2
2-5x
函数 y= 的图像示意图
2
25+x
※.函数的定义域
2
∵分式函数的分母 25+x >0,对任意的 x 都成立，则自变量 x
可以取全体实数，
2
2-5x
∴函数 y= 的定义域为(-∞，+∞）。
2
25+x
※.函数的单调性
本步骤用导数知识来判断，先求函数的一阶导数：
2
2-5x
∵y=
2
25+x
2 2
dy -10x(25+x)-2x(2-5x)
∴ =
2 2
dx (25+x)
x
=-2127 ,则函数的单调性为：
2 2
(25+x)
dy
(1).当 x≥0时， ≤0，此时函数y 在定义域上为减函数；
dx
dy
(2).当 x＜0时， ＞0，此时函数y 在定义域上为增函数。
dx
此时 x=0处，函数y有最大值，即：
2-0 2
y =f(0)= = .
max
25+0 25※.函数的值域
2
2-5x
2
把函数 y= 变形为x 的二次方程为：
2
25+x
2 2
(25+x)y=2-5x
2
(5+y)x=2-25y
2-25y
2
2
则有：x= ≥0，解出：-5＜y≤ ，
25
5+y
2
所以函数y的值域为：(-5, ]。
25
※.函数的凸凹性
2 2 2 2 2
d y (25+x) -4x(25+x)
dy x
∵ =-2127 ,∴ =-2127
2 2
2 2 4
dx (25+x)
dx (25+x)
2 2 2
d y 3x-25 d y
2
=2127 ,令 =0，则3x-25=0，
2 2 3 2
dx (25+x) dx
5 3 5 3
则x=- ，x= ，此时函数的凸凹性为：
1 2
3 3
2
5 3 5 3 d y
(1).当 x∈(-∞，- )∪( ,+∞）时， ＞0，
2
3 3 dx
此时函数y的图像为凹曲线；
2
5 3 5 3 d y
(2).当 x∈[- ， ]时， ≤0，
2
3 3 dx
此时函数y的图像为凸曲线。 ※.函数的奇偶性
2
2-5x
∵f(x)= ,
2
25+x
2
2-5(-x)
∴f(-x)=
2
25+(-x)
2
2-5x
= ，
2
25+x
即 f(-x)=f(x),则函数为偶函数，
其图像关于y 轴对称。
※ .函数的五点图表
0 1.44 2.89 4.33 5.77
x
2
2 -8.37 -39.76 -91.74 -164.46
2-5x
2
25 27.07 33.35 43.75 58.29
25+x
0.08 -0.31 -1.19 -2.10 -2.82
y
-5.77 -4.33 -2.89 -1.44 0
x
2
-164.46 -91.74 -39.76 -8.37 2
2-5x
2
58.29 43.75 33.35 27.07 25
25+x
-2.82 -2.10 -1.19 -0.31 0.08
y
※ .函数的图像示意图
2
2-5x
y=
2
25+x
y
（0,0.08）
(-1.44,-0.31) (1.44,-0.31)
(-2.89,-1.19) (2.89,-1.19)
(-4.33,-2.10) (4.33,-2.10)
(-5.77,-2.82) (5.77,-2.82) |
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