已知半圆直径为150，AC是角平分线求线段AD长的两种方法
问题由来：
已知半圆的直径为AB，其长度为150，AC=148，AC是∠DAB的角平分线，求AD的长。
D
C
148
A O B
150
主要内容：
本文采用两种方法，一是利用角平分线、正弦定理与长度关系，二是利用角平分线、正弦定理与长度关系，介绍已知半圆的直径为AB，其长度为150，AC=148，AC是∠DAB的角平分线，求AD的长。
※.角度余弦值关系计算求解
[主要思路]：利用平分角a的余弦和其二倍角2a的余弦值关系来计算所求线段AD的长度。
D
C
148
a
a
A O D
150
如上图所示，设圆的半径为R，即：R=AB/2=75,
在△AOD中，AO=OD=R=75,
o
R=75 R= 75
2a
A M D
由余弦定理有：
AD=2AM=2Rcos2a
=275cos2a
=150cos2a…….(1)
在三角形AOC中，由余弦定理有：
o
R=75 R= 75
a
A N C
148
AC=2AN=2Rcosa=150cosa,
即：150cosa=148,
所以：cosa=.
代入方程(1)中，有：
AD=150cos2a
=150(2cos 2a-1),
=150[2() 2-1],
=.
※.角平分线、正弦定理与长度关系来求解
[主要思路]：本步骤利用已知条件角平分线定理、正弦定理，并根据角a的余弦值，以及长度关系，来求解计算所求线段的长度。
D
C
x y
148 P
a
a
A O D
150
如上图所示，设AD=x，OD与AC的交点为P，设DP=y，则OP=R-y，
即OP=75-y，在三角形△AOD中，AP是角平分线，由平分线定理可得：
=,
则：=，化简为：
x= ……(1).
进一步由正弦定理可得：
=,
即： = ，化简为：y(3-4sin2a)=x,……(2),
在△AOC中，可求出cosa=，
则：sin2a=……(3),
将(3)代入(2)可知：
y=x,
再代入(1)可知：
x= 75,
化简可得;
x=75,
所以：x=.
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