已知半圆直径为32，AC是角平分线求线段AD长的两种方法
问题由来：
已知半圆的直径为AB，其长度为32，AC=24，AC是∠DAB的角平分线，求AD的长。
D
C
24
A O B
32
主要内容：
本文采用两种方法，一是利用角平分线、正弦定理与长度关系，二是利用角平分线、正弦定理与长度关系，介绍已知半圆的直径为AB，其长度为32，AC=24，AC是∠DAB的角平分线，求AD的长。
※.角度余弦值关系计算求解
[主要思路]：利用平分角a的余弦和其二倍角2a的余弦值关系来计算所求线段AD的长度。
D
C
24
a
a
A O D
32
如上图所示，设圆的半径为R，即：R=AB/2=16,
在△AOD中，AO=OD=R=16,
o
R=16 R= 16
2a
A M D
由余弦定理有：
AD=2AM=2Rcos2a
=216cos2a
=32cos2a…….(1)
在三角形AOC中，由余弦定理有：
o
R=16 R= 16
a
A N C
24
AC=2AN=2Rcosa=32cosa,
即：32cosa=24,
所以：cosa=.
代入方程(1)中，有：
AD=32cos2a
=32(2cos 2a-1),
=32[2() 2-1],
=4.
※.角平分线、正弦定理与长度关系来求解
[主要思路]：本步骤利用已知条件角平分线定理、正弦定理，并根据角a的余弦值，以及长度关系，来求解计算所求线段的长度。
D
C
x y
24 P
a
a
A O D
32
如上图所示，设AD=x，OD与AC的交点为P，设DP=y，则OP=R-y，
即OP=16-y，在三角形△AOD中，AP是角平分线，由平分线定理可得：
=,
则：=，化简为：
x= ……(1).
进一步由正弦定理可得：
=,
即： = ，化简为：y(3-4sin2a)=x,……(2),
在△AOC中，可求出cosa=，
则：sin2a=……(3),
将(3)代入(2)可知：
y=x,
再代入(1)可知：
x= 16,
化简可得;
x=16,
所以：x=4.
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