引理2

引 理 2 . 1 ( d u B o i s - R e y m o n d ) 不 成 立
1
引 理 2 . 1 ( d u B o i s - R e y m o n d ) 若 ? ∈ C t ， t ， 且
0 0 1
1
ψ ? ? ? ? ? ? = 0 ， ? ? ∈ ? ? ，
0
?
1 1
其 中 ? ? = ? ∈ ? ? | ? t = ? t = 0 ， 则 ? = ? ? ? ? ? 。
0 1
0
t
1
1
证 明 令 c = ? ? ? ? 且 λ t = ψ s ? c d s ， 则 λ ∈ ? ? 。 因 此 ，
0
? t
| J| 0
2
ψ ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? = ψ ? ? ? ? ? ? = 0
? ? ?
= c o n s t
因 为 ψ 是 连 续 的 ， 所 以 ψ 。
分 析 ：
t
如 果 ψ = c o n s t ， 那 么 ψ = c ， 那 么 λ t = ψ s ? c d s = 0 ， 由 于 λ t 的 任 意 性 ， 出 现
t
0
t
矛 盾 ， 并 且 λ t = ψ s ? c d s 是 对 λ t 的 限 制 ， 是 不 可 取 的 ， 它 不 能 用 来 证 明
t
0
E u l e r - L a g r a n g e 方 程 ：
?
? ?
? ? ? ， ? ? ， ? ? ? ? ? ? ? ， ? ? ， ? = ? ? ? ? ? ， 1 ≤ ? ≤ ? ， ? ?
? ?
?
0
?
?
对 于 ? ? ? ， ? ? ， ? ? ? ? ? ? ? ? ， ? ? ， ? ? ? ? ? ? = 0 ?①
? ?
? ?
0
? ? ?
分 析 ， 由 于 ? ? 的 任 意 性 ， ? ? = ? ? = 0 ， 利 用 分 部 积 分 法 对① 式 分 部 积 分 得 ：
0 1
?
?
? ? ? ， ? ? ， ? ? ? ? ? ? ? ? ， ? ? ， ? ? ? ? ? ? = 0
? ?
? ?
?
?
? ?
由 于 ? ? = ? ? = 0 ， 所 以 当 ? ? ? ， ? ? ， ? ? ? ? ? ? ? ? ， ? ? ， ? ? = 0
0 1
? ?
? ?
?
?
? ? ? ， ? ? ， ? ? ? ? ? ? ? ? ， ? ? ， ? ? ? ? ? ? = 0
时 。
? ?
?
? ?
对 于 函 数 u 是 否 存 在 唯 一 的 函 数 ? 使 得 函 数 I u = L t ， u t ， u t d t 取 得 最 小 值 需
0
J
要 另 作 判 断 ， 由 于 泛 函 I u = L t ， u t ， u t d t 的 临 界 点 可 能 不 唯 一 ， 所 以 满 足
J
?
? ? ? ， ? ? ， ? ? ? ? ? ? ? ? ， ? ? ， ? ? = 0
? ?
? ?
的 ? ? 可 能 不 唯 一 ， 要 根 据 具 体 情 况 判 断 哪 个 是 极 大 值 哪 个 是 极 小 值 ， 哪 些 是 其 它 临 界 点 。
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这 里 对 于 I u = L t ， u t ， u t d t ， 我 们 要 求 给 定 区 间 J = t ， t 包 含 于 ? 和 一 个
0 1
J
? 1 N 1
开 区 域 Ω 包 含 于 ? ， 给 定 一 连 续 可 微 函 数 L = L t ， u t ， u t ， L ∈ C J × Ω × R ， R ，
再 给 定 两 个 点 ? ， ? ∈ Ω ， 令
0 1
1
M = U ∈ C J , Ω | u t = P ， i = 0 ， 1
i i
以 及 M 上 的 泛 函 I u = L t ， u t ， u t d t
J