函数 y=(x-38)(x-13)(x-5) 的主 要性质
主 要内容 ：
本 文介绍 函数 y=(x-38)(x-13)(x-5) 的定义 域、 单调 性、 凸 凹
性、 极限 等性质， 并 用导 数知识求 解函数 的单调区 间和凸 凹区间 ，
简 要画出 函数图像 的示意 图。
※. 函 数的定 义域
根 据函数 的特征， 函数 自变 量 x 可 取全体 实数 ， 则 函数的 定义
域 为：(- ∞，+ ∞） 。
※. 函 数的单 调性
本 题 介 绍 通 过 导 数 的 知 识 ， 计 算 函 数 的 一 阶 导 数 ， 即 可 得 到
函数的驻点，根据驻点判断一阶导数的符号， 来 解 析 函 数 的 单 调
性 并求出 函数的单 调区间 。
∵y=(x-38)(x-13)(x-5)
dy
∴ =(x-13)(x-5)+(x-38)[(x-5)+(x-13)]
dx
=(x-13)(x-5)+(x-38)(2x-18)
2
=3x-256x+749 。
dy
2
令 =0, 则：3x -112x+749=0 ， 由二次 方程求 根公式求 出两根 为：
dx
56+ 889
x = ≈28.6;
1
3
56- 889
x = ≈8.7 。
2
3
此 时，判 断函数的 单调性 有：
dy
(1). 当 x ∈(- ∞，8.7] ∪[28.6,+ ∞） 时， ≥0 ， 函 数 y 在定
dx
义 域上为 增函数；
dy
(2). 当 x ∈(8.7, 28.6) 时， ＜0 ， 函 数 y 在 定义域上 为减函
dx
数。
※. 函 数的凸 凹性
求 出 函 数 的 二 阶 导 数 ， 得 到 函 数 的 拐 点 ， 根 据 拐 点 判 断 二 阶
导 数的符 号，即可 解析函 数的凸凹 性及凸 凹区间。
dy
2
∵ =3x -112x+749,
dx
2
d y
∴ =6x-112 。
2
dx
2
d y 56
令 =0，则x= ≈18.6.
2
dx 3
2
d y
(1). 当 x ∈(- ∞ ，18.6] ， ≤0 ，此 时函 数 y 为凸函 数；
2
dx
2
d y
(2). 当 x ∈(18.6 ，+ ∞ ） ， ＞0 ，此时 函数 y 为凹函数 。
2
dx
※. 函 数的极 限
lim
(x-38)(x-13)(x-5)=- ∞；
x →- ∞
lim
(x-38)(x-13)(x-5)=+ ∞。
x →+ ∞
※. 函 数的 五 点图
x 8 8.7 18.6 28.6 29.5
x-38 -30 -29.3 -19.4 -9.4 -8.5
x-13 -5 -4.3 5.6 15.6 16.5
x-5 3 3.7 13.6 23.6 24.5
y 450 466.2 -1477.5 -3460.7 -3436.1
※. 函 数的 示 意图
y=(x-38)(x-13)(x-5)
y
（8.7,466.2）
x
（8,450.0）
（18.6,-1477.5）
（29.5,-3436.1）
（28.6, -3460.7）
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