已知半圆直径为150,AC是角平分线求线段AD长的两种方法
问题由来:
已知半圆的直径为AB,其长度为150,AC=148,AC是∠DAB的角平分线,求AD的长。
D
C
148
A O B
150
主要内容:
本文采用两种方法,一是利用角平分线、正弦定理与长度关系,二是利用角平分线、正弦定理与长度关系,介绍已知半圆的直径为AB,其长度为150,AC=148,AC是∠DAB的角平分线,求AD的长。
※.角度余弦值关系计算求解
[主要思路]:利用平分角a的余弦和其二倍角2a的余弦值关系来计算所求线段AD的长度。
D
C
148
a
a
A O D
150
如上图所示,设圆的半径为R,即:R=AB/2=75,
在△AOD中,AO=OD=R=75,
o
R=75 R= 75
2a
A M D
由余弦定理有:
AD=2AM=2Rcos2a
=275cos2a
=150cos2a…….(1)
在三角形AOC中,由余弦定理有:
o
R=75 R= 75
a
A N C
148
AC=2AN=2Rcosa=150cosa,
即:150cosa=148,
所以:cosa=.
代入方程(1)中,有:
AD=150cos2a
=150(2cos 2a-1),
=150[2() 2-1],
=.
※.角平分线、正弦定理与长度关系来求解
[主要思路]:本步骤利用已知条件角平分线定理、正弦定理,并根据角a的余弦值,以及长度关系,来求解计算所求线段的长度。
D
C
x y
148 P
a
a
A O D
150
如上图所示,设AD=x,OD与AC的交点为P,设DP=y,则OP=R-y,
即OP=75-y,在三角形△AOD中,AP是角平分线,由平分线定理可得:
=,
则:=,化简为:
x= ……(1).
进一步由正弦定理可得:
=,
即: = ,化简为:y(3-4sin2a)=x,……(2),
在△AOC中,可求出cosa=,
则:sin2a=……(3),
将(3)代入(2)可知:
y=x,
再代入(1)可知:
x= 75,
化简可得;
x=75,
所以:x=.
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