2
2-5x
函数 y= 的图像示意图
2
24+x
※.函数的定义域
2
∵分式函数的分母 24+x >0,对任意的 x 都成立，则自变量 x
可以取全体实数，
2
2-5x
∴函数 y= 的定义域为(-∞，+∞）。
2
24+x
※.函数的单调性
本步骤用导数知识来判断，先求函数的一阶导数：
2
2-5x
∵y=
2
24+x
2 2
dy -10x(24+x)-2x(2-5x)
∴ =
2 2
dx (24+x)
x
=-2122 ,则函数的单调性为：
2 2
(24+x)
dy
(1).当 x≥0时， ≤0，此时函数y 在定义域上为减函数；
dx
dy
(2).当 x＜0时， ＞0，此时函数y 在定义域上为增函数。
dx
此时 x=0处，函数y有最大值，即：
2-0 1
y =f(0)= = .
max
24+0 12※.函数的值域
2
2-5x
2
把函数 y= 变形为x 的二次方程为：
2
24+x
2 2
(24+x)y=2-5x
2
(5+y)x=2-24y
2-24y
1
2
则有：x= ≥0，解出：-5＜y≤ ，
12
5+y
1
所以函数y的值域为：(-5, ]。
12
※.函数的凸凹性
2 2 2 2 2
d y (24+x) -4x(24+x)
dy x
∵ =-2122 ,∴ =-2122
2 2
2 2 4
dx (24+x)
dx (24+x)
2 2 2
d y 3x-24 d y
2
=2122 ,令 =0，则3x-24=0，
2 2 3 2
dx (24+x) dx
则x=-2 2，x=2 2，此时函数的凸凹性为：
1 2
2
d y
(1).当 x∈(-∞，-2 2)∪(2 2,+∞）时， ＞0，
2
dx
此时函数y的图像为凹曲线；
2
d y
(2).当 x∈[-2 2，2 2]时， ≤0，
2
dx
此时函数y的图像为凸曲线。
※.函数的奇偶性
2
2-5x
∵f(x)= ,
2
24+x
2
2-5(-x)
∴f(-x)=
2
24+(-x)
2
2-5x
= ，
2
24+x
即 f(-x)=f(x),则函数为偶函数，
其图像关于y 轴对称。
※ .函数的五点图表
0 1.41 2.83 4.24 5.66
x
2
2 -7.94 -38.04 -87.89 -158.18
2-5x
2
24 25.99 32.01 41.98 56.04
24+x
0.08 -0.31 -1.19 -2.09 -2.82
y
-5.66 -4.24 -2.83 -1.41 0
x
2
-158.18 -87.89 -38.04 -7.94 2
2-5x
2
56.04 41.98 32.01 25.99 24
24+x
-2.82 -2.09 -1.19 -0.31 0.08
y
※ .函数的图像示意图
2
2-5x
y=
2
24+x
y
（0,0.08）
(-1.41,-0.31) (1.41,-0.31)
(-2.83,-1.19) (2.83,-1.19)
(-4.24,-2.09) (4.24,-2.09)
(-5.66,-2.82) (5.66,-2.82) |
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