函数 y=(x-26)(x-19)(x-18) 的 主要性质
主 要内容 ：
本 文介绍 函数 y=(x-26)(x-19)(x-18) 的 定义域 、单调 性、凸
凹性、极限等性质，并用导数知识求解函数的单调区间和凸凹区
间 ，简要 画出函数 图像的 示意图。
※. 函 数的定 义域
根 据函数 的特征， 函数 自变 量 x 可 取全体 实数 ， 则 函数的 定义
域 为：(- ∞，+ ∞） 。
※. 函 数的单 调性
本 题 介 绍 通 过 导 数 的 知 识 ， 计 算 函 数 的 一 阶 导 数 ， 即 可 得 到
函数的驻点，根据驻点判断一阶导数的符号， 来 解 析 函 数 的 单 调
性 并求出 函数的单 调区间 。
∵y=(x-26)(x-19)(x-18)
dy
∴ =(x-19)(x-18)+(x-26)[(x-18)+(x-19)]
dx
=(x-19)(x-18)+(x-26)(2x-37)
2
=3x-263x+1304 。
dy
2
令 =0, 则：3x -126x+1304=0 ， 由二次 方程求 根公式求 出两根 为：
dx
63+ 57
x = ≈23.5;
1
3
63- 57
x = ≈18.5 。
2
3
此 时，判 断函数的 单调性 有：
dy
(1). 当 x ∈(- ∞，18.5] ∪[23.5,+ ∞） 时， ≥0 ，函数 y 在
dx
定 义域上 为增函数 ；
dy
(2). 当 x ∈(18.5, 23.5) 时， ＜0 ， 函数 y 在 定义域 上为减
dx
函 数。
※. 函 数的凸 凹性
求 出 函 数 的 二 阶 导 数 ， 得 到 函 数 的 拐 点 ， 根 据 拐 点 判 断 二 阶
导 数的符 号，即可 解析函 数的凸凹 性及凸 凹区间。
dy
2
∵ =3x -126x+1304,
dx
2
d y
∴ =6x-126 。
2
dx
2
d y
令 =0，则x=21.
2
dx
2
d y
(1). 当 x ∈(- ∞ ，21] ， ≤0 ，此时 函数 y 为凸函数 ；
2
dx
2
d y
(2). 当 x ∈(21 ，+ ∞ ） ， ＞0 ， 此时函 数 y 为 凹函数。
2
dx
※. 函 数的极 限
lim
(x-26)(x-19)(x-18)=-∞；
x →- ∞
lim
(x-26)(x-19)(x-18)=+∞。
x →+ ∞
※. 函 数的 五 点图
X 18 18.5 21 23.5 24.5
x-26 -8 -7.5 -5.0 -2.5 -1.5
x-19 -1.0 -0.5 2.0 4.5 5.5
x-18 0.0 0.5 3.0 5.5 6.5
y 0.0 1.9 -30.0 -61.9 -53.6
※. 函 数的 示 意图
y=(x-26)(x-19)(x-18)
y
（18.5,1.9）
x
（18,0）
（21,-30.0 ）
（24.5,-53.6）
（23.5, -61.9）
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