊙O外B．在⊙O上C．在⊙O内D．不能确定【答案】C【解答】解：∵平面内，已知⊙O的半径r是8cm，线段OP＝
7cm，∴r＞OP，∴点P在⊙O内．故选：C．2．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（ ）A．4B．3C
．2D．1【答案】D【解答】解：设这个三角形的内切圆半径是r，∵三角形周长为12，面积为6，∴×12r＝6，解得r＝1．故选：D．
3．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，A、B、E是切点，CD分别交线段PA、PB于C、D两点，若∠APB＝40°，则∠COD的度
数为（ ）A．50°B．60°C．70°D．75°【答案】C【解答】解：由题意得，连接OA、OC、OE、OD、OB，所得图形如下
：由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB＝DE，AC＝CE，∵AO＝OE＝OB，∴△AOC≌△EOC（SAS），△
EOD≌△BOD（SAS），∴∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，∴∠COD＝∠AOB，∵∠APB＝40°，∴∠AOB＝140
°，∴∠COD＝70°．故选：C．4．已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）A．
0B．1C．2D．无法确定【答案】A【解答】解：∵⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，即圆心O到直线l的距离大于圆的半径，
∴直线l和⊙O相离，∴直线l与⊙O没有公共点．故选：A．5．已知⊙O和直线l相交，圆心到直线l的距离为10cm，则⊙O的半径可能为
（ ）A．11cmB．10cmC．9cmD．8cm【答案】A【解答】解：∵⊙O和直线l相交∴d＜r又∵圆心到直线l的距离为10c
m∴r＞10cm故选：A．6．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，点I是△ABC的内心，则∠BIC的度数为（ ）
A．40°B．70°C．110°D．140°【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝70°，∵点I是△ABC的内心，∴∠IB
C＝∠ABC＝35°，∠ICB＝∠ACB＝35°，∴∠IBC+∠ICB＝70°，∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝11
0°．故选：C．7．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC．若∠A＝36°，则∠C的度数为（ ）A．18
°B．27°C．36°D．54°【答案】B【解答】解：连接OB，∵AB切圆O于B，∴OB⊥AB，∴∠OBA＝90°，∵∠A＝36°
，∴∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠OBA＝54°，∵∠C和∠AOB是同弧所对的圆周角和圆心角，∴∠C＝∠AOB＝27°．故选：B．8
．如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且CO＝CD，则∠A的度数为（ ）A．45°B．30°C．22
.5°D．37.5°【答案】C【解答】解：∵CD切⊙O于C，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵CO＝CD，∴∠COD＝∠D＝45
°，∵OA＝CO，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠COD＝∠OAC+∠OCA＝45°，∴∠A＝22.5°．故选：C．二．填空题（共4小题
）9．如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作⊙M，当OM＝ 4 cm时，⊙M与OA相切．【答
案】见试题解答内容【解答】解：作MH⊥OA于点H，如图，当MH＝2cm时，⊙M与OA相切，因为∠O＝30°，所以此时OM＝2MH＝
4cm，即OM＝4cm时，⊙M与OA相切．10．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于
点D，若∠ABC＝65°，则∠D的度数是 40 度．【答案】40．【解答】解：连接OC，如图，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝65°∴∠BCD＝∠OCD﹣∠OCB＝90°﹣65°＝25°，∵∠OBC＝
∠BCD+∠D∴∠D＝65°﹣25°＝40°．故答案为：40．11．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则
∠AOB＝ 130° ．【答案】130°．【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP
＝∠OBP＝90°，∵∠OAP+∠AOB+∠OBP+∠P＝360°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°．故答案
为130°．12．如图是一块直角三角形木料，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，木工师傅要从中裁下一块圆形木料，则可裁圆形木料的最大
半径为 1 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝＝5，∴圆形木料的最大半径＝＝1，故
答案为：1．三．解答题（共3小题）13．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为
点D，且AC平分∠BAD．（1）求证：直线MN是⊙O的切线；（2）若AD＝4，AC＝5，求⊙O的半径．【答案】见试题解答内容【解答
】解：（1）连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠CAB＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥MN，
∴OC⊥MN，∵OC为半径，∴MN是⊙O切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∵∠DA
C＝∠BAC，∴△ADC∽△ACB，∴＝，∴＝，∴AB＝，∴⊙O半径是×＝．14．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AC
的中点，过C作⊙O的切线交OD的延长线于E，交AB的延长线于F，连EA．（1）求证：EA与⊙O相切；（2）若CE＝3，CF＝2，求
⊙O的半径．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵EF为切线，∴∠OCE＝90°，∵D为AC中点，∴OE⊥A
C，∴EC＝EA，∴∠ECA＝∠EAC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC+∠EAC＝∠OCA+∠ECA＝90°，即∠
EAO＝90°，∴EA为⊙O的切线；（2）解：连接BC，∵AB为直径，∴∠BCA＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵EF为切
线，∴∠BCF+∠BCO＝90°，且∠BCO＝∠CBA，∴∠BCF＝∠CAF，∴△BCF∽△CAF，∴，由（1）知EA为⊙O切线，
则EA＝EC＝3，EF＝EC+FC＝5，在Rt△AEF中，可求得AF＝4，∴，解得BF＝1，∴AB＝AF﹣BF＝3，∴⊙O的半径为
．15．如图，已知，BE是⊙O的直径，BC切⊙O于B，弦DE∥OC，连接CD并延长交BE的延长线于点A．（1）证明：CD是⊙O的切
线；（2）若AD＝2，AE＝1，求CD的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接OD，∵ED∥OC，∴∠COB＝∠DEO
，∠COD＝∠EDO，∵OD＝OE，∴∠DEO＝∠EDO，∴∠COB＝∠COD，在△BCO和△DCO中，∴△BCO≌△DCO（SA
S），∴∠CDO＝∠CBO，∵BC为圆O的切线，∴BC⊥OB，即∠CBO＝90°，∴∠CDO＝90°，又∵OD为圆的半径，∴CD为
圆O的切线；（2）解：∵CD，BC分别切⊙O于D，B，∴CD＝BC，∵AD2＝AE?AB，即22＝1?AB，∴AB＝4，设CD＝B
C＝x，则AC＝2+x，∵A2C＝AB2+BC2∴（2+x）2＝42+x2，解得：x＝3，∴CD＝3．一．选择题（共6小题）1．如
图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是内心，若CO＝2，△ABC的周长为16，则△ABC的面积为（ ）A．B．C．16D．
32【答案】B【解答】解：过O点作OD⊥AB于D点，OE⊥AC于E点，OF⊥BC于F点，连接OA、OB，如图，∵⊙O为△ABC的内
切圆，∴OD＝OE＝OF，OC平分∠ACB，∴∠OCE＝∠OCF＝∠ACB＝45°，∴OE＝OC＝，∴OD＝OF＝，∵S△AOB+
S△AOC+S△BOC＝S△ABC，∴××AB+××AC+××BC＝×（AB+AC+BC），∵AB+AC+BC＝16，∴△ABC的
面积＝××16＝8，故选：B．2．一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（ ）A．B．1C．D．【答案】C【解
答】解：如图：过O点作OD⊥AB，则AD＝AB＝1，∵∠OAD＝30°，∴OD＝tan30°?AD＝．故选：C．3．如图，已知空间
站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最
大值是（ ）A．aB．bC．a+bD．a﹣b【答案】C【解答】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最大值a+b．故
选：C．4．在平面直角坐标系中，以点A（4，3）为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（
）A．0＜R＜5B．3＜R＜4C．3＜R＜5D．4＜R＜5【答案】C【解答】解：∵A（4，3），∴，∵原点O在圆A的外部，∴R
＜OA，即R＜5，∵圆A与x轴相交，∴R＞3，∴3＜R＜5，故选：C．5．在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半
径的圆与x轴的位置关系是（ ）A．相交B．相离C．相切D．无法判断【答案】C【解答】解：∵圆心的坐标为（﹣3，4），∴圆心与x轴
距离为4，等于其半径4，∴以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆与x轴的关系为相切．故选：C．6．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A
，B两点，∠C＝55°，则∠P等于（ ）A．110°B．70°C．140°D．55°【答案】B【解答】解：连接OB、OA，如图，
∵PA、PB分别与圆O相切于A、B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠P，∵∠C
＝55°，∴∠AOB＝2∠C＝110°，∴∠P＝180°﹣110°＝70°，故选：B．二．填空题（共4小题）7．在《九章算术》卷九
中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形勾（短直角边）长为8步，股（长直角边
）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为 6 步．【答案】6．【解答】解：根
据勾股定理得：斜边AB＝＝17，∴内切圆直径＝8+15﹣17＝6（步），故答案为：6．8．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两
点，∠P＝60°，PA＝6，则⊙O的半径为 2 ．【答案】2．【解答】解：连接OB，OP，∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点
，∴OB⊥PB，PO平分∠APB，∵∠APB＝60°，∴∠OPB＝∠APB＝30°，∵tanOPB＝tan30°＝，∴OB＝PB?
tan30°＝6×＝2．∴⊙O的半径是2．故答案为：2．9．如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，若⊙C的半径为1，P为AB边上一
动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，作AE⊥BC于点E，CD⊥
AB于点D，连接CP、CQ，∵BC＝AB＝AC＝2，∴，∵∠AEB＝90°，∴，∵，∴，∴，∵PQ切⊙O于点Q，CQ＝1，∴PQ⊥
CQ，∴∠CQP＝90°，∴，∴当CP的值最小时，PQ的值最小，∴当点P与点D重合时，CP的值最小，此时，∴PQ最小＝，故答案为：
．10．如图，已知⊙P的半径为1，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与x轴相切时，请写出所有符合条件的点P的坐标为 （﹣2，1），（2
，1），（0，﹣1） ．【答案】（﹣2，1），（2，1），（0，﹣1）．【解答】解：设点P的坐标为（m，n），∵点P在抛物线y＝x
2﹣1上，∴n＝m2﹣1，∵⊙P的半径为1，∴当⊙P与x轴相切时，n＝1或n＝﹣1，当n＝1时，则m2﹣1＝1，解得m1＝﹣2，m
2＝2；当n＝﹣1时，则m2﹣1＝﹣1，解得m＝0，∴点P的坐标为（﹣2，1）或（2，1）或（0，﹣1），故答案为：（﹣2，1），
（2，1），（0，﹣1）．三．解答题（共3小题）11．如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，且AD＝DC，过A，B，D三
点作⊙O，AE是⊙O的直径，连接DE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sinC＝，AC＝6，求⊙O的直径．【答案】见试题解答
内容【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD＝DC，∴∠C＝∠B，∠1＝∠C，∴∠1＝∠B，又∵∠E＝∠B，∴∠1＝∠E，∵AE是⊙
O的直径，∴∠ADE＝90°，∴∠E+∠EAD＝90°，∴∠1+∠EAD＝90°，即∠EAC＝90°，∴AE⊥AC，∴AC是⊙O的
切线；（2）解：过点D作DF⊥AC于点F，如图，∵DA＝DC，∴CF＝AC＝3，在Rt△CDF中，∵sinC＝＝，设DF＝4x，D
C＝5x，∴CF＝＝3x，∴3x＝3，解得x＝1，∴DC＝5，∴AD＝5，∵∠ADE＝∠DFC＝90°，∠E＝∠C，∴△ADE∽△
DFC，∴＝，即＝，解得AE＝，即⊙O的直径为．12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点
D是BC边上的中点，连接DE．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）连接OC交DE于点F，若⊙O的半径为3，DE＝4，求的值．【答案】
见试题解答内容【解答】解：（1）连接OE、BE，如图所示：∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∵AB是直径，∴∠AEB＝
90°，∴∠BEC＝90°，∵D是BC的中点，∴DE＝BC＝CD，∴∠DEC＝∠ACB，∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO，∴∠AEO
+∠DEC＝90°，∴∠OED＝90°，∴OE⊥DE，∵OE为⊙O的半径，∴DE与⊙O相切；（2）连接OD，如图所示：∵DE＝BC
＝4，∴BC＝8，∵AB＝2×3＝6，∴AC＝，∵∠ABC＝90°，∴BC与⊙O相切，根据切割线定理得：BC2＝CE?AC，∴CE
＝，∵O是AB的中点，D是BC的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，OD＝AC＝5，∴△ODF∽△CEF，∴．13．如图
，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB＝2∠EAB．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）
若cosC＝，AC＝6，求BF的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：连接AD，如图，∵E是的中点，∴＝，∴∠EAB＝∠E
AD，∵∠ACB＝2∠EAB，∴∠ACB＝∠DAB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAC+∠ACB＝90°，∴∠DA
C+∠DAB＝90°，即∠BAC＝90°，∴AC⊥AB，∵OA为⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；（2）解：作FH⊥AB于H，如图，
在Rt△ACD中，∵cosC＝＝，∴CD＝×6＝4，在Rt△ACB中，∵cosC＝＝，∴BC＝×6＝9，∴BD＝BC﹣CD＝9﹣4
＝5，∵∠EAB＝∠EAD，即AF平分∠BAD，而FD⊥AD，FH⊥AB，∴FD＝FH，设BF＝x，则DF＝FH＝5﹣x，∵FH∥
AC，∴∠HFB＝∠C，在Rt△BFH中，∵cos∠BFH＝cosC＝＝，∴＝，解得x＝3，即BF的长为3．1．（2020?广州）
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r＝3时，⊙B与AC的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定【答案】B【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，∴＝＝，∴AC＝4
，∴BC＝＝3，∵r＝3，∴BC＝r＝3，∴⊙B与AC的位置关系是相切，故选：B．2．（2023?湘西州）如图，AB为⊙O的直径，
点P在AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D．若AB＝10，PC＝12，则sin∠CAD等于（ ）A．B．C．D
．【答案】D【解答】解：连接OC、OD、CD，CD交PA于E，如图，∵PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D，∴OC⊥CP，PC＝
PD，OP平分∠CPD，∴OP⊥CD，∴＝，∴∠COB＝∠DOB，∵，∴∠COB＝∠CAD，∵AB＝10，∴AO＝OC＝OB＝5，
∵OC＝5，PC＝12，在Rt△OCP中，，∴，∴．故选：D．3．（2020?泰州）如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，P
H＝4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为 3cm或5cm ．【答案】见试题解答内容【解答】
解：∵直线a⊥b，O为直线b上一动点，∴⊙O与直线a相切时，切点为H，∴OH＝1cm，当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，如图
1所示：OP＝PH﹣OH＝4﹣1＝3（cm）；当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，如图2所示：OP＝PH+OH＝4+1＝5（c
m）；∴⊙O与直线a相切，OP的长为3cm或5cm，故答案为：3cm或5cm．4．（2021?青海）点P是非圆上一点，若点P到⊙O
上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O的半径是 6.5cm或2.5cm ．【答案】见试题解答内容【解答】解：分为两种
情况：①当点在圆内时，如图1，∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离PA＝9cm，∴直径AB＝4+9＝13（cm），∴半径r＝
6.5cm；②当点在圆外时，如图2，∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离PA＝9cm，∴直径AB＝9﹣4＝5（cm），∴半径
r＝2.5cm．综上所述，圆O的半径为6.5cm或2.5cm．故答案为：6.5cm或2.5cm．5．（2023?黑龙江）如图，AB
是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠B＝28°，则∠P＝ 34 °．【答案】34．【解答】解：∵PA切
⊙O于点A，∴∠OAP＝90°，∵∠B＝28°，∴∠AOC＝2∠B＝56°，∴∠P＝90°﹣∠AOC＝34°，故答案为：34．6．
（2022?黔东南州）如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则图中阴影部分的面积
是 cm2．（结果用含π的式子表示）【答案】π．【解答】解：∵∠A＝80°，⊙O是△ABC的内切圆，∴∠DOE＝180°﹣（）
＝180°﹣（180°﹣∠A）＝130°，∴S扇形DOE＝＝（cm2），故答案为：．7．（2023?鄂州）如图，AB为⊙O的直径，
E为⊙O上一点，点C为的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线
；（2）若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半径长．【答案】（1）证明见解析；（2）2.5．【解答】（1）证明：连接OC，∵点C为的中点
，∴，∴∠EAC＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∴∠EAC＝∠OCA，∴AE∥OC，∴∠ADC＝∠OCF，∵CD⊥
AE，∴∠ADC＝90°，∴∠OCF＝90°，即OC⊥DF，又OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接CE，BC，由（
1）知CD是⊙O的切线，∴CD2＝DE?AD，∵DE＝1，DC＝2，∴AD＝4，在Rt△ADC中，由勾股定理得，在Rt△DCE中，
由勾股定理得，∵点C是的中点，∴，∴EC＝BC＝，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，由勾股定理得，∴⊙O的半径长是2.5．8
．（2023?辽宁）如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE＝∠ABC
．（1）求证：EF与⊙O相切；（2）若BF＝1，sin∠AFE＝，求BC的长．【答案】（1）详见解答；（2）．【解答】（1）证明：
如图，连接OE，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠FOE＝∠OAE+∠OEA＝2∠OAE，∵∠CAB＝2∠EAB，∴∠CAB
＝∠FOE，又∵∠AFE＝∠ABC，∴∠CAB+∠ABC＝∠FOE+∠AFE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+
∠ABC＝90°＝∠FOE+∠AFE，∴∠OEF＝90°，即OE⊥EF，∵OE是半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：在Rt△EOF
中，设半径为r，即OE＝OB＝r，则OF＝r+1，∵sin∠AFE＝＝＝，∴r＝4，∴AB＝2r＝8，在Rt△ABC中，sin∠A
BC＝＝sin∠AFE＝，AB＝8，∴AC＝×8＝，∴BC＝＝．9．（2023?眉山）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点E，AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AC于点D，延长DE交AB的延长线于点P．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）若，BP＝4，求CD的长．【答案】（1）证明过程见解答；（2）CD的长为．【解答】（1）证明：如图，连接OE，∵AE平分∠BAC，∴∠OAE＝∠DAE，∵OE＝OA，∴∠OEA＝∠OAE，∴∠DAE＝∠OEA，∴OE∥AD，∵ED⊥AC，∴OE⊥PD，∵OE是⊙O的半径，∴PE是⊙O的切线；（2）解：∵＝，BP＝4，OB＝OE，∴＝，∴OE＝2，∴AB＝2OE＝4，∴AP＝AB+BP＝8， 在Rt△APD中，sin∠P＝＝，∴AD＝AP＝，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°＝∠AEC，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵AE＝AE，∴△AEB≌△AEC（ASA），∴AB＝AC＝4，∴CD＝AC﹣AD＝4﹣＝，∴CD的长为．10．（2023?朝阳）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于点D，E，点F在BC上，∠CDF＝∠ABD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若＝，tan∠CDF＝，BC＝，求⊙O的半径．【答案】（1）证明过程见解答；（2）⊙O的半径为．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵AB是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝90°，∴∠BDF+∠CDF＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵∠CDF＝∠ABD，∴∠ODB＝∠CDF，∴∠ODB+∠BDF＝90°，∴∠ODF＝90°，∴DF⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O 的切线；（2）解：如图，连接AE，∵＝，∴∠BAE＝∠CAE，∵AB是⊙O 的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AEC＝90°，∴∠AEB＝∠AEC，∵AE＝AE，∴△AEB≌△AEC（ASA），∴AB＝AC，∵tan∠CDF＝，∠CDF＝∠ABD，∴tan∠ABD＝，在Rt△ABD中，＝，设AD＝4x，则BD＝3x，∴AB＝＝5x，∴AC＝5x，∴CD＝x，在Rt△BDC中，BD2+CD2＝BC2，∴（3x）2+x2＝（）2，∴x＝1，∴5x＝5，∴AB＝5，∴OA＝，∴⊙O的半径为 |
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