2 2 x y + =1 25 16 主 要内容 : 2 2 x y 本 文介绍 已知椭圆 + =1 分别 沿着平 行于 x 轴、y 轴、 25 16 斜 直线移 动后椭圆 方向和 绕点对称 移动 、 旋 转 90 ° 的椭圆 方程 , 以 及移动 后椭圆的 顶点、 焦点、准 线方程 的表达式 。 ※. 椭 圆移动 :沿着 垂直 x 轴方向移 动。 2 2 x y 例 如,求 椭圆 + =1 向 上移 动 1 个单 位后的 椭圆方程 。 25 16 根 据题意 ,此时是 垂直 x 轴移 动, 即沿着 y 轴 方向 向 上移 动 1 个单 位,则移 动后的 椭圆方程 为: 2 2 x (y-1) + =1. 25 16 移 动后的 椭圆与原 椭圆的 性质对比 : 1.形状大 小不改变 ,长轴 长、短轴 长、离 心率等均 不变; 2.椭圆的 中心点由 原来的 原点 O(0,0) 移动 到 O (0,1) ; 1 3.x 轴 方 向 上 的 两 个 顶 点 A(-5,0) ,B(5,0) 分 别 移 动 到 A1(-5,1) ,B1(5,1) ; 4.y 轴 方 向 上 的 两 个 顶 点 C(0,4),D(0,-4) 分别移动到 C (0,5),D(0,-3) ; 1 1 5. 椭 圆 的 两 个 焦 点 F (-3,0),F (3,0) 分 别 移 动 到 1 2F (-3,1),F (3,1); 3 4 25 25 6.此时椭 圆移动前 后两个 准线方程 x =- ,x= 不 变。 1 2 3 3 ※. 椭 圆移动 :沿着 垂直 y 轴方向移 动。 2 2 x y 例 如, 求椭圆 + =1 沿着x 轴 负向移动 7 个单 位后的椭 25 16 圆 方程。 根 据题意 ,此时是 垂直 y 轴移 动, 即沿着 x 轴 方向 向上移 动 7 个单 位,则移 动后的 椭圆方程 为: 2 2 (x+7) y + =1. 25 16 移 动后的 椭圆与原 椭圆的 性质 对比 : 1.形状大 小不改变 ,长轴 长、短轴 长、离 心率等均 不变; 2.椭圆的 中心点由 原来的 原点 O(0,0) 移动 到 O1(-7,0) ; 3.x 轴 方 向 上 的 两 个 顶 点 A(-5 ,0) ,B(5 ,0) 分 别 移 动 到 A (-12 ,0) ,B (-2 ,0) ; 1 1 4.y 方 向 轴 上 的 两 个 顶 点 C(0,4),D(0,-4) 分别移动到 C (-7,4),D (-7,-4) ; 1 1 5. 椭 圆 的 两 个 交 点 F (-3,0),F (3,0) 分 别 移 动 到 1 2 F (-10,0),F (-4,0); 3 4 25 25 6. 此 时 椭 圆 两 个 准 线 方 程 x =- ,x = 平 移 后 为 : 1 2 3 346 4 x =- ,x = . 3 4 3 3 ※. 椭 圆移动 :沿着 斜直线 方向移动 。 2 2 x y 例 如, 求椭圆 + =1 沿着x 轴 正向移动 2 个单 位, 再向 25 16 下 移动 1 个单位后 的椭圆 方程。 此 时既有 平行 x 轴 ,也有 平行 y 轴 移动, 实质是沿 着斜直 线 移动, 根据题意 则移动 后的椭圆 方程为 : 2 2 (x-2) (y+1) + =1. 25 16 移 动后的 椭圆与原 椭圆的 性质对比 : 1.形状大 小不改变 ,长轴 长、 短轴 长、离 心率等均 不变; 2.椭圆的 中心点由 原来的 原点 O(0,0) 移动 到 O (2,-1) ; 1 3.x 轴 方 向 上 的 两 个 顶 点 A(-5 ,0) ,B(5 ,0) 分 别 移 动 到 A (-3,-1) ,B (7,-1) ; 1 1 4.y 轴 方 向 上 的 两 个 顶 点 C(0,4),D(0,-4) 分别移动到 C (2,4),D(2,-4) ; 1 1 5. 椭 圆 的 两 个 交 点 F (-3,0),F (3,0) 分 别 移 动 到 1 2 F (-1,-1),F (5,-1); 3 4 25 25 6.此时椭 圆两个准 线方 程 x =- ,x= 平移 后为: 1 2 3 3 19 31 x =- ,x = . 3 4 3 3 ※. 椭 圆移动 :绕点 对称移 动。 2 2 x y 例 如,求 椭圆 + =1 绕点M(2,3) 的对 称椭圆 方程。 25 16 根 据题意 ,此时只 需要求 解已知椭 圆的中 心 0(0,0) 关于点 M(2,3) 的 对称 点 O 的坐 标,即 可得 到其对 称椭圆方 程。 1 由 于点 M(2,3) 是点 0(0,0) 和 O 的中点,所以点 O1 的坐标 1 为 O (4,6) , 则对称 椭圆方 程为: 1 2 2 (x-4) (y-6) + =1. 25 16 移动 后的 椭圆与原 椭圆的 性质对比 : 1.形状大 小不改变 ,长轴 长、短轴 长、离 心率等均 不变; 2.椭圆的 中心点由 原来的 原点 O(0,0) 移动 到 O (4,6) ; 1 3.x 轴 方 向 上 的 两 个 顶 点 A(-5 ,0) ,B(5 ,0) 分 别 移 动 到 A (9,6) ,B (-1,6) ; 1 1 4.y 轴 方 向 上 的 两 个 顶 点 C(0,4),D(0,-4) 分别移动到 C (4,2),D(4,10) ; 1 1 5. 椭 圆 的 两 个 交 点 F (-3,0),F (3,0) 分 别 移 动 到 1 2 F (7,6),F(1,6); 3 4 25 25 6.此时椭 圆两个准 线方 程 x =- ,x= 移后 为: 1 2 3 3 13 37 x =- ,x = . 3 4 3 3 ※.椭圆 旋转 :绕中 心旋转 移动 。 2 2 x y 例 如,求 椭圆 + =1 绕中心 顺时针旋转 90 °的 椭圆方 25 16 程。 根 据题意 , 此 时长 轴变短 轴, 短轴 变长轴 , 顺 时针 旋转 90 ° 后 的椭圆 方程为: 2 2 x y + =1. 16 25 旋 转后的 椭圆与原 椭圆的 性质对比 : 1. 形状由横向变成纵向,椭圆的中心、离心率等不变,但 椭 圆的长 轴长、短 轴长互 换; 2.x 轴 方 向 上 的 两 个 顶 点 A(-5,0) ,B(5,0) 分 别 旋 转 到 A (4,0) ,B (-4,0) ; 1 1 3.y 轴 方 向 上 的 两 个 顶 点 C(0,4),D(0,-4) 分别旋转到 C (-5,0),D (5,0) ; 1 1 4. 椭 圆 的 两 个 焦 点 F (-3,0),F (3,0) 分 别 旋 转 到 F (0 , 1 2 3 3),F(0 ,-3); 4 25 25 5. 此 时 椭 圆 两 个 准 线 方 程 x =- ,x= 顺 时 针 旋 转 后 分 1 2 3 3 25 25 别 为:y = ,y=- . 3 4 3 3 ※.椭圆 旋转 :绕定 点旋转 移 动 。 2 2 x y 例 如,求 椭圆 + =1 绕定 点 K(1,1) 逆 时针旋 转 90 °的 25 16 椭 圆方程 。 根 据题意 , 逆时针 旋转 90 °, 椭圆 的原中 心 O(0,0) 旋转到 点 Y, 为旋转 后椭圆 的中心 ,此时△OKY 为 等腰直角 三角形 ,OY 的 距离为 2 OK=2, 即坐 标为 Y(2,0), 所 以逆时 针旋转 90 °后的 椭 圆方程 为: 2 2 (x-z1) y + =1. 16 25 旋 转后的 椭圆与原 椭圆的 性质对比 : 1. 形状由横向变成纵向,椭圆的离心率等不变,但椭圆的 长 轴长、 短轴长互 换; 2.椭圆的 中心点由 原来的 原点 O(0,0) 旋转 到 O (2,0) ; 1 3.x 轴 方 向 上 的 两 个 顶 点 A(-5,0) ,B(5,0) 分 别 旋 转 到 A (2,-5) ,B (2,5) ; 1 1 4.y 轴 方 向 上 的 两 个 顶 点 C(0,4),D(0,-4) 分别旋转到 C (-2,0),D (6,0) ; 1 1 5. 椭 圆 的 两 个 焦 点 F (-3,0),F (3,0) 分 别 旋 转 到 1 2 F (2,-3),F (2,3); 3 4 25 25 6. 此 时 椭 圆 两 个 准 线 方 程 x =- ,x= 逆 时 针 旋 转 后 分 1 2 3 3 25 25 别 为:y =- ,y = . 3 4 3 3 |
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