专题21 图形的相似（29题）一、单选题1．（2023·重庆·统考中考真题）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（?）?A．4B．9C．1
2D．【答案】B【分析】根据相似三角形的性质即可求出．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，∴，故选：B.【点睛】此题考查的是相似三角形的
性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.2．（2023·四川遂宁·统考中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫
做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（?）?A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题意确
定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．【详解】解：由图得：，设直线的
解析式为：，将点代入得：，解得：，∴直线的解析式为：，所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，∴当时，，∴位似中心的坐标
为，故选：A．【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键．3．（2023·浙江
嘉兴·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的
坐标是（ ）?A．B．C．D．【答案】C【分析】直接根据位似图形的性质即可得．【详解】解：∵的位似比为2的位似图形是，且，，即，
故选：C．【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．4．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，数学活
动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到
旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（?）?A．B．C．D
．【答案】B【分析】根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案.【详解】解：如图所示，?由图可
知，，，.根据镜面的反射性质，∴，∴，，，.小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，，，.
..故选：B.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.5．（2023·安徽
·统考中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（?）?A．B．C．D．【答案】
B【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，，，∴，，，∵，∴∴，，∴，则，∴，∵，∴，∴∴，在中，，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，
平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．6．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，
矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的
垂线分别交于点M，N，则的长为（?）?A．B．C．D．4【答案】A【分析】由作图可知平分，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，根据
角平分线的性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求出．【详解】解：如
图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，?矩形中，，，．由作图过程可知，平分，四边形是矩形，，又，，在和中，，，，，设，则，在中，
由勾股定理得，即，解得，．．，．，，，，即，解得．故选：A．【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三
角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出平分，通过勾股定理
解直角三角形求出．7．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若
，则的长为（ ）?A．1B．C．2D．3【答案】C【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出，，，是的中位线，易证，得，解得，则
．【详解】解：、为边的三等分点，，，，，，是的中位线，，，，，即，解得：，，故选：C．【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性
质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．8．（2023·湖北鄂州·统考中考
真题）如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（ ）
?A．B．C．D．【答案】D【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，
得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可
求解．【详解】解：∵点为平面内一动点，，∴点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，?∵，∴，
∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，∵，，∴，∴，∵，∴
，∵轴轴，，∴，∵，∴，∴即，解得，同理可得，，∴即，解得，∴，∴当线段取最大值时，点的坐标是，故选：D．【点睛】本题主要考查了勾
股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．9．（2023·山东东营·
统考中考真题）如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有
下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（?）?A．①②B．②③④C．①③④D．①③【答案】D【分析】根据正方
形的性质和三角形全等即可证明，通过等量转化即可求证，利用角平分线的性质和公共边即可证明，从而推出①的结论；利用①中的部分结果可证明
推出，通过等量代换可推出③的结论；利用①中的部分结果和勾股定理推出和长度，最后通过面积法即可求证④的结论不对；结合①中的结论和③的
结论可求出的最小值，从而证明②不对.【详解】解： 为正方形，，，，，.,,，，.平分，.，.，，垂直平分，故①正确.由①可知，，，
，，，由①可知，.故③正确.为正方形，且边长为4，，在中，.由①可知，，，.由图可知，和等高，设高为，，，，.故④不正确.由①可知
，，，关于线段的对称点为，过点作，交于，交于，最小即为，如图所示，?由④可知的高即为图中的，.故②不正确.综上所述，正确的是①③.
故选：D.【点睛】本题考查的是正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三角形面积法，解题的关键在于是否能正确找出最
短路径以及运用相关知识点.10．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点C与延长线上的点
Q重合．交于点F，交延长线于点E．交于点P，于点M，，则下列结论，①，②，③，④．正确的是（?）?A．①②③B．②④C．①③④D．
①②③④【答案】A【分析】由折叠性质和平行线的性质可得，根据等角对等边即可判断①正确；根据等腰三角形三线合一的性质求出，再求出即可
判断②正确；由得，求出即可判断③正确；根据即可判断④错误．【详解】由折叠性质可知：，∵，∴．∴．∴．故正确；∵，，∴．∵，∴．故正
确；∵，∴．∴．∵，∴．故正确；∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴与不相似．∴．∴与不平行．故错误；故选：A．【点睛】本题主要考查了折叠的
性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题
的关键．11．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在正方形中，点分别是上的动点，且，垂足为，将沿翻折，得到交于点，对角线交于点
，连接，下列结论正确的是：①；②；③若，则四边形是菱形；④当点运动到的中点，；⑤．（?）?A．①②③④⑤B．①②③⑤C．①②③D．
①②⑤【答案】B【分析】利用正方形的性质和翻折的性质，逐一判断，即可解答．【详解】解：四边形是正方形，，，，，，，，，故①正确，将
沿翻折，得到，，∵，，故②正确，当时，，，，即在同一直线上，，，通过翻折的性质可得，，∴，，，四边形是平行四边形，，平行四边形是菱
形，故③正确，当点运动到的中点，如图，?设正方形的边长为，则，在中，，，，，，，，，，，，，，在中，，故④错误，，，，，，根据翻折
的性质可得，，，，故⑤正确；综上分析可知，正确的是①②③⑤．故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定
和性质，正切的概念，熟练按照要求做出图形，利用寻找相似三角形是解题的关键．二、填空题12．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图
，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是___________．?【答案】【分析】直接利用位似图形的性
质得出相似比进而得出对应线段的长．【详解】解∶设∵与位似，原点是位似中心，且．若，∴位似比为，∴，解得，，∴故答案为：.【点睛】此
题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．13．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在
线段上．若，则和的周长之比为__________．?【答案】【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．【详解】解：，，设周长为，设周
长为，和是以点为位似中心的位似图形，．．和的周长之比为．故答案为：．【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图
形性质．14．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则__________．
?【答案】【分析】四边形是平行四边形，则，可证明，得到，由进一步即可得到答案．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∴,∵
，∴，∴．故答案为：【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键．15．（2023·江西·统
考中考真题）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”
仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高______m．?【答案】【分析】根据题意
可得，然后相似三角形的性质，即可求解．【详解】解：∵和均为直角∴，∴，∴∵，∴,故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟
练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．16．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点
为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于
点：④过点作射线交于点．若与四边形的面积比为，则的值为___________．?【答案】【分析】根据作图可得，然后得出，可证明，进
而根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：根据作图可得，∴，∴，∵与四边形的面积比为，∴∴∴，故答案为：．【点睛】本题考查了作一
个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键．17．（2023·内蒙古·统考中考真
题）如图，在中，，将绕点A逆时针方向旋转，得到．连接，交于点D，则的值为________．?【答案】5【分析】过点D作于点F，利用
勾股定理求得，根据旋转的性质可证、是等腰直角三角形，可得，再由，得，证明，可得，即，再由，求得，从而求得，，即可求解．【详解】解：
过点D作于点F，∵，，，∴，∵将绕点A逆时针方向旋转得到，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，即，
∵ ，，∴，∴，即，又∵，∴，∴，，∴，故答案为：5．?【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质
、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．18．（2023·河南·统考中考真题）矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以
点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______．【答案】2或【分析】分两种情况：当时和当时，分别进行讨论求解即可．【
详解】解：当时，?∵四边形矩形，∴，则，由平行线分线段成比例可得：，又∵M为对角线的中点，∴，∴，即：，∴，当时，?∵M为对角线的
中点，∴为的垂直平分线，∴，∵四边形矩形，∴，则，∴∴，综上，的长为2或，故答案为：2或．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段
成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．19．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图，在正方形中
，，延长至，使，连接，平分交于，连接，则的长为_______________．【答案】【分析】如图，过作于，于，由平分，可知，可得
四边形是正方形，，设，则，证明，则，即，解得，，由勾股定理得，计算求解即可．【详解】解：如图，过作于，于，则四边形是矩形，，∵平分
，∴，∴，∴四边形是正方形，设，则，∵，∴，∴，即，解得，∴，由勾股定理得，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，勾股
定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．20．（2023·广东·统考中考真题）边长分别为10，6，
4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为_______．?【答案】15【分析】根据正方形的
性质及相似三角形的性质可进行求解．【详解】解：如图，?由题意可知，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；故答案为：15．【
点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．21．（2023
·天津·统考中考真题）如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，．?（1）的面积为________；（2）若F为的中点，连接并
延长，与相交于点G，则的长为________．【答案】3；【分析】（1）过点E作，根据正方形和等腰三角形的性质，得到的长，再利用勾
股定理，求出的长，即可得到的面积；（2）延长交于点K，利用正方形和平行线的性质，证明，得到的长，进而得到的长，再证明，得到，进而求
出的长，最后利用勾股定理，即可求出的长．【详解】解：（1）过点E作，?正方形的边长为3，，是等腰三角形，，，，在中，，,故答案为：
3；（2）延长交于点K，正方形的边长为3，，，，，，，，F为的中点，，在和中，，，，由（1）可知，，，，，，，，在中，，故答案为：
．?【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造
全等三角形和相似三角形是解题关键．22．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取
得最小值时，的值是___________．?【答案】【分析】作点F关于的对称点，连接交于点，此时取得最小值，过点作的垂线段，交于点
K，根据题意可知点落在上，设正方形的边长为，求得的边长，证明，可得，即可解答．【详解】解：作点F关于的对称点，连接交于点，过点作的
垂线段，交于点K，?由题意得：此时落在上，且根据对称的性质，当P点与重合时取得最小值，设正方形的边长为a，则，四边形是正方形，，，
，，，，，，，，?，当取得最小值时，的值是为，故答案为：．【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质
，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键．23．（2023·山西·统考中考真题）如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为
__________．?【答案】【分析】过点A作于点H，延长，交于点E，根据等腰三角形性质得出，根据勾股定理求出，证明，得出，根据
等腰三角形性质得出，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，根据，得出，即，求出结果即可．【详解】解：过点A作于点H，延长，交于点E，
如图所示：?则，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，解得：，∴，∵，∴，即，解得：．故答案为：．【点睛
】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题
的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质．三、解答题24．（2023·湖南·统考中考真题）在中，
是斜边上的高．?(1)证明：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等
，得出，结合公共角，即可得证；（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵是斜边上的高．∴，∴，∴
又∵∴，（2）∵∴，又∴．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．25．（2023·
湖南·统考中考真题）如图，，点是线段上的一点，且．已知．?(1)证明：．(2)求线段的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）
根据题意得出，，则，即可得证；（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．【详解】（1）证明：∵，∴
，∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，解得：．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关
键．26．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．?(1)求证：；(2)点G是线段
上一点，满足，交于点H，若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，证明，推出，即可解答；（2
）通过平行四边形的性质证明，再通过（1）中的结论得到，最后证明，利用对应线段比相等，列方程即可解答．【详解】（1）证明：四边形是平
行四边形，，，，是的中点，，，，∴，；（2）解：四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，设,则，可得方程，解得，即的长为．【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键．27．（2
023·四川凉山·统考中考真题）如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点．?(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见
详解(2)【分析】（1）可证，从而可证四边形是菱形，即可得证；（2）可求，再证，可得，即可求解．【详解】（1）证明：，，四边形是平
行四边形，四边形是菱形，．（2）解：四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，解得：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定
及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．28．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，点
E、F、G、H分别是各边的中点，连接相交于点M，连接相交于点N．?(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若的面积为4，求的面积．【
答案】(1)见解析(2)12【分析】（1）根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形，四边形均为平行四边形，进而得到：，即可得证；（2）连接，推出，，进而得到，求出，再根据，即可得解．【详解】（1）证明：∵， ∴，∵点E、F、G、H分别是各边的中点，∴，∴四边形为平行四边形，同理可得：四边形为平行四边形，∴，∴四边形是平行四边形；（2）解：连接，?∵为的中点，∴，∴，∴，∴，同理可得：∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，以及三角形的中位线定理，证明三角形相似，是解题的关键．29．（2023·上海·统考中考真题）如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，?(1)求证：(2)若，求证：【答案】见解析【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等的三角形的性质即可得证；（2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得证．【详解】（1）证明：，，在和中，，，．（2）证明：，，，即，在和中，，，，由（1）已证：，，．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．21zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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