台江县第三中学八年级下册数学单元测试卷第十八章 平行四边形 （本试卷3个大题，25个小题。满分150分，考试时间120分钟。）姓名
班级 学号 成绩 一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分。）1．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的
是（? ?）A．当AC⊥BD时，它是矩形 B．当AC＝BD时，它是菱形C．当AC⊥BD时，它是正方形 D．当AB＝BC时，它是菱形
2．如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ） 3．如图，点E是、的斜边的中点，，，则的度数是（?
?）?A． B． C． D．4．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=2，点E在BC的延长线上，且BD=CE，连接AE，则∠E
的度数为（ ）A．15°B．20°C．30°D．45°5．如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥
AC，若AB=4，BC=3，则四边形CODE的周长是（ ）A．10B．12C．18D．246．如图所示，的周长是，对角线与交于点
，，是的中点，的周长比的周长多，则的长度为(? ?)7．如图，矩形ABCD的长AD=15cm，宽AB=10cm，∠ABC的平分线分
AD边为AE、ED两部分，这AE、ED的长分别为（? ?）A．10cm和5cmB．11cm和4cmC．9cm和6cmD．8cm和7
cm8．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（ ）A．△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周长 B．△ABE
∽△DECC．△ABE的面积＋△CDE的面积＝△BCE的面积 D．△ABE∽△EBC9．如图，在□，为对角线，、分别是、的中点，连
接，若，则的长是（?）A．2B．3C．6D．1210．如图，在中，，D，E，F分别为，，的中点，若，则的长度为（?）A．B．1C．
D．11．如图，在中，，，，D，E分别是的中点，连接．以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交于点M，N；以点D为圆心，长为半径作
弧交于点P；以点P为圆心，长为半径作弧，交前面的弧于点Q；作射线交于点F．则的长为（?）A．3B．4C．5D．612．如图，中，，
，，是斜边上一个动点，过点D作于，于，连接．在点的运动过程中，给出下列结论：①当运动到中点时，；②的最小值是；③的值恒为；④当：：
时，四边形为正方形．⑤设的长度为，矩形的周长为，则与的函数关系式是．其中正确的结论有(?)A．①②③B．①②④C．①④⑤D．①②④
⑤二、选填空题题（本题共4个小题，每小题4分，共16分。）13．已知△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，且DE＝3cm，
则BC＝ cm．14．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若，则∠ACB的度数是 ．15．如右图，在矩形ABCD中，点E在AD
上，且EC平分∠BED，若BC＝2，∠CBE＝45°，则AB＝ ．16．图，矩形中，，，点是矩形的边上的一动点，以为边，在的右
侧构造正方形，连接，则的最小值为 ．?三、解答题（9个小题，共98分。）17．（10分） （1）计算： （5分）（2）如图
，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE．求证：AE=BF．? （5分）? ?
18．（10分）如图，已知平行四边形中，平分，平分，分别交，于点，，求证：．?19．（10分） 如图，将正方形OEFG放在平面直角
坐标系中，O是坐标原点，点F的坐标为（-1，5），求点E的坐标．?20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别
在轴，轴的正半轴上，顶点的坐标为，，求顶点的坐标．21．（12分）如图：在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，AB＝4
cm，AD＝cm．（1）判定△AOB的形状； （6分）（2）计算△BOC的面积． （6分）22．（10分）如图，正方形中，，是的中
点，将沿对折至，延长交于点，求的长．?23．（12分）如图，中，，于点，，．(1)求，的长； （6分）(2)若点是射线上的一个动点
，作于点，连接．当点在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长． （6分） 24．（10分） 已知直角梯形ABC
D中AD∥BC，∠B=90°，AB=8，AD=24，BC=26，点P从A点出发，沿AD边以1的速度向点D运动，点Q从点C开始沿CB
边以3的速度向点B运动，P，Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t．设运动时间为t秒
，t分别为何值时，四边形PQCD是平行四边形？25．（14分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD于点E
，AD=8㎝，BC=4㎝，AB=5㎝.从初始时刻开始，动点P沿着P、Q分别从点A，B同时出发，运动速度均为1㎝/s，动点P沿A—B
—C—E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B—C—E—D的方向运动，到点D停止，设运动时间为s，△PAQ的面积为㎝2.（这里我们把线
段的面积看作是0）解答下列问题（1）当=2s时，= ㎝2，当s时，= ㎝2； （3分）（2）当5≤≤14时，求与之间的函数关系
式； （3分）（3）当动点P在线段BC上运动时，求出梯形ABCD时的值； （4分）（4）直接写出整个运动过程中，使PQ与四边形AB
CE的对角线平行的所有的值. （4分） 参考答案：1．D【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定方法和各个选项中的说法，可以判断是否正
确，从而可以解答本题．【详解】解： A、当AC⊥BD时，它是菱形，说法错误，不符合题意；B、当AC=BD时，它是矩形，说法错误，不
符合题意；C、当AC=BD且AC⊥BD时，它是正方形，说法错误，不符合题意；D、当AB＝BC时，它是菱形，说法正确，符合题意；故选
：D．【点睛】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．2．D【分析】由四边形的对角线
互相平分，得四边形是平行四边形，再由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．【详解】解：∵四边形的对角线互相平分，∴四边形是平
行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．故选D．【点睛】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质；熟练掌握
矩形的判定定理是解题的关键．3．B【分析】由点E是、的斜边的中点，，可得，，则，，由，可得，根据，计算求解即可．【详解】解：∵点E
是、的斜边的中点，，∴，，∴，，∵，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质
，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键．4．A【详解】试题分析：由矩形的性质得出BC=AD=2，
AC=BD，∠ABC=90°，由勾股定理求出AC，得出AC，求出AB=AC，得出∠ACB=30°，求出AC=CE，由等腰三角形的性
质得出∠E=∠CAE，再由三角形的外角性质即可得出∠E=15°．解：连接AC，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=2，
AC=BD，∠ABC=90°，∴AC===4，∴AB=AC，∴∠ACB=30°，∵BD=CE，∴AC=CE，∴∠E=∠CAE，∵∠
ACB=∠E+∠CAE，∴∠E=15°；故选A．考点：矩形的性质．5．A【详解】首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE
是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．解：∵CE
∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，∴OD=OC，
，∴四边形CODE是菱形，且，∴四边形CODE的周长为：． 故选A．6．A【分析】根据的周长比的周长多可知AD比AB多2cm,设A
B为x,AD为x+2,根据周长公式列出等式解出x即可求出AB,从而得出AD,根据直角三角形斜边的中线是斜边的一半求出AE即可．【详
解】∵的周长比的周长多,∴AD比AB多2cm,设AB为xcm,则AD为(x+2)cm,∴2×(x+x+2)＝20,解得x=4．∴B
C＝AD＝6cm,∵AE是Rt△ABC的中线,∴AE＝6÷2=3cm．故选：A．【点睛】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的性质
,关键在于牢记基础性质灵活运用．7．A【分析】由矩形的性质可得ADBC，AD=BC=15cm，由平行线的性质和角平分线的性质可得∠
AEB=∠ABE，可得AB=AE=10cm，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴ADBC，AD=BC=15cm，∴∠A
EB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=45°，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE=10cm，∴DE=AD-AE
=5(cm)，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，掌握矩形的性质是本题的关键．8．C【详解】△BCE的面积==
?, 则△ABE的面积＋△CDE的面积=.故选C.9．D【分析】根据平行四边形的对边相等、三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第
三边的一半”求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD；又∵E、F分别是AD、BD的中点，∴EF是△DAB的中位
线，∴EF=AB，∴EF=CD=6，∴CD=12．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理的综合运用．中位线
是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．10．B【分析
】本题考查了直角三角形中斜边中线等于斜边的一半，三角形中位线定理，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．根据题意求出的值，由D是
中点求出的值，再由题意可得出是的中位线即可求出．【详解】解：∵，，，D是的中点，?∴?E，F分别为，的中点，?是的中位线．?故选：
B．11．C【分析】首先根据勾股定理求出，根据三角形中位线的性质得出，，根据作图可得，进而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形对
边相等，可得．【详解】解：在中，，，，， D，E分别是的中点，，，，由作图知，，，，四边形是平行四边形，，故选C．【点睛】本题考查
了勾股定理、三角形的中位线定理、基本尺规作图-作角等于已知角，平行四边形的性质和判定，解题关键是根据中位线定理得出，．12．B【分
析】①如图１，连接，利用勾股定理可得，再利用矩形的性质和直角三角形斜边的中线定理即可得出结论①正确；②利用垂线段最短可得：当时，最
小，即最小，再利用等面积法即可得出结论②正确；③利用勾股定理得出==，即可得出结论③不正确；④利用三角形面积即可得出结论④正确；⑤
设的长度为，矩形的周长为，利用三角形面积得出，再由矩形周长公式即可得出⑤不正确．【详解】解：①如图１，连接，中，，，，， 当运动到
中点时，于，于，，四边形是矩形，，在中，，点为的中点，，，，故结论①正确；②由①知：，由垂线段最短可知，当时，最小，即最小，此时，
，即，，，即的最小值是，故结论②正确；③∵四边形是矩形，，，∴ ===即：故结论③不正确；④当：：时，，，，，，四边形是矩形，四边
形是正方形；故结论④正确；⑤设的长度为，矩形的周长为，，，，，即，，，即与的函数关系式是，故结论⑤不正确；综上所述，正确的结论是①
②④．故选：B【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式及等面积法的运用，垂线段最短的应用等，是矩形
和三角形的综合题，熟练运用三角形中的等面积法及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键．13．6【分析】由D，E分别是
边AB，AC的中点，首先判定DE是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得BC的值即可．【详解】解：如图：∵△ABC中，D、
E分别是AB、AC边上的中点，∴DE是三角形的中位线，∵DE=3cm，∴BC=2DE=6cm．故答案为：6．【点睛】本题重点考查了
中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应
用．14．55°/55度【分析】根据矩形的性质和轴对称的性质确定∠ABC=∠ACB，再根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：如
下图所示，设该矩形纸片为矩形DEFG，四边形BCGD沿BC翻折后得到四边形BCNM．∵四边形BCGD沿BC翻折后得到四边形BCNM
，∴∠DBC=∠ABC．∵四边形DEFG是矩形，∴．∴∠DBC=∠ACB．∴∠ABC=∠ACB．∵∠CAB=70°，∴∠ACB=∠
ABC=．故答案为：55°．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线的性质，轴对称的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题关键
．15．2【分析】由矩形的性质和角平分线的定义得出∠DEC=∠ECB=∠BEC，推出BE=BC，进而求得AE=AB=2．【详解】解
：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠DEC=∠BCE．∵EC平分∠DEB，∴∠DEC=∠BEC．∴∠BEC=∠ECB．∴B
E=BC=2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，∵∠CBE=45°，∴∠ABE=90°-45°=45°，∴∠ABE
=∠AEB=45°．∴AB=AE==2．故答案为：2．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用；熟练掌握矩形
的性质，证出BE=BC是解题的关键．16．【分析】过作，利用正方形的性质和全等三角形的判定得出，进而利用勾股定理解答即可．【详解】
解：过作，?正方形，，，，，，且，，，，，当时，的最小值为故答案为【点睛】本题考查正方形的性质，关键是利用正方形的性质和全等三角形
的判定得出．17．（1）3；（2）证明见解析．【分析】（1）先化去绝对值，三角函数值代入，计算负指数与零次幂，再进行加减计算即可（
2）由正方形的性质得BA=AD，∠BAD=90°，DE⊥AM ，BF⊥AM，一线三直角推出∠ABF=∠EAD，可证△ABF≌△DA
E（AAS），由全等三角形的性质BF=AE，【详解】解：，= ，=3 ．（2）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴BA=AD，∠BA
D=90°，∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，∴∠AFB=90°，∠DEA=90°，∵∠ABF+∠BAF=90°，∠EAD+∠
BAF=90°，∴∠ABF=∠EAD，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴BF=AE．【点睛】本题考查三角
函数与正方形中全等问题，掌握绝对值的化简，特殊三角函数值，负指数及零次幂正方形的性质，一线三直角问题，三角形全等知识．18．见解析
【分析】根据平行四边形的性质得出，，根据角平分线的定义得出，进而证明，即可证明四边形是平行四边形，进而根据平行四边形的性质即可得证
．【详解】证明：四边形为平行四边形， ，平分平分四边形是平行四边形，．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判断，熟练掌握平行四边形
的性质与判定是解题的关键．19．点E坐标（2，3）【分析】过点E作AE⊥y轴于点A，过点F作FP⊥AE于点P，由“AAS”可证△A
OE≌△PFE，可得AE=PF，PE=AO，即可求点E坐标．【详解】解：如图，过点E作AE⊥y轴于点A，过点F作FP⊥AE于点P，
??∵四边形是正方形∴EF=OE，∠FEO=90°∵∠FEP+∠PEO=90°，∠PEO+∠AOE=90°∴∠AOE=∠FEP，且
EF=OE，∠EPF=∠OAE=90°∴△AOE≌△PFE（AAS）∴AE=PF，PE=AO，∵点F（-1，5）∴AO+PF=5，
PE-AE=1∴AO=3=PE，AE=2=PF∴点E坐标（2，3）.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与
图形的性质，证明△AOE≌△PFE是本题的关键．20．顶点D的坐标为【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，直角三角形的性质．
根据直角三角形的性质得出，，再由正方形的性质得出，，过点D作x轴的垂线，垂足为E，再根据直角三角形的性质得出和的值，据此求解即可．
【详解】解：点A的坐标为，，∵，∴，∴，在正方形中，，，如图，过点D作x轴的垂线，垂足为E，则， ，，，，顶点D的坐标为．21．（
1）△AOB为等边三角形；（2）S△BOC＝.【分析】（1）用勾股定理求出BD的长度，由矩形的性质得到OA=OB=AB，即可推出△
AOB为等边三角形．（2）由S△BOCS△ABC，即得出结论．【详解】（1）在Rt△ABD中，BD=8．∵ABCD是矩形，∴BO＝
AOBD＝4＝AB，∴△AOB为等边三角形；（2）S△BOCS△ABCAB×BC＝4(cm2)．【点睛】本题考查了矩形的性质，需要
牢固掌握勾股定理和等边三角形的判定．22．2【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证，得出，设，则，在中，根据勾股定理得出方程
，解方程即可求出的长．【详解】解：连接，如图所示，?四边形是正方形，，，，由折叠的性质得：，，，，在和中，，，，设，则，为中点，，
，，在中，，，解得，．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握翻折变换的性质和
正方形的性质，根据勾股定理得出方程是解题关键．23．(1)5，(2)2或【分析】（1）根据可得的长，分别根据勾股定理可得和的长；（
2）分两种情况：和时，分别画图，根据三角形的中位线定理和证明三角形全等可解决问题．【详解】（1）解：，，，，，，，由勾股定理得：，
；（2）分两种情况：当时，过作于，如图1所示：，，，是的中位线，；当时，如图2所示：在和中，，，，；综上所述，的长为2或．【点睛】
本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、分类讨论等知识；正确作出辅助线
是等腰三角形是解题的关键．24．t=6时，四边形PQCD为平行四边形.【详解】试题分析：根据题意可得PA=t，CQ=3t，则PD=
AD-PA=24-t，当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，可得方程24-t=3t，解此方程即可求得答案试题解析：根据题意得
：PA=t，CQ=3t，则PD=AD-PA=24-t，∵AD∥BC，∴PD∥CQ，∴当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，即
24-t=3t，解得：t=6，即当t=6时，四边形PQCD为平行四边形.25．（1）2，9；（2）当5≤≤9时，，当9＜≤13时，
，当13＜≤14时，；（3）=7；（4），，.【详解】试题分析：（1）当x=2s时，AP=2，BQ=2，利用三角形的面积公式直接可
以求出y的值，当s时，三角形PAQ的高就是4，底为4.5，由三角形的面积公式可以求出其解．（2）当5≤≤14 时，求y与x之间的函
数关系式．要分为三种不同的情况进行表示：当5≤≤9时，当9＜≤13时，当13＜≤14时．（3）可以由已知条件求出S梯形ABCD，然
后根据条件求出y值，代入当5≤x≤9时的解析式就可以求出x的值．（4）利用相似三角形的性质，相似三角形的对应线段成比例就可以求出对应的x的值．（1）当x=2s时，AP=2，BQ=2∴当s时，AP=4.5，Q点在EC上∴；（2）当5≤≤9时y=S梯形ABCQ-S△ABP-S△PCQ=（5+x-4）×4-×5（x-5）-（9-x）（x-4）当9＜≤13时y=（x-9+4）（14-x）当13＜≤14时y=×8（14-x）；（3）当动点P在线段BC上运动时∵y=S梯形ABCD=×（4+8）×5=8∴8=x2-7x+，即x2-14x+49=0，解得：x1=x2=7∴当x=7时，y=S梯形ABCD（4）设运动时间为x秒，当PQ∥AC时，BP=5-x，BQ=x，此时△BPQ∽△BAC，故，即，解得；当PQ∥BE时，PC=9-x，QC=x-4，此时△PCQ∽△BCE，故，即，解得；当PQ∥BE时，EP=14-x，EQ=x-9，此时△PEQ∽△BAE，故，即，解得．由题意得x的值为：，，．考点：二次函数的综合题点评：二次函数的综合题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般压轴题形式出现，难度较大.试卷第1页，共3页答案第1页，共2页八年级下册 数学单元测试卷 第 1 页，共 3 页答案 第 1 页，共 2 页 |
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