2
2-5x
函数 y= 的图像示意图
2
21+x
※.函数的定义域
2
∵分式函数的分母 21+x >0,对任意的 x 都成立，则自变量 x
可以取全体实数，
2
2-5x
∴函数 y= 的定义域为(-∞，+∞）。
2
21+x
※.函数的单调性
本步骤用导数知识来判断，先求函数的一阶导数：
2
2-5x
∵y=
2
21+x
2 2
dy -10x(21+x)-2x(2-5x)
∴ =
2 2
dx (21+x)
x
=-2107 ,则函数的单调性为：
2 2
(21+x)
dy
(1).当 x≥0时， ≤0，此时函数y 在定义域上为减函数；
dx
dy
(2).当 x＜0时， ＞0，此时函数y 在定义域上为增函数。
dx
此时 x=0处，函数y有最大值，即：
2-0 2
y =f(0)= = .
max
21+0 21※.函数的值域
2
2-5x
2
把函数 y= 变形为x 的二次方程为：
2
21+x
2 2 2
(21+x)y=2-5x (5+y)x=2-21y
2-21y
2
2
则有：x= ≥0，解出：-5＜y≤ ，
21
5+y
2
所以函数y的值域为：(-5, ]。
21
※.函数的凸凹性
dy x
∵ =-2107 ,
2 2
dx (21+x)
2 2 2 2 2
d y (21+x) -4x(21+x)
∴ =-2107
2 2 4
dx (21+x)
2 2 2
d y 3x-21 d y
2
=2107 ,令 =0，则3x-21=0，
2 2 3 2
dx (21+x) dx
则x=- 7，x= 7，此时函数的凸凹性为：
1 2
2
d y
(1).当 x∈(-∞，- 7)∪( 7,+∞）时， ＞0，
2
dx
此时函数y的图像为凹曲线；
2
d y
(2).当 x∈[- 7， 7]时， ≤0，
2
dx
此时函数y的图像为凸曲线。 ※.函数的奇偶性
2
2-5x
∵f(x)= ,
2
21+x
2
2-5(-x)
∴f(-x)=
2
21+(-x)
2
2-5x
= ，
2
21+x
即 f(-x)=f(x),则函数为偶函数，
其图像关于y 轴对称。
※ .函数的五点图表
0 1.32 2.65 3.97 5.29
x
2
2 -6.71 -33.11 -76.80 -137.92
2-5x
2
21 22.74 28.02 36.76 48.98
21+x
0.10 -0.30 -1.18 -2.09 -2.82
y
-5.29 -3.97 -2.65 -1.32 0
x
2
-137.92 -76.80 -33.11 -6.71 2
2-5x
2
48.98 36.76 28.02 22.74 21
21+x
-2.82 -2.09 -1.18 -0.30 0.10
y
※ .函数的图像示意图
2
2-5x
y=
2
21+x
y
（0,0.10）
(-1.32,-0.30) (1.32,-0.30)
(-2.65,-1.18) (2.65,-1.18)
(-3.97,-2.09) (3.97,-2.09)
(-5.29,-2.82) (5.29,-2.82) |
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