2_6年级数学精选题【禁止外传】

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2_6年级数学精选题【禁止外传】

2024-09-01 | 阅：转： | 分享

数学思维课程配套精选题
六年级

《数学思维课配套练习题》
数学珍藏版
＋
让孩子养成：独立自主学习能力举一反三能力＋数学思维

? 好的学习习惯是孩子成长的最重要因素
? 5 大模块 3 种梯度举一反三系统学习

? 让孩子学优质学习方法和数学思维

? 3 0
每天抽出分钟让孩子快人一步

1
数学思维课程配套精选题
目录
一、计算专题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
第 1 讲简便运算（上） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
第 2 讲简便运算（中） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
第 3 讲简便运算（下） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0
第 4 讲裂项三板斧【和第五讲合并】 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2
第 5 讲裂项三板斧 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2
第 6 讲分数比较大小 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6
第 7 讲定义新运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8
二、应用题举一反三 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0
第 1 讲比的应用（一） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0
第 2 讲比的应用（二） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2
第 3 讲 “ 比例 ” 问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4
第 4 讲 “ 比例尺 ” 问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7
第 5 讲 “ 牛吃草 ” 问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9
第 6 讲解方程解应用题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2
第 7 讲分数应用题上 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5
第 8 讲分数应用题下 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8
第 9 讲浓度问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1
第 1 0 讲工程问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3

第 1 1 讲概率问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0
第 1 2 讲复杂和差倍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2
1 数学思维课程配套精选题
三、行程问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4
第 1 讲相遇追击 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4
第 2 讲流水行船 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 8
第 3 讲分数百分数行程问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0
四、数论专题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2
第 1 讲余数的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2
第 2 讲中国剩余定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5
第 3 讲最值问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6
第 4 讲不定方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 8
五、计数专题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0
第 1 讲加乘原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0
第 2 讲抽屉原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2
第 3 讲排列组合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4
六、几何专题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5
第 1 讲五大模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5
第 2 讲立体图形上 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4
第 3 讲立体图形下 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 7

2
数学思维课程配套精选题
答案部分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1
一、计算专题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1
第 1 讲简便运算（上） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1
第 2 讲简便运算（中） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1
第 3 讲简便运算（下） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2
第 4 讲裂项三板斧【和第五讲合并】 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3
第 5 讲裂项三板斧 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3
第 6 讲分数比较大小 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4
第 7 讲定义新运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5
二、应用题举一反三 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5
第 1 讲比的应用（一） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5
第 2 讲比的应用（二） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 6
第 3 讲 “ 比例 ” 问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7
第 4 讲 “ 比例尺 ” 问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9
第 5 讲 “ 牛吃草 ” 问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 0
第 6 讲解方程解应用题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 1
第 7 讲分数应用题上 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 2
第 8 讲分数应用题下 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 3
第 9 讲浓度问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 4
第 1 0 讲工程问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 6

第 1 1 讲概率问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 7
第 1 2 讲复杂和差倍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 8
3 数学思维课程配套精选题
三、行程问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 8
第 1 讲相遇追击 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 8
第 2 讲流水行船 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 0
第 3 讲分数百分数行程问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1
四、数论专题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2
第 1 讲余数的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2
第 2 讲中国剩余定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 6
第 3 讲最值问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 8
第 4 讲不定方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 8
五、计数专题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 9
第 1 讲加乘原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 9
第 2 讲抽屉原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 0
第 3 讲排列组合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 1
六、几何专题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 2
第 1 讲五大模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 2
第 2 讲立体图形上 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 3
第 2 讲立体图形下 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 4

4
数学思维课程配套精选题
一、计算专题
第 1 讲简便运算（上）
基础篇：计算下面各题。
8 9
1. 6.73－2 +（3.27－1 ）
1 7 1 7
5 5 1
2. 7 －（3.8+1 ）－1
9 9 5
7 17
3. 14.15－（7 －6 ）－2.125
8 20
7 1 7
4. 13 －（4 +3 ）－0 .75
13 4 13

提高篇：计算：
1. 45×2.08+1.5×37.6

5
数学思维课程配套精选题
2. 52×11.1+2.6×778
3. 48×1.08+1.2×56.8
4. 72×2.09－1.8×73.6
拓展篇：
计算下面各题：
1、6.8×16.8＋19.3×3.2

2、139×137/138＋137×1/138

3、4.4×57.8＋45.3×5.6
6
数学思维课程配套精选题
奥数篇：
1、53.5×35.3＋53.5×43.2＋78.5×46.5
2、235×12.1＋+235×42.2－135×54.3
3、3.75×735－3/8×5730＋16.2×62.5

7
数学思维课程配套精选题
第 2 讲简便运算（中）
基础篇：
1、23456＋34562＋45623＋56234＋62345
2、45678＋56784＋67845＋78456＋84567
3、124.68＋324.68＋524.68＋724.68＋924.68
提高篇：计算下面各题：
1、99999×77778＋33333×66666

2、34.5×76.5－345×6.42－123×1.45

3、77×13＋255×999＋510

8
数学思维课程配套精选题
拓展篇：计算下面各题：
1、（362＋548×361）/（362×548－186）
2、（1988＋1989×1987）/（1988×1989－1）
1
3、（204＋584×1991）/（1992×584―380）―
14 3
奥数篇：计算：
2 2 2

1、1991 －1990 2、9999 ＋19999 3、999×274＋6274

9
数学思维课程配套精选题
第 3 讲简便运算（下）
基础篇
用简便方法计算下面各题：
14 2 11
1. ×8 2. ×126 3. 35×
15 25 36
74 1997
4. 73× 5. ×1999
75 1998
提高篇
计算下面各题：

1 1 1 1
1. 64 × 2. 22 ×
17 9 20 21

1 0
数学思维课程配套精选题
1 1 1 3 1 4
3. ×57 4. 41 × +51 ×
7 6 3 4 4 5
拓展篇
计算下面各题：
1 3
1、 ×39+ ×27
4 4
1 5
2、 ×35+ ×17
6 6
1 5 1
3、 ×5+ ×5+ ×10
8 8 8
奥数篇 1
计算下面各题：

1 4 5 1 1 3 3 1 6 1
1、 × + × 2. × + × + ×
17 9 17 9 7 4 7 6 7 12

5 16 1 1 5 3 1 7 1 1
7
3、 ×79 +50× + × 4. × + × + ×3
9 17 9 9 17 15 8 15 16 15 2
1 1 数学思维课程配套精选题
奥数篇 2
1 1998
计算：（1）166 ÷41 （2） 1998÷1998
20 1999
练习 5
计算下面各题：
2 2 3 8 1 1
1 、 5 4 ÷ 1 7 2 、 2 3 8 ÷ 2 3 8 3 、 1 6 3 ÷ 4 1
5 2 3 9 1 3 3 9
1 23 9 39
【答案】 1 . 3 2 . 3 . 3
5 24 0 40
第 4 讲裂项三板斧【和第五讲合并】
第 5 讲裂项三板斧
基础篇
计算下面各题：
1 1 1 1
1、 + + +…..+
4×5 5×6 6×7 39×40

1 1 1 1 1
2、 + + + +
10×11 11×12 12×13 13×14 14×15

1 2
数学思维课程配套精选题
1 1 1 1 1 1
3、 + + + + +
2 6 12 20 30 42
1 1 1 1
4、1－ + + +
6 42 56 72
提高篇
计算下面各题：
1 1 1 1
1、 + + +…..+
3×5 5×7 7×9 97×99
1 1 1 1
2、 + + +…..+
1×4 4×7 7×10 97×100

1 1 1 1
3、 + + +…..+
1×5 5×9 9×13 33×37

1 3
数学思维课程配套精选题
1 1 1 1 1
4、 + + + +
4 28 70 130 208
拓展篇
计算下面各题：
1 5 7 9 11 1 9 11 13 15
1、1 + － + － 2、1 － + － +
2 6 12 20 30 4 20 30 42 56
1998 1998 1998 1998 1998 7 9 11
3、 + + + + 4、6× － ×6+ ×6
1×2 2×3 3×4 4×5 5×6 12 20 30
奥数篇
计算下面各题：

1 1 1 1
1、 + + +………+
2 4 8 256

1 4
数学思维课程配套精选题
2 2 2 2 2
2、 + + + +
3 9 27 81 243
3、 9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6

1 5
数学思维课程配套精选题
第 6 讲分数比较大小
基础篇：
7 7 7 7 7 7 5 6 6 6 6 6 6 1
1、比较和的大小。
7 7 7 7 7 7 7 6 6 6 6 6 6 3
9 8 7 6 5 9 8 7 6 9 8 7 9 8
2、将，，，按从小到大的顺序排列出来。
9 8 7 6 6 9 8 7 7 9 8 8 9 9
2 3 5 8 6 1 6 5 2 9 7 1
3、比较和的大小。
2 3 5 8 6 2 6 5 2 9 7 4
提高篇：
3 3 3 3 3
1、比较 A＝和 B＝的大小
1 6 6 6 1 6 6
1 1 1 1 1 1 1 1 0 4 4 4 4 4 4 4 4 3
2、比较和的大小

2 2 2 2 2 2 2 2 1 8 8 8 8 8 8 8 8 7

8 8 8 8 8 8 7 9 9 9 9 9 9 1
3、比较和的大小。
8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 4

1 6 数学思维课程配套精选题
拓展篇
1 7 6 1 7 7
1、比较和的大小。
2 5 7 2 5 9
2 2 2 2 1 4 4 4 4 3
2、如果 A＝，B＝，那么 A 与 B 中较大的数是_______.
3 3 3 3 2 6 6 6 6 5
1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1
3、试比较与的大小。
9 8 7 6 5 4 3 9 8 7 6 5 4 3 1
奥数篇
4
2 1
1、已知 A×1 ＝B×90％＝C÷75％＝D× ＝E÷1 。把 A、B、C、D、E
3 5
5
这 5 个数从小到大排列，第二个数是______.

● ● ●
2 5 2 4 1 3
2、有八个数，0.51，，，0.51，，是其中的六个数，如果从小到
3 9 4 7 2 5

大排列时，第四个数是 0.5111…，那么从大到小排列时，第四个数是哪个？

1 7 数学思维课程配套精选题
3、在下面四个算式中，最大的得数是几？
1 1 1 1
（1）（ + ）×20 （2）（ + ）×30
1 7 1 9 2 4 2 9
1 1 1 1
（3）（ + ）×40 （4）（ + ）×50
3 1 3 7 4 1 4 7
第 7 讲定义新运算
基础篇：
1、将新运算“”定义为：ab=(a+b)×(a-b).。求 279。
2
2、设 ab=a +2b，那么求 106 和 5（28）。
3、设 ab=3a－b×1/2，求（2512）（105）。

提高篇：
1、设 p、q 是两个数，规定 p△q＝4×q－（p+q）÷2，求 5△（6△4）。

1 8
数学思维课程配套精选题
2、设 p、q 是两个数，规定 p△q＝p2+（p－q）×2。求 30△（5△3）。
3、设 M、N 是两个数，规定 MN＝M/N+N/M，求 1020－1/4。
拓展篇：
1、如果 15=1+11+111+1111+11111，24=2+22+222+2222，
33=3+33+333，……那么 44=________。
2、规定，那么 85=________。

3、如果 21=1/2， 32=1/33 ， 43=1/444，那么（ 63） ÷ （26） =________ 。

1 9
数学思维课程配套精选题
二、应用题举一反三
第 1 讲比的应用（一）

基础篇：
1、甲数是乙数的 4/5，乙数是丙数的 5/8，甲、乙、丙三数的比是（）：
（）：（）。
2、甲数是乙数的 4/5，甲数是丙数的 4/9，甲、乙、丙三数的比是（）：
（）：（）。
3、甲数是丙数的 3 / 7 ，乙数是丙数的 2 又 1 / 2 ，甲、乙、丙三数的比是（）：（）：
（）。

提高篇：
1、某农场把 61600 公亩耕地划归为粮田与棉田，它们之间的比是 7： 2，棉
田与其他作物面积的比 6：1。每种作物各是多少公亩？

2 0
数学思维课程配套精选题
2、黄山小学六年级的同学分三组参加植树。第一组与第二组的人数的比是
5：4，第二组与第三组人数的比是 3：2。已知第一组的人数比二、三组人数的
总和少 15 人。六年级参加植树的共有多少人？
3、科技组与作文组人数的比是 9：10，作文组与数学组人数的比是 5：7。
已知数学组与科技组共有 69 人。数学组比作文组多多少人？
拓展篇：
1、小明读一本书，已读的和未读的页数比是 1：5。如果再读 30 页，则已
读和未读的页数之比为 3：5。这本书共有多少页？
2、甲、乙两包糖的重量比是 4： 1。从甲包取出 130 克放入乙包后，甲、乙
两包糖的重量比为 7：5。原来甲包有多少克糖？

3 、五年级三个班举行数学竞赛。一班参加比赛的占全年级参赛总人数的 1 / 3 ，二班与
三班参加比赛人数的比是 1 1 ： 1 3 ，二班比三班少 8 人。一班有多少人参加了数学竞赛？

2 1
数学思维课程配套精选题
第 2 讲比的应用（二）
基础篇：
1、小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多 1/5，小芳用的时间比
小明多 1/8。求小明和小芳速度的比。
2、甲走的路程比乙多 1/3，乙用的时间比甲多 1/4。求甲、乙的速度比。
3、一个人步行每小时走 5 千米，如果骑自行车每 1 千米比步行少用 8 分钟。
这个人骑自行车的速度和步行速度的比是多少？
提高篇：

1、加工一个零件，甲需 3 分钟，乙需 3.5 分钟，丙需 4 分钟。现在有 1825
个零件需要甲、乙、丙三人加工。如果规定用同样的时间完成任务，那么各应加
工多少个？

2 2
数学思维课程配套精选题
2、甲、乙、丙三人在同一时间里共制造 940 个零件。甲制造一个零件需 5
分钟，比乙制造一个零件所用的时间多 25％，丙制造一个零件所用的时间比甲
少 2/5。甲、乙、丙各制造了多少个零件？
3、加工某种零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别
能完成零件 48 个， 32 个， 28 个，现有 118 名工人，要使每天三道工序完成的零
件个数相同，每道工序应安排多少工人？
拓展篇：
1、甲、乙两个长方形长的比是 4： 5，宽的比是 3： 2，面积的和是 242 平方
厘米。求甲、乙两个长方形的面积分别是多少平方厘米？
2、苹果和梨的单价的比是 6：5，王大妈买的苹果和梨的重量的比是 2：3，

共花去 18 元。王大妈买苹果和梨各花了多少元？

2 3 数学思维课程配套精选题
4、大、小两种苹果，其单价比是 5：4，重量比是 2：3。把两种苹果混合，
成为 100 千克的混合苹果，单价为每千克 4.40 元。大、小两种苹果原来每千克
各是多少元？
第 3 讲 “ 比例 ” 问题
练习一：
16
1 . 4 : ( ) = = ( ) ? 1 0 = ( ) %
20
2 . 在 3 : 5 里，如果前项加上 6 ，要使比值不变，后项应加 .
3 . 1 2 : 1 的图纸上，精密零件的长度为 6 厘米，它的实际长度是毫米 .
4 . 某生产队有一块正方形菜地 , 边长 1 2 0 米 , 在总面积中种植西红柿、南瓜、茄子面积
1
的比是 2 5 : 1 : , 三种蔬菜各种了平方米 .
2
5 . 买甲、乙两种铅笔共 2 1 0 支 , 甲种铅笔每支价值 3 分 , 乙种铅笔每支价值 4 分 , 两种铅

笔用去的钱相同 , 甲种铅笔买了支 .

6 . 车库中停放若干辆双轮摩托车和四轮小卧车 , 车的辆数与车的轮子数的比是 2 : 5 . 问 :
摩托车的辆数与小卧车的辆数的比是 .
1 1 1
7 . 自然数 A 、 B 满足 ? ? ，且 A : B = 7 : 1 3 ，那么 A + B = .
A B 182
8 . 光明小学有三个年级，一年级学生占全校学生人数的 2 5 % ，二年级与三年级学生人

数的比是 3 : 4 ，已知一年级比三年级学生少 4 0 人，一年级有学生人 .
9 . 水泥、石子、黄砂各有 5 吨，用水泥、石子、黄砂按 5 : 3 : 2 拌制某种混凝土，若用
完石子，水泥缺吨 . 黄砂多吨 .
2 4
数学思维课程配套精选题
1 0 . 甲、乙两人步行的速度比是 1 3 : 1 1 ，如果甲、乙分别由 A 、 B 两地同时出发相向而
行， 0 . 5 小时后相遇，如果它们同向而行，那么甲追上乙需要小时 .
1 1 . 已知甲、乙两数的比为 5 : 3 ，并且它们最大公约数与最小公倍数的和是 1 0 4 0 ，那么
甲数是多少，乙数是多少 .
1 2 . 有一块铜锌合金 , 其中铜与锌的比是 2 : 3 ，现在加入锌 6 克，共得新合金 3 6 克，求
在新合金内铜与锌的比 .
1 3 . 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是 1 : 2 : 3 ，某人走各段
路所用时间之比依次是 4 : 5 : 6 ，已知他上坡时速度为每小时 3 千米，路程全长 5 0 千米。问 :
此人走完全程用了多少时间 ?
1 4 . 一个圆柱体的容器中，放有一个长方形铁块，现在打开一个水龙头往容器中注水，
3 分钟时，水恰好没过长方体的顶面，又过了 1 8 分钟，水灌满容器。已知容器的高度是 5 0
厘米，长方体的高度是 2 0 厘米，那么长方体底面积：容器底面面积等于多少 ?
练习二：
1
1 . 三个分数的和是 2 , 它们的分母相同 , 分子比是 1 : 2 : 3 . 这三个分数分别

10
是 .

1
2 . 四个数依次相差 , 它们的比是 1 : 3 : 5 : 7 , 这四个数的和是 .
80
1
3 . 在比例尺的地图上 , 量得两城市间的距离是 8 厘米 , 如画在比例尺
25 0000 0
1
的地图上 , 图上距离是厘米 .

80 00 00 0
2 5
数学思维课程配套精选题
4 . 小明、小青和小华做红花 , 小明比小青多做 1 6 朵 , 小华与小青做的朵数的比是 5 : 6 ,
小青和小华做的总朵数与小明做的朵数的比是 1 1 : 8 , 小明做朵 , 小青做
朵 .
1
5 . 五年级举行数学竞赛 , 一班占参加比赛总人数的 , 二班与三班参加比赛人数的比是
3
1 1 : 1 3 , 二班比三班少 8 人 , 三个班各有人参加比赛 .
6 . 甲、乙两包糖的重量比是 4 : 1 , 如果从甲包取出 1 0 克放入乙包后 , 甲乙两包糖的重量
比变为 7 : 5 , 那么两包糖的重量和是克 .
7 . 一个车间有两个小组 . 第一小组与第二小组人数的比是 5 : 3 , 如果第一小组 1 4 人到第
二小组时 , 第一小组与第二小组的比则是 1 : 2 . 原来两个小组各有人 .
8 . 一个直角三角形的两条直角边的总长是 1 4 厘米 , 它们的比是 3 : 4 . 如果斜边的长为 1 0
厘米 , 则斜边上的高是厘米 .
9 . 一块长方体砖 , 长与宽的比是 2 : 1 , 宽与高的比是 2 : 1 , 长、宽、高共 3 5 厘米 , 这块砖
的体积是 .
1 0 . 鸡、鸭、鹅的只数比是 3 : 2 : 1 , 画成扇形统计图 , 表示鸡的只数的扇形的圆心角是
度 .
1 1 . 有甲、乙、丙三个梯形 , 它们的高之比是 1 : 2 : 3 ；上底之比依次是 6 : 9 : 4 ；下底之比
依次 1 2 : 1 5 : 1 0 . 已知甲梯形的面积是 3 0 平方厘米 , 那么乙与丙两个梯形的面积之和是多少平
方厘米 ?
1 2 . 一条船往返于甲、乙两港之间 , 由甲至乙是顺水行驶；由乙至甲是逆水行驶 , 已知船
在静水中的速度为每小时 8 公里 , 平时逆行与顺行所用时间的比为 2 : 1 . 某天恰逢暴雨 .
水流速度变为原来的 2 倍 , 这条船往返共用 9 小时 , 那么甲乙两港相距多少公里 ?

1 3 . 两个相同的瓶子装满酒精溶液 , 一个瓶中酒精与水的体积之比是 3 : 1 , 而另一个瓶
中酒精和水的体积之比是 4 : 1 , 若把两瓶酒精溶液混合 , 混合液中酒精和水的体积之比是多
少 ?

2 6
数学思维课程配套精选题
1 4 . 甲、乙二人分别从 A 、 B 两地同时出发 , 相向而行 , 出发时他们的速度比是 3 : 2 , 他们
第一次相遇后 , 甲的速度提高了 2 0 % , 乙的速度提高了 3 0 % , 这样 , 当甲到达 B 地时 , 乙离 A 还有
1 4 千米 , 那么 A 、 B 两地间的距离是多少千米 ?
第 4 讲 “ 比例尺 ” 问题
1 . 在一幅地图上，用 3 厘米的线段来表示实际距离 6 0 0 千米。在这幅地图上，量得甲、乙
两地的距离是 4 . 5 厘米，甲、乙两地的实际距离是多少千米？
2 . 在比例尺 1 : 1 0 0 0 0 0 0 的地图上，量得甲、乙两城的距离是 6 厘米，如果改画在比例尺是
1 : 4 0 0 0 0 0 的地图上，甲、乙两城应该画多少厘米？
3 . 在比例尺是 1 : 2 0 0 0 0 0 0 的地图上，量得甲乙两地的距离为 3 . 6 厘米，如果汽车以每小时
3 0 千米的速度从甲地到乙地，多少小时可以到达？
4 、篮球场长 2 8 米，宽 1 5 米。请你用 1 : 5 0 0 的比例尺画出它的平面图。
5 、一辆汽车 2 小时行驶 1 3 0 千米。照这样的速度，从甲地到乙地共行驶 5 小时。甲、

乙两地相距多少千米？

6 . 修一条路，如果每天修 1 2 0 米， 8 天可以修完；如果每天多修 3 0 米，几天可以修完？

7 . 甲乙两地相距 3 5 0 千米，一辆快车和一辆慢车同时从两地相向开出， 3 . 5 小时后相遇，已
知快车和慢车的速度比是 3 : 2 ，这两列火车的速度分别是多少？
2 7
数学思维课程配套精选题
8 . 甲、乙、丙三数的比是 2 : 3 : 4 ，平均数是 1 2 ，三数各是多少？
9 . 在一幅比例尺是 1 : 5 0 0 0 0 的平面图上，量的一段公路长 1 6 . 8 厘米，现在把修筑这条公路
的任务按 3 : 5 分配给甲、乙两个修路队，这两个修路队各要修多少米？
1 0 . 丁丁、小刚、小明三个同学喜欢文学，假期中阅读了大量文学作品，丁丁、小刚、小明
三人阅读文学作品的本数是 4 : 3 : 5 . 已知丁丁比小刚多读 3 0 本，那么阅读作品最多的同学比
读的少的同学多读了多少本？

2 8
数学思维课程配套精选题
第 5 讲 “ 牛吃草 ” 问题
提高篇：
1、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草每天以均匀的速度在减少。经计算，
牧场上的草可供 20 头牛吃 5 天或可供 16 头牛吃 6 天。那么，可供 11 头牛吃几
天？
2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草以固定速度在减少。已知牧场上的草
可供 33 头牛吃 5 天或可供 24 头牛吃 6 天。照此计算，这个牧场可供多少头牛吃
10 天？
3 、经测算，地球上的资源可供 100 亿人生活 100 年，或可供 80 亿人生活
300 年。假设地球新生成的资源增长速度是一样的，那么，为满足人类不断发展
的需要，地球最多能养活多少亿人？

2 9
数学思维课程配套精选题
拓展篇：
1、自动扶梯以均匀速度行驶着，渺小明和小红从扶梯上楼。已知小明每分
钟走 25 级台阶，小红每分钟走 2 0 级台阶，结果小明用 5 分钟，小红用了 6 分钟
分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？
2 、两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。在 20 秒钟里，男孩可走 27
级台阶，女孩可走 24 级台阶，男孩走了 2 分钟到达另一端，女孩走了 3 分钟到
达另一端，该扶梯共有多少级台阶？
3、两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底。白天往下爬，两只
蜗牛白天爬行的速度是不同的。一只每天白天爬 20 分米，另一只爬 15 分米。黑
夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的。结果一只蜗牛恰好用了 5 个昼夜
到达井底，另一只蜗牛恰好用了 6 个昼夜到达井底。那么，井深多少米？

3 0
数学思维课程配套精选题
奥数篇：
1、有一水池，池底有泉水不断涌出。用 10 部抽水机 20 小时可以把水抽干，
用 15 部相同的抽水机 10 小时可以把水抽干。那么用 25 部这样的抽水机多少小
时可以把水抽干？
2、有一个长方形的水箱，上面有一个注水孔，底面有一个出水孔，两孔同
时打开后，如果每小时注水 30 立方分米， 7 小时可以注满水箱；如果每小时注
水 45 立方分米，注满水箱可少用 2.5 小时。那么每小时由底面小孔排出多少立
方分米的水（设每小时排水量相同）？
3、有一水井，连续不段涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果用 3 台抽
水机来抽水， 36 分钟可以抽完；如果使用 5 台抽水机， 20 分钟抽完。现在 12
分钟内要抽完井水，需要抽水机多少台？

3 1
数学思维课程配套精选题
第 6 讲解方程解应用题
基础篇：
1、某校参加数学竞赛的女生比男生多 28 人，男生全部得优，女生的 3/4
得优，男、女生得优的一共有 42 人，男、女生参赛的各有多少人？
2、有两盒球，第一盒比第二盒多 15 个，第二盒中全部是红球，第一盒中的
2/5 是红球，已知红球一共有 69 个，两盒球共有多少个？
3、六年级甲班比乙班少 4 人，甲班有 1/3 的人、乙班有 1/4 的人参加课外
数学组，两个班参加课外数学组的共有 29 人，甲、乙两班共有多少人？
提高篇：

1、某小学去年参加无线电小组的同学比参加航模小组的同学多 5 人。今年
参加无线电小组的同学减少 1/5，参加航模小组的人数减少 1/10，这样，两个组
的同学一样多。去年两个小组各有多少人？

3 2
数学思维课程配套精选题
2、原来甲、乙两个书架上共有图书 900 本，将甲书架上的书增加 5/8，乙
书架上的书增加 3/10，这样，两个书架上的书就一样多。原来甲、乙两个书架
各有图书多少本？
3、某车间昨天生产的甲种零件比乙种零件多 700 个。今天生产的甲种零件
比昨天少 1/10，生产的乙种零件比昨天增加 3/20，两种零件共生产了 2065 个。
昨天两种零件共生产了多少个？
拓展篇：
1、学校图书馆买来文艺书和连环画共 126 本，文艺书的比连环画的少 7 本，
图书馆买来的文艺书和连环画各是多少本？

2、某小有学生 465 人，其中女生的比男生的少 20 人，男、女生各有多少人？

3 3
数学思维课程配套精选题
3、王师傅和李师傅共加工零件 62 个，王师傅加工零件个数的比李师傅的少
2 个，两人各加工了多少个？
奥数篇：
1、儿子今年的年龄是父亲的 1/6， 4 年后儿子的年龄是父亲的 1/4，父亲今
年多少岁？
2、某校六年级男生是女生人数的 2/3，后来转进 2 名男生，转走 3 名女生，
这时男生人数是女生的 3/4。原来男、女生各有多少人？
3、第一车间人数的 3/5 等于第二车间人数的 9/10，第一车间比第二车间多
50 人。两个车间各有多少人？

3 4
数学思维课程配套精选题
第 7 讲分数应用题上
基础篇：
1、乙数是甲数的 3/4，丙数是乙数的 3/5，丙数是甲数的几分之几？
2、一根管子，第一次截去全长的 1/4，第二次截去余下的 1/2，两次共截去
全长的几分之几？
3、一个旅客从甲城坐火车到乙城，火车行了全程的一半时旅客睡着了。他
醒来时，发现剩下的路程是他睡着前所行路程的 1/4。想一想，剩下的路程是全
程的几分之几？他睡着时火车行了全程的几分之几？

提高篇：用两种方法解答下面各题：
1、一堆黄沙 30 吨，第一次用去总数的 1/5，第二次用去的是第一次的 1 又
1/4 倍，第二次用去黄沙多少吨？

3 5
数学思维课程配套精选题
2、大象可活 80 年，马的寿命是大象的 1/2，长颈鹿的寿命是马的 7/8，长
颈鹿可活多少年？
3、仓库里有化肥 30 吨，第一次取出总数的 1/5，第二次取出余下的 1/3，
第二次取出多少吨？
拓展篇：
1、有一批货物，第一天运了这批货物的 1/4，第二天运的是第一天的 3/5，
还剩 90 吨没有运。这批货物有多少吨？

2、修路队在一条公路上施工。第一天修了这条公路的 1/4，第二天修了余
下的 2/3，已知这两天共修路 1200 米，这条公路全长多少米？

3 6
数学思维课程配套精选题
3、加工一批零件，甲先加工了这批零件的 2/5，接着乙加工了余下的 4/9。
已知乙加工的个数比甲少 200 个，这批零件共有多少个？
奥数篇：
1、停车场里有小汽车的辆数是大汽车的 3/4，大汽车的辆数是小汽车的几
分之几？
2、如果山羊的只数是绵羊的 6/7，那么绵羊的只数是山羊的几分之几？
3、如果花布的单价是白布的 1 又 3/5 倍，则白布的单价是花布的几分之几？

3 7
数学思维课程配套精选题
第 8 讲分数应用题下
基础篇：下面各题怎样计算简便就怎样计算：
1、甲数是乙数的 5/6，乙数是丙数的 3/4，甲、乙、丙三个数的和是 152，
甲、乙、丙三个数各是多少？
2、橘子的千克数是苹果的 2 /3 ，香蕉的千克数是橘子的 1/2，香蕉和苹果共
有 220 千克，橘子有多少千克？
3、某中学的初中部三个年级中，初一的学生数是初二学生数的 9/10，初二
的学生数是初三学生数的 1 又 1/4 倍，这个学校里初三的学生数占初中部学生数
的几分之几？

3 8
数学思维课程配套精选题
提高篇：
1、在一座城市中，中学生数是居民的 1/5，大学生是中学生数的 1/4，那么
占大学生总数的 2/5 的理工科大学生是居民数的几分之几？
2、某人在一次选举中，需 3/4 的选票才能当选，计算 2/3 的选票后，他得
到的选票已达到当选票数的 5/6，他还要得到剩下选票的几分之几才能当选？
3、某校有 3/5 的学生是男生，男生的 1/20 想当医生，全校想当医生的学生
的 3/4 是男生，那么全校女生的几分之几想当医生？
拓展篇：

1、甲、乙两人各准备加工零件若干个，当甲完成自己的 2/3、乙完成自己的 1/4
时，两人所剩零件数量相等，已知甲比乙多做了 70 个，甲、乙两人各准备加工多少
个零件？

3 9
数学思维课程配套精选题
2 、一批水果四天卖完。第一天卖出 1 8 0 千克，第二天卖出余下的 2 / 7 ，第三、四天共卖出
这批水果的一半，这批水果有多少千克？
3、甲、乙两人合打一篇书稿，共有 10500 字。如果甲增加他的任务的 20％，
乙减少他的任务的 20％，那么甲打的字数就是乙的 2 倍，问两人原来的任务各
是多少？

4 0
数学思维课程配套精选题
第 9 讲浓度问题
1、有含糖量为 7％的糖水 600 克，要使其含糖量加大到 10％，需要再加入
多少克糖？
2、有含盐 15％的盐水 20 千克，要使盐水的浓度为 20％，需加盐多少千克？
3、有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了 200 毫升清水，乙瓶里装了 200 毫升纯
酒精。第一次把 20 毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中 20 毫升溶液倒
回乙瓶，此时甲瓶里含纯酒精多，还是乙瓶里含水多？
4、一容器内装有 10 升纯酒精，倒出 2.5 升后，用水加满；再倒出 5 升，再
用水加满。这时容器内溶液的浓度是多少？

4 1
数学思维课程配套精选题
5、将 20％的盐水与 5％的盐水混合，配成 15％的盐水 600 克，需要 20％的
盐水和 5％的盐水各多少克？
6、甲、乙、丙 3 个试管中各盛有 10 克、20 克、30 克水。把某种质量分数
的盐水 10 克倒入甲管中，混合后取 10 克倒入乙管中，再混合后从乙管中取出
10 克倒入丙管中。现在丙管中的盐水的质量分数为 0.5％。最早倒入甲管中的盐
水质量分数是多少？

4 2
数学思维课程配套精选题
第 1 0 讲工程问题
【例题 1 】修一条路，甲队每天修 8 小时， 5 天完成；乙队每天修 10 小时， 6
天完成。两队合作，每天工作 6 小时，几天可以完成？
把前两个条件综合为 “ 甲队 40 小时完成 ” ，后两个条件综合为 “ 乙队 60
小时完成”。则
1 1
1÷ [ + ]÷6=4（天）
5×8 10×6
1 1
或 1÷[（ + ）×6]=4（天）
5×8 10×6
答：4 天可以完成。
基础篇：
1 、修一条路，甲队每天修 6 小时， 4 天可以完成；乙队每天修 8 小时， 5
天可以完成。现在让甲、乙两队合修，要求 2 天完成，每天应修几小时？
2、一项工作，甲组 3 人 8 天能完成，乙组 4 人 7 天也能完成。现在由甲组
2 人和乙组 7 人合作，多少天可以完成？

3、货场上有一堆沙子，如果用 3 辆卡车 4 天可以完成，用 4 辆马车 5 天可

以运完，用 20 辆小板车 6 天可以运完。现在用 2 辆卡车、 3 辆马车和 7 辆小板
车共同运两天后，全改用小板车运，必须在两天内运完。问：后两天需要多少辆
小板车？
4 3
数学思维课程配套精选题
【例题 2 】有两个同样的仓库 A 和 B，搬运一个仓库里的货物，甲需要 10 小
时，乙需要 12 小时，丙需要 15 小时。甲和丙在 A 仓库，乙在 B 仓库，同时开始
搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少
时间？
设搬运一个仓库的货物的工作量为 “1”。总整体上看，相当于三人共同完成工
作量“2”
①三人同时搬运了
1 1 1
2÷（ + + ）=8（小时）
10 12 15
②丙帮甲搬了
1 1
（1- ×8）÷ =3（小时）
10 15
③丙帮乙搬了
8-3=5（小时）
答：丙帮甲搬了 3 小时，帮乙搬了 5 小时。
提高篇：
1
1、师、徒两人加工相同数量的零件，师傅每小时加工自己任务的，徒弟
1 0
1
每小时加工自己任务的。师、徒同时开始加工。师傅完成任务后立即帮助徒
1 5
弟加工，直至完成任务，师傅帮徒弟加工了几小时？

2、有两个同样的仓库 A 和 B，搬运一个仓库里的货物，甲需要 18 小时，乙
需要 12 小时，丙需要 9 小时。甲、乙在 A 仓库，丙在 B 仓库，同时开始搬运。

中途甲又转向帮助丙搬运。最后，两个仓库同时搬完。甲帮助乙、丙各多少小时？
4 4
数学思维课程配套精选题
5
3、甲、乙两人同时加工一批零件，完成任务时，甲做了全部零件的，乙
8
每小时加工 12 个零件，甲单独加工这批零件要 12 小时，这批零件有多少个？
【例题 3 】一件工作，甲独做要 20 天完成，乙独做要 12 天完成。这件工作
先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用了 14 天。这件工作
由甲先做了几天？
解法一：根据两人做的工作量的和等于单位“1”列方程解答，很容易理解。
解：设甲做了 x 天，则乙做了（14-x）天。
1 1
x+ ×（14-x）=1
20 12
X=5
1
解法二：假设这 14 天都由乙来做，那么完成的工作量就是 ×14，比总工作量
1 2
1 1
多了 × 14-1= ，乙每天的能够做量比甲每天的工作两哦了
1 2 6
1 1 1 1 1
- = ，因此甲做了 ÷ =5（天）
1 2 2 0 3 0 6 3 0
拓展篇：

1 、一项工程，甲独做 12 天完成，乙独做 4 天完成。若甲先做若干天后，
由乙接着做余下的工程，直至完成全部任务，这样前后共用了 6 天，甲先做了几
天？

4 5
数学思维课程配套精选题
2、一项工程，甲队单独做需 30 天完成，乙队单独做需 40 天完成。甲队单
独做若干天后，由乙队接着做，共用 35 天完成了任务。甲、乙两队各做了多少
天？
3、一项工程，甲独做要 50 天，乙独做要 75 天，现在由甲、乙合作，中间
乙休息几天，这样共用 40 天完成。求乙休息的天数。
【例题 4 】甲、乙两人合作加工一批零件， 8 天可以完成。中途甲因事停工
3 天，因此，两人共用了 10 天才完成。如果由甲单独加工这批零件，需要多少
天才能完成？
解法一：先求出乙的工作效率，再求出甲的工作效率。最后求出甲单独做需要的
天数。
1 7
①甲、乙同时做的工作量为 ×（10-3）＝

8 8
7 1
②乙单独做的工作量为 1－＝
8 8
1 1
③乙的工作效率为 ÷3=
8 24

1 1 1
④甲的工作效率为－＝
8 24 12
4 6
数学思维课程配套精选题
1
⑤甲单独做需要的天数为 1÷ ＝12（天）
12
解法二：从题中得知，由于甲停工 3 天，致使甲、乙两人多做了（10-8=） 2 天。
由此可知，甲 3 天的工作量相当于这批零件的 2÷8=1/4
3÷[（10-8）÷8]=12（天）或
3×[8÷（10-8）]=12（天）
答：甲单独做需要 12 天完成。
奥数篇：
1 、甲、乙两人合作某项工程需要 12 天。在合作中，甲因输请假 5 天，因
此共用 15 天才完工。如果全部工程由甲单独去干，需要多少天才能完成？
2、一段布，可以做 30 件上衣，也可做 48 条裤子。如果先做 20 件上衣后，
还可以做多少条裤子？

3、一项工程，甲、乙合作 6 小时可以完成，同时开工，中途甲通工了 2.5
小时，因此，经过 7.5 小时才完工。如果这项工程由甲单独做需要多少小时？
4 7
数学思维课程配套精选题
4、一项工程，甲先单独做 2 天，然后与乙合作 7 天，这样才完成全工程的
一半，已知甲、乙工作效率的比是 3 ： 2 ，如果这件工作由乙单独做，需要多少
天才能完成？
【例题 5 】放满一个水池的水，如果同时开放 ①②③号阀门，15 小时放满；
如果同时开放①③⑤号阀门， 12 小时可以放满；如果同时开放 ②④⑤号阀门， 8
小时可以放满。问：同时开放这五个阀门几小时可以放满这个水池？
从整体入手，比较条件中各个阀门出现的次数可知， ①③号阀门各出现 3 次，
1 1 1 1 1
②④⑤号阀门各出现 2 次。如果 + + + 再加一个，则是五个阀门各放 3
1 5 1 0 1 2 8 8
小时的总水量。
1 1 1 1 1 1
1÷[（ + + + + ）÷3]=1÷[ ÷3]=6（小时）
15 10 12 8 8 2
练习 5 ：
1、完成一件工作，甲、乙合作需 15 小时，乙、丙两人合作需 12 小时，甲、
丙合作需 10 小时。甲、乙丙三人合作需几小时才能完成？

1
2、一项工程，甲干 3 天，乙干 5 天可以完成，甲干 5 天、乙干 3 天可完
2
1
成。甲、乙合干需几天完成？
3

4 8
数学思维课程配套精选题
3、完成一件工作，甲、乙两人合作需 20 小时，乙、丙两人合作需 28 小时，
丙、丁两人合作需 30 小时。甲、丁两人合作需几小时？
4、一项工程，由一、二、三小队合干需 18 天完成，由二、三、四小队合干
需 15 天完成，由一、二、四小队合干需 12 天完成，由一、三、四小队合干需
20 天完成。由第一小队单独干需要多少天？

4 9
数学思维课程配套精选题
第 1 1 讲概率问题
1 . 某商场举行抽奖活动，转动转盘，指针停在哪个数便可得到相应的奖金。一等奖 1 0 0 0
元，二等奖 2 0 0 元，三等奖 5 0 元，纪念奖 5 元。抽到一等奖的可能性为 ( ) ，抽到二等
奖的可能性为 ( ) ，抽到三等奖的可能性为 ( ) ，抽到纪念奖的可能性为 ( ) 。
2 . 2 2 张数字卡片上分别写着 1 ～ 2 2 各数，将卡片打乱，从中任意抽取一张。
( 1 ) 抽到 7 的倍数的可能性是 ( ) 。
( 2 ) 抽到 4 的倍数的可能性是 ( ) 。
( 3 ) 抽到奇数的可能性是 ( ) 。
( 4 ) 抽到素数的可能性是 ( ) 。
( 5 ) 抽到比 1 0 大的数的可能性是 ( ) 。
3 ．口袋里放 5 个红球， 4 个绿球， 1 个黄球。如果摸出一个球后，放回袋中然后再摸一
个，这样摸 5 0 次，可能有多少次摸到绿球？红球和黄球呢？
4 . 在口袋里放红色、黄色的球，任意摸一个，要符合下面的要求，分别应该怎样放？
2
( 1 ) 放 1 0 个，摸到红球的可能性是。放 ( ) 个红球， ( ) 个黄球。
5
1
( 2 ) 放 1 2 个，摸到黄球的可能性是，放 ( ) 个红球， ( ) 个黄球。
6
1
( 3 ) 摸到红球的可能性是，可以怎样放？放 ( ) 个红球， ( ) 个黄球；还可以放
3
( ) 个红球， ( ) 个黄球。

3
( 4 ) 摸到黄球的可能性，可以怎样放？放 ( ) 个红球， ( ) 个黄球；还可以放 ( )
5
个红球， ( ) 个黄球。
5 . 2 0 张数字卡片上分别写上 1 ～ 2 0 各数。将卡片打乱，从中任意抽取一张卡片。抽到

3 的倍数的可能性是多少？抽到 5 的倍数的可能性是多少？抽到偶数的可能性是多少？
5 0
数学思维课程配套精选题
1 1
6 . 从一个袋子里摸出一个球，摸到红球的可能性为，摸到白球的可能性为，摸到黑
6 5
1
球的可能性为。这个袋子里至少有多少个球？红、白、黑球分别有多少个？
4
7 . 一种彩票是由 0 ～ 9 中任意三个数字组合而成，如 3 1 5 或 4 2 6 等。某人买了一张彩票，
请分析他中奖的可能性。

5 1
数学思维课程配套精选题
第 1 2 讲复杂和差倍
1 ．水果店运来了西瓜和哈密瓜共 2 3 4 个，如果西瓜和哈密瓜的个数比为 5 ： 4 ，那么水果店
运来西瓜和哈密瓜各多少个？
2 ．有 4 2 9 名小学生参加数学冬令营，其中男生和女生的人数比为 7 ： 6 ．后来又有
一些女生报名参赛，这时男生和女生的人数比变为 1 1 ： 1 0 . 请问：后来报名的女生有多少人？
3 ．松鼠一家三口出门采摘松果，松鼠爸爸采得最快，他每采摘 7 颗松果，松鼠妈妈只能采
摘 6 颗；松鼠宝宝采得最慢，他每采摘 2 颗，松鼠妈妈已经采摘了 3 颗．一天下来，他们一
共采摘了 3 4 0 颗松果．试问：其中有多少颗是松鼠宝宝采的？
4 ．育才小学五年级学生分成三批去参观博物馆，第一批与第二批的人数比是 5 : 4 ，第二批与
第三批的人数比是 3 ： 2 ．已知第一批的人数比第二、三批的总和少 5 5 人．请问：育才小学
五年级一共有多少人？

5 ．小明将 1 0 0 枚棋子分成三堆，已知第一堆比第二堆的 2 倍还多，第二堆比第三堆的 2 倍
也要多．请问：第三堆最多有多少枚棋子？

5 2
数学思维课程配套精选题
6 ．博雅小学五年级有 2 0 0 人，在一次数学竞赛中，参赛人数的 ≥ 获得优胜奖，去获得鼓励奖，
其余的人没有得奖．试问：该校五年级学生中有多少人没有参加这次数学竞赛？
7 ．甲、乙、丙三堆棋子总共有 1 0 0 多枚．先从甲堆分一些棋子给另外两堆，使得乙、丙两
堆的棋子数增加 1 倍；接着，从乙堆分一些棋子给另外两堆，使得甲、丙两堆各增加 2 倍；
最后，从丙堆分一些棋子给另外两堆，使得甲、乙两堆各增加 3 倍，此时甲、乙、丙三堆棋
子数的比是 1 ： 2 ： 3 ．请问：原来三堆棋子各有多少枚？
8 ．今年，爷爷的年龄是小明年龄的 6 倍．若干年后，爷爷的年龄将是小明年龄的 5 倍．再
过若干年，爷爷的年龄将是小明年龄的 4 倍．求爷爷今年的年龄．
9 ．甲、乙、丙三人各有一些书，甲、乙共有 5 4 本，乙、丙共有 7 9 本，已知三人中书最多
的那个人书的数量是书最少的人的 2 倍．请问：乙有多少本书？

1 0 ．龙泉乡水电站按户收取电费，具体规定是：如果每月用电不超过 2 4 度，就按每度 9 分
钱收费；如果超过 2 4 度，超出的部分按每度 2 角钱收费．这个月小宇家比小达家多交了 9
角 6 分钱的电费（用电按整度计算）．问：小宇家和小达家各交了多少电费？

5 3
数学思维课程配套精选题
三、行程问题
第 1 讲相遇追击

联系 1
1、两辆汽车同时从某地出发，运送一批货物到距离 165 千米的工地。甲车
比乙车早到 8 分钟，当甲车到达时，乙车还距工地 24 千米。甲车行完全程用了
多少小时？
2、 A、 B 两地相距 900 千米，甲车由 A 地到 B 地需 15 小时，乙车由 B 地到 A
地需 10 小时。两车同时从两地开出，相遇时甲车距 B 地还有多少千米？
3、甲、乙两辆汽车早上 8 点钟分别从 A 、B 两城同时相向而行。到 10 点钟
时两车相距 112.5 千米。继续行进到下午 1 时，两车相距还是 112.5 千米。 A、 B

两地间的距离是多少千米？

5 4
数学思维课程配套精选题
提高篇：
1、两辆汽车同时从南、北两站相对开出，第一次在离南站 55 千米的地方相
遇，之后两车继续以原来的速度前进。各自到站后都立即返回，又在距中点南侧
15 千米处相遇。两站相距多少千米？
2、两列火车同时从甲、乙两站相向而行。第一次相遇在离甲站 40 千米的地
方。两车仍以原速继续前进。各自到站后立即返回，又在离乙站 20 千米的地方
相遇。两站相距多少千米？
3 、甲、乙两辆汽车同时从 A 、 B 两地相对开出。第一次相遇时离 A 站有 90
千米。然后各按原速继续行驶，分别到达对方车站后立即沿原路返回。第二次相
遇时在离 A 地的距离占 A、 B 两站间全程的 65%。 A、 B 两站间的路程是多少千米？
拓展篇：

1、一条笔直的马路通过 A 、 B 两地，甲、乙两人同时从 A、 B 两地出发，若
先跟乡行走，12 分钟相遇；若同向行走，8 分钟甲就落在乙后面 1864 米。已知
A、B 两地相距 1800 米。甲、乙每分钟各行多少米？

5 5
数学思维课程配套精选题
2、父子二人在一 400 米长的环行跑道上散步。他俩同时从同一地点出发。
6 2
若想 8 背而行，2 分钟相遇；若同向而行，26 分钟父亲可以追上儿子。问：
7 3
在跑道上走一圈，父子各需多少分钟？
3、两条公路呈十字交叉。甲从十字路口南 1350 米处向北直行，乙从十字路
口处向东直行。同时出发 10 分钟后，二人离使字路口的距离相等；二人仍保持
原来速度直行，又过了 80 分钟，这时二人离十字路口的距离又相等。求甲、乙
二人的速度。
奥数篇：
1、 A、 B 两地相距 21 千米，上午 8 时甲、乙分别从 A、 B 两地出发，相向而
行。甲到达 B 地后立即返回，乙到达 A 地后立即返回。上午 10 时他们第二次相
遇。此时，甲走的路程比乙走的多 9 千米，甲一共行了多少千米？甲每小时走多

少千米？

5 6
数学思维课程配套精选题
2、张师傅上班坐车，回家步行，路上一共要用 80 分钟。如果往、返都坐车，
全部行程要 50 千米；如果往、返都步行，全部行程要多长时间？
3、当甲在 60 米赛跑中冲过终点线时，比乙领先 10 米，比丙领先 20 米。如
果乙和丙按原来的速度继续冲向终点，那么乙到达终点时将比丙领先多少米？
练习 5 ：
1、有甲、乙、丙三人，甲每分钟行 70 米，乙每分钟行 60 米，丙每分钟行
75 米，甲、乙从 A 地去 B 地，丙从 B 地去 A 地，三人同时出发，丙遇到甲 8 分
钟后，再遇到乙。A、B 两地相距多少千米？
2 、一只狼以每秒 15 米的速度追捕在它前面 100 米处的兔子。兔子每秒行
4.5 米， 6 秒钟后猎人向狼开了一枪。狼立即转身以每秒 16.5 米的速度背向兔子

逃去。问：开枪多少秒后兔子与狼又相距 100 米？

5 7
数学思维课程配套精选题
3、甲、乙两车同时从 A 地开往 B 地，乙车 6 小时可以到达，甲车每小时比乙车
慢 8 千米，因此比乙车迟一小时到达。A、B 两地间的路程是多少千米？
第 2 讲流水行船
基础篇：
1、水流速度是每小时 15 千米。现在有船顺水而行， 8 小时行 320 千米。若
逆水行 320 千米需几小时？
2 、水流速度每小时 5 千米。现在有一船逆水在 120 千米的河中航行需 6 小
时，顺水航行需几小时？

3、一船从 A 地顺流到 B 地，航行速度是每小时 32 千米，水流速度是每小时
1
4 千米，2 天可以到达。次船从 B 地返回到 A 地需多少小时？
2

5 8
数学思维课程配套精选题
提高篇：
1 、有只大木船在长江中航行。逆流而上 5 小时行 5 千米，顺流而下 1 小时
行 5 千米。求这只木船每小时划船速度和河水的流速各是多少？
2、有一船完成 360 千米的水程运输任务。顺流而下 30 小时到达，但逆流而
上则需 60 小时。求河水流速和静水中划行的速度？
3 、一海轮在海中航行。顺风每小时行 45 千米，逆风每小时行 31 千米。求
这艘海轮每小时的划速和风速各是多少？

5 9
数学思维课程配套精选题
第 3 讲分数百分数行程问题
基础篇：
1、甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发相向而行，相遇点距中点 320 米。
5
已知甲的速度是乙的速度的，甲每分钟行 800 米。求 A、B 两地的路程。
6
2、甲、乙两人分别从 A、 B 两地同时出发相向而行，匀速前进。如果每人按
一定的速度前进，则 4 小时相遇；如果每人各自都比原计划每小时少走 1 千米，
则 5 小时相遇。那么 A、B 两地的距离是多少千米？
3、甲、乙两人同时骑自行车从东、西两镇相向而行，甲、乙的速度比是 3：
1
4。已知甲行了全程的，离相遇地点还有 20 千米，相遇时甲比乙少行多少千米？
3

提高篇：
1、从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程之比是 2： 3：
5 ，小亮走这三段路所用的时间之比是 6 ： 5 ： 4 。已知小亮走平炉时的速度为每
小时 4.5 千米，他从甲地走到乙地共用了 5 小时。问：甲、乙两地相距多少千米？
6 0
数学思维课程配套精选题
2、小明去登山，上午 6 点出发，走了一段平坦的路，爬上了一座山，在山
顶停了 1 小时后按原路返回，中午 11 点回到家。已知他走平路的速度为每小时
4 千米，上坡速度为每小时 3 千米，下坡速度为每小时 6 千米。问：小明一共走
了多少千米？
3、青青从家到学校正好要翻一座小山，她上坡每分钟行 50 米，下坡速度比
上坡快 40%，从就秒到学校的路程为 2800 米，上学要用 50 分钟。从学校回家要
用多少时间？

6 1
数学思维课程配套精选题
四、数论专题
第 1 讲余数的性质

模块一、余数的加减法定理
【【例例 1 1 】】幼儿园的老师给班里的小朋友送来 4 0 只桔子， 2 0 0 块饼干， 1 2 0 块奶糖。平均分
发完毕，还剩 4 只桔子， 2 0 块饼干， 1 2 粒奶糖。这班里共有 _ _ _ _ _ _ _ 位小朋友。
【例 2 】在 1 9 9 5 ， 1 9 9 8 ， 2 0 0 0 ， 2 0 0 1 ， 2 0 0 3 中，若其中几个数的和被 9 除余 7 ，则将这几
【例 2 】
个数归为一组．这样的数组共有 _ _ _ _ _ _ 组．
【【例例 3 3 】】号码分别为 1 0 1 , 1 2 6 , 1 7 3 , 1 9 3 的 4 个运动员进行乒乓球比赛 , 规定每两人比赛的盘
数是他们号码的和被 3 除所得的余数 . 那么打球盘数最多的运动员打了多少盘 ?
【例 4 】有一个整数，用它去除 7 0 ， 1 1 0 ， 1 6 0 所得到的 3 个余数之和是 5 0 ，那么这个整
【例 4 】
数是 _ _ _ _ _ _ ．

【巩固】用自然数 n 去除 6 3 ， 9 1 ， 1 2 9 得到的三个余数之和为 2 5 ，那么 n = _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【巩固】
【例 5 】如果 1 ＝ 1 ！， 1 × 2 ＝ 2 ！， 1 × 2 × 3 ＝ 3 ！ … … 1 × 2 × 3 × … … × 9 9 × 1 0 0 ＝ 1 0 0 ！那么 1 ！
【例 5 】
+ 2 ！ + 3 ！ + … … + 1 0 0 ！的个位数字是多少？

6 2 数学思维课程配套精选题
【例 6 】六名小学生分别带着 1 4 元、 1 7 元、 1 8 元、 2 1 元、 2 6 元、 3 7 元钱，一起到新华
【例 6 】
书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有 5 个人带的钱不够，但是其中甲、
乙、丙 3 人的钱凑在一起恰好可买 2 本，丁、戊 2 人的钱凑在一起恰好可买 1 本．这
种《成语大词典》的定价是 _ _ _ _ _ _ _ _ 元．
【【巩巩固固】】商店里有六箱货物，分别重 1 5 ， 1 6 ， 1 8 ， 1 9 ， 2 0 ， 3 1 千克，两个顾客买走了其中
的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的 2 倍，那么商店剩下的一箱
货物重量是 _ _ _ _ _ _ _ _ 千克．
【巩固】六张卡片上分别标上 1 1 9 3 、 1 2 5 8 、 1 8 4 2 、 1 8 6 6 、 1 9 1 2 、 2 4 9 4 六个数，甲取 3 张，
【巩固】
乙取 2 张，丙取 1 张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另 — 个
人的 2 倍，则丙手中卡片上的数是 _ _ _ _ _ _ _ _ ． ( 第五届小数报数学竞赛初赛 )
【【例例 7 7 】】从 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， … ， 2 0 0 7 中取 N 个不同的数，取出的数中任意三个的和能被 1 5
整除．N 最大为多少？
【例 8 】一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是 3 的整数倍，
【例 8 】
每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是 1 0 0 ，父亲岁数最大，问：母亲是多少
岁 ?

【【例例 9 9 】】有三所学校，高中 A 校比 B 校多 1 0 人，B 校比 C 校多 1 0 人．三校共有高中生
2 1 9 6 人．有一所学校初中人数是高中人数的 2 倍；有一所学校初中人数是高中人
数的 1 . 5 倍；还有一所学校高中、初中人数相等．三所学校总人数是 5 4 8 0 人，那
么 A 校总人数是 _ _ _ _ _ _ _ _ 人．

6 3
数学思维课程配套精选题
模块二、余数的乘法定理
【例 1 0 】求 24 61 ? 1 35 ? 6 047 ? 1 1 的余数．
【例 1 0 】
【【巩巩固固】】求 47 8 ? 29 6 ? 3 51 除以 1 7 的余数．
【【巩巩固固】】求 43 7 ? 30 9 ? 19 93 被 7 除的余数．
【【例例 1 1 1 1 】】求 47 8 ? 25 69 ? 35 2 除以 9 的余数．
【【例例 1 1 2 2 】】一个数被 7 除，余数是 3 ，该数的 3 倍被 7 除，余数是。

6 4
数学思维课程配套精选题
第 2 讲中国剩余定理
1 、一个数，除以 5 余 1 ，除以 3 余 2 。问这个数最小是多少？
2 、一个数除以 5 余 1 ，除以 3 也余 1 。问这个数最小是多少？（ 1 除外）
3 、一个数除以 5 余 4 ，除以 3 余 2 。问这个数最小是多少？
4 、有 1 个数，除以 7 余 2 ．除以 8 余 4 ，除以 9 余 3 ，这个数至少是多少？

5 、三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

6 5
数学思维课程配套精选题
6 、一个数被 5 除余 2 ，被 6 除少 2 ，被 7 除少 3 ，这个数最小是多少 ?
7 、一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就多四
人，问这个班有多少学生 ?
第 3 讲最值问题
基础篇：
x － y
1、设 x 和 y 是选自前 100 个自然数的两个不同的数，求的最大值。
x + y
a － b
2、a 和 b 是小于 50 的两个不同的自然数，且 a＞b，求的最小值。
a + b

x + y
3、设 x 和 y 是选自前 20 0 个自然数的两个不同的数，且 x＞y， ①求
x － y
x + y
的最大值；②求的最小值。
x － y

6 6 数学思维课程配套精选题
提高篇：
3 4
1、有甲、乙两个两位数，甲数的等于乙数的。这两个两位数的差
1 0 5
最多是多少？
5 1
2、甲、乙两数都是三位数，如果甲数的恰好等于乙数的。这两个两
6 4
位数的和最小是多少？
3 、加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每
小时分别能做 48 个、 32 个、 28 个，要使每天三道工序完成的个数相同，至
少要安排多少工人？
拓展篇

1、两个四位数的差是 8921。这两个四位数的和的最大值是多少？
2 、如果两个三位数的和是 525 ，就说这两个三位数组成一个数对。那么这

样的数对共有多少个？组成这样的数对的两个数的差最小是多少？最大是多
少？
6 7 数学思维课程配套精选题
3、如果两个四位数的差是 3 456 ，就说这两个数组成一个数对。那么，这样
的数对共有多少个？组成这样的数对的两个数的和最大是多少？最小是多少？
第 4 讲不定方程
基础篇
1、求 3x+2y＝25 的自然数解。
2、求 4x+5y＝37 的自然数解。
3、求 5x－3y＝16 的最小自然数解。
提高篇

求下面方程组的自然数解。
1、4x+3y－2z＝7 2、 7x+9y+11z＝68
3x+2y+4z＝21 5x+7y+9z＝52
3、5x+7y+4z＝26
3x－y－6z＝2

6 8
数学思维课程配套精选题
拓展篇 .
1、某校 6 （1）班学生 48 人到公园划船。如果每只小船可坐 3 人，每只大
船可坐 5 人。那么需要小船和大船各几只？（大、小船都有）
2、甲级铅笔 7 角钱一枝，乙级铅笔 3 角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买
两种不同的铅笔共几枝？
3、小华和小强各用 6 角 4 分买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是 5 分
一枝和 7 分一枝的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来多少
枝？

6 9
数学思维课程配套精选题
五、计数专题
第 1 讲加乘原理

基础篇：
1、有数字 1，2，3，4，5，6 共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？
2、在自然数中，用两位数做被减数，一位数做减数，共可组成多少个不同
的减法算式？
3、由数字 1，2，3，4，5，6，7，8，可组成多少个：
①三位数；
②三位偶数；
③没有重复数字的三位偶数；
④百位是 8 的没有重复数字的三位数；
⑤百位是 8 的没有重复数字的三位偶数。

提高篇：
1、在 1—1000 的自然数中，一共有多少个数字 1？

7 0
数学思维课程配套精选题
2、在 1—500 的自然数中，不含数字 0 和 1 的数有多少个？
3、十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问最多试开多少次，
就能把锁和钥匙配起来？
4、由数字 0，1，2，3，4 可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？
拓展篇：
1 、商店里有 5 种不同的儿童上衣， 4 种不同的裙子，妈妈准备为女儿买上
衣一件和裙子一条组成一套，共有多少种不同的选法？

2、小明家到学校共有 5 条路可走，从学校到少年宫共有 3 条路可走。小明
从家出发，经过学校然后到少年宫，共有多少种不同的走法？

7 1 数学思维课程配套精选题
3、张师傅到食堂吃饭，主食有 2 种，副食有 6 种，主、副食各选一种，他
有几种不同的选法？
第 2 讲抽屉原理

基础篇：
1、某校有 370 名 1992 年出生的学生，其中至少有 2 个学生的生日是同一天，
为什么？
2、某校有 30 名学生是 2 月份出生的，能否至少有两个学生生日是在同一天？
3、15 个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？

提高篇：
1、某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书。买书的情况是：有买
一本的、二本的、三本或四本的。，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同

学买到相同的书（每种书最多买一本）？
7 2
数学思维课程配套精选题
2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。每个学生从中任意借两本，
那么至少要几个同学才能保证一定有两人所借的图书属于同一种？
3、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜色有绿、红、黄
三种，问最少要取出多少个珠子才能保证有两个同色的？
拓展篇：
1、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄
四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有 4 副同色的？
2、布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只。颜色有白、黑、蓝三种。
问：最少要摸出多少只袜子，才能保证有 3 双同色的？

3、一个布袋里有红、黄、蓝色袜子各 8 只。每次从布袋中拿出一只袜子，
最少要拿出多少只才能保证其中至少有 2 双不同袜子？

7 3
数学思维课程配套精选题
第 3 讲排列组合
1 ．恰好能被 6 ， 7 ， 8 ， 9 整除的五位数有多少个 ?
2 ．小明的两个衣服口袋中各有 1 3 张卡片，每张卡片上分别写着 1 ， 2 ， 3 ， … ， 1 3 ．
如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘
积．那么，其中能被 6 整除的乘积共有多少个 ?
3 ． 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 这 6 个数中，选 3 个数使它们的和能被 3 整除．那么不同的选法有几
种 ?
4 ．同时满足以下条件的分数共有多少个 ?

7 4
数学思维课程配套精选题
六、几何专题
第 1 讲五大模型
几何五大模型
1
1 、如图，在三角形 A B C 中，， D 为 B C 的中点， E 为 A B 上的一点，且 B E = A B , 已知四边形
3
E D C A 的面积是 3 5 ，求三角形 A B C 的面积 . （
2 、四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方 ( 如图 ) 如果小正方形面积是
1 平方米，大正方形面积是 5 平方米，那麽直角三角形中，最短的直角边长度是 _ _ _ _ _ _ 米 .

7 5
数学思维课程配套精选题
3 、如图在长方形 A B C D 中， △ A B E 、 △ A D F 、四边形 A E C F 的面积相等。 △ A E F 的面积是长
方形 A B C D 面积的 _ _ _ _ _ _ ( 填几分之几 ) 。
。
4 、如图 1 ，一个长方形被切成 8 块，其中三块的面积分别为 1 2 ， 2 3 ， 3 2 ，则图中阴影部分
的面积为 _ _ _ _ _
5 、右图中 A B = 3 厘米， C D = 1 2 厘米， E D = 8 厘米， A F = 7 厘米 . 四边形 A B D E 的面积是平
方厘米．

7 6

数学思维课程配套精选题
燕尾模型特辑
【例 1 】（ 2 0 0 9 年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形 A B C 的面积是 1 ， E 是 A C
的中点，点 D 在 B C 上，且 B D : D C ? 1 : 2 ， A D 与 B E 交于点 F ．则四边形 D F E C
的面积等于．
A
A
3
3
E
E
F
3

1 2
F
B
C
B
D
C
D
A A
E E
F F
B C B C
D D

【巩固】如图，已知 B D ? D C ， E C ? 2 A E ，三角形 A B C 的面积是 30 ，求阴影部分面积 .
A
E

F
B
D C

2
【巩固】如图，三角形 A B C 的面积是 20 0 c m ， E 在 A C 上，点 D 在 B C 上，且
A E : E C ? 3 : 5 , B D : D C ? 2 : 3 ， A D 与 B E 交于点 F ．则四边形 D F E C 的面积等
于
A
A A
E E
E

F F
F
C C
B B
B
D D
C
D
7 7

数学思维课程配套精选题

【巩固】如图，已知 B D ? 3 D C ， E C ? 2 A E ， B E 与 C D 相交于点 O , 则 △ A B C 被分成的 4 部
分面积各占 △ A B C 面积的几分之几？
A A
1
1
E E
9
2
O O
2
13 . 5
4 . 5
B C B C
3 1
D D

1 1
【巩固】 ( 20 07 年香港圣公会数学竞赛 ) 如图所示，在 △ A B C 中， C P ? C B ， C Q ? C A ，

2 3
B Q 与 A P 相交于点 X ，若 △ A B C 的面积为 6 ，则 △ A B X 的面积等于．
C
C C
Q 1
P
4
Q Q
1
P P
X
4
X X
A
B
A B A B
【巩固】如图，三角形 A B C 的面积是 1 ， B D ? 2 D C ， C E ? 2 A E ， A D 与 B E 相交于点 F ，
请写出这 4 部分的面积各是多少 ?
A A
1
E E
6
2
F F
8 4
B B
D D
C C

7 8

数学思维课程配套精选题
【巩固】如图， E 在 A C 上， D 在 B C 上，且 A E : E C ? 2 : 3 , B D : D C ? 1 : 2 ， A D 与 B E 交
2
于点 F ．四边形 D F E C 的面积等于 22 c m ，则三角形 A B C 的面积．
A A A
1 . 6
E E E
F F
2
2 . 4
F
2
1
B B B
C C C
D D D
【巩固】三角形 A B C 中， C 是直角，已知 A C ? 2 ， C D ? 2 ， C B ? 3 ， A M ? B M ，那么三
角形 A M N ( 阴影部分 ) 的面积为多少？

A A
M M
N N
B B
C C
D D
【巩固】如图，长方形 A B C D 的面积是 2 平方厘米， E C ? 2 D E ， F 是 D G 的中点．阴影部
分的面积是多少平方厘米 ?

A
D
A
A D
D
1
F
E
3

F E
F E 2
x
3
3 y
y
x
G
C
B
B C
B C
G
G

7 9

数学思维课程配套精选题
【例 2 】如图所示，在四边形 A B C D 中， A B ? 3 B E ， A D ? 3 A F ，四边形 A E O F 的面积是 12 ，
那么平行四边形 B O D C 的面积为 _ _ _ _ _ _ _ _ ．
A A
F F

4
2
8
D D
E E
O O
1 6
6
B B
C C
【例 3 】是边长为厘米的正方形，、分别是、边的中点，与
A B C D 12 E F A B B C A F C E
交于 G ，则四边形 A G C D 的面积是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 平方厘米．
D
D C C
F F
G G
A A
B B
E E

【例 4 】如图，正方形 A B C D 的面积是 12 0 平方厘米， E 是 A B 的中点， F 是 B C 的中点，
四边形 B G H F 的面积是 _ _ _ _ _ 平方厘米．
A A
D D

E E
G G
H H
B F C B F C

8 0

数学思维课程配套精选题
【例 5 】如图所示，在 △ A B C 中， B E : E C ? 3 : 1 ， D 是 A E 的中点，那么 A F : F C ? ．
A A
F F
D D
B E C B E C
【巩固】在 ? A B C 中， B D : D C ? 3 : 2 ， A E : E C ? 3 : 1 ，求 O B : O E ? ？
A A
E E
O O
C C
B B
D D
【巩固】在 ? A B C 中， B D : D C ? 2 : 1 ， A E : E C ? 1 : 3 ，求 O B : O E ? ？
A
E
O

B C
D

8 1

数学思维课程配套精选题
【例 6 】（ 2 0 0 9 年清华附中入学测试题）如图，四边形 A B C D 是矩形， E 、 F 分别是 A B 、
1 1
B C 上的点，且 A E ? A B ， C F ? B C ， A F 与 C E 相交于 G ，若矩形 A B C D 的
3 4
面积为 12 0 ，则 ? A E G 与 ? C G F 的面积之和为．
D
A
E
G
B
F C

【例 7 】如右图，三角形 A B C 中， B D : D C ? 4 : 9 ， C E : E A ? 4 : 3 ，求 A F : F B ．
A
E
O
F
B C
D

【巩固】如右图，三角形 A B C 中， B D : D C ? 3 : 4 ， A E : C E ? 5 : 6 ，求 A F : F B .
A
E
F O

C
B D

【巩固】如图， B D : D C ? 2 : 3 , A E : C E ? 5 : 3 , 则 A F : B F ?
A

E
G
F
B
C
D
8 2

数学思维课程配套精选题
【巩固】如右图，三角形 A B C 中， B D : D C ? 2 : 3 ， E A : C E ? 5 : 4 ，求 A F : F B .
A
E
F O
C
B
D

8 3

数学思维课程配套精选题
第 2 讲立体图形上
提高篇：
1、用棱长是 1 厘米的立方体拼成图 27-6 所示的立体图形。求这个立体图形
的表面积。
图 2 7 — 6
2、一堆积木（如图 27-7 所示），是由 16 块棱长是 2 厘米的小正方体堆成
的。它们的表面积是多少平方厘米？
图 27－7
3、一个正方体的表面积是 384 平方厘米，把这个正方体平均分割成 64 个相

等的小正方体。每个小正方体的表面积是多少平方厘米？

8 4
数学思维课程配套精选题
拓展篇：
1、把底面积为 20 平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体，长方体的
表面积是多少？
2、将一个表面积为 30 平方厘米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长
方体拼成一个大长方体。求大长方体的表面积是多少。

3、用 6 块（如图 27-8 所示）长方体木块拼成一个大长方体，有许多种做法，
其中表面积最小的是多少平方厘米？
3厘米
1厘米
2厘米
图 27-8

8 5
数学思维课程配套精选题
奥数篇：
1、一个长方体，如果长减少 2 厘米，则体积减少 48 立方厘米；如果宽增加
5 厘米，则体积增加 65 立方厘米；如果高增加 4 厘米，则体积增加 96 立方厘米。
原来厂房体的表面积是多少平方厘米？
2、一个厂房体木块，从下部和上部分别截去高为 3 厘米和 2 厘米的长方体
后，便成为一个正方体，其表面积减少了 120 平方厘米。原来厂房体的体积是多
少立方厘米？

3 、有一个厂房体如下图所示，它的正面和上面的面积之和是 209 。如果它
的长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少？
宽

长
高
图 27－9

8 6
数学思维课程配套精选题
第 3 讲立体图形下
基础篇：
1、有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为 4 米、3 米、2 米。
把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了 4 厘米和
11 厘米，如果将这两堆碎石都沉没在大水池中，那么大水池水面将升高多少厘
米？
2、用直径为 20 厘米的圆钢，锻造成长、宽、高分别为 30 厘米、20 厘米、
5 厘米的长方体钢板，应截取圆钢多长（精确到 0.1 厘米）？
3、将表面积为 54 平方厘米、 96 平方厘米、 150 平方厘米的三个铁质正方体
熔铸成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。
提高篇：

1、一个底面积是 15 平方厘米的玻璃杯中装有高 3 厘米的水。现把一个底面
半径是 1 厘米、高 5 厘米的圆柱形铁块垂直放入玻璃杯水中，问水面升高了多少
厘米（∏取 3）？

8 7
数学思维课程配套精选题
2、一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高 2.5 厘米，玻璃杯内侧的底面积市
2 平方里。在这个杯中放进棱长 6 厘米的正方形铁块后，水面没有淹没铁块，这
时水面高多少厘米？
3、在底面是边长为 60 厘米的正方形的一个长方形容器里，直立放着一个长
100 厘米、底面边长为 15 厘米的正方形的四棱柱铁棍。这时容器里的水 50 厘米
深。现在把铁棍轻轻地向上方提起 24 厘米，露出睡眠的四棱柱铁棍浸湿部分长
多少厘米？
拓展篇：
1、已知一个圆锥体的底面半径和高都等于一正方体的棱长，这个正方体的
体积是 216 立方分米。求这个圆锥体的体积。

2、一个正方体的纸盒中如图 28-2 所示，恰好能装入一个体积 6.28 立方厘
米的圆柱体。纸盒的容积有多大（∏取 3.14）？

8 8
数学思维课程配套精选题
3、如图 28-3 所掷，圆锥形容器中装有 3 升水，水面告诉正好是圆锥高读的
一半。这个容器还能装多少水？
奥数篇：
1、如果把长 8 厘米，宽 7 厘米，高 3 厘米的 2 件同样的长方体物品打包，
形成一件大的包装物，有几种包装方法？怎样打包，物体的表面积最小？
2、一个精美小礼品盒的形状是长 9 厘米，宽 6 厘米，高 4 厘米的长方体。
请你帮厂家设计一个能装 10 个小礼品盒的大纸箱，你觉得怎样设计比较合理？
为什么？

3、一包香烟的形状是长方体，它的长是 9 厘米，宽是 5 厘米，高是 2 厘米。
把 10 包香烟包装在一起形成一个大长方体，称为一条。可以怎样包装？算一算

需要多少包装纸（包转念能够纸的重叠部分忽略不计）。你认为哪一种包装比较
合理？
8 9
数学思维课程配套精选题
练习 5：
1、有一个长方体的盒子，从里面量长为 40 厘米、宽为 12 厘米、高为 7 厘
米。在这个盒子里放长 5 厘米、宽 4 厘米、高 3 厘米的长方体木块，最多可放几
块？
2、从一个长、宽、高分别为 21 厘米、 15 厘米、 12 厘米的厂房体上面，尽
可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最
后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘
米？
3 、现有一张长 40 厘米、宽 20 厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是 5
厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出的
铁皮盒容积是多少立方厘米？

9 0
数学思维课程配套精选题
答案部分
一、计算专题
第 1 讲简便运算（上）
基础篇：计算下面各题。
【答案】 1 .6 2 .1 3. 11 4 .5
提高篇：计算：
【答案】 1 .1 50 2 .26 0 0 3 .1 20 4 .18
拓展篇：
计算下面各题：
68
【答案】 1 .1 76 2 . 13 8 3 .5 08
69
奥数篇：
【答案】 1 .7 85 0 2 .5 43 0 3 .16 20
第 2 讲简便运算（中）

基础篇：
【答案】 1 .2 22 2 20 2 .3 33 3 30 3 .2 623 .4
提高篇：计算下面各题：
【答案】 1 .9 99 9 90 000 0 2 . 2 46 3 .25 62 56
拓展篇：计算下面各题：
142
【答案】 1 .1 2 .1 3.
143
9 1 数学思维课程配套精选题
奥数篇：计算：
【答案】 1 .3 98 1 2 .1 00 0 00 000 3 .28 00 00
第 3 讲简便运算（下）
基础篇
7 2 25 2 1997
【答案】 1 . 7 2 . 10 3 . 10 4 . 72 5. 1997
15 25 36 75 1998
提高篇
2 1 1
【答案】 1 . 7 2 . 1 3 . 8 4 .72
17 20 6
拓展篇
【答案】 1 .3 0 2 .2 0 3 .5
奥数篇 1：计算：
1 1 7
【答案】 1 . 2 . 3 .5 0 4 .
17 4 16
奥数篇 2
1 1998×1999+1998
解：（1）原式＝（164+2 ） ÷41 （ 2）原式＝1998÷
20 1999
41 1998×2000
＝164÷41+ ÷41 ＝1998÷
20 1999
1 1999
＝4+ ＝1998×
20 1998×2000
1 1999
＝4 ＝

20 2000
9 2 数学思维课程配套精选题
第 4 讲裂项三板斧【和第五讲合并】
第 5 讲裂项三板斧
基础篇
9 1 6 8
【答案】 1 . 2 . 3 . 4 .
40 30 7 9
提高篇
16 33 9 5
【答案】 1 . 2 . 3 . 4 .
99 10 0 37 16
拓展篇
5 1
【答案】 1 . 1 2 . 1 3 .16 65 4 .3
6 8
奥数篇
25 5 24 2
【答案】 1 . 2 . 3 .11 11 08
25 6 24 3

9 3 数学思维课程配套精选题
第 6 讲分数比较大小
答案：
练 1
7 7 7 7 7 7 5 6 6 6 6 6 6 1
1、＞
7 7 7 7 7 7 7 6 6 6 6 6 6 3
9 8 9 8 7 9 8 7 6 9 8 7 6 5
2、＜＜＜
9 9 9 8 8 9 8 7 7 9 8 7 6 6
2 3 5 8 6 1 6 5 2 9 7 1
3、＞
2 3 5 8 6 2 6 5 2 9 7 4
练 2
3 3 3 3 3
1、＞
1 6 6 6 1 6 6
1 1 1 1 1 1 1 1 0 4 4 4 4 4 4 4 4 3
2、＜
2 2 2 2 2 2 2 2 1 8 8 8 8 8 8 8 8 7
8 8 8 8 8 8 7 9 9 9 9 9 9 1
3、＞
8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 4
练 3
1 7 6 1 7 7
1、＞
2 5 7 2 5 9
2 2 2 2 1 4 4 4 4 3
2、＜
3 3 3 3 2 6 6 6 6 5
1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1
3、＜
9 8 7 6 5 4 3 9 8 7 6 5 4 3 1
练 4
● ● ● ●
2 5 1 3 2 4
1、六个已知的数的大到小排列是＞＞＞0.51＞0.51＞，因为 0.51
3 9 2 5 4 7
●
是八个数从小到大排列的第四个，说明另外两个数一定比 0.5 1小，所以这
● ●
八个数中第四个大的数是 0.51。
2、（3）的积最大

9 4
数学思维课程配套精选题
第 7 讲定义新运算
基础篇
【答案】 1 .6 48 2 .11 2 、6 5 3 .1 93. 25
提高篇
1
【答案】 1 .3 6 2 .9 02 3 .
2
4
拓展篇
2
【答案】 1 .4 93 6 2 .9 87 2 3 .
333
3
二、应用题举一反三
第 1 讲比的应用（一）
基础篇
【答案】
1 .4 ;5 ; 8 2 .4 ;5 ; 9 3 .6 ;3 5 ;1 4
提高篇
【答案】

1 . 粮田 4 6 2 0 0 公亩，棉田 1 3 2 0 0 公亩，其他作物 2 2 0 0 公亩。
2 . 六年级参加植树的共有 1 0 5 人。
3 . 数学组比作文组多 1 2 人。

拓展篇
【答案】
9 5
数学思维课程配套精选题
1 . 这本书共有 1 44 页。
2 . 原来甲包有 4 80 克糖。
3 . 一班有 4 8 人参加了数学竞赛。
第 2 讲比的应用（二）
基础篇
【答案】
1 . 小明和小芳的速度之比是 2 7: 20
2 . 甲乙的速度之比是 5 :3
3 . 骑车与步行的速度之比是 3 :1
提高篇
【答案】
1 . 甲应加工零件 7 00 个，乙应加工零件 6 00 个，丙应加工零件 5 25 个。
2 . 甲制造了零件 2 40 个，乙制造零件 3 00 个，丙制造零件 4 00 个。
3 . 第一道工序 2 8 人，第二道工序 4 2 人，第三道工序 48 人。
拓展篇
【答案】
1 . 甲长方形面积是 1 32 平方厘米，乙长方形面积是 1 10 平方厘米。
2 . 王大妈买苹果花了 8 元，买梨花了 1 0 元。

3 . 大苹果每千克 5 元，小苹果每千克 4 元。

9 6
数学思维课程配套精选题
第 3 讲 “ 比例 ” 问题
练习一答案
16
第[ 1 ] 道题答案： 5 ; 8 ; 8 0 . 设 4 : x = ? y ? 10 ? z % , 可以求得 x = 5 , y = 8 , z = 8 0 .
20
第[ 2 ] 道题答案： 1 0 在 3 : 5 里, 如果前项加 6 , 前项为 3 + 6 = 9 , 即扩大了 9 ? 3 = 3 倍, 要使比值不变, 后项也应扩大 3
倍, 即为 5 ? 3 = 1 5 . 后项应增加 1 5 - 5 = 1 0 .
[ 3 ] 5 : = ? . : 6 ? ( 1 2 : 1 ) = 0 . 5 ( ) = 5 ( ) .
第道题答案：根据实际距离图上距离比例尺可得厘米毫米
第[ 4 ] 道题答案：约为 2 0 . 4 亩、0 . 8 亩、0 . 4 亩总面积: 1 2 0 ? 1 2 0 = 1 4 4 0 0 ( 平方米)
第[ 5 ] 道题答案： 1 2 0 甲、乙两种铅笔单价之比为 3 : 4 , 又两种笔用去的单价相同 , 故甲乙两种铅笔数之比
4 4 4
为 4 : 3 . 其中甲占总数的即 , 甲种铅笔数为 210 ? ? 120 ( 支) .
4 ? 3 7 7
第[ 6 ] 道题答案： 3 : 1 因为 2 : 5 = 4 : 1 0 , 所以 4 辆车共有 1 0 个轮子, 如果 4 辆车全是小卧车, 那么轮子数应为 1 6
个, 比实际多 6 个. 故每 4 辆车中有摩托车 ( 4 ? 4 - 1 0 ) ? ( 4 - 2 ) = 3 ( 辆 ) , 有小卧车 1 辆. 所以摩托车与小卧车的辆数之
比为 3 : 1 .
1 1 1 1 6 1
第[ 7 ] 道题答案： 2 4 0 设 A = 7 K , B = 1 3 K , , 故 K = 1 2 , 从而 A + B = 2 0 K = 2 4 0 .
? ? ? ? ?
A B 7 K 1 3 K 9 1 K 1 8 2
4 3
第[ 8 ] 道题答案： 5 6 二、三年级占全校总数的 1 - 2 5 % = 7 5 % , 故三年级占全校总数的 7 5 % . 一年
? ?
4 ? 3 7
5
3 5
级比三年级少的 4 0 人占全校的 . 于是全校有 ( 人 ) , 一年级学生有
4 0 ? ? 2 2 4
? 25 % ?
7 28 2 8
2 2 4 ? 2 5 % = 5 6 ( 人) .
3
1 2 3
第 [ 9 ] 道题答案：石子占总份数的 , 即 . 当石子用 5 吨时 , 混凝土共有
3 ; 1
3 3 5 ? 3 ? 2 10
1 2
5
3 2
( 吨 ) , 因为水泥占总份数的即 , 那么 16 吨混凝土中的水泥应为
5 ? ? 1 6
1 0 3 5 ? 3 ? 2 2 3
2 1 1
( ) .
吨
1 6 ? ? 8
3 2 3
2
2 1
同法可求得 16 吨混凝土中的黄砂为: ( 吨)
1 6 ? ? 3
3 5 ? 3 ? 2 3
1 1 1 2
水泥缺 ( 吨) , 黄砂多 ( 吨) .
8 ? 5 ? 3 5 ? 3 ? 1
3 3
3 3
第 [ 1 0 ] 道题答案： 6 设甲的速度为每小时行 1 3 K 米 , 乙的速度为每小时行 1 1 K 千米 , 则两地相距

( 1 3 K + 1 1 K ) ? 0 . 5 = 1 2 K 千米. 甲追上乙需 1 2 K ? ( 1 3 K - 1 1 K ) = 6 ( 小时) .
第 [ 1 1 ] 道题答案：设甲和乙的最大公约数为 K , 则甲数为 5 K , 乙数为 3 K , 它们的最小公倍数为 1 5 K . 于是
K + 1 5 K = 1 0 4 0 , 解得 K = 6 5 .
从而甲数为 5 ? 6 5 = 3 2 5 , 乙数为 3 ? 6 5 = 1 9 5 .
第[ 1 2 ] 道题答案：旧合金的重量为 3 6 - 6 = 3 0 ( 克) .
2 2 2
铜在旧合金中占 ? , 故旧合金中有铜 30 ? ? 12 ( 克) , 有锌 3 0 - 1 2 = 1 8 ( 克) .
2 ? 3 5 5
新合金中, 铜仍为 1 2 克, 锌为 1 8 + 6 = 2 4 ( 克) , 于是铜与锌的比为 1 2 : 2 4 = 1 : 2 .

1 1 1 2 5
第 [ 1 3 ] 道题答案：上坡路占总路程的 , 上坡路程为 ( 千米 ) , 上坡时间为
? 5 0 ? ?
1 ? 2 ? 3 6 6 3
2 5 2 5
( 小时) .
? 3 ?
3 9
9 7 数学思维课程配套精选题
25 5 12 5
2 5 6 1 5 0
平路时间为 ( 小时) , 下坡时间为 ( 小时) .
? ?
? ?
9 4 36 9 4 3 6
25 12 5 15 0 5
全程时间为 ( 小时)
? ? ? 10
9 36 36 12
第[ 1 4 ] 道题答案：注满容器 2 0 厘米高的水与 3 0 厘米高的水所用时间之比为 2 0 : 3 0 = 2 : 3 . 注 2 0 厘米的水的时
2
间为 18 ? ? 12 ( 分 ) , 这说明注入长方形铁块所占空间的水要用时间为 1 2 - 3 = 9 ( 分 ) . 已知长方形铁块高为
3
2 0 厘米, 因此它们底的面积比等于它们的体积之比, 而它们的体积比等于所注入时间之比, 故长方形底面面积:
容器底面面积= 9 : 1 2 = 3 : 4 .
练习二答案
7 14
7 1 4 2 1 1 1 7
第 [ 1 ] 道题答案：第一个数是 , 第二个数是 , 第三个数是
? 2 ?
、、 2 ? ?
2 0 2 0 2 0 1 0 1 ? 2 ? 3 2 0 20 20
7 2 1
.
? 3 ?
2 0 2 0
1
1
第[ 2 ] 道题答案：将四个数分别看成 1 份、3 份、 5 分、7 份，那么一、二两个数相差 2 份是 , 故一
1 0 8 0
1 1
1 1
份是 . 四数之和为 .
? 2 ? ? ( 1 ? 3 ? 5 ? 7 ) ?
8 0 1 6 0 1 6 0 1 0
1
第 [ 3 ] 道题答案： 2 . 5 两城间实际距离为 ( 万厘米 ) , 图上距离实际为
8 ? ? 2 0 0
2 5 0 0 0 0 0
1
( 厘米) .
200 0000 0 ? ? 2 . 5
80000 00
第[ 4 ] 道题答案： 6 4 ; 4 8 小华、小青，小明所有朵数之比为 5 ： 6 ： 8 . 将它们做的朵数看成 5 份、 6 份和 8
份, 小明比小青多 2 份是 1 6 朵, 故每份为 8 朵, 从而小明做了 8 ? 8 = 6 4 ( 朵) , 小青做了 8 ? 5 = 4 0 ( 朵) .
第[ 5 ] 道题答案： 4 8 人, 4 4 人, 5 2 人
? 1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 3 13 1 1 1
? ?
二班占总人数的 , 三班占总人数的 , 故二班比三班少 ,
? 1 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ?
? ?
3 1 1 ? 1 3 3 6 3 1 1 ? 1 3 3 6 36 36 18
? ? ? ?
1
于是参赛人数为 8 ? = 1 4 4 ( 人) .
18
1
1 1 1 3
其中, 一班有 ( 人) , 二班有 ( 人) , 三班有 ( 人) .
1 4 4 ? ? 4 8
1 4 4 ? ? 4 4 1 4 4 ? ? 5 2
3 3 6 3 6
2 4 4 7 7
第[ 6 ] 道题答案：甲包糖原来占总量的 , 后来占总重量的 , 那么 1 0 克占总重
4 6 ? ?
1 3 4 ? 1 5 7 ? 5 1 2
4 7 1 3 4 7 2
? ?
量的 . 故两包糖的重量为 ( 克) .
? ?
1 0 ? ? ? ? ? 4 6
5 1 2 6 0 4 ? 1 7 ? 5 1 3
? ?
5 5
1 1
第[ 7 ] 道题答案： 3 0 、 1 8 第一小组人数原来占总人数的 , 后来占总人数的 , 故 1 4 人占总
? ?
5 ? 3 8
1 ? 2 3
5 1 7 7
数的 . 那么总人数为 ( 人) .
? ? 1 4 ? ? 4 8
8 3 2 4 2 4
5
3
第一组原有人数为 ( 人) , 第二组原有人数为 ( 人) .
4 8 ? ? 3 0
4 8 ? ? 1 8
8 8
3
4

第[ 8 ] 道题答案： 4 . 8 直角三角形两直角边分别长 ( 厘米) 和 ( 厘米) . 故其面积
1 4 ? ? 6 14 ? ? 8
3 ? 4 3 ? 4
为 6 ? 8 ? 2 ? 2 4 ( 平方厘米) , 斜边上的高为 2 4 ? 2 ? 1 0 = 4 . 8 ( 厘米) .
第 [ 9 ] 道题答案： 1 0 0 0 立方厘米长与宽的比为 2 : 1 = 4 : 2 , 宽与高的比为 2 : 1 , 故长、宽、高的连比为 4 : 2 : 1 .
9 8 数学思维课程配套精选题
1
其中高为 ( 厘米) , 宽为 5 ? 2 = 1 0 ( 厘米) , 长为 5 ? 4 = 2 0 ( 厘米) . 体积为 2 0 ? 1 0 ? 5 = 1 0 0 0 ( 立方厘米) .
3 5 ? ? 5
4 ? 2 ? 1
3 1 1
第[ 1 0 ] 道题答案： 18 0 ? 鸡占总份数的 . 故表示鸡的扇形圆心角应为 .
? 3 6 0 ? ? ? 1 8 0 ?
3 ? 2 ? 1 2 2
第[ 1 1 ] 道题答案：将甲、乙、丙的高看作 1 、 2 、 3 份, 上底看作 6 、 9 、 4 份, 下底看作 1 2 、 1 5 、 1 0 份, 那么甲、
乙、丙面积的份数依次是:
甲 : ( 6 + 1 2 ) ? 1 ? 2 = 9 ; 乙 : ( 9 + 1 5 ) ? 2 ? 2 = 2 4 ; 丙 : ( 4 + 1 0 ) ? 3 ? 2 = 2 1 . 故乙、丙梯形面积份数之和是甲梯形份数的
( 2 1 + 2 4 ) ? 9 = 5 ( 倍) 故乙丙梯形面积之和为 3 0 ? 5 = 1 5 0 ( 平方厘米) .
第 [ 1 2 ] 道题答案：设原水速为每小时 x 公里 , 甲乙两港相距 y 公里 , 因路程一定 , 时间与速度成反比例 , 故有
8
( 8 - x ) : ( 8 + x ) = 1 : 2 解得 .
x ?
3
又有 y y . 解得 y = 2 0 , 即甲、乙两港相距 2 0 公里.
? ? 9
8 8
8 ? 2 ? 8 ? 2 ?
3 3
3 3
1 1
第[ 1 3 ] 道题答案：将一个酒精瓶容积看成一个单位 , 则在一个瓶中 , 酒精占 , 水占 ; 而在另
?
?
3 ? 1 4 3 ? 1 4
1 1
4 4
一个瓶中 , 酒精占 ; 水占 ? , 于是在混合液中 , 酒精和水的体积之比
?
4 ? 1 5
4 ? 1 5
3 4 1 1
? ? ? ?
.
? : ? ? 3 1 : 9
? ? ? ?
4 5 4 5
? ? ? ?
3 2
第[ 1 4 ] 道题答案：相遇前甲、乙速度之比为 3 : 2 , 相遇时甲、乙分别走了全程的和 . 相遇后, 甲、乙速度之
5 5
比为( 3 ? 1 2 0 % ) : ( 2 ? 1 3 0 % ) = 1 8 : 1 3 .
2
3 1 3 1 4
2 13 13
当甲走完剩下路程的时 , 乙又走完全程的 , 这时离 A 还有全程的 , 于是全程为
? ?
? ?
5
5 18 45 5 4 5 4 5
14
( 千米) .
14 ? ? 45
45
第 4 讲 “ 比例尺 ” 问题
答案
1 . 6 0 0 ÷ 3 × 4 . 5 = 9 0 0 （千米）

2 . 6 ÷ 1 / 1 0 0 0 0 0 0 × 1 / 4 0 0 0 0 0 = 1 5 （厘米）
3 . 3 . 6 × 2 0 0 0 0 0 0 ÷ 1 0 0 0 0 0 ÷ 3 0 = 2 . 4 （小时）
4 . 略。
5 . 解：设甲、乙两地相距 x 千米 .
x / 5 = 1 3 0 / 2

x = 3 2 5
6 . 解：设 x 天可以完成 .
9 9
数学思维课程配套精选题
（ 1 2 0 + 3 0 ） x = 1 2 0 × 8
x = 6 2 5
7 . 3 5 0 ÷ 3 . 5 = 1 0 0 （千米）快车速度： 1 0 0 × 3 / 3 + 2 = 6 0 （千米）
慢车速度： 1 0 0 × 2 / 3 + 2
= 4 0 （千米）
8 . 1 2 × 3 = 3 6 , 3 6 ÷ （ 2 + 3 + 4 ） = 4 ，甲数： 4 × 2 = 8 ，乙数： 4 × 3 = 1 2 ，丙数： 4 × 4 = 1 6
9 . 1 6 . 8 × 5 0 0 0 0 ÷ 1 0 0 = 8 4 0 0 （米）甲队修的路程： 8 4 0 0 × 3 / 3 + 5 = 3 1 5 0 （米）
乙队修的路程： 8 4 0 0 × 5 / 3 + 5 = 5 2 5 0 （米）
1 0 . 3 0 ÷ （ 4 － 3 ） × （ 5 － 3 ） = 6 0 （本）
第 5 讲 “ 牛吃草 ” 问题
提高篇
【答案】 1 . 每天减少量：（ 2 0 ×5 -1 6 × 6） ÷（ 6- 5 ）= 4 （份）
原有草量：（ 2 0+ 4 ）× 5= 12 0 （份）
可吃天数： 1 20 ÷（ 1 1+4 ） = 8 （天）
2 . 每天减少量：（ 3 3 × 5- 24 ×6 ）÷（ 6 -5 ） =2 1 （份）
原有草量：（ 3 3+ 21 ） ×5 =2 70 （份）
牛的数量： 2 70 ÷1 0- 21 = 6 （头）
3 . （ 8 0 ×3 00 -1 0 0 ×1 00 ） ÷（3 00 -10 0 ） = 70 （亿）

拓展篇
【答案】 1 . 扶梯每分钟上行：（ 2 5 × 5 -20 × 6） ÷（6 -5 ）= 5 （级）
扶梯共有台阶数：（ 2 5+ 5 ）× 5 =1 50 （级）
2 . 扶梯每分钟上行： [ 24 × （ 1 80 ÷ 2 0 ） - 27 × （1 20 ÷ 2 0 ） ] ÷ （ 3 -2 ） = 54 （级）

扶梯共有台阶数： 2 7 ×（ 12 0 ÷2 0 ）- 54 × 2 =54 （级）
3 . 每夜下滑：（ 2 0 ×5 -1 5 ×6） ÷（6 -5 ）= 10 （分米）
1 0 0 数学思维课程配套精选题
井深：（ 2 0+ 10 ） ×5 =1 50 （分米） = 15 （米）
奥数篇
【答案】
1 . 每小时涌出水：（ 1 0 ×2 0 - 15 ×1 0 ）÷ （2 0- 10 ） = 5 （份）
原有泉水：（ 1 0- 5 ）× 20 =1 00 （份）
抽干需要： 1 00 ÷（ 2 5-5 ） = 5 （时）
2 .[ 30 ×7 -4 5 ×（ 7- 2. 5 ） ]÷2 .5 =3 （立方分米）
1
3 . 每小时涌出水（ 3 ×3 6- 5 ×2 0 ）÷（ 3 6- 20 ）= （份）
2
1
原有泉水：（ 3 - ）× 3 6=9 0 （份）
2
1
抽干需要抽水机：（ 9 0+ ×1 2 ）÷1 2= 8 （台）
2
第 6 讲解方程解应用题
基础篇
【答案】
1 . 男生参赛 1 2 人，女生参赛 4 0 人。
2 . 两盒球共有 1 29 个。
3 . 甲乙两班共有 1 00 人。

提高篇
【答案】
1 . 去年两个小组共有 4 5 人。
2 . 原来甲书架有图书 4 00 本，乙书架有图书 5 00 本。

3 . 昨天两种零件共生产了 21 00 个。
1 0 1
数学思维课程配套精选题
拓展篇
【答案】 1 . 文艺书 5 4 本，连环画 7 2 本。
2 . 男生 2 25 人，女生 2 40 人。
3 . 王师傅加工了 3 0 个零件，李师傅加工了 3 2 个零件。
奥数篇
【答案】 1 . 父亲今年 3 6 岁。
2 . 原来男生 3 4 人，原来女生 5 1 人。
3 . 第一车间 1 50 人，第二车间 1 00 人。
第 7 讲分数应用题上
基础篇
3 3 9 1 1 1 5 1 1 1 1 1 3
【答案】 1 . × = 2 . + （1- ） × = 3 . × = - =
5 4 20 4 4 2 8 2 4 8 2 8 8
提高篇
【答案】
1 5 1 7
1 .3 0 × × = 7.5 （吨） 2 .8 0 × × = 35 （年）
5 4 2 8
1 1
3 . （ 3 0- 30 × ）× = 8 （吨）
5 3
拓展篇
【答案】
1 1 3
1 . 9 0 ÷（1 - - × ） = 15 0 （吨）
4 4 5
1 1 2

2 .1 20 0 ÷[ +（ 1 - ）× ] =1 600 （米）
4 4 3
2 2 4
3 .2 00 ÷[ - （1 - ） × ] =1 500 （个）
5 5 9
1 0 2
数学思维课程配套精选题
奥数篇
3 4 6 7 3 5
【答案】 1 .1 ÷ = 2 .1 ÷ = 3 .1 ÷ 1 =
4 3 7 6 5 8
第 8 讲分数应用题下
基础篇
【答案】
2 1 2
1 . 甲 = 40 乙= 48 丙= 64 2 .2 20 ÷ （1 + × ）× = 11 0 （千克）
3 2 3
1 9 1 8
3 .1 ÷ 1 ÷（ 1 + + 1 ÷ 1 ） =
4 10 4 27
提高篇
1 、解：
1 / 5 × 1 / 4 × 2 / 5 ＝ 1 / 5 0 .
故答案为： 1 / 5 0 根据题意弄清分率是关键 .
2 、解：
3 / 4 × ( 1 — 5 / 6 ) ÷ ( 1 — 2 / 3 ) ＝ 3 / 8 故答案为： 3 / 8
3 、解：
( 3 / 5 × 1 / 2 0 ÷ 3 / 4 － 3 / 5 × 1 / 2 0 ) ÷ ( 1 － 3 / 5 )
＝ ( 1 / 2 5 - 3 / 1 0 0 ) ÷ 2 / 5
＝ 1 / 1 0 0 ÷ 2 / 5
＝ 1 / 4 0
答：全校女生的 1 / 4 0 想当医生 . 故答案为： 1 / 4 0
拓展篇
1 、解 : 设甲准备加工 x 个零件 ,

,
1 0 3
数学思维课程配套精选题
( 个 )
答 : 甲准备加工 1 2 6 个零件 , 乙准备加工 5 6 个零件 .
2 、解：设这批水果共有 x 千克，
1 8 0 + ( x - 1 8 0 ) × 2 / 7 = 1 / 2 x ，
1 8 0 + 2 / 7 x - 1 8 0 × 2 / 7 = 1 / 2 x ，
1 8 0 - 1 8 0 × 2 / 7 = 1 / 2 x - 2 / 7 x ，
9 0 0 / 7 = 3 / 1 4 x ，
9 0 0 / 7 ÷ 3 / 1 4 = 3 / 1 4 x ÷ 3 / 1 4
x = 6 0 0 ；答：这批水果有 6 0 0 千克 . 故答案为： 6 0 0 千克
3 、甲打字： 6 0 0 0 × （ 1 + 2 0 % ） = 7 2 0 0
乙打字： 4 5 0 0 × （ 1 - 2 0 % ） = 3 6 0 0
第 9 讲浓度问题
1、【思路导航】根据题意，在 7％的糖水中加糖就改变了原来糖水的浓度，
糖的质量增加了，糖水的质量也增加了，但水的质量并没有改变。因此，可以先
根据原来糖水中的浓度求出水的质量，再根据后来糖水中的浓度求出现在糖水的
质量，用现在糖水的质量减去原来糖水的质量就是增加的糖的质量。
原来糖水中水的质量：600×（1－7％）＝558（克）
现在糖水的质量：558÷（1－10％）＝620（克）

加入糖的质量：620－600＝20（克）
答：需要加入 20 克糖。
2 . 需加盐 1 .25 千克。
3 . 甲瓶里含的纯酒精和乙瓶里含的水一样多。
4. 37 .5 % 。

1 0 4
数学思维课程配套精选题
5 、【思路导航】根据题意，将 20％的盐水与 5％的盐水混合配成 15％的盐
水，说明混合前两种盐水中盐的质量和与混合后盐水中盐的质量是相等的。可根
据这一数量间的相等关系列方程解答。
解：设 20％的盐水需 x 克，则 5％的盐水为 600－x 克，那么
20％x+（600－x）×5％＝600×15％
X ＝400
600－400＝200（克）
答：需要 20％的盐水 400 克，5％的盐水 200 克。
6、混合后甲、乙、丙 3 个试管中应有的盐水分别是 20 克、30 克、40 克。
根据题意，可求出现在丙管中盐的质量。又因为丙管中原来只有 30 克的水，它
的盐是从 10 克盐水中的乙管里取出的。由此可求出乙管里 30 克盐水中盐的质量。
而乙管里的盐又是从 10 克盐水中的甲管里取出的，由此可求出甲管里 20 克盐水
中盐的质量。而甲管里的盐是某种浓度的盐水中的盐，这样就可得到最初倒入甲
管中盐水的质量分数。
丙管中盐的质量：（30+10）×0.5％＝0.2（克）
倒入乙管后，乙管中盐的质量：0.2×【（20+10）÷10】＝0.6（克）
倒入甲管，甲管中盐的质量：0.6×【（10+10）÷10】＝1.2（克）
1.2÷10＝12％
答：最早倒入甲管中的盐水质量分数是 12％。

1 0 5
数学思维课程配套精选题
第 1 0 讲工程问题
练 1
1 1
1、1 ÷（ + ）÷ 2＝7 .5 小时
4×6 8×5
1 1
2、1 ÷（ × 2 + ×7）＝ 3 天
3×8 4×7
3、（ 1）共同运两天后，还剩这堆黄沙的
1 1 1 1
1 －（ × 2 + ×5 + × 7） ×2 ＝
3× 4 4× 5 2 0 ×6 4
1 1
（2）后两天需要小板车： ÷（ ×2）＝ 1 5 辆
4 2 0 ×6
练 2
1 1
1、2 ÷（ + ）－ 1 0 ＝2 小时
1 0 1 5
1 1 1
2、2 ÷（ + + ）＝ 8 小时
1 8 1 2 9
1 1
甲帮乙：（ 1－ ×8 ）÷ ＝6 小时
1 2 18
1 1
甲帮丙：（ 1－ × 8） ÷ ＝2 小时
9 1 8
5 1 5
3、解法一： 1 2 ×（ ÷ ）÷（ 1－）＝2 40 个

8 1 2 8
解法二： 1 2 ÷（ 8－ 5） ×5× 1 2 ＝ 2 40 个
练 3
1 1 1
1、（ ×6 －1） ÷（－）＝3 天
4 4 1 2

1 1 1
2、甲：（ 1－ ×3 5 ） ÷（－）＝1 5 天
4 0 3 0 4 0
乙：3 5 － 1 5 ＝ 2 0 天
1 0 6
数学思维课程配套精选题
1 1
3、4 0 －（ 1－ × 4 0 ）÷ ＝2 5 天
5 0 7 5
练 4
1、5 ×【 1 2 ÷ （1 5 － 12）】＝ 2 0 天
2、4 8 － 4 8 ÷ 3 0 ×2 0 ＝1 6 条
3、2 .5 ×【6 ÷（ 7. 5 －6 ）】＝ 1 0 小时
练 5
1 1 1
1、1 ÷【（ + + ） ÷2】＝ 8 小时
1 5 1 2 1 0
1 1
2、1 ÷【（ + ） ÷（ 3 +5 ）】＝ 9 .6 天
2 3
1 1 1
3、1 ÷（ + －）＝ 21 小时
2 0 3 0 2 8
1 1 1 1 1
4、1 ÷【（ + + + ）÷ 3－】＝ 5 4 天
1 8 1 5 1 2 20 1 5
第 1 1 讲概率问题
3 5 1 4 6
1 . ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 )
2 2 2 2 2 1 1 1 1
4 5
2 . 绿球： 5 0 × ＝ 2 0 ( 次 ) 红球： 5 0 × ＝ 2 5 ( 次 )
5 ＋ 4 ＋ 1 5 ＋ 4 ＋ 1
1
黄球： 5 0 × ＝ 5 ( 次 )
5 ＋ 4 ＋ 1
3 . ( 1 ) 4 6 ( 2 ) 1 0 2 ( 3 ) 略 ( 4 ) 略

3 1 1
4 .
1 0 5 2
5 . 可能出现的情况有：两个都是正面，两个都是反面，一个正面一个反面 ( 2 种情况 ) 。
1
公平，因为可能性都是。
2
1 1 1
6 . [ 6 , 5 , 4 ] ＝ 6 0 ( 个 ) 红： 6 0 × ＝ 1 0 ( 个 ) 白： 6 0 × ＝ 1 2 ( 个 ) 黑： 6 0 × ＝ 1 5 ( 个 )

6 5 4
1
7 . 1 0 × 1 0 × 1 0 ＝ 1 0 0 0 中奖可能性为
1 0 0 0
1 0 7 数学思维课程配套精选题
第 1 2 讲复杂和差倍

1 . 西瓜 1 3 0 个，哈密瓜 1 0 4 个。
2 . 1 2 人。
3 . 8 0 颗。
4 . 3 8 5 人。
5 . 1 3 枚。
6 . 9 6 人。
7 . 甲 7 3 枚，乙 5 0 枚，丙 2 1 枚。
8 . 7 2 岁。
9 . 2 9 本。
1 0 . 小宇家 2 元 7 角 6 分，小达家 1 元 8 角。
三、行程问题
第 1 讲相遇追击
练 1
1 、
解答本题的关键是正确理解 “ 已知甲车比乙车早刀 8 分钟，当甲车到达时，
乙车还距工地 24 千米 ”。这句话的实质就是： “乙 48 分钟行了 24 千米 ”。可
以先求乙的速度，然后根据路程求时间。也可以先求出全程 165 千米是 24 千米
的多少倍，再求甲行完全程要用多少小时。
解法一：乙车速度：24÷48×60=30（千米/小时）
48
甲行完全程的时间：165÷30— =4.7（小时）
60
解法二：48×（165÷24）—48=282（分钟）=4.7（小时）
答：甲车行完全程用了 4.7 小时。
2、90 0÷15×【15－900÷（90 0÷15+900÷10）】＝540 千米
3、甲、乙两车的速度和：112. 5×2÷（13－10）＝75 千米

A-B 两地的距离：75×（10－8 ）+112.5＝262.5 千米
练 2
1 0 8
数学思维课程配套精选题
1、（ 55×3－15）÷1.5＝100 千米
2、40 ×3－20＝100 千米
3、90 ×3－（1+1－65％）＝20 0 千米
练 3
1、【 1800÷12－（1864－1800 ）÷8】÷2＝71 米
【1800÷12+（1864－1800）÷8】÷2＝79 米
6 2 5
2、40 0÷【（400÷2 +400÷2 6 ）÷2】＝5 分
7 3 3 1
6 2 2
400÷【（400÷2 －400÷26 ）÷2】＝6 分
7 3 5
3、速度和：1350÷10＝135 米 /分
速度差：1350÷（10+80）＝15 米/分
甲速：（135+15）÷2＝75 米/分
乙速：（135－15）÷2＝60 米/分
练 4
1、甲行路程：（21×3+9）÷2 ＝36 千米
甲速：36÷2＝18 千米
2、（ 80－50÷2）×2＝110 分
6 0 － 2 0
3、丙的行程：60× ＝4 8 米
6 0 － 1 0
乙到达重点将比丙领先的米数：60－48＝12 米
练 5
1、（ 70+75）×【（75+60）× 8÷（70－60）】÷1000＝15.66 千米
2、（ 15－4.5）×6÷（16.5+4 .5）＝3 秒

3、8× 6×（6+1）＝336 千米

1 0 9
数学思维课程配套精选题
第 2 讲流水行船
基础篇
1 、逆水速度： 3 2 0 ÷ 8 - 1 5 - 1 5
= 4 0 - 1 5 - 1 5
= 1 0 （千米／小时）
逆水时间： 3 2 0 ÷ 1 0 = 3 2 （小时）
答：若逆水行 3 2 0 千米，需要 3 2 小时。
2 、解 :
( 小时 )
答 : 顺水航行需 4 小时 .
3 、顺水速度 = 船速 + 水流速度
逆水速度 = 船速 - 水流速度
水流速度 = ( 顺水速度 - 逆水速度 ) / 2
船速 = ( 顺水速度 + 逆水速度 ) / 2
船速千米 / 小时
顺流行驶时间小时
路程千米
返回时速度为逆水千米 / 小时
返回需要时间小时
或者用比例做法，路程一定，速度比等于时间的反比
去时速度千米 / 小时，回来时速度千米 / 小时
设返回用 a 小时
： 6 0

小时
1 1 0
数学思维课程配套精选题
提高篇
1 、从题目可以得出逆流而上 1 小时行 1 K M 假设水流速度是 X K M / H ，船行速度是 Y
K M / H 。 X + Y = 5 X = 5 - Y Y - X = 1 Y - （ 5 - Y ） = 1 Y - 5 + Y = 1 2 Y = 6 Y = 3 在把 Y 带入 X + Y = 5 X + 3 = 5
X = 2 答：船速度和河水流速各是 3 K M / H 和 2 K M / H
2 、解： 3 6 0 ÷ 3 0 ＝ 1 2 ( 千米 / 小时 ) ， 3 6 0 ÷ 6 0 ＝ 6 ( 千米 / 小时 ) ， ( 1 2 － 6 ) ÷ 2 ＝ 3 ( 千米 / 小时 ) ， ( 1 2
＋ 6 ) ÷ 2 ＝ 9 ( 千米 / 小时 ) 故答案为： 3 千米 / 小时； 9 千米 / 小时
解析
先求出顺流速度和逆流速度，再算出河水速度和静水速度 .
掌握顺流速度和逆流速度的含义 .
3 、解： ( 4 5 － 3 1 ) ÷ 2
= 1 4 ÷ 2
= 7 ( 千米 / 时 )
3 1 ＋ 7 = 3 8 ( 千米 / 时 )
答：海轮的划速是 3 8 千米 / 时，风速是 7 千米 / 时 .
故答案为：
3 8 千米 / 时； 7 千米 / 时 .
解析
依据题意，海轮顺风时的速度 = 船速 + 风速 = 4 5 ，逆风时的速度 = 船速－风速 = 3 1 ，根据和差问
题的思路 ( 两数和－两数差 ) ÷ 2 = 较小的数解答即可 .
第 3 讲分数百分数行程问题
基础篇
5
1 . 乙的速度： 8 00 ÷ = 96 0 （米 /分）
6
相遇时间： 3 20 ×2 ÷（9 60 -80 0 ）= 4 （分）

A B 两地距离：（ 9 60+ 8 0 0 ）× 4 =7 040 （米）
1 1
2 . （ 1 +1 ）÷ （ - ） = 40 （千米）
4 5
3 1
3 . 甲乙之间的距离： 20÷ （ - ）= 21 0 （千米）
4 ? 3 3
4 ? 3
甲比乙少行： 2 10 × = 30 （千米）
4 ? 3

1 1 1
数学思维课程配套精选题
拔高篇
5 5
1 . 走平路所用的时间： 5× = （时）
6 ? 5 ? 4 3
5
平路路程： 4 .5 × = 7. 5 （千米）

3
3
甲、乙两地的距离： 7 .5 ÷ = 25 （千米）
2 ? 3 ? 5
2 .16 千米
3 .28 0 0 ÷5 0+ 28 0 0 ÷（ 5 0+ 50 ×4 0% ） - 50= 46 （分）
四、数论专题
第 1 讲余数的性质

模块一、余数的加减法定理
1 、幼儿园的老师给班里的小朋友送来 4 0 只桔子， 2 0 0 块饼干， 1 2 0 块奶糖。平均分发完毕，
还剩 4 只桔子， 2 0 块饼干， 1 2 粒奶糖。这班里共有 _ _ _ _ _ _ _ 位小朋友。
【考点】余数的加减法定理【难度】 1 星【题型】填空
【关键词】走美杯， 4 年级，决赛，第 3 题， 8 分
【解析】 4 0 - 4 = 3 6 ， 2 0 0 - 2 0 = 1 8 0 ， 1 2 0 - 1 2 = 1 0 8 。小朋友的人数应是 3 6 ， 1 8 0 ， 1 0 8 的大于 2 0
的公约数，只有 3 6 。
【答案】 36
2 、在 1 9 9 5 ， 1 9 9 8 ， 2 0 0 0 ， 2 0 0 1 ， 2 0 0 3 中，若其中几个数的和被 9 除余 7 ，则将这几个数归
为一组．这样的数组共有 _ _ _ _ _ _ 组．
【考点】余数的加减法定理【难度】 2 星【题型】填空
【关键词】少年数学智力冬令营
【解析】 1 9 9 5 ， 1 9 9 8 ， 2 0 0 0 ， 2 0 0 1 ， 2 0 0 3 除以 9 的余数依次是 6 ， 0 ， 2 ， 3 ， 5 ．因为
2 ? 5 ? 2 ? 5 ? 0 ? 7 ， 2 ? 5 ? 3 ? 6 ? 0 ? 2 ? 5 ? 3 ? 6 ? 7 ? 9 ，所以这样的数组共有下
面 4 个： 20 00 , 20 03 ， 19 98 , 200 0 , 2 003 ， 20 00 , 2003 , 2 001 , 199 5 ，
? ? ? ? ? ?

19 98 , 200 0 , 2 00 3 , 20 01 , 19 95 ．
? ?
【答案】
4
3 、号码分别为 1 0 1 , 1 2 6 , 1 7 3 , 1 9 3 的 4 个运动员进行乒乓球比赛 , 规定每两人比赛的盘数是他
们号码的和被 3 除所得的余数 . 那么打球盘数最多的运动员打了多少盘 ?
【考点】余数的加减法定理【难度】 2 星【题型】解答
【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算 1 0 1 ， 1 2 6 ， 1 7 3 ， 1 9 3 除以 3 的余数分
别为 2 ， 0 ， 2 ， 1 。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用 2 ， 0 ， 2 ， 1 两两相加
除以 3 即可。显然 1 2 6 运动员打 5 盘是最多的。
【答案】 5
4 、有一个整数，用它去除 7 0 ， 1 1 0 ， 1 6 0 所得到的 3 个余数之和是 5 0 ，那么这个整数是 _ _ _ _ _ _ ．
【考点】余数的加减法定理【难度】 3 星【题型】填空
1 1 2 数学思维课程配套精选题
【关键词】小学数学奥林匹克
【解析】 ( 70 ? 1 10 ? 16 0) ? 5 0 ? 29 0 ， 50 ? 3 ? 1 6...... 2 ，除数应当是 2 9 0 的大于 1 7 小于 7 0 的
约数，只可能是 2 9 和 5 8 ， 11 0 ? 5 8 ? 1... ...52 ， 5 2 ? 5 0 ，所以除数不是
5 8 ． 70 ? 29 ? 2... ...12 ， 11 0 ? 2 9 ? 3.. ....23 ， 16 0 ? 2 9 ? 5.. ....15 ， 12 ? 23 ? 15 ? 5 0 ，
所以除数是
29
【答案】 29
【【巩巩固固】】用自然数 n 去除 6 3 ， 9 1 ， 1 2 9 得到的三个余数之和为 2 5 ，那么 n = _ _ _ _ _ _ _ _ ．
【考点】余数的加减法定理【难度】 3 星【题型】填空
【关键词】小学数学奥林匹克
【解析】 n 能整除 63 ? 9 1 ? 1 29 ? 25 ? 258 ．因为 25 ? 3 ? 8 ...1 ，所以 n 是 2 5 8 大于 8 的约数．显
然， n 不能大于 6 3 ．符合条件的只有 4 3 .
【答案】 43
5 、如果 1 ＝ 1 ！， 1 × 2 ＝ 2 ！， 1 × 2 × 3 ＝ 3 ！ … … 1 × 2 × 3 × … … × 9 9 × 1 0 0 ＝ 1 0 0 ！那么 1 ！ + 2 ！ + 3 ！
+ … … + 1 0 0 ！的个位数字是多少？
【考点】余数的加减法定理【难度】 3 星【题型】解答
【解析】从 5 ！开始个位数字都是 0 了因此只需要计算前 4 个数 , 1 ！ + 2 ！ + 3 ！ + 4 ！ = 1 + 2 + 6 + 2 4 = 3 3
所以末位数字一定是 3
【答案】 3
6 、六名小学生分别带着 1 4 元、 1 7 元、 1 8 元、 2 1 元、 2 6 元、 3 7 元钱，一起到新华书店购
买《成语大词典》．一看定价才发现有 5 个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙 3 人的钱
凑在一起恰好可买 2 本，丁、戊 2 人的钱凑在一起恰好可买 1 本．这种《成语大词典》的
定价是 _ _ _ _ _ _ _ _ 元．
【考点】余数的加减法定理【难度】 3 星【题型】填空
【关键词】小数报
【解析】六名小学生共带钱 1 3 3 元． 1 3 3 除以 3 余 1 ，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能
买 3 本，所以他们五人带的钱数是 3 的倍数，另一人带的钱除以 3 余 1 ．易知，这
个钱数只能是 3 7 元，所以每本《成语大词典》的定价是
( 1 4 ? 1 7 ? 18 ? 21 ? 26 ) ? 3 ? 32 ( 元 ) ．
【答案】 32
【巩固】商店里有六箱货物，分别重 1 5 ， 1 6 ， 1 8 ， 1 9 ， 2 0 ， 3 1 千克，两个顾客买走了其中
【巩固】
的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的 2 倍，那么商店剩下的一箱
货物重量是 _ _ _ _ _ _ _ _ 千克．
【考点】余数的加减法定理【难度】 3 星【题型】填空
【关键词】小学数学奥林匹克

【解析】两个顾客买的货物重量是 3 的倍
数． ( 1 5 ? 1 6 ? 18 ? 19 ? 20 ? 31 ) ? ( 1 ? 2 ) ? 119 ? 3 ? 3 9...2 ，剩下的一箱货物重量除以
3 应当余 2 ，只能是 2 0 千克．
【答案】 20
【巩固】六张卡片上分别标上 1 1 9 3 、 1 2 5 8 、 1 8 4 2 、 1 8 6 6 、 1 9 1 2 、 2 4 9 4 六个数，甲取 3 张，
【巩固】
乙取 2 张，丙取 1 张，结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另 — 个
人的 2 倍，则丙手中卡片上的数是 _ _ _ _ _ _ _ _ ． ( 第五届小数报数学竞赛初赛 )

【考点】余数的加减法定理【难度】 3 星【题型】填空
【关键词】小学数学奥林匹克
【解析】根据 “ 甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的 2 倍 ” 可知，甲、乙
手中五张卡片上的数之和应是 3 的倍数．计算这六个数的总和是
1 1 3 数学思维课程配套精选题
11 93 ? 1 25 8 ? 18 42 ? 18 66 ? 1912 ? 249 4 ? 105 65 ，
1 0 5 6 5 除以 3 余 2 ；因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是 3 的倍数，那么丙
手中的卡片上
的数除以 3 余 2 ．六个数中只有 1 1 9 3 除以 3 余 2 ，故丙手中卡片上的数为 1 1 9 3 ．
【答案】 1 1 9 3
7 、从 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， … ， 2 0 0 7 中取 N 个不同的数，取出的数中任意三个的和能被 1 5 整除． N
最大为多少？
【考点】余数的加减法定理【难度】 3 星【题型】解答
【关键词】走美杯，初赛，六年级，第 8 题
【解析】取出的 N 个不同的数中，任意三个的和能被 1 5 整除，则其中任意两个数除以 1 5
的余数相同，且这个余数的 3 倍能被 1 5 整除，所以这个余数只能是 0 ， 5 或者 1 0 ．在
1 ? 2 00 7 中，除以 1 5 的余数为 0 的有 15 ? 1 ， 15 ? 2 ， … ， 15 ? 133 ，共有 13 3 个；
除以 1 5 的余数为 5 的有 15 ? 0 ? 5 ， 15 ? 1 ? 5 ， … ， 15 ? 133 ? 5 ，共有 1 3 4 个；除
以 1 5 的余数为 1 0 的有 15 ? 0 ? 10 ， 15 ? 1 ? 1 0 ， … ， 15 ? 133 ? 10 ，共有 1 3 4 个．所
以 N 最大为 1 3 4 ．
【答案】 13 4
8 、一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是 3 的整数倍，每人的

岁数都是一个质数，四人岁数之和是 1 0 0 ，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁 ?
【考点】余数的加减法定理【难度】 3 星【题型】解答
【关键词】香港圣公会，小学数学奥林匹克
【解析】从任意三人岁数之和是 3 的倍数， 1 0 0 除以 3 余 1 ，就知四个岁数都是 3 k ? 1 型的
数，又是质数．只有 7 ， 1 3 ， 1 9 ， 3 1 ， 3 7 ， 4 3 ，就容易看出：父 4 3 岁，母 3 7 岁，
兄 1 3 岁，妹 7 岁．
【答案】 37
9 、有三所学校，高中 A 校比 B 校多 1 0 人， B 校比 C 校多 1 0 人．三校共有高中生 2 1 9 6 人．有
一所学校初中人数是高中人数的 2 倍；有一所学校初中人数是高中人数的 1 . 5 倍；还有一所
学校高中、初中人数相等．三所学校总人数是 5 4 8 0 人，那么 A 校总人数是 _ _ _ _ _ _ _ _ 人．
【考点】余数的加减法定理【难度】 3 星【题型】填空
【关键词】香港圣公会，小学数学奥林匹克
【解析】三所学校的高中生分别是： A 校 7 4 2 人， B 校 7 3 2 人， C 校 7 2 2 人．如果 A 校或 C
校初中人数是高中人数的 1 . 5 倍，该校总人数是奇数，而按照给出条件得出其他两
校总人数都是偶数，与三校总人数 5 4 8 0 是偶数矛盾，因此只能是 B 校的初中人数
是高中人数的 1 . 5 倍．三校初中的总人数是 54 80 ? 2196 ? 328 4 ，被 3 除余 2 ； 7 3 2
被 3 整除， 7 2 2 被 3 除余 2 , 7 4 2 被 3 除余 1 ．从余数来看 2 ? 2 ? 1 ? 5 ， 1 ? 2 ? 2 ? 4 ，
就断定初中人数是高中人数的 2 倍，只能是 C 校．所以， A 校总人数是

74 2 ? 7 42 ? 14 84 ( 人 ) ．
【答案】 14 84
模块二、余数的乘法定理
1 0 、求的余数．
246 1 ? 13 5 ? 60 47 ? 11
【考点】余数的乘法定理【难度】 3 星【题型】解答
【解析】因为 24 61 ? 1 1 ? 22 3...8 ， 135 ? 11 ? 1 2...3 ， 60 47 ? 1 1 ? 54 9...8 ，根据同余定理 ( 三 ) ，

24 61 ? 1 35 ? 6 047 ? 1 1 的余数等于 8 ? 3 ? 8 ? 11 的余数，而 8 ? 3 ? 8 ? 1 92 ，
19 2 ? 11 ? 17 . ..5 ，所以 24 61 ? 1 35 ? 6 047 ? 11 的余数为 5 ．
【答案】 5
【巩固】求 47 8 ? 29 6 ? 3 51 除以 1 7 的余数．
【巩固】
1 1 4 数学思维课程配套精选题
【考点】余数的乘法定理【难度】 3 星【题型】解答
【关键词】华杯赛
【解析】先求出乘积再求余数，计算量较大．可先分别计算出各因数除以 1 7 的余数，再求
余数之积除
以 1 7 的余数． 4 7 8 , 2 9 6 , 3 5 1 除以 1 7 的余数分别为 2 ， 7 和 1 1 ， ( 2 ? 7 ? 11 ) ? 17 ? 9.... ..1 ．
【答案】 1
【【巩巩固固】】求 43 7 ? 30 9 ? 19 93 被 7 除的余数．
【考点】余数的乘法定理【难度】 3 星【题型】解答
【解析】方法一：先将 43 7 ? 30 9 ? 1993 算出以后，即 43 7 ? 30 9 ? 19 93 ? 26 9120 769 ．再求得
此数被 7 除的余
数为 1 ．
方法二：因为 47 3 除以 7 的余数为 3 ， 30 9 除以 7 的余数为 1 ，由 “ 同余的可乘性 ”
知：（ 43 7 ? 30 9 ）除以 7 的余数为（ 3 ? 1 ）．又因为 1 9 9 3 除以 7 的余数为 5 ，
所以（ 43 7 ? 30 9 ? 1993 ）除以 7 的余数等于（ 3 ? 1 ? 5 ）即 1 5 除以 7 的余数，
算出 43 7 ? 30 9 ? 19 93 被 7 除的余数为 1 ．
方法三：利用余数判别法 ⑹ ，算出 43 7 ? 30 9 ? 19 93 ? 26 9120 769 ，奇数节的数之和
与偶数节的数之和的差即
（ 2 ? 6 ? 9 ） ? （ 7 ? 6 ? 9 ） ? （ 1 ? 2 ? 0 ） ? 1 7 ? 2 2 ? 3 ? 36 ， 3 6 除以 7 的余数为 1 ，
即 43 7 ? 30 9 ? 19 93 被 7 除的余数为 1 ．
【答案】 1
1 1 、求 478 ? 2 56 9 ? 3 52 除以 9 的余数．
【考点】余数的乘法定理【难度】 3 星【题型】解答
【分析】 4 ? 7 ? 8 ? 19 ? 2 ? 9 ? 1 ， 2 ? 5 ? 6 ? 1 3 ? 9 ? 4 ， 3 ? 5 ? 2 ? 10 ? 9 ? 1 ， 47 8 ? 25 69 ? 351
除以 9 的余数等于 1 ? 4 ? 1 ? 4 ．
【答案】 4
1 2 、一个数被 7 除，余数是 3 ，该数的 3 倍被 7 除，余数是。
【考点】余数的乘法定理【难度】 3 星【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 3 题， 5 分
【解析】余数是 3 × 3 ÷ 7 的余数，为 2
【答案】
2

1 1 5 数学思维课程配套精选题
第 2 讲中国剩余定理

1 、一个数，除以 5 余 1 ，除以 3 余 2 。问这个数最小是多少？
采用通用的方法：逐步满足法
把除以 5 余 1 的数从小到大排列： 1 ， 6 ， 1 1 ， 1 6 ， 2 1 ， 2 6 ， … …
然后从小到大找除以 3 余 2 的，发现最小的是 1 1 .
所以 1 1 就是所求的数。
先满足一个条件，再满足另一个条件，所以称之为 “ 逐步满足法 ” 。
2 、一个数除以 5 余 1 ，除以 3 也余 1 。问这个数最小是多少？（ 1 除外）
特殊的方法：最小公倍法
除以 5 余 1 ：说明这个数减去 1 后是 5 的倍数。
除以 3 余 1 ：说明这个数减去 1 后也是 3 的倍数。
所以，这个数减去 1 后是 3 和 5 的公倍数。要求最小，所以这个数减去 1 后就是 3 和 5 的最
小公倍数。即这个数减去 1 后是 1 5 ，所以这个数是 1 5 + 1 = 1 6 .
3 、一个数除以 5 余 4 ，除以 3 余 2 。问这个数最小是多少？
这种情况也可以用最小公倍法。
数除以 5 余 4 ，说明这个数加上 1 后是 5 的倍数。
数除以 3 余 2 ，说明这个数加上 1 后也是 3 的倍数。
所以，这个数加上 1 后是 3 和 5 的公倍数。要求最小，所以这个数加上 1 后就是 3 和 5 的最
小公倍数。即这个数加上 1 后是 1 5 ，所以这个数是 1 5 － 1 = 1 4 。
多个数的，比如 3 个数的，有时候其中两个可以用特殊法，那就先用特殊法，用特殊法求出
满足两个条件的数后再用通用的方法求满足最后一个条件的数。
4 、有 1 个数，除以 7 余 2 ．除以 8 余 4 ，除以 9 余 3 ，这个数至少是多少？
除以 7 余 2 的数可以写成 7 n + 2 。
7 n + 2 这样的数除以 8 余 4 ，由于 2 除以 8 余 2 ，所以要求 7 n 除以 8 余 2 。
7 n 除以 8 余 2 ， 7 除以 8 余 7 ，要求 n 除以 8 余 6 （乘数之余等于余数之乘），则 n 最小取 6 。
所以满足 “ 除以 7 余 2 ，除以 8 余 4 ” 的最小的数是 7 × 6 + 2 = 4 4 ，
所有满足 “ 除以 7 余 2 ，除以 8 余 4 ” 的数都可以写成 4 4 + 5 6 × m 。
要求 4 4 + 5 6 × m 除以 9 余 3 ，由于 4 4 除以 9 余 8 ，所以要求 5 6 × m 除以 9 余 4 。（加数之余等
于余数之加）
5 6 × m 除以 9 余 4 ，由于 5 6 除以 9 余 2 ，所以要求 m 除以 9 余 2 （乘数之余等于余数之乘），
则 m 最小取 2 。
所以满足 “ 除以 7 余 2 ，除以 8 余 4 ，除以 9 余 3 ” 的最小的数是 4 4 + 5 6 × 2 = 1 5 6 。
5 、三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
除以 3 余 2 和除以 7 余 2 的数可以写成 2 1 n + 2 。
2 1 n + 2 除以 5 余 3 ，要求 2 1 n 除以 5 余 1 。
1 1 6 数学思维课程配套精选题
2 1 n 除以 5 余 1 ， 2 1 除以 5 余 1 ，要求 n 除以 5 余 1 （乘数之余等于余数之乘），则 n 最小
取 1 。
所以满足 “ 除以 3 余 2 ，除以 5 余 3 ，除以 7 余 2 ” 的最小的数是 2 1 × 1 + 2 = 2 3 。
标准解法：先从 3 和 5 、 3 和 7 、 5 和 7 的公倍数中相应地找出分别被 7 、 5 、 3 除均余 1 的较
小数 1 5 、 2 1 、 7 0 ( 注释 : 此步又称为求 " 模逆 " 运算 , 利用扩展欧几里得法并借助计算机编程可
比较快速地求得 . 当然 , 对于很小的数 , 可以直接死算 ) 。即
1 5 ÷ 7 = 2 … … 余 1 ，
2 1 ÷ 5 = 4 … … 余 1 ，
7 0 ÷ 3 = 2 3 … … 余 1 .
再用找到的三个较小数分别乘以所要求的数被 7 、 5 、 3 除所得的余数的积连加，
1 5 × 2 + 2 1 × 3 + 7 0 × 2 = 2 3 3 . ( 将 2 3 3 处用 i 代替，用程序可以求出 )
最后用和 2 3 3 除以 3 、 5 、 7 三个除数的最小公倍数 .
2 3 3 ÷ 1 0 5 = 2 … … 余 2 3 ，
这个余数 2 3 就是合乎条件的最小数 .
6 、一个数被 5 除余 2 ，被 6 除少 2 ，被 7 除少 3 ，这个数最小是多少 ?
题目可以看成，被 5 除余 2 ，被 6 除余 4 ，被 7 除余 4 。看到那个 “ 被 6 除余 4 ，被 7 除余 4 ”
了么，有同余数的话，只要求出 6 和 7 的最小公倍数，再加上 4 ，就是满足后面条件的数了，
6 X 7 + 4 = 4 6 。
下面一步试下 4 6 能不能满足第一个条件 “ 一个数被 5 除余 2 ” 。不行的话，只要再 4 6 加上 6
和 7 的最小公倍数 4 2 ，一直加到能满足 “ 一个数被 5 除余 2 ” 。这步的原因是， 4 2 是 6 和 7
的最小公倍数，再怎么加都会满足 “ 被 6 除余 4 ，被 7 除余 4 ” 的条件。
4 6 + 4 2 = 8 8
4 6 + 4 2 + 4 2 = 1 3 0
4 6 + 4 2 + 4 2 + 4 2 = 1 7 2
7 、一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就多四
人，问这个班有多少学生 ?
题目可以看成，除 3 余 2 ，除 5 余 3 ，除 7 余 4 。没有同余的情况，用的方法是 “ 逐步约束法 ” ，
就是从 “ 除 7 余 4 的数 ” 中找出符合 “ 除 5 余 3 的数 ” ，就是再 7 上一直加 7 ，直到所得的数除
5 余 3 。得出数为 1 8 ，下面只要在 1 8 上一直加 7 和 5 得最小公倍数 3 5 ，直到满足 “ 除 3 余 2 ”
4 + 7 = 1 1
1 1 + 7 = 1 8
1 8 + 3 5 = 5 3

1 1 7 数学思维课程配套精选题
第 3 讲最值问题
练 1
9 9 1 2 0 1
1、 2、 3、（1）399 （2）
1 0 1 9 7 1 9 9
练 2
1、甲、乙两数的比是 8：3，甲数最大是 96 ，差最大是 60。
2、甲、乙两数的比是 3：10，甲数最小是 102，和最小是 442。
1 1 1
3、一、二、三道工序所需的工人数的比是：：＝14 ：21 ： 24，所

4 8 3 2 2 8
以至少安排 14+21+24＝59 个工人。
练 3
1、9999+（9999－8921）＝11077
2 、较小的数最大是（ 521 － 1 ） ÷ 2 ＝ 262 ， 100 ～ 262 共有 163 个自然数 ,所
以共有 163 对,两个数的差最大是 525－100－100＝325
3 、数对共有 9999 － 3456 － 1000+1 ＝ 5544 个，两个数的和最大是 9999 －
3456+9999＝16542，两个数的和最小是 1000+3456+1000＝5456
第 4 讲不定方程
练 1
1、 x＝1 x＝3 x＝5 x＝7
y＝11 y＝8 y＝5 y＝2

2、 x＝3 x＝8
y＝11 y＝1
3、 x＝5
y＝3

1 1 8 数学思维课程配套精选题
练 2
1、 x＝1
y＝3
z＝3
2、 x＝3 x＝4
y＝4 y＝2
z＝1 z＝2
3、 x＝3
y＝1
z＝1
练 3
4 8 － 3 x
1、设需要小船 x 只，大船 y 只。则 3x+5y＝48， y＝根据题意， x 可
5
取 1、6、11，
方程的解是 x＝1 x＝6 x＝11
y＝9 y＝6 y＝3
五、计数专题
第 1 讲加乘原理
练 1
1、3×5×4×3＝180 个
2、90×9＝810 个
3、8×8×8＝512 个 4×8×8＝256 个

4×7×6＝168 个 1×7×6＝42 个 1×3×6＝18 个
练 2
1 1 9 数学思维课程配套精选题
1、9180+3＝192 个
2、8+8×8+3×8×8＝264 个
3、9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45 次
练 3
1、24 个 2、42 个 3、48 个 48 个
第 2 讲抽屉原理

练 1
1 、 1992 年共有 366 天，把它看成是 366 个抽屉，把 370 个人放入 366 个
抽屉中，至少有一个抽屉里有两个人，因此其中至少有 2 个学生的生日是同一天
的。
2、 2 月份最多有 29 天，把它看作 29 个抽屉，把 30 名学生放入 29 个抽屉，
至少有一个抽屉里有两个人，因此这 30 名学生中至少有两个学生的生日是在同
一天。
3、一年有 12 个月，把 12 个月看作 12 个抽屉，把 15 个小朋友放入 12 个抽
屉中，至少有一个抽屉里有两个小朋友，因此至少有 2 个小朋友是才同一个月出
生。
练 2
1、买书的类型中买一本的有 4 种，买二本的有 6 种，买三本的有 4 种，买
4 本的有一种，共有 4+6+4+1＝15 种情况。把种 15 种情况看出 15 个抽屉，要保
证有两位同学买到相同的书，至少要去 16 位学生。

2、从三周图书种任意借 2 本，只有 6 种情况。要保证有两个所借的图书属
于同一种，至少要 7 个学生。
3、玻璃珠子的颜色有三种，要保证有 2 个同色，最少应取出 4 只珠子。
练 3
1、思路同例 3，最少要摸出 11 只手套才能保证有 4 付同色的。

2、把三种颜色看作 3 个抽屉，要保证有一双同色的就要摸出 4 只袜子，这
时拿出 1 双同色的后， 3 个抽屉中还剩 2 只袜子。以后，只要再摸出 2 只袜子就
1 2 0 数学思维课程配套精选题
可保证有一双同色的。因此，要保证有 3 双同色的，最少要摸 4+2+2＝8 只袜子。
3、袋中有三种袜子时。每次从袋中拿出一只袜子，有可能拿出 8 只都是同

一颜色。在余下两种颜色中要拿出一双同色的袜子，最少要取 3 只。因此，最少
要拿出 8+3＝11 只才能保证其中至少有 2 双颜色不同的袜子。
第 3 讲排列组合
1 ．恰好能被 6， 7，8 ，9 整除的五位数有多少个 ?
【分析与解】 6 、 7 、 8 、 9 的最小公倍数是 5 0 4 ，五位数中，最小的是 1 0 0 0 0 ，最大为 9 9 9 9 9 ．
因为 1 0 0 0 0 ÷ 5 0 4 ： 1 9 … … 4 2 4 ， 9 9 9 9 9 ÷ 5 0 4 = 1 9 8 … … 2 0 7 ．
所以，五位数中，能被 5 0 4 整除的数有 1 9 8 - 1 9 = 1 7 9 个．
所以恰好能被 6 ， 7 ， 8 ， 9 整除的五位数有 1 7 9 个．
2 ．小明的两个衣服口袋中各有 1 3 张卡片，每张卡片上分别写着 1 ， 2 ， 3 ， … ， 1 3 ．
如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不
相等的乘积．
那么，其中能被 6 整除的乘积共有多少个 ?
【分析与解】这些积中能被 6 整除的最大一个是 1 3 × 1 2 = 2 6 × 6 ，最小是 6 ．
但在 l × 6 ～ 2 6 × 6 之间的 6 的倍数并非都是两张卡片上的乘积，
其中有 2 5 × 6 ， 2 3 × 6 ， 2 1 × 6 ， 1 9 × 6 ， 1 7 × 6 这五个不是．
∴所求的积共有 2 6 - 5 = 2 1 个．
3 ． 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 这 6 个数中，选 3 个数使它们的和能被 3 整除．那么不同的选法
有几种 ?
【分析与解】被 3 除余 1 的有 1 ， 4 ；
被 3 除余 2 的有 2 , 5 ；
能被 3 整除的有 3 ， 6 ．
从这 6 个数中选出 3 个数，使它们的和能被 3 整除，
则只能是从上面 3 类中各选一个，因为每类中的选择是相互独立的，
∴共有 2 × 2 × 2 = 8 种不同的选法．
4 ．同时满足以下条件的分数共有多少个 ?

1 1
① 大于，并且小于； ② 分子和分母都是质数； ③ 分母是两位数．
6 5
【分析与解】由 ① 知分子是大于 1 ，小于 2 0 的质数．
1 2 1 数学思维课程配套精选题
2 2 2
如果分子是 2 ，那么这个分数应该在与之间，在这之间的只有符合要求．
10 8 11
3 3
如果分子是 3 ，那么这个分数应该在与之间， 1 5 与 1 8 之间只有质数 1 7 ，所以分数是
15 18
3
．同样的道理，当分子是 5 ， 7 ， 1 1 ， 1 3 ， 1 7 ， 1 9 时可以得到下表．
17
分子分数分子分数
2 11 11
2 1 1 ,
11 59 61
3 13 13 13
3 1 3 , ,
17 67 71 73
5 17 1 7
5 1 7 ,
29 89 9 7
3 7 19
7 , 1 9
37 41 97
于是，同时满足题中条件的分数共 1 3 个．
六、几何专题

1
第讲五大模型
1
1 、如图，在三角形 A B C 中，， D 为 B C 的中点， E 为 A B 上的一点，且 B E = A B , 已知四边形
3
E D C A 的面积是 3 5 ，求三角形 A B C 的面积 . （
? B E D 1 ? 1 1
【解】根据定理： = = ，所以四边形 A C D E 的面积就是 6 - 1 = 5 份，这样三角形
? A B C 2 ? 3 6

3 5 ÷ 5 × 6 = 4 2 。
2 、四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方 ( 如图 ) 如果小正方形面积是
1 平方米，大正方形面积是 5 平方米，那麽直角三角形中，最短的直角边长度是 _ _ _ _ _ _ 米 .
1 2 2
数学思维课程配套精选题
【解】小正方形面积是 1 平方米，大正方形面积是 5 平方米，所以外边四个面积和是 5 - 1 = 4 ，
所以每个三角形的面积是 1 ，这个图形是 “ 玄形 ” ，所以长直角边和短直角边差就是
中间正方形的边长，所以求出短边长就是 1 。
3 、如图在长方形 A B C D 中， △ A B E 、 △ A D F 、四边形 A E C F 的面积相等。 △ A E F 的面积是长
方形 A B C D 面积的 _ _ _ _ _ _ ( 填几分之几 ) 。
。
【解】连接 A C ，首先 △ A B C 和 △ A D C 的面积相等，又 △ A B E 和 △ A D F 的面积相等，则 △ A E C
和 △ A F C 的面积也相等且等于 A B C D 的 1 / 6 ，不难得 △ A E C 与 △ A B E 的面积之比为 1 / 2 ，由于
这两个三角形同高，则 E C 与 B E 之比为 1 / 2 ，同理 F C 与 D F 之比也为 1 / 2 。从而 △ E C F 相当

于 A B C D 面积的 1 / 1 8 ，而四边形 A E C F 相当于 A B C D 面积的 1 / 3 ，从而答案为 1 / 3 - 1 / 1 8 = 5 / 1 8 。
4 、如图 1 ，一个长方形被切成 8 块，其中三块的面积分别为 1 2 ， 2 3 ， 3 2 ，则图中阴影部分

的面积为 _ _ _ _ _
（ 0 1 年同方杯）
【解】设图示两个三角形的面积分别为 a 和 b ，因为 △ A E D 面积等于 A B C D 的一半，则 △ A B E
1 2 3
数学思维课程配套精选题
加上 △ D E C 的面积也等于 A B C D 的一半。而 △ F D C 的面积也等于 A B C D 的一半，即
2 3 + a + 3 2 + 1 2 + b = a + b + 阴影面积，可见阴影面积 = 2 3 + 3 2 + 1 2 = 6 7 。
5 、右图中 A B = 3 厘米， C D = 1 2 厘米， E D = 8 厘米， A F = 7 厘米 . 四边形 A B D E 的面积是平
方厘米．
1 1 1
【解】：四边形 A F D C 的面积 = 三角形 A F D + 三角形 A D C = （ × F D × A F ） + （ × A C × C D ） =
2 2 2
1 1 1 1 1
（ F E + E D ） × A F + （ A B + B C ） × C D = （ × F E × A F + × E D × A F ） + （ × A B × C D + × B C ×
2 2 2 2 2
C D ）。
1 1 1
所以阴影面积 = 四边形 A F D C - 三角形 A F E — 三角形 B C D = （ × F E × A F + × E D × A F ） + （ ×
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
A B × C D + × B C × C D ） - × F E × A F - × B C × C D = × E D × A F + × A B × C D = × 8 × 7 + × 3
2 2 2 2 2 2 2
× 1 2 = 2 8 + 1 8 = 4 6 。

燕尾模型特辑
【例 8 】（ 2 0 0 9 年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形 A B C 的面积是 1 ， E 是 A C
的中点，点 D 在 B C 上，且 B D : D C ? 1 : 2 ， A D 与 B E 交于点 F ．则四边形 D F E C
的面积等于．

1 2 4

数学思维课程配套精选题
A
A
3
3
E
E
F
3
1 2
F
B
C
B
D
C
D
A A
E E
F F
C C
B B
D D
【解析】方法一：连接 C F ，

S B D 1 S A E
△ A B F △ A B F
根据燕尾定理， ? ? ， ? ? 1 ,
S D C 2 S E C
△ A C F △ C B F
设 S ? 1 份，则 S ? 2 份， S ? 3 份， S ? S ? 3 份，如图所标
△ B D F △ D C F △ A B F △ A E F △ E F C
5 5
所以 S ? S ?
D C E F △ A B C
12 12
1 1
方法二：连接 D E ，由题目条件可得到 S ? S ? ，
△ A B D △ A B C
3 3
1 1 2 1 B F S 1

△ A B D
S ? S ? ? S ? ，所以 ? ? ，
△ A D E △ A D C △ A B C
2 2 3 3 F E S 1
△ A D E
1 1 1 1 1 1 1
S ? ? S ? ? ? S ? ? ? ? S ? ，
△ D E F △ D E B △ B E C △ A B C
2 2 3 2 3 2 12
2 1 1 5
而 S ? ? ? S ? ．所以则四边形 D F E C 的面积等于．
△ C D E △ A B C
3 2 3 12
【巩固】如图，已知 B D ? D C ， E C ? 2 A E ，三角形 A B C 的面积是 30 ，求阴影部分面积 .
A A
E E
F F
B
D C B D C

A
E
F
B D C

【解析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由
此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积 . 又因为阴影部分是一个
不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，
( 法一 ) 连接 C F ，因为 B D ? D C ， E C ? 2 A E ，三角形 A B C 的面积是 3 0 ，
1 2 5
数学思维课程配套精选题
1 1
所以 S ? S ? 10 ， S ? S ? 15 ．
△ A B E △ A B C △ A B D △ A B C
3 2
S A E 1 S B D
△ A B F △ A B F
根据燕尾定理， ? ? ， ? ? 1 ,
S E C 2 S C D
△ C B F △ A C F
1
所以 S ? S ? 7.5 ， S ? 15 ? 7.5 ? 7.5 ，
△ A B F △ A B C △ B F D
4

所以阴影部分面积是 30 ? 1 0 ? 7.5 ? 12.5 ．
1
( 法二 ) 连接 D E ，由题目条件可得到 S ? S ? 10 ，
△ A B E △ A B C
3
S
1 1 2 A F 1
△ A B E
S ? S ? ? S ? 10 ，所以 ? ? ，
△ B D E △ B E C △ A B C
2 2 3 F D S 1
△ B D E
1 1 1 1 1 1
S ? ? S ? ? ? S ? ? ? ? S ? 2.5 ，
△ D E F △ D E A △ A D C △ A B C
2 2 3 2 3 2
2 1
而 S ? ? ? S ? 10 ．所以阴影部分的面积为 12 .5 ．
△ C D E △ A B C
3 2
2
【巩固】如图，三角形 A B C 的面积是 20 0 c m ， E 在 A C 上，点 D 在 B C 上，且
A E : E C ? 3 : 5 , B D : D C ? 2 : 3 ， A D 与 B E 交于点 F ．则四边形 D F E C 的面积等
于
A
A A
E E
E
F F
F
C C
B B
B
D D
C
D
【解析】连接 C F ，
S B D 2 6 S A E 3 6
△ A B F △ A B F
根据燕尾定理， ? ? ? ， ? ? ? ,
S D C 3 9 S E C 5 1 0
△ A C F △ C B F
5 4 5
设 S ? 6 份，则 S ? 9 份 , S ? 10 份， S ? 9 ? ? 份，
△ A B F △ A C F △ B C F △ E F C
3 ? 5 8
3
S ? 10 ? ? 6 份，所以
△ C D F
2 ? 3
45 45
2
S ? 20 0 ? ( 6 ? 9 ? 1 0) ? ( ? 6) ? 8 ? ( ? 6) ? 9 3 ( c m )
D C F E
8 8

【巩固】如图，已知 B D ? 3 D C ， E C ? 2 A E ， B E 与 C D 相交于点 O , 则 △ A B C 被分成的 4 部
分面积各占 △ A B C 面积的几分之几？
A A
1
1
E E
9
2
O O
2
13 . 5
4 . 5

B C B C
3 1
D D
【解析】连接 C O , 设 S ? 1 份，则其他部分的面积如图所示，所以
△ A E O
S ? 1 ? 2 ? 9 ? 18 ? 3 0 份，所以四部分按从小到大各占 △ A B C 面积的
△ A B C
1 2 6

数学思维课程配套精选题
1 2 ? 4 . 5 1 3 9 3 13 .5 9
, ? , ? , ?
30 3 0 60 3 0 1 0 3 0 20

1 1
【巩固】 ( 20 07 年香港圣公会数学竞赛 ) 如图所示，在 △ A B C 中， C P ? C B ， C Q ? C A ，
2 3
B Q 与 A P 相交于点 X ，若 △ A B C 的面积为 6 ，则 △ A B X 的面积等于．
C
C C

Q
1
P
4
Q Q
1
P P
X
4
X X
A
B
A B A B
【解析】方法一：连接 P Q ．
1 1 2 1 1
由于 C P ? C B ， C Q ? C A ，所以 S ? S ， S ? S ? S ．
? A B Q ? A B C ? B P Q ? B C Q ? A B C
2 3 3 2 6
2 1
由蝴蝶定理知， A X : X P ? S : S ? S : S ? 4 : 1 ，
? A B Q ? B P Q ? A B C ? A B C
3 6
4 4 1 2 2
所以 S ? S ? ? S ? S ? ? 6 ? 2 .4 ．
? A B X ? A B P ? A B C ? A B C
5 5 2 5 5
方法二：连接 C X 设 S ? 1 份，根据燕尾定理标出其他部分面积，
△ C P X
所以 S ? 6 ? ( 1 ? 1 ? 4 ? 4 ) ? 4 ? 2 .4
△ A B X
【巩固】如图，三角形 A B C 的面积是 1 ， B D ? 2 D C ， C E ? 2 A E ， A D 与 B E 相交于点 F ，
请写出这 4 部分的面积各是多少 ?
A A
E 1 E
6
2
F F
8 4
B B
D D
C C
【解析】连接 C F ，设 S ? 1 份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以
△ A E F

1 6 2 8 2 ? 4 2
S ? , S ? ? , S ? , S ? ?
△ A E F △ A B F △ B D F F D C E
21 21 7 21 21 7
【巩固】如图， E 在 A C 上， D 在 B C 上，且 A E : E C ? 2 : 3 , B D : D C ? 1 : 2 ， A D 与 B E 交

2
于点 F ．四边形 D F E C 的面积等于 22 c m ，则三角形 A B C 的面积．
A A A
1 . 6
E E E
F F
2
2 . 4
F

2
1
B B B
C C C
D D D
1 2 7

数学思维课程配套精选题
S B D 1 S A E 2
△ A B F
△ A B F
【解析】连接 C F , 根据燕尾定理， ? ? ， ? ? ,
S D C 2 S E C 3
△ A C F △ C B F
2
设 S ? 1 份，则 S ? 2 份， S ? 2 份， S ? 4 份， S ? 4 ? ? 1.6
△ B D F △ D C F △ A B F △ A F C △ A E F
2 ? 3
3
份 , S ? 4 ? ? 2.4 份 , 如图所标 , 所以 S ? 2 ? 2.4 ? 4 .4
△ E F C E F D C
2 ? 3
份 , S ? 2 ? 3 ? 4 ? 9 份
△ A B C
2
所以 S ? 22 ? 4.4 ? 9 ? 4 5 ( c m )
△ A B C
【巩固】三角形 A B C 中， C 是直角，已知 A C ? 2 ， C D ? 2 ， C B ? 3 ， A M ? B M ，那么三
角形 A M N ( 阴影部分 ) 的面积为多少？
A A
M M

N N
C B C B
D D
【解析】连接．
B N
△ A B C 的面积为 3 ? 2 ? 2 ? 3
根据燕尾定理， △ A C N : △ A B N ? C D : B D ? 2 : 1 ；
同理 △ C B N : △ C A N ? B M : A M ? 1 : 1

设 △ A M N 面积为 1 份，则 △ M N B 的面积也是 1 份，所以 △ A N B 的面积是 1 ? 1 ? 2
份，而的面积就是份，也是 4 份，这样的面积为
△ A C N 2 ? 2 ? 4 △ C B N △ A B C
4 ? 4 ? 1 ? 1 ? 10 份，所以 △ A M N 的面积为 3 ? 10 ? 1 ? 0.3 ．
【巩固】如图，长方形 A B C D 的面积是 2 平方厘米， E C ? 2 D E ， F 是 D G 的中点．阴影部
分的面积是多少平方厘米 ?

A
D
A
A D
D
1
F
E
3
F E
F E 2
x
3
3 y
y
x
G
C
B
B C
B C
G
G
5 5
【解析】设 S ? 1 份，则根据燕尾定理其他面积如图所示 S ? S ? 平方厘米 .
△ D E F 阴影 △ B C D
12 12
【例 9 】如图所示，在四边形 A B C D 中， A B ? 3 B E ， A D ? 3 A F ，四边形 A E O F 的面积是，
12
那么平行四边形 B O D C 的面积为 _ _ _ _ _ _ _ _ ．
A A
F F
4
2 8
E D E D
O O
1 6
6

B B
C C
【解析】连接 A O , B D , 根据燕尾定理
S : S ? A F : F D ? 1 : 2 , S : S ? A E : B E ? 2 : 1 , 设 S ? 1 , 则其他
△ A B O △ B D O △ A O D △ B O D △ B E O
1 2 8

数学思维课程配套精选题
图形面积，如图所标，所以 S ? 2 S ? 2 ? 12 ? 24 .
B O D C A E O F
【例 1 0 】 A B C D 是边长为 12 厘米的正方形， E 、 F 分别是 A B 、 B C 边的中点， A F 与
C E 交于 G ，则四边形 A G C D 的面积是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 平方厘米．
D D C
C
F F
G G
A A
E B E B
【解析】连接 A C 、 G B ，设 S ? 1 份，根据燕尾定理得 S ? 1 份， S ? 1 份，则
△ A G C △ A G B △ B G C

2 2
S ? （ 1 ? 1 ? 1 ） ? 2 ? 6 份， S ? 3 ? 1 ? 4 份，所以 S ? 12 ? 6 ? 4 ? 96 ( c m )
正方形 A D C G A D C G
【例 1 1 】如图，正方形 A B C D 的面积是 12 0 平方厘米， E 是 A B 的中点， F 是 B C 的中
点，四边形 B G H F 的面积是 _ _ _ _ _ 平方厘米．
A A
D D
E E
G G
H H
F F
B C B C
【解析】连接 B H , 根据沙漏模型得 B G : G D ? 1 : 2 , 设 S ? 1 份，根据燕尾定理 S ? 2
△ B H C △ C H D
1 2 7
份， S ? 2 份，因此 S ? （ 1 ? 2 ? 2 ) ? 2 ? 1 0 份， S ? ? ? ，所以
△ B H D 正方形 B F H G
2 3 6
7
S ? 12 0 ? 10 ? ? 1 4 ( 平方厘米 ) .
B F H G
6
【例 1 2 】如图所示，在 △ A B C 中， B E : E C ? 3 : 1 ， D 是 A E 的中点，那么
A F : F C ? ．
A A
F F
D D
B E C B E C
【解析】连接 C D ．
由于 S : S ? 1 : 1 ， S : S ? 3 : 4 ，所以 S : S ? 3 : 4 ，
△ A B D △ B E D △ B E D △ B C D △ A B D △ B C D

根据燕尾定理， A F : F C ? S : S ? 3 : 4 ．
△ A B D △ B C D
【巩固】在 ? A B C 中， B D : D C ? 3 : 2 ， A E : E C ? 3 : 1 ，求 O B : O E ? ？
1 2 9

数学思维课程配套精选题
A A
E E
O O
B C B C
D D
【解析】连接 O C ．
因为 B D : D C ? 3 : 2 ，根据燕尾定理， S : S ? B D : B C ? 3 : 2 ，即
? A O B ? A O C
3
S ? S ；
? A O B ? A O C
2
4 3 3 4
又 A E : E C ? 3 : 1 ，所以 S ? S ．则 S ? S ? ? S ? 2 S ，
? A O C ? A O E ? A O B ? A O C ? A O E ? A O E
3 2 2 3
所以 O B : O E ? S : S ? 2 : 1 ．
? A O B ? A O E
【巩固】在 ? A B C 中， B D : D C ? 2 : 1 ， A E : E C ? 1 : 3 ，求 O B : O E ? ？
A
E
O
C
B
D
【解析】题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通
过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而
得到边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因
此应该补全，所以第一步要连接 O C ．
连接 O C ．
A
E
O
C
B
D

因为 B D : D C ? 2 : 1 ，根据燕尾定理， S : S ? B D : B C ? 2 : 1 ，即 S ? 2 S ；
? A O B ? A O C ? A O B ? A O C
又 A E : E C ? 1 : 3 ，所以 S ? 4 S ．则 S ? 2 S ? 2 ? 4 S ? 8 S ，
? A O C ? A O E ? A O B ? A O C ? A O E ? A O E
所以 O B : O E ? S : S ? 8 : 1 ．
? A O B ? A O E
【例 1 3 】（ 2 0 0 9 年清华附中入学测试题）如图，四边形 A B C D 是矩形， E 、 F 分别是
1 1
A B 、 B C 上的点，且 A E ? A B ， C F ? B C ， A F 与 C E 相交于 G ，若矩形 A B C D
3 4
的面积为 12 0 ，则 ? A E G 与 ? C G F 的面积之和为．

1 3 0

数学思维课程配套精选题
A D A D
E E
H
G G
B B
F C F C
A D
E
G
B
F C
【解析】 ( 法 1 ) 如图，过 F 做 C E 的平行线交 A B 于 H ，则 E H : H B ? C F : F B ? 1 : 3 ，
1
所以 A E ? E B ? 2 E H ， A G : G F ? A E : E H ? 2 ，即 A G ? 2 G F ，
2
1 2 2 3 1
所以 S ? ? ? S ? ? ? S ? 10 ．
? A E G ? A B F ? A B C D
3 3 9 4 2
2 2 3 1 1
且 E G ? H F ? ? E C ? E C ，故 C G ? G E ，则 S ? 1 ? ? S ? 5 ．
? C G F ? A E G
3 3 4 2 2
所以两三角形面积之和为 10 ? 5 ? 15 ．
( 法 2 ) 如上右图，连接 A C 、 B G ．
根据燕尾定理， S : S ? B F : C F ? 3 : 1 ， S : S ? B E : A E ? 2 : 1 ，
? A B G ? A C G ? B C G ? A C G
1
而，
S ? S ? 60
? A B C ? A B C D
2
3 1 2 1
所以 S ? ， S ? ? 60 ? 30 ， S ? ， S ? ? 60 ? 20 ，
? A B G ? A B C ? B C G ? A B C
3 ? 2 ? 1 2 3 ? 2 ? 1 3
1 1
则 S ? S ? 10 ， S ? S ? 5 ，
? A E G ? A B G ? C F G ? B C G
3 4

所以两个三角形的面积之和为 1 5 ．
【例 1 4 】如右图，三角形 A B C 中， B D : D C ? 4 : 9 ， C E : E A ? 4 : 3 ，求 A F : F B ．
A

E
F O
C
B
D
【解析】根据燕尾定理得 S : S ? B D : C D ? 4 : 9 ? 12 : 27
△ A O B △ A O C
S : S ? A E : C E ? 3 : 4 ? 12 : 16
△ A O B △ B O C
（都有 △ A O B 的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以 S : S ? 27 : 16 ? A F : F B
△ A O C △ B O C

【点评】本题关键是把 △ A O B 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题
中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大
力量！
1 3 1

数学思维课程配套精选题
【巩固】如右图，三角形 A B C 中， B D : D C ? 3 : 4 ， A E : C E ? 5 : 6 ，求 A F : F B .
A
E
F O

C
B
D
【解析】根据燕尾定理得 S : S ? B D : C D ? 3 : 4 ? 1 5 : 20
△ A O B △ A O C
S : S ? A E : C E ? 5 : 6 ? 15 : 18
△ A O B △ B O C
（都有 △ A O B 的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以 S : S ? 2 0 : 18 ? 10 : 9 ? A F : F B
△ A O C △ B O C
【巩固】如图， B D : D C ? 2 : 3 , A E : C E ? 5 : 3 , 则 A F : B F ?
A
E
F G
B
C
D
【解析】根据燕尾定理有 S : S ? 2 : 3 ? 1 0 : 15 , S : S ? 5 : 3 ? 10 : 6 , 所以
△ A B G △ A C G △ A B G △ B C G

S : S ? 15 : 6 ? 5 : 2 ? A F : B F
△ A C G △ B C G
【巩固】如右图，三角形 A B C 中， B D : D C ? 2 : 3 ， E A : C E ? 5 : 4 ，求 A F : F B .
A
E
F O
C
B
D
【解析】根据燕尾定理得 S : S ? B D : C D ? 2 : 3 ? 10 : 15
△ A O B △ A O C
S : S ? A E : C E ? 5 : 4 ? 1 0 : 8
△ A O B △ B O C
（都有 △ A O B 的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以 S : S ? 15 : 8 ? A F : F B
△ A O C △ B O C
【点评】本题关键是把 △ A O B 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题
中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大

力量！

1 3 2
数学思维课程配套精选题
第 2 讲立体图形上
答案：
提高篇
1、从三个不同的方向看，得到图答 27－1：
从上往下看从前往后看从左往右看
（1×1×12+1×1×8+1×1×7）×2＝54 平方厘米
2、（2×2×9+2×2×9+2×2×7）×2＝200 平方厘米
3 、因为 64 ＝ 4 × 4 × 4 ，所以大正方形的棱长等于小正方形棱长的 4 被，那
么大正方体的表面积是小正方体的 4×4＝16 倍，小正方体的表面积是： 384÷16
＝24 平方厘米
拓展篇
1、将正方体分为两个长方体，表面积就增加了 2 个 30÷ 6＝15 平方厘米，拼成
大正方体，表面积将减少两个拼合面的面积，正好是 1 个 30÷6＝15 平方厘米，
所以大长方体的表面积是 30+30+6＝35 平方厘米。
2、要是表面积最小，就要尽可能地把大的面拼合在一起。表面积最小的拼
法有如图答 27－2 两种：表面积都是（3×3+3×4×2）×2＝66 平方厘米。
3 、设大长方体的宽和高为 x 分米，长为 2x 分米，左面和右面的面积就是
x2 平方分米。其余的面积为 2x2 平方分米，根据题意，大长方体的表面积是：
8x2+8×2x2＝600 x＝5
大长方体的体积是：5×5×2×5＝250 立方分米
奥数篇
1、（48÷2+65÷5+96÷4）×2＝122 平方厘米
2、减少的表面积实质是高度分别为 2 厘米和 3 厘米的前、后、左、右四个

面的面积之和。把两个合并起来，用 120÷ （2+3 ）＝24 厘米，求到正方体底面
的周长，正方体的棱长就是 24÷ 4＝6 厘米。圆长方体的体积是： 6×6× （ 6+3+2 ）
＝396 立方厘米
3、长方体正面及上面的面积之和恰好等于这个长方体的长 × （宽+高）， 209
＝11×19，所以长＝11，宽+高＝19，或长＝ 19，宽+高＝11，根据题意，宽和高
只能是 17 和 2，长方体的体积就是 11×17×2＝374

1 3 3 数学思维课程配套精选题
第 2 讲立体图形下
练 1
2 2 2
1、（3 ×0.04+2 ×0.11）÷4 ＝0.05 米＝5 厘米
20
2
2、30×20×5÷【3.14×（）】≈9.6 厘米
2
3、大正方体的体积等于三个小正方体的体积之和。
54÷6＝9 平方厘米 9＝3×3
它的体积是 3×3×3＝27 平方厘米 96÷6＝16 平方厘米
16＝4×4 它的体积是 4×4×4＝64 立方厘米
150÷6＝25 平方厘米 25＝5×5
它的体积是 5×5×5＝125 立方厘米
27+ 64+125 ＝216 立方厘米
练 2
2
1、铁块全部放入水中，排水的体积是 3×1 ×5＝15 立方厘米，要使水面升高 2
2
厘米，铁块要排水（ 15－3×1 ） ×2＝24 立方厘米。可见，铁块不能全部放入水
3
2
中。15×3÷（15－3×1 ）－3＝厘米
4
2
2、杯中水的体积是： 72×2.5＝ 180 立方厘米放入铁块后的底面积是 72－ 6 ＝36
平方厘米；水面的高：180÷36＝5 厘米
2 2
3 、容器中水的体积：（ 60 － 15 ） × 50 ＝168750 立方厘米；当铁棍提起后，仍
2 2 2
浸在水中的部分长：（168750－60 ×24） ÷ （ 60 －15 ）＝24.4 厘米。露出水面

的浸湿部分长：50－24.4＝25.6 厘米
练 3
3
1、设这个圆锥的底面半径为 r，则正方体的体积为 r ＝216，圆锥体的体积为：
1
2
×∏×r ×r＝226.08 立方分米
3

2
2 、设圆柱体的底面半径为 x ，则正方体的棱长为 2r 。圆柱的体积是 ∏ r × 2r＝
3 3
6.28，即（2r）＝8 r ＝8 立方厘米
1 3 4
数学思维课程配套精选题
r 1 r h
2
3、设容器的底面半径为 r，则水面半径为。水的体积是： ×∏（） × ＝3，
2 3 2 2
1
2
即∏r h＝72。容器的体积是 ×72＝24 升，还能装 24－3＝21 升。

3
练 4
4
2
1、20.56÷（1+1+3.14）＝4 分米 3.14×（） ×4＝50.24 立方分米
2
2、长方体中：
（1）高+宽＝（365－5）÷2＝180 厘米
（2）高+长＝（405－5）÷2＝200 厘米
（3）长+宽＝（485－5）÷2＝240 厘米
（4）（2）－（1）得：200－180＝20 厘米
长：（240+30）÷2＝130 厘米
高：200－130＝70 厘米
宽：240－130＝110 厘米
130×110×70＝1001000 立方厘米＝1.001 立方米
3、瓶的容积相当于底面积相同、高为 20+5＝25 厘米的圆柱体的容积。饮料的体
积相当于与瓶同底，高为 20 厘米的圆柱体的体积，所以饮料的体积占瓶容积的：
20 4 20
＝。30× ＝24 立方分米
20+5 5 20+5
练 5
1、长方体的盒子高是 7 厘米，正好是木块宽与高的和，长方体的宽 12 厘米，正

好是木块宽与高的公倍数，采用如图答 27－4 所示的拼放法可以填满盒子。最多
可放：40×12×7÷（5×4×3）＝56 个
2、第一次切下的正方体棱长应是 12 厘米，留下的部分如图答 27－5，其中较大
的一块是长为 21－12＝9 厘米，宽为 15 厘米，高为 12 厘米的长方体。第二次切
下的正方体棱长应是 9 厘米，留下的部分如图答 27－6 所示，较大的一块是长为

9 厘米，宽为 15－9＝6 厘米，高为 12 厘米的长方体。第三次切下的正方体棱长
3 3 3
应是 6 厘米。上下的体积是：21×15×12－（12 + 9 + 6 ）＝1107 立方厘米
1 3 5
数学思维课程配套精选题
3、制作这个铁盒的方法比较多，但容积不一样。
第一种是把铁皮的四角截去边长 5 厘米的正方形。它的体积是（ 40－5×2） × （20
－5×2）×5＝1500 立方厘米。
第二种是在铁皮的一侧角上截下两个边长 5 厘米的正方形，焊接到铁皮的另一侧
的中间位置，这样做成的无盖铁皮盒长是 40 －4 ＝35 厘米，体积是（ 40 －5）×
（20－5×2）×5＝1750 立方厘米。如图 27－7 所示
第三种是在铁皮的两侧各截下一条宽为 5 厘米、长为 20 厘米的长方形铁皮分别
焊接到上、下边上的中间部位，这样做成的无盖铁皮盒的长是 40 －5× 4＝20 厘
米，宽是 20 厘米。体积是（ 40－ 5×4） ×20×5＝2000 立方厘米。如图答 27－8
所示。

1 3 6

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(本文系zhangchengk...首藏)

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