函数 y=(x-11)(x-16)(x-41) 的 主要性质
主 要内容 ：
本 文介绍 函数 y=(x-11)(x-16)(x-41) 的 定义域 、单调 性、凸
凹性、极限等性质，并用导数知识求解函数的单调区间和凸凹区
间 ，简要 画出函数 图像的 示意图。
※. 函 数的定 义域
根 据函数 的特征， 函数 自变 量 x 可 取全体 实数 ， 则 函数的 定义
域 为：(- ∞，+ ∞） 。
※. 函 数的单 调性
本 题 介 绍 通 过 导 数 的 知 识 ， 计 算 函 数 的 一 阶 导 数 ， 即 可 得 到
函数的驻点，根据驻点判断一阶导数的符号， 来 解 析 函 数 的 单 调
性 并求出 函数的单 调区间 。
∵y=(x-11)(x-16)(x-41)
dy
∴ =(x-16)(x-41)+(x-11)[(x-41)+(x-16)]
dx
=(x-16)(x-41)+(x-11)(2x-57)
2
=3x-268x+1283 。
dy
2
令 =0, 则：3x -136x+1283=0 ， 由二次 方程求 根公式求 出两根 为：
dx
68+5 31
x = ≈31.9;
1
3
68-5 31
x = ≈13.4 。
2
3
此 时，判 断函数的 单调性 有：
dy
(1). 当 x ∈(- ∞，13.4] ∪[31.9,+ ∞） 时， ≥0 ，函数 y 在
dx
定 义域上 为增函数 ；
dy
(2). 当 x ∈(13.4, 31.9) 时， ＜0 ， 函数 y 在 定义域 上为减
dx
函 数。
※. 函 数的凸 凹性
求 出 函 数 的 二 阶 导 数 ， 得 到 函 数 的 拐 点 ， 根 据 拐 点 判 断 二 阶
导 数的符 号，即可 解析函 数的凸凹 性及凸 凹区间。
dy
2
∵ =3x -136x+1283,
dx
2
d y
∴ =6x-136 。
2
dx
2
d y 68
令 =0，则x= ≈22.7.
2
dx 3
2
d y
(1). 当 x ∈(- ∞ ，22.7] ， ≤0 ，此 时函 数 y 为凸函 数；
2
dx
2
d y
(2). 当 x ∈(22.7 ，+ ∞ ） ， ＞0 ，此时 函数 y 为凹函数 。
2
dx
※. 函 数的极 限
lim
(x-11)(x-16)(x-41)=-∞；
x →- ∞
lim
(x-11)(x-16)(x-41)=+∞。
x →+ ∞
※. 函 数的 五 点图
x 12 13.4 22.7 31.9 32.5
x-11 1 2.4 11.7 20.9 21.5
x-16 -4 -2.6 6.7 15.9 16.5
x-41 -29 -27.6 -18.3 -9.1 -8.5
y 116 172.2 -1434.5 -3024.0 -3015.4
※. 函 数的 示 意图
y=(x-11)(x-16)(x-41)
y
（13.4,172.2 ）
x
（12,116.0）
（22.7,-1434.5）
（32.5,-3015.4）
（31.9, -3024.0）
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