太 阳 、 地球 和月 亮
----几何与天体运行
（修订版）
（赵建明，毕业于中国人民大学）
【 摘要 】 日 食和 月食 期间 太阳 、 地 球和 月亮 之间 有严 格的 几何 关系 ， 通 过几
何 关系 可以 计算 出地 球公 转轨 道 、 月亮 公转 轨道 与太 阳、 地 球和 月亮 半径间 的数
学 关系 。 通过 对地球 运行 轨迹 的几 何分 析 ， 可 以得 出地球 围绕 太阳 公转 的轨 道方
程 ， 此方程 为普 适方 程 ， 适用 于所 有天 体 。 通过 公式 推导 得出 ， 太 阳质 量和 地球
质 量与 太阳 、地 球和 月亮 的半 径及 其公 转周 期之 间的 数学 联系 。
§1 日食 和月 食
日食 ， 又叫做日蚀， 是月亮运 行至太阳和地球中间， 三者 刚好处在一条直线
时， 月亮 挡住太阳射向地球的光 线， 其阴影正好落到地球上， 出现的一种天文现
象。日食必定发生在朔日，也就是中国农历的初一。
日食分为日偏食、日全食、日环食。
20 世纪 （1901-1999）全 球 范围内共发生日偏食78 次、 日环食 73 次、 日全
1
食71 次、混合食 6 次，总计228 次。
月食， 又称作月蚀， 当月亮运行进入地球的阴影， 原本可被太阳光照亮的 月
亮表面 部分， 有部分或全部不能被 太阳光线照亮， 使得位于地球的观测者无法看
到 满月的 月相， 只能看到月亮表面部分发亮甚至不发亮 。 月食发生时， 太阳、 地
球、 月亮恰好或几乎在同一条直线上 。 月食必定发生在望日， 也就是中国 农历十
五 的晚上。
20 世纪（1901-1999 ）全世界范围内共发生 了 230 次月食 ，其中包括 83 次
1
日食统计数据见百度百科《日食》词条。
1
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2
半影食、66 次偏食、81 次全食。
§2 日食 、月 食的 几 何原 理
我们都知道， 地球围绕太阳公转， 公转周期为一年 （365 日6 时 9 分10 秒） ；
月亮围绕地球公转， 公转周期为中国农历一个月 （29 天12 小时44 分2.86 秒） 。
太阳、地球和月亮每月有两次近乎在一条直线上。
一 、日 食
中国农历每月初一为朔日， 此时月亮运行至太阳和地球之间， 当三者的球心
严格在一条直线上时， 在地球上便会发生日全食。 由于月亮距离地球远 近变化的
关系， 有时会 看到 日环食 。当日 环食 发生时 ，月亮 的视 直径小 于太阳 的视 直径；
当日全食发生时， 月亮的视直径大于或等于太阳的视直径。 日环食和日全食是由
月亮或地球轨道的偏心率引起， 我们可以认为日全食时月亮和太阳的视直径近似
相等。日食期间太阳、地球和月亮之间的几何关系示意图如下：
设：
地球半径为 ；
月亮半径为 ；
太阳半径为 ；
月亮公转轨道半径为 ；
地球公转轨道半径为 ；
2
月食统计数据来自于<文心一言>2024 年 6 月 3 日 问答。
2
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月亮在地球上的投影半径为 。
根据上述日全食示意图中的几 何关系，可得
( ? ) ? ( ? )
= ( )
?
当月亮和太阳的视直径相等时， = ，太阳、地球和月亮有以下关系：
( ? ) ? ( ? )
=
?
整理可得
?
= ( )
?
( )
= + × ? ( )
( )
= + × ? ( )
二 、月 食
农历每月十五为望日， 此时地球在太阳和月亮的中间。 如果三者不在一条直
线上时， 我们看到的是明亮的满月。 如果三者在一条直线上时， 我们可以看到月
食。 当月全食发生时， 我们可以看到整个月亮表面被地球阴影覆盖。 因为月全食
时整个月亮被完全遮挡， 而且 我们从未观测到月环食， 意味着月亮离地球最远时
的月全食月亮也在地球的阴影中， 从地球上看来， 月亮的视直径要小于地球的阴
影直径。
月全食发生时太阳、地球和月亮之间的几何关系图如下：
3
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设月全食时地球本影锥终点距离月亮中心的距离为 , 地球本影锥在月亮
中心处垂直于地月中心连线的截面半径为 ，有
= × ? ( )
?
? ( ? ) ?
= = × ( )
√ √
? ( ? ) ? ( ? )
当 ? ? 时，有
√
? ( ? ) ?
由（6 ）式可得
( )
? ? × ? (???? )
公式（7a ）是公式（6 ）的近似。 设公式（7a ）的精确值为 ，即
= ? × ( ? ) ( )
是月亮中心到地球本影锥表面的垂直距离 ， 与 之间有如下关系：
= + ( )
设 = ，代入（7b ）式，有
( )
= ? × ?
?
= ( )
?
将公式 （2） 和公式 （9） 联立， 解联立方程可得月亮、 地球公转轨道与太阳、
地球、月亮半径之间的关系：
4
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( )( )
? ?
= (???? )
( ) ( )
? ? ?
( ? )( ? )
= (???? )
( ? ) ? ( ? )
( )( )
? +
= (???? )
( ) ( )
? + ?
( ? )( + )
= (???? )
( ? ) + ( ? )
其中
( )
? +
< < ?
且
< <
§3 地球 的轨 道方 程
一 、空 间之 力与 地球 运动 方程
根据空间力学理论， 地球处于太阳引力场中， 在空间之力的作用下围绕太阳
进行公转运动。
假设地球质量为 ， 太阳质量为 ， 太阳半径为 ， 地球公转轨道半径为 ，
按照空间力学理论，地 球在太阳引力场中受到的空间之力总和为：
????
= （???? ）
????
?2
?13
其中 ：π 为圆周率 ； 为空间力学常数， = 1.52 × 10 秒 。
设地球 受到太阳的空间之力为→ ， 地球的运动速度为→ ，→ 和→ 的夹角为
5
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。 其几何关系如下 图：
E
( )
地球的运 动速度→ 可 以分解为 与→ 共线和垂直 的两个分 量。由 上 图可知，
与→ 垂直的速度分量大小为 。根据向心力公式，有
????
= =
????
整理可得地球的运动方程：
????
= = = = = (???? )
???? ????
其中：J 为太阳系的向心力系数， 为太阳的平均密度， 为太阳表面的重力
加速度， 为太阳的表面积。
二 、地 球运 行轨 迹分 析
假设地球 E 自近日点 出发逆时针运行， 地球和太阳连线与地球轨道长轴的
夹角为 。地球公转运动的示意图如下图：
6
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α
φ
设太阳为 中心原 点 ，地球 与太阳 的质 心距离为 。 地球轨 道的近日 点为 ，
此时地球与太阳的距离为 ； 远日点为 ， 地球与太阳的距离为 。 即为地球
轨 道 的长 轴， 长度为 + 。地 球公 转轨 道上 与 长轴 垂直 的两个 交 点为 地球 轨
道的短轴，分别为 和 ，此时地球与太阳的距离分别为 和 。
当地球 在近 日点 时 公转速 度最 快， 此 时 = ， = ； 随着 地球向 点运
行， 逐渐增大， 地 球距离太阳的距离逐渐增加， 当地球运行至 点时， 地球离太
阳的距离为 ， 增至最大，此时 = 。此后 逐渐减小，地球距离太阳的距
离继续增加， 直至运行至远日点 ， 此时地球离太阳的距离最远， 为 ， 公转 速
度最慢。远日点时， = ， = 。
地球自远日点 继续运行， 运行速度逐渐增加， 继续减小， 地球距离太阳的
距离逐渐减小。 当地球运行至 点时， 地球离太阳的距离为 ， 此时 减至最小，
= 。 此后 逐渐变大， 地 球与太阳的距离继续减小， 地球运行速度继续加快，
直 至 运行 至近 日点 。 此 时， = ， = ???? 。 地 球自 近 日点 出发 ，又回 到 近 日
点，围绕太阳公转运行一个周期。
从上面的分析可以看出， 在地球围绕太阳运行的周期中， 夹角 的变化实际
上分为两个阶段， 地球在轨道远端由 向 运行时， 逐渐变小； 地球在近端 由
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向 间运行时， 逐渐变大。
当 始终为 时， 地球的运行轨道为圆形； 当 ≈ 时， 地球将永久飞离太阳
系； ≈ 时，地球将撞向太阳。
从上面的分析可以知道， 地球运行存在两个周期， 周期和 周期。 在 周期
中， 地球运行轨迹为长轴对称或冬夏对称， 期间运行速度由快变慢、 然后由慢变
快； 在 周期中， 地 球运行为短轴对称或春秋对称， 期间运行速度的方位角由大
变小、 然后 由小变 大。这 是两 个互相 垂直的 周期 ，在轨 道上的 相位 相差 ，但它
们的周期时长相等。
三 、地 球的 运行 轨道 方程
我们利用地球运行速度 在太阳空间之力 上的投影进行分析。
地球 在太阳 ( ) 引力场中所受到的空间之力 方向指向太阳质心， 与地球
和太阳近日点连线 （ 轴） 的夹角为 ， 地 球运动速度 的方向与 的夹角为 ， 如
下图。
E
( )
在地球运行的任意时刻， 地球离太阳的距离和它的运行速度是一定的， 也就
是说，? 的形状是一定的， 利用它们之间的几何关系， 可以知道 和 之间必
定存在一一对应关系。
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?
设 为函数， 可知 = ( ) + 和 = ( ? ) 必定存在且成立， 并且 周
期和 周 期 的 时 长 相 等 ， 即 = 。当 = 或 = 时， = ； 当 = 时 ，
= ；当 = 时， = ； + = 。
根据地球运动方程：
????
= = = =
???? ????
太阳质量 和半径 一定，所以方程右侧为一常数，称为太阳力学常数。令
????
= = = = （???? ）
???? ????
以及
= ( ) +
可得
( )
[ + ] =
???? [ ( )] = （???? ）
四 、时 间参 数下 的地 球运 行轨 道方 程
设地球瞬时运动速度 对应的瞬间角速度为 ， 则有 = 。 地球 轨道方程
变为
[ ( )] = （ ）
设地球公转周期为 ，地球公转一周的角度为???? ，则有
????
??? =
上式计算的是地球公转一周的平均角速度， 此时 [ ( )] = 。 代入地球
运动方程可得：
=
9
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
此即开普勒第三定律的数学表达式， 其中 为地球公转周期， 为地球公转一
周的平均轨道半径。
又
=
此时 → ， → ， [ ( )] → ， 地球运行 轨道趋近于圆形 ， 代入
式（18） ，可得
=
?
= （ ）
求不定积分,可得
?
= + （ ）
上式中 为任意常量。
公式 （20） 的物理含义是： 如 果站 在太 阳的 角度 观测 地球 运行 轨迹 ， 地球在
任 意时 刻都 有特 定的 角度 和距 离， 它们 之间 的关 系遵 循上 述定 律。
上 述定 律适 用于 太阳 系所 有行 星， 也适 用于 卫星 围绕 行星 的运 行。
§4 太阳 、地 球和 月 亮
已知：
地球质量为 ， 地球半径为 ， 地球平均 密度为 ， 地球表面重力加速度为
；月亮轨道半径为 ，月亮公转周期为 ，月亮半径为 。
地球公 转轨 道半 径 为 ， 地球 公转 周期 为 ， 太阳 质量为 M ，太阳 半径为
， 太阳平均密度为 。
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????
????
????
????
???? ????
????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
根据空间力学已经得出的开普勒第三定律公式:
=
????
其中 ： = = = =
???? ????
月亮围绕地球公转的开普勒第三定律计算公式为：
????
= （ ）
????
地球围绕太阳公转的开普勒第三定律计算公式为：
????
= （ ）
????
将（21 ）和（22）两式相除，可得
= （ )
公式表明， 太 阳质量 和地 球质 量， 太阳 、 地 球和 月亮 的半 径， 地球 和月 亮的
公 转周 期， 它们 之间 有着 异常 复杂 的数 学联 系 。
太 阳、 地球 和月 亮， 三者 密不 可分 ！
（本文于2024 年9 月13 日 星期五完成修订，上海。 ）
作者联系方式：
手机：13671945996
Email ：zhaojm_email@sina.com
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